Seminarios de Matemática Financiera Instituto MEFF RiskLab-Madrid. The two-factor. model for credit risk. A comparison with the BIS II one-factor

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1 Seminarios de Matemática Financiera Instituto MEFF RiskLab-Madrid Miércoles 7 de noviembre del 00 The two-factor model for credit risk A comparison with the BIS II one-factor model Juan Carlos García Céspedes & David García Martín, Metodología de riesgos corporativos Metodología de Riesgos Corporativos

2 Objetivos del documento de trabajo Existen numerosas ventajas de utilizar un modelo unifactorial en el marco de Basilea II (tratamiento análítico, aditividad del capital..) Pero ello exige pagar un coste. En este papel ponemos de manifiesto que : El modelo unifactorial: Sobrestima el capital No captura adecuadamente los efectos de la diversificación Hemos extendido el modelo Bis II al caso de economías n- factoriales a costa de perder solución analítica: Contribuye a la clarificación de las restricciones que el modelo unifactorial provoca Proporciona una fórmula semianalítica que palía en parte la pérdida de la solución analítica del modelo unifactorial

3 Recordatorio Basilea II Modelo de Merton-Modelo Bis II 3 Presentación del documento de trabajo 4 Conclusiones 5 Apéndice matemático 3

4 Recordatorio Basilea II EL COMITÉ DE BASILEA Y EL ACUERDO DEL 88 Creado a finales de 974 por los países del Grupo de los 0 (G-0) para coordinar la supervisión de los bancos internacionales. HISTORIA SOLVENCIA Y RATIO DE CAPITAL Composición hasta diciembre.000: Estados Unidos Canadá Japón 8 Países Europeos miembros de las Comunidades Europeas (Reino Unido, Alemania, Francia, Italia, 3 componentes del Benelux y Suecia) Suiza Enero 00: Ingreso de España en el Comité. El Comité de Basilea estableció en 988 unos requerimientos mínimos de capital para las entidades financieras (BIS I). La idea del regulador era garantizar la solvencia del sistema financiero (recientes crisis bancarias), para ello se exige un mínimo de capital a las entidades financieras. 4

5 Recordatorio Basilea II Se establece que el capital regulatorio ha de ser al menos el 8% de los Activos Totales Ponderados en Riesgo Inversión Tipología Ponderación Activos Ponderados 00 Hipotecas 50% Préstamos a particulares / empresas 00% Entidades Financieras 0% 0 00 Gobiernos / soberanos OCDE 0% Capital mínimo 8% sobre 70 3,6 5

6 Recordatorio Basilea II La justificación de que el mínimo de capital requerido fuera un porcentaje fijo de los activos ponderados hay que buscarla en un enfoque clásico (y práctico) del negocio bancario: riesgo ligado al tamaño del balance, no incidiendo en las posibles peculiaridades diferenciales de los perfiles de riesgos de cada banco. Sin embargo es más difícil encontrar una justificación científica para la elección del 8%. Una fuerte componente de consenso y de niveles previos de capitalización están detrás de ello. Por tanto, los requerimientos de capital de un banco con fuertes inversiones en empresas calificadas con bajo rating (speculative grade) ) actualmente son los mismos que los de otro banco cuya inversión se concentre en activos con alta calidad crediticia (investment( grade). 6

7 NUEVA PROPUESTA Recordatorio Basilea II En 999 el Comité emprendió una revisión completa del Acuerdo, sobre la base de 3 principios: - Los requerimientos de capital regulatorio deben ser más sensibles al riesgo: : relación directa entre riesgo y capital. - El tratamiento de la adecuación de capital debe consistir en algo más que en la fijación de unos ratios mínimos. Los supervisores y la disciplina de mercado tienen que representar papeles importantes. - El tratamiento debe incluir incentivos para que los bancos mejoren su capacidad de medición y gestión del riesgo. 7

