(ool), (olo), (loo) y (111). Fig. 1. Es evidente que en nuestra descripción consideramos vértice o esquina e! ^centro de cada átomo.

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1 Si el rigen es un clr, resultan también clrs las esquinas, y. Pr l mism sn sdis las esquinas,, y, sea, las que en su 'numeración cntienen un númer impar de : (l), (l), (l) y (). Fig.. Es evidente que en nuestra descripción cnsiderams vértice esquina e! ^centr de cada átm.. CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL a) Cuerp. Tmams cm cuerp básic el cnjunt =»{, } cn las peraci mes + y. descritas pr las tablas : + Cm vems sn asciativas y cnmutativas. El element neutr es el, y el element unidad es el. Ambs elements sn puests de sí misms ( + = ). El es su prpi invers, y n existen divisres del. I^a prpiedad distributiva es fácilmente cmprbable :.( +) =. = + = ;.( + ) = + =.

2 b) Espaci vectrial. Tmams cm espaci vectrial el cnjunt $ = X X $ = {(), (l), (l), (lí), (l), (li), (li), ()} cn las peracines & y. tales que para tda terna de $ : (ab c) 8 (d ef) = (a + d h + e c + f). {a b c) = {a b c) ;. {a b c) = (). Designand cada terna pr su equivalente cifra decimal, las peracines se describen en las tablas siguientes : & ~~Ô~ ~ Se cmprueban directamente las prpiedades asciativa y cnmutativa para la peración &. El neutr es el element O = (). El puest a cada element es el mism element. Siend A y B ds cualesquiera de las ch ternas : l.a = A;l.(l.A)=l.A = (l.l).a = A; l.(a&b) = l.a&l.b: (l + l).a =.A = l.a&l.a = A&A =. Análgamente para el. a) Vectr libre.. CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO AFÍN Tenems el cub descrit estructurad cm Espaci Vectrial cmpuest únicamente de ch punts siend rigen el O = ().

3 - - Llamams Vectr Libre al par frmad pr el rigen y tr punt de lsch del cub-espaci vectrial. Ls vectres : - = = (l) ; - = = (l) ; - = = (l) generan tds ls demás pr medi de las peracines descritas. Pr ejempl :;- = (li) =. (l) &. (l) &. (l) = -. Cualquiera de ls ch vectres se escribe : A =.&tw.& n. cn t, m, n =. Direms que ls vectres, y frman una base. b) Vectr jij. Las veintich parejas que se pueden frmar cn ls ch punts las llamarems vectres fijs. Cada vectr libre distint del () es representante de cuatr vectresfijs según la tabla: Pr tant :.** Cada vectr libre crrespnde a un punt del cub cuya terna la frman ls ceficientes t, m y n, que llamarems : Crdenadas del vectr en la base elegida :,,..*^ El vectr libre representante de un vectr fij se btiene sumand lss punts del vectr fij pr la peración & ( bien restand, pues segúnla estructura definida sumar y restar resultan la misma peración pues cada punt es puest a sí mism). c) Rectas. Llamarems recta k) al cnjunt de vectres que se btiene perand un> determinad ( b c) cnsig mism.

