MODELIZACIÓN DEL RIESGO DE RENTA VARIABLE EN SOLVENCIA II MEDIANTE MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA

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1 MODELIZACIÓN DEL RIESGO DE RENTA VARIABLE EN SOLVENCIA II MEDIANTE MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA Carmelo J. García Sánchez Universidad Pablo de Olavide Resumen: Solvencia II supone un cambio legislaivo en el enfoque que las enidades aseguradoras deben manener respeco a los riesgos que asumen como consecuencia de su acividad, en su idenificación, medición y gesión. Ese nuevo marco regulaorio esablece un modelo esándard a la vez que inceniva el uso de modelos inernos en la evaluación de riesgos. El objeivo de ese arículo es la medición del riesgo de rena variable mediane un modelo inerno, comprendido denro del módulo de riesgo de mercado, mediane la uilización de modelos de volailidad esocásica, como alernaiva al frecuene uso de modelos de heerocedasicidad condicional (GARCH). Absrac: Solvency II means a legislaive change in he approach ha insurers mus mainain abou he risk hey face as a resul of heir aciviy, in is idenificaion, measuremen and managemen. This new regulaory framework esablishes a sandard model as well as encourages he use of inernal models in risk valuaion. The goal of his paper is equiy risk measuremen hrough an inernal model, included in he risk marke module, using Sochasic Volailiy models as an alernaive o he common use of condiional heeroscedasiciy models (GARCH). 1. INTRODUCCIÓN Solvencia II supone un cambio legislaivo en el enfoque que las enidades aseguradoras deben manener respeco a los riesgos que asumen como consecuencia de su acividad, en su idenificación, medición y gesión, eviando así aplicar reglas comunes. Cada compañía deberá ener el capial que necesia en función de los riesgos que gesiona. La medida a uilizar en ese nuevo enfoque iene un puno común que es el 99.5% del VaR (Value a Risk o Valor en Riesgo) en el inervalo emporal de un año, que puede enenderse como la máxima pérdida de valor al que se encuenra expuesa una compañía de seguros en un año con un nivel de confianza del 99.5%. La Direciva Solvencia II fue adopada por el Parlameno Europeo y el Consejo Europeo en Noviembre de 2009 y en Diciembre de 2013, ras un largo proceso que incluye la realización de cinco esudios de impaco cuaniaivo (QIS) en el secor, EIOPA (European Insurance and Occupaional Pensions Auhoriy, supervisor a nivel europeo del secor bancario, asegurador, pensiones y de riesgo 1

2 sisémico europeo) ha esablecido como la fecha de aplicación de la direciva Enero de El modelo propueso por la Direciva se conoce como Modelo Esándar, uilizado por las enidades mediane parámeros esablecidos en la direciva como proxy o marco mediane parámeros ajusados según la experiencia propia. Además de ese modelo esándar la Direciva esablece (arículo 112) la posibilidad de calcular los requerimienos de capial mediane modelos inernos, compleos o parciales, previamene aprobados por el supervisor. El objeivo de ese arículo es analizar las alernaivas para la medición del riesgo de rena variable mediane un modelo inerno a ravés de la uilización de modelos de volailidad esocásica, como alernaiva al frecuene uso de modelos de heerocedasicidad condicional (GARCH), y cual sería el procedimieno a seguir. Siguiendo el arículo de la Direciva, el riesgo de inversión en rena variable, comprendido denro del módulo de mercado, reflejará el riesgo derivado del nivel o de la volailidad de los precios de mercado de los insrumenos financieros que influyan en el valor de los acivos y pasivos de las empresas. Tal y como esablecen Duran Sanomil e al (2011) el modelo de rendimienos normal, implício en la fórmula esándard, ha sido elegido por razones de simplicidad y ransparencia. No obsane, la hipóesis de normalidad puede subesimar la cola de la disribución de pérdidas (resulados exremos) y no capurar la variabilidad que puede presenar la volailidad, por lo que se ha viso necesario el diseño y desarrollo de modelos que midan el riesgo de rena variable a ravés de modelos alernaivos. En general las caracerísicas de las series financieras (no esacionariedad en serie de precios, ausencia de auocorrelación para las series de precios, auocorrelación en el cuadrado de los rendimienos, volailidad en conjunos, disribuciones con grandes colas, efeco apalancamieno o asimérico) jusifican la uilización de modelos no lineales en varianza que permian capurar al comporamieno. Los esudios realizados por diversos auores como Duran Sanomil e al (2011), Oero González e al (2011) en ese ámbio en paricular hacen hincapié en la modelización de series emporales financieras mediane modelos no lineales en varianza: modelos auorregresivos de heerocedasicidad condicional (GARCH inicialmene propuesos por Engle (1982) y Bollerslev (1986)) y modelos de cambio de régimen. Los primeros describen la evolución de la varianza por medio de una función de los valores pasados de la serie en esudio, mienras que los modelos de cambio de régimen inroducen, sin embargo, un proceso esocásico no observable en la descripción 2

3 de la varianza. Sin embargo, son escasos los esudios que uilizan la ercera alernaiva exisene ane la fala de linealidad de la varianza: los Modelos de Volailidad Esocásica (SV, inicialmene propuesos por Taylor (1982)), que aunque han demosrado ser