8 Recordatorio Basilea II ESTRUCTURA DE LA NUEVA PROPUESTA 8

9 Recordatorio Basilea II CAPITAL REGULATORIO POR RIESGO DE CRÉDITO EXPOSICIÓN (EAD) x PONDERACIÓN (RW) x 8% ACTIVOS PONDERADOS POR RIESGO CRÉDITO Enfoque Enfoque Estándar Enfoque Enfoque Ratings Ratings Internos Internos Ponderaciones preestablecidas para cada Rating Externo y tipo de contrapartida, así como para las contrapartidas no clasificadas (sin Rating). Enfoque Básico Internamente se estima la PD, (probabilidad de Default). Resto de factores se toman como dados. Enfoque Avanzado Todos los parámetros son estimados internamente. Único enfoque posible en caso de retail. 9

10 Activos b 8% ponderados Φ LGD Φ ( LGD, PD, M, S ) ( PD) + ( PD) Φ ( 0.999) ( PD) ( PD) ( log( PD) ) e e 50 PD e e ( M.5) b( PD).5b( PD) ( PD) Recordatorio Basilea II VEAMOS EN MÁS DETALLE LA FORMULA POR RIESGO DE CRÉDITO PARA EMPRESAS PD 50 + S

11 Recordatorio Basilea II Activos ponderados ( LGD, PD, M, S ) 8% CONVERSIÓN EN ACTIVOS PONDERADOS LGD Φ Φ ( PD) + ( PD) Φ ( 0.999) ( PD) + ( M.5) b( PD).5b( PD) INFLUENCIA DE LA PROBA- BILIDAD DE INCUMPLIMIEN- TO. BASADA EN EL MODELO DE MERTON (UNIFACTORIAL) IMPACTO PROPORCIONAL DE LA SEVERIDAD (LOSS GIVEN DEFAULT) AJUSTE POR PLAZO

12 Recordatorio Basilea II Φ Φ ( PD) + ( PD) Φ ( 0.999) ( ) PD Correlación de activos constante del 5% Núcleo del modelo

13 Recordatorio Basilea II Modelo de Merton-Modelo Bis II 3 Presentación del documento de trabajo 4 Conclusiones 5 Apéndice matemático 3

14 MODELO DE MERTON DE CRÉDITO Modelo de Merton- - Modelo Bis II El default de una compañía se produce cuando el valor de sus activos cae por debajo del nivel de su deuda. Ni liquidando todos sus activos podría repagar la deuda Nivel de deuda / valor de los activos Activo año Valor inicial del activo Nivel de deuda Valor del activo al cabo de un año En todos estos escenarios no se produce default Escenario de default: El valor del activo cae por debajo del nivel de deuda 4

15 Modelo de Merton- - Modelo Bis II Es fácil visualizar el modelo de Merton para dos contrapartidas. La correlación entre los defaults viene determinada por la correlación entre los activos de las compañías... Sólo incumple la compañía Las dos compañías incumplen COMPAÑÍA Ninguna compañía incumple Sólo incumple la compañía COMPAÑÍA 5

16 Modelo de Merton- - Modelo Bis II Cuanto mayor es la correlación entre los activos de las compañías mayor es la probabilidad de default conjunto y mayor es por tanto la correlación entre los defaults. Sólo incumple la compañía Las dos compañías incumplen COMPAÑÍA Ninguna compañía incumple Sólo incumple la compañía COMPAÑÍA 6

17 MODELO DE BIS II Modelo de Merton- - Modelo Bis II Es una aproximación inspirada en el modelo de Merton donde: El número de contrapartidas en el portfolio n tiende a infinito El tamaño de las exposiciones de todas las contrapartidas es igual a /n, y por tanto tiende a cero. Todas las contrapartidas tienen igual probabilidad individual de incumplimiento, p. El valor de los activos de todas las compañías sigue un proceso gaussiano, i.i.d.: V i f + donde f es un factor común a todas las compañías (modelo unifactorial) La correlación entre los activos de todas las contrapartidas es igual a r ξ i En En este este contexto, existe existe fórmula fórmula cerrada cerrada para para la la distribución de de los los defaults defaults 7