4 - 8 - Siend ^ = {x y ) j V = {p q r) ds punts del cub-espaci que definen ^*un vectr de k), resulta: K & F = t. A = (x y ) & ip q r) = t. {a b c) siend t = O ó t =. Se llama a P vectr de psición y a A vectr de dirección. Cada recta sól puede cntener ds punts. Pr cada punt pasan siete rectas. Pr tant, hay en ttal ( «I =8 rectas. d) Píans. Llamarems plan K) al cnjunt de vectres generads pr ds vectres que n estén en la misma recta: A = {ab c) y D = {d e J). Análgamente a cm hicims cn la recta k) btendrems : X&F = t. A&LS.D = {xy ) Slip qr) = t.(ab c)& s.{d ef) () : siend s, t = ó. d.l) La ecuación () se puede escribir : m.jx:-{-n.y-\-g' + h -dnde m, n, g, h sn ó. Pr tant, escgiend w, n, g y h cm ó cm resultarían dieciséis plans, per realmente sn plans, pues:.x-\-.y-{-.-\- = y.x-\-.y-{-> X :n sn plans. d.) Ls punts {x y ) pertenecientes a un plan sn según () {x y ) = {p q r) &i t. {a b c) &L s. {d e f). Pr tant, cada plan cntiene únicamente cuatr punts : (/> q r) crrespndiente a ls valres = y s =. {p qr) & ( Ô c) = (/> - a q + b r + c) cuand = y ^ =. {p qr) & {d e f) = {p + d q -\- e r -j- f) cuand t = y s =. (p qr) & (abe) & (d e f) = (p + a + d q + b + e r + c + f) si = _y s =.

5 - 9 - <i.) Cntand ahra el númer de plans : Cada tres punts definen un plan, lueg tendrems : { t] = definicines (ecuacines) del mism plan. Cada tres punts frman una definición, así tendrems : I I = definicines psibles en td el espaci. Pr tant el númer ttal de plans es j. d.) De ls plans, siete ls llamarems vectriales : sn ls que cnitienen el punt O = () y sn subespacis vectriales del cub-espaci. Ls trs siete ls llamarems plans afines. d.) Ls plans vienen determinads en la siguiente tabla : Ecuación Punts Ceficientes (mng) Vectr X -\- y -\- z = X -\- y -\- z =,,,,,, () () X -{- y = x + y =,,,,,, (li) (li) X -j- Z = X -{- Z =,,,,,, (li) (li) X = x = l,,,,,, (l) (l) y -\- z = y-\-z =,,,,,, (lí) (lí) y z= y = l,,,.,, (l) (l) = Z = l,,,,,, (l) (l) Ls plans de vectr sn «irregulares» en el sentid de que sus punts tí están situads según la idea euclídea de plan.

6 Se agrupan de ds en ds ya que existen ds plans cn el mism vectrde ceficientes, un vectrial y el tr su crrespndiente «paralel» afín. Cada plan cntiene seis rectas, puest que el plan l frman cuatr^ punts y cada recta cntiene ds : it) Ls vectres cntenids en un plan afín, sn naturalmente ls vectres^ «trasladads» de su crrespndiente plan vectrial. Pr ejempl, ls plans : x -j- y =, x -\- y, & =, & S =,. & =, & =, & =, etc.. INTERPRETACIÓN DEL CUBO-ESPACIO AFÍN a) Plans. Según hems designad ls átms del cub, ls dce últims plans de la lista cntienen ds átms de sdi y ds de clr cada un. A ests dceplans ls llamarems regulares. Ls ds primers plans, de vectr, cntienen únicamente átms de una. clase. Ls llamarems irregulares. A ls plans regulares se les pdría cnsiderar cm plans de chesiói, ya que pr medis mecánics la sal sól puede trcearse según ests plans, y pr tant, pr much que la machaquems seguirá siend sal cmún (NaCl)' cn su clr y sabr prpis. A ls plans irregulares se les pdría cnsiderar cm plans de disciación, pues basta dislver la sal en agua para que queden separads ls plans de sdis pr un lad y ls de clrs pr tr. Sin embarg n se separan en la dislución ls punts, pues de ser asi. bastaría «clar» filtrar cn algún tip de membrana la dislución para btener el clr pr un lad y el sdi pr tr. b) Rectas. De las seis rectas que cntiene un plan regular cuatr están frmadaspr un clr y un sdi, una está frmada pr ds clrs y tra pr ds sdis. Estas ds rectas pdríams llamarlas elementales. Cl ó Na. A las cuatr primeras pdríams llamarlas mleculares : NaCL Para partir ls plans regulares en rectas mleculares se debe calentar la sal a 8 C, que es l que bservams cuand funde. Si se deja enfriar la pasta n recupera su estructura cristalina, pues estas rectas n cnstituyen base del espaci vectrial descrit y así n pueden generar ls diemás vectres. A pesar de td la pasta sigue cn sabr a sal per mens intens.