18 La fórmula de la distribución acumulada de defaults es F ( x) P Donde: Φ( ) es la distribuci Φ-( -( ) es la distribuci es la correlaci Modelo de Merton- - Modelo Bis II [ ] ( ) X x Φ Φ ( x) Φ ( p) ) es la distribución normal estándar acumulada ) es la distribución normal estándar inversa es la correlación de activos p es la probabilidad individual de incumplimiento Derivando la expresión anterior se obtiene la formula de la densidad de defaults: ( Φ ) [ Φ Φ ] ( x) ( p) ( ) f ( x) exp x El truco para llegar a las fórmulas anteriores estriba en condicionar los defaults a la realización del factor y utilizar la ley de las esperanzas iteradas. 8

19 Modelo de Merton- - Modelo Bis II Conforme la correlación de activos es mayor, la densidad de las pérdidas crediticias es más asimétrica y la cola mucho más gruesa. Media del 5% Colas más gruesas conforme crece la correlación 9

20 Modelo de Merton- - Modelo Bis II La distribución acumulada mide el capital. El capital no es más que un determinado percentil de la distribución de defaults. 0

21 Modelo de Merton- - Modelo Bis II Por ejemplo, el percentil 99% con una correlación de activos del 7,5% implica una tasa de defaults del 5%, mientras que el mismo percentil para una correlación del 0% supone una tasa de defaults del 5%.

22 Modelo de Merton- - Modelo Bis II El impacto de la correlación en los percentiles de la distribución (y por tanto en el capital) es importante. Por ejemplo pasar de una correlación del 0% al 8% prácticamente es dividir por el percentil.

23 FORMULA DE CAPITAL DEL BIS II Modelo de Merton- - Modelo Bis II BIS II utiliza como base el modelo antes descrito, el capital se calcula para un nivel de confianza del 99,5% (99,9%), con una correlación de activos del 0% (ahora ya dependiente de la PD como hemos visto) y suponiendo que el Loss Given Default (LGD) es constante. Actual Capital Regulatorio ( PD) + ( PD) Φ ( 0.999) ( PD) LGD Φ Φ AjustePlazo Capital Regulatori o LGD Φ Φ ( p) Φ ( Q) Hasta Nov 00 LGD Φ 0. Φ ( p) 0. Φ. (.995) LGD Φ (.8 Φ ( p).88) 3

24 Modelo de Merton- - Modelo Bis II Es posible obtener la función de capital para distintos valores de LGD. 4

25 Modelo de Merton- - Modelo Bis II El modelo de Basilea II tenía (entre otros muchos) dos supuestos básicos que determinan en gran medida los requerimientos de capital: La correlación de activos: supuesto del 0% para empresas El supuesto de modelo unifactorial Sería muy interesante determinar empíricamente la validez de dichos supuestos o al menos acotar su impacto en el consumo de capital. Supuesto actualmente no en vigor 5

26 Modelo de Merton- - Modelo Bis II ESTUDIO ANTERIOR (Datos de Moodys ) Interesante: estimar la correlación de activos implícita en los datos empíricos. Dicha correlación está en el entorno al 0% frente al propuesto 0% de Basilea. CDF for different asset correlations 00% Ba corporates 00% B corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% Asset Correlation,7% 40% 30% Asset correlation,6% 0% 0% 0% 0% 0% 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 0% 0% 3% 6% 9% % 5% 8% % 4% 00% Speculative grade 00% All corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% Asset correlation 9,6% 40% 30% Asset correlation 8,% 0% 0% 0% 0% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 0% 0% 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% 6

27 Recordatorio Basilea II Modelo de Merton-Modelo Bis II 3 Presentación del documento de trabajo 4 Conclusiones 5 Apéndice matemático 7

28 The two factor model for credit risk En relación al uso de un modelo unifactorial y su impacto en el consumo de capital se ha desarrollado un modelo bifactorial para poder así estudiar las diferencias respecto del modelo unifactorial. Para visualizar el modelo se puede pensar en los siguientes términos: Se supone que existen dos economías-países, cada una de ellas dirigida por un único factor, e interrelacionadas a través de la correlación entre dichos factores (para visualizar el modelo, podría pensarse que el factor fuese el PIB de cada una de las economías- países). Existen dos tipos de empresas,, de manera que el valor de los activos que toma cada una de las empresas depende del factor (de nuevo piénsese en el PIB) específico de la economía-país a la que pertenece 8

29 The two factor model for credit risk En la economía existen, por tanto, dos tipos de contrapartidas (una por cada economía-país): Las contrapartidas de tipo, todas con igual probabilidad de incumplimiento p e igual correlación de activos..el valor de sus activos está afectado sólo por el factor (f ). Las contrapartidas de tipo, todas con igual probabilidad de incumplimiento p e igual correlación de activos,. El valor de sus activos está afectado sólo por el factor (f ). Relación entre factores f f + F F corr ( f, f ) F ζ Valor de las empresas i i j j V f + ξ V f + ξ 9

30 The two factor model for credit risk La distribución de defaults en este contexto no tiene solución analítica como en el caso unifactorial Es necesario resolver la doble integral siguiente. Ω F( x) φ( y, y) dy dy K Ω { y y } s a n Φ + n Φ (, ).. x y K y Dicha integral se puede resolver mediante métodos numéricos. Una Una aportación de de este este trabajo trabajo reside reside en en la la solución solución cuasi- cuasianalítica analítica de de esta esta doble doble integral integral 30

31 The two factor model for credit risk A fin de ver con números el impacto de utilizar un modelo unifactorial versus otro bifactorial,, se han realizado algunas simulaciones para las que se ha supuesto: p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% (*) r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% (*) r f : Correlación entre el factor y el factor : varía entre 0% y 00% (*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II 3

32 The two factor model for credit risk PRIMERA SIMULACIÓN: Sensibilidad a la correlación entre los factores p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : 50% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : 50% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r f : Correlación entre el factor y el factor : varía entre 0% y 00% Cuál es el impacto en el capital regulatorio y económico de un banco cuando varía la correlación de factores? Es relevante? 3

33 The two factor model for credit risk El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de defaults de la cartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factores (países) Esta figura presupone una LGD del 00% 33

34 The two factor model for credit risk SEGUNDA SIMULACIÓN: Sensibilidad a la estructura de la cartera p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía en función de n r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r f : Correlación entre el factor y el factor : 5% Cómo afecta la estructura de la cartera? De nuevo, qué impacto tendrá esto en el capital económico y regulatorio? 34

35 The two factor model for credit risk En el gráfico inferior se muestra el capital requerido ante distintas correlaciones de factores Sobre estimación del capital Notar que el modelo unifactorial es análogo al bifactorial con una correlación de factores del 00% 35

36 The two factor model for credit risk Hemos repetido este análisis cuando en la cartera existen contrapartidas con distinta Pd p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): 3% n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% (*) r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% (*) r f : Correlación entre el factor y el factor : varía entre 0% y 00% (*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II 36

37 The two factor model for credit risk PRIMERA SIMULACIÓN (b) : Sensibilidad a la correlación entre los factores p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): 3% n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : 90% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : 0% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r f : Correlación entre el factor y el factor : varía entre 0% y 00% Un banco ha incorporado a su cartera un 0% de préstamos, en un nuevo país, con mayor PD. Cuál es el impacto en su capital económico? y regulatorio? 37

38 The two factor model for credit risk El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de defaults de la cartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factores (países) 38

39 The two factor model for credit risk Se puede comparar, para cada nivel de confianza y la cartera antes descrita, el incremento porcentual de consumo de capital que supone asumir el modelo unifactorial respecto a otro bifactorial con diferentes grados de correlación entre factores. 39