7 '< ) Punts. La separación del espaci en rectas elementales en punts se sigue pr Tiiétds análgs. Si hems separad ls plans irregulares, sea tenems ls plans de clr pr un lad y ls de sdi pr tr la electrólisis permite btener las -rectas vectriales, sea el clr. Ls sdis n cnstituyen un plan vectrial, sin afín, l que n les permitiría agruparse en rectas de ds punts. Cada punt frmaría su prpi espaci. Dad que las rectas cnstituyen un subespaci, se pdrían btener reestructurándlas pr electrólisis a partir de la pasta fundida, separand primer ls punts que se reagrupan en ls electrds. Insistims en que es una interpretación. ) Cnsecuencias. Observems que el estad natural del cristal de NaCl es el espaci descrit. Para partirle en sus subespacis hay que suministrarle energía. Así para dislverse, sea para partirse en plans irregulares absrbe. calrías pr cada mlécula gram. \ cl ^ ^ ^\^-^r Tr Cl ' i^ Fig.. Vf- ti El pliedr es pues más estable que el plígn (plan). El plígn l es más que el segment (ds punts). El cas de punts separads sól se da cn ciertas cndicines muy fa vrables. d.l) Tds ls punts ternas del espaci vectrial que hems definid están cupads pr un átm material y pr tant n admite la inclusión de trs átms que cupasen ls punts psibles del espaci. La creencia cmún de que la NaCl engrda absrbiend agua, pdría refutarse indicand

8 - que se necesitaría algún punt del espaci vectrial afín teóric que estuviera descupad dnde incluir ese agua. Sn las sales mezcladas cn el NaCl las que se humedecen. El clrur sódic simplemente se disuelve. Pr ejempl, el clrur magnésic (fig. ) cuya estructura permite definir un espaci vectrial de dieciséis punts, de ls que seis estarían descupads. Pdríams incluir ds mléculas de agua. Naturalmente que la definición de este espaci n es tan sencilla cm el que hems descrit y la elección de la base n pdría ser tan «clcada». Pdría establecerse de tdas frmas cm un espaci vectrial de cuaterna*: (), (l), (l), (ll), (l),... (lll), (Ul), (). d.) Análgamente pdríams definir un espaci vectrial para la celda unidad de trs cristales. N siempre es necesari que el rigen de crdenadas esté en el centr de un átm ni que el espaci sea de tres dimensi nes, per en la mayría de ls cass resulta el md más sencill de definirl.. Siempre pdrems hacer crrespnder ests espacis finits de tres dimeasines.. CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO PSEUDO-EUCLÍDEO a) Prduct escalar. Definims un «prduct escalar» (frma bilineal «) : Para ds ternas cualesquiera del espaci $ : {a b c) ^ {d e í) = a. d + h. e -\- c. f. Que resultará un element del cuerp sbre el que está definid el es->pació $ de ch punts según la siguiente tabla : Inmediatamente bservams que el prduct definid : Es una frma, pues la imagen (prduct) de ds vectres es un element^^ del cuerp básic.