40 The two factor model for credit risk SEGUNDA SIMULACIÓN (b): Sensibilidad a la estructura de la cartera p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): % p : Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor (contrapartidas de tipo ): 3% n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía entre 0% y 00% n -n : Porcentaje de contrapartidas de tipo : varía en función de n r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r : Correlación de activos de las contrapartidas de tipo : 0% r f : Correlación entre el factor y el factor : 5% Un banco está pensando en incorporar a su cartera préstamos, en un nuevo país, con mayor PD y baja correlación. Cuántos préstamos debería incorporar? De nuevo, qué impacto tendrá esto en el capital económico y regulatorio? 40

41 The two factor model for credit risk Sobre estimación del capital En el gráfico inferior se muestra el capital requerido ante distintas correlaciones de factores Notar que el modelo unifactorial es análogo al bifactorial con una correlación de factores del 00% 4

42 The two factor model for credit risk Añadir préstamos de peor calidad incluso reduce el capital requerido En el modelo unifactorial, añadir a la cartera con préstamos de PD % otros préstamos con PD superior (3%) siempre incrementa las necesidades de capital. Sin embargo, en el modelo bifactorial añadir préstamos con PD del 3% incluso disminuye ligeramente las necesidades de capital debido al efecto de diversificación. 4

43 The two factor model for credit risk Resulta interesante determinar cuál es el nivel de correlación que bajo el modelo unifactorial genera las mismas necesidades de capital que el modelo bifactorial con correlación de factores del 0% o 50%. Existen combinaciones de cartera que reducirían el nivel de correlación implícita hasta el.50%. Estos resultados están en línea con los obtenidos del análisis empírico de los defaults históricos (Moody s) 43

44 Recordatorio Basilea II Modelo de Merton-Modelo Bis II 3 Presentación del documento de trabajo 4 Conclusiones 5 Apéndice matemático 44

45 Conclusiones Modelo BIS II: Consiste básicamente en la aplicación del modelo de Merton a una cartera con infinitas contrapartidas iguales dentro de una economía unifactorial.. Este caso admite una solución analítica. Es posible extender el modelo de BIS II al caso de economías n-factoriales si bien a costa de perder la solución analítica de la distribución de defaults : Puede sobrestimar el capital Puede generar incentivos erróneos al no tener en cuenta la diversificación Parametrización conservadora. En el caso de empresas, el parámetro de correlación elegido por Basilea hasta Noviembre 00 era del 0%. Análisis empíricos sobre muestras históricas de defaults inducen a pensar que la correlación es del orden de la mitad (0%). Según el modelo bifactorial propuesto esta correlación se acerca más al 0% que al 0% 45

46 Conclusiones MODIFICACIONES ACUERDO BASILEA POSTERIORES (entre otras) Aplanamiento de de la la curva curva de de capitales Capital para 3 años y LGD50%(*) 40% % 469 Mitiga la sobrestimación Capital Regulatorio 35% 33% 30% 8% 5% 3% 0% 8% 5% 3% 0% 8% 5% Propuesta BIS II Enero Nueva Propuesta BIS II 5// Ponderaciones de activos (%) 3% 3 0% 0 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% Probabilidad de incumplimiento 46

47 Conclusiones Nuevas curvas curvas para para retail retail CREDITO REVOLVING RWA 8% LGD e e Φ Φ 50 PD ( PD ) + ( PD ) Φ ( ) ( PD ) ( PD ) e e 50 PD 50 0,90 PD LGD RESTO RETAIL RWA 8 % LGD e Φ 35 PD Φ ( PD ) + ( PD ) Φ ( ) ( PD ) ( PD ) e e e 35 PD HIPOTECAS RESIDENCIALES RWA 8% LGD Φ Φ ( PD ) + Φ ( ) ;

48 Conclusiones Se Se hace hace depender la la correlación de de activos de de la la probabilidad de de incumplimiento y del del tamaño... EMPRESAS 48