9 - Es bilineal, pues al ser distributiv, cn A, B, C y D vectres de $, se-- verifica : (l.a&l.b)«(l.c&l.d) = A«C+A«D + B«C + B«D. Es simétric, pues es cnmutativ. Per este prduct n verifica la cuarta cndición del prduct escalar rdinari : En este cas el prduct de un vectr n nul pr sí mism puede ser. b) Perpendicularidad. Decims que ds vectres sn perpendiculares si su «prduct escalar» «es. Pr tant, un vectr n nul puede ser perpendicular a sí mism. Ls vectres perpendiculares a sí misms ls llamarems : vectres isótrps. El cnjunt de ests vectres se llama: cn isótrp; en este cas es un tetraedr isótrp, puest que sn precisamente ls vectres crrespndientes a ls clrs ls que resultan isótrps. Cm es un plan, se dice subespaci isótrp ttal. c) Paralelism. Direms que ds vectres sn paralels si su «prduct escalar» es. La nción crriente de paralelism y perpendicularidad n tiene cnsistencia en este espaci, pues un vectr es paralel a tr y éste a un tercer, que sin embarg es perpendicular al primer cm curre cn ls vectres, y. Cn td, si un vectr resulta perpendicular a tds ls de un plan le llamarems vectr rtgnal al plan. Estas discrepancias cn el espaci euclíde rdinari ns bligarán a tmar la distancia de distinta frma que cm la raíz cuadrada del prduct escalar. d) Det ermina ción. Si cmparams ls resultads del prduct escalar cn la tabla de plans d.) vems que ls plans vectriales tienen pr vectres rtgnales ls vectres característics frmads pr ls ceficientes (mng). Pr el cntrari, ls misms vectres sn paralels en el sentid indicad, a ls vectres de $ crrespndientes a ls punts que frman el plan afín que tiene ese mism vectr característic. Pr ejempl, el vectr = (li) : Es perpendicular a ls vectres,, que frman el plan x + y =^ ^ y es su vectr característic.

10 - Es paralel a ls vectres,,, cuys punts extrems frman el plan afín crrespndiente al anterir, sea : X + y =. Un plan puede pues, quedar determinad pr un vectr sin que discrepe en este cas de la idea de vectr característic, ya que ls vectres que pertenecen a un plan sn siempre perpendiculares a su vectr característic.. INTERPRETACIÓN DEL ESPACIO PSEUDO EUCLÍDEO.a) En la tería de la relatividad se emplea el términ «cn de luz» para designar un cn isótrp de un espaci vectrial de cuatr dimensines que.sirve de mdel lcal al cnjunt «espaci-tiemp». El cn es isótrp respect a una frma bilineal (prduct escalar), y está frmad pr las rectas-.trayectrias de ls ftnes. En nuestr cas hems vist que el cn isótrp es un tetraedr cuys vértices frman un subespaci vectrial de ds dimensines (un plan) que tiene pr vectr rtgnal el () =. b) Si cnsiderams un ray de luz cm una recta de nuestr espaci vectrial, de la estructura de éste se deduce que esa recta será rtgnal a algun -de ls catrce plans. Si la recta es rtgnal a algún plan rdinari al incidir, saldrá refractada según el plan afín crrespndiente. Dad que el vectr característic en este cas cincide cn el euclíde y ^es el mism para ls ds, el ray refractad será únic. Si la recta es rtgnal a un plan irregular realmente deberían salir ds rays refractads, ya que el plan está en ciert md invertid cn el afín, per cm ls vectres sn isótrps, ls ds rays salen en la misma dirección y sól aparece un. c) Ls cristales que n tengan la estructura regular del NaCl n pseerán una cnfiguración de espaci que permita definir vectres isótrps cm ls descrits y aparecerán ds rays refractads en general. En el espat de Jslandia (CaCO ) se pueden definir vectres isótrps ls del plan de vectr característic el eje óptic de simetría ternaria. Un ray incidente según ese eje n experimentaría dble refracción. Per si un ray incide rtgnal a la cara del rmbedr en que cristaliza, se btendrán ds rays refractads, fenómen impsible en el sistema regular.

11 En el CaCOg tmand cm base del espaci vectrial el eje óptic y el plan principal ls plans de las caras n resultan «paralels» y además sus vectres n resultan isótrps.. CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO MÉTRICO.a) Distancia. Definims una distancia entre ds punts {abe) y {de f) de $ cm : El inúmer de crdenadas distintas entre ls ds punts. La distancia entre () y {abe) la llamams módul de {a b c). Esa distancia cumple las cndicines para serl : Es un númer real (natural en este cas). Si la distancia es ls ds punts sn el mism punt. La distancia de un punt a tr es igual que la de éste al primer. La distancia entre ds punts es siempre menr igual que la suma de -distancias de cada un de ests ds a un tercer..b) Csen. Definims el csen del ángul que frman ds vectres cm cciente del prduct escalar de ls ds vectres (cnsiderad cm el númer real O ó ) y el prduct de ls móduls de ambs vectres salv si ambs sn el vectr. = () que vale. Las siguientes tablas dan el resultad de las ds definicines : d i es / V ys / V V V V O / / O / / / V V V^ / V / / / O / / / O c) De ambas definicines btenems ds cnclusines ; Una que la perpendicularidad se cnserva, y tra que el paralelism n crrespnde al paralelism euclíde. Existen, pr así decirl, varias clases : Según el csen del ángul A que frman, ds vectres del espaci $ pueden ser :

12 Ortgnales si cs A = ; puntuales si es A = ; diagnales si es A =- / ; transversales es A = / ; lngitudinales : es A = /.. MÉTRICA a) Determinante. Del mism md que definims un prduct escalar cm un númer del^ cuerp btenid a partir de ds vectres de $, definims un determinante cm el númer de btenid a partir de tres vectres, que designams pr d t (A, B, C) y que cumple :. dtia& A', B,C) = dt (A, B,C) + dt (A^ B, C) e igual para B & B^ y C & C.. dtik A, B, C) = dt{a,kb,c) = dt{a,b,kc) = k. dt (A, B, C> cn ^ = ó.. d t (A, B, C) = d t (A, C, B) = d t (B, A, C) = á (B, C, A) ^ = dt{c,a,b) = dt (C, B, A).. d t (,,) =. De estas cuatr cndicines se deduce fácilmente:. Si ds vectres sn iguales, el determinante es.. Si A, B y C están en el mism plan vectrial su determinante es^ también.. Pr tant, de ls treinta y cinc psibles determinantes de tres vectres distints que se pueden frmar cn ls siete punts, serán iguales a :: dtil,,b) = dt (,,) = dt{l,^,) = di (,, ) = dt (,, ) =. (,, ) = dt (,, ) =.. Ls veintich determinantes restantes cn tres vectres distints sn; tds iguales a. b) Prduct vectrial. Llamarems prduct vectrial de ds vectres A y B a tr vectr quedesignarems A X B y que cumple: A X B»X = d t {A,B,X) para cualquier vectr X de $ sea: el prduct escalar de cualquier vectr X pr el vectr prduct vectrial de A y B es el mism númer que el determinante frmad cn X,. cn A y cn B.

13 c) Sen. Llamarems sen del ángul frmad pr ls vectres A y B : Al númer si A y B sn perpendiculares. módul de A X B Al cciente entre el módul del vectr A x B módul A. módul B y el prduct (módul de A pr módul de B) en ls demás cass. Las siguientes tablas dan ls resultads del prduct vectrial y del seud» entre ds vectres cualesquiera de $ : X / / / / / / / / / / / / / / / / / / / V / / / / Cm vems el hech de que existan vectres isótrps determina las cn» dicines del sen. Análgamente al espaci euclíde el vectr característic de un plan resulta perpendicular a tds ls vectres de ese plan. d) Trignmetría, Las fórmulas trignmétricas resultan sumamente sencillas en este espaci^ Definims las raznes tangente, ctangente, secante y csecante cm en» la trignraeti'ia euclídea: tgût ctga tga siend a el ángul entre ds vectres. Según estas definicines las fórmulas fundamentales quedan: sen a + es a = sec a tg a = que cm vems reducen a lineales las fórmulas de la trignmetría plana* usual. La reslución de triánguls n tiene bjet en este espaci puest que sabems que en ttal sól pueden frmarse I «= y están determinads cn las tablas de las seccines b) y c). perfectamente