49 Conclusiones Se Se hace hace depender la la correlación de de activos de de la la probabilidad de de incumplimiento y del del tamaño... RETAIL 49

50 Bibliografía Factor Models for portfolio credit risk. Philipp J. Schönbucher. The New Basel Capital Accord. An Analytic Approach to Credit Risk of Large Corporate Bond and Loan Portfolios. Andre Lucas, Pieter Klaassen, Peter Spreij, and Stefan Straetmans Default and Recovery Rates of CorporateBond Issuers: : 000. Moody s Investors Service. Modelling Dependencies in Credit Risk Management.. Diploma Thesis of Mark A. Nyfeler. Swiss Federal Institute of Technology Zurich. Portfolio Management of Default Risk.. KMV Corporation 50

51 Recordatorio Basilea II Modelo de Merton-Modelo Bis II 3 Presentación del documento de trabajo 4 Conclusiones 5 Apéndice matemático 5

52 ANEXO I FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE DEFAULTS PARA EL CASO UNIFACTORIAL Metodología de Riesgos Corporativos 5

53 El valor de los activos de la empresa i está dirigido por un factor común f Existe una relación entre la probabilidad de incumplimiento de la empresa i y la barrera de default K i. Apéndice matemático Derivación de la distribución de defaults en un modelo unifactorial (I) p i V i f + ξ ( K ) Φ( K ) K Φ ( p ) P V i i i i i i Es posible calcular la probabilidad de default condicionada a la realización del factor f. p ( y) P V i P ξ < i [ ( T) < K f y] P[ f + ξ < K f y] K i i f f i K y Φ i y i i Condicionando a la realización del factor f, los defaults de la cartera son variables independientes. Aplicando la ley de los grandes números se puede afirmar que con probabilidad la tasa de defaults será igual a la probabilidad condicionada de default P [ X p( y) Y y] 53

54 54 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Φ Φ Φ + Φ Φ K x x K dy y dy y dy y y Y x y p X P x X P x K x K ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( φ φ φ [ ] ( ) Φ Φ Φ ) ( ) ( ) ( p x x X P x F Aplicando la ley de las esperanzas iteradas se tiene... La integral anterior se puede resolver analíticamente Así se obtiene la función de distribución acumulada [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dy y y Y x y p X P dy y y Y x X P Y x X P E x X P ) ( ) ( ) ( φ φ Derivación de la distribución de Derivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo unifactorial unifactorial (II) (II) Apéndice matemático Apéndice matemático

55 ANEXO II FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE DEFAULTS PARA EL CASO BIFACTORIAL Metodología de Riesgos Corporativos 55

56 56 El valor de los activos de las empresas están dirigidos por dos factores correlacionados ), ( f f F corr i i f V ξ + j j f V ξ + Es posible calcular la probabilidad de default condicionada a la realización de los dos factores f y f. [ ] [ ] ( ) Φ Φ < < + < ) ( ξ ξ y K y f f K P y f K f P y f K P V y p [ ] [ ] ( ) Φ Φ < < + < ) ( ξ ξ y K y f f K P y f K f P y f K P V y p Derivación de la distribución de Derivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo bifactorial bifactorial (I) (I) Apéndice matemático Apéndice matemático

57 Derivación de la distribución de defaults en un modelo bifactorial (II) Condicionando en este caso a la realización de ambos factores, los defaults de la cartera son variables independientes, y de nuevo se aplica la ley de los grandes números... P [ X n p y ) + n p ( y ) Y y, Y y ] ( De nuevo aplicando la ley de las esperanzas iteradas... P [ X x] E[ P[ X x Y y, Y y ] + + P[ X x y, y ] φ( y, y ) dy dy + + P[ X n p ( y ) + n p ( y ) x Y y] φ( y, y ) dy d y En este caso la integral anterior se resuelve numéricamente P [ X x] φ( y, y ) dy dy n p ( y ) + n p ( y ) x 57

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