14 8 - En cnjunt el espaci definid ilustra la riqueza y variedad de las estructuras matemáticas, prfundiza en su sentid en ciert md perdid pr aplicarse casi exclusivamente a espacis reales y permite cnstruccines artificisas y arbitrarias n exentas de un cntenid físic. 8. INTERPRETACIÓN DEL ESPACIO MÉTRICO a) Supngams que un ray de luz atraviesa el cristal en la dirección de una 'de las rectas descritas. El impact cn un de ls átms cnvierte a éste en un centr difusr que emite una nda que supnems sigue también la dirección de una recta. (En la figura n se fija la dirección pr claridad en el dibuj, según la -debería seguir en el espaci $.) Fig.. Tratams de encntrar las cndicines para que las ndas difundidas pr ids átms se refuercen. Para simplificar supnems que ls átms sn O = () y F = {x y s). Sbre ambs cae un ray siguiend la dirección de un vectr S^ y sale mn ray difundid en la dirección de S. Caracterizams ambs rays pr ls csens de sus ánguls cn ls vectres = (l), = (l) y = (l) respectivamente. Pr ejempl, sería (/ X/), sería (/ / ), etc. Si se refuerzan, la diferencia de marcha entre ls rays difundids pr O y pr P será un númer enter de lngitudes de nda, pr tant : En el eje á: x. es u x. es u^ = ^ X En el eje : y. es v y. es v^ k x En el eje : z. es w s. cs w^ = m x Dnde S es (uvw), S^ es (^^Q ^Q "^^Q) y X ^S la lngitud de nda del ray. ILs prducts sn prducts reales, per ls númers btenids sn reía-

15 - 9 - cines entre la lngitud, ánguls de incidencia y difusión de la nda y dimensines del cristal. Si las tres cndicines se cumplen simultáneamente tendrems un máxim de difracción en la dirección de S. Pr ejempl : Para {x y z) = (li), S^ = (li), S = (il) sería un sistema que ns daría la lngitud de x medida en dimensines del cristal y el númer de lngitudes para que incidiend sbre () y (li) en la dirección de (li), salga un máxim de difracción en la dirección de (lí). La cndición para que tdas las ndas reflejadas en una determinada dirección se refuercen se reduce a la cndición de que también l hagan las ndas difundidas pr plans paralels sucesivs separads pr la distancia d medida sbre el vectr rtgnal cmún. b) Si el ray incide cn un ángul t (fig. ), la cndición de refuerz será: d. sen t -^ d ' sen t = d. sen t = n x- Fig.. Supniend las direccines del ray incidente paralelas a ls vectres del espaci $, ls cass psibles serían : \ü' \ sen / \ V / / / V 8 8/ 9/ Aun tratándse de una interpretación pdems deducir que, inclus cn luz blanca y en las mejres cndicines existirá un reducid númer de slucines, cm el cncid cas de las placas de Laue.

16 - BIBLIOGRAFÍA LEVICH, V. G. : Física teórica (vl., cap. ). Barcelna, Ed. Reverte, 98. BRU VILLASECA, L. : Cuaderns de Física (cap. VI, ). Madrid, Librería Rm, 9. DIEUDONNIÉ, J. : Algebra lineal y Gemetría elemental (Ap. II). Madrid, Seleccines Científicas, 9. COTTON, F. A. y WILKINSON, G. : Química inrgánica avanzada (caps. y ). Méxic, Ed. Limusa, 98. CARTMELL, E. y FOWLES, G. W. A. : Valencia y estructura mlecular (cap. ). Barcelna, Ed. Reverte, 9. FLETCHER, T. J. : Didáctica de la Matemática Mderna (cap. II-, III). Barcelna, Ed. Teide, 98.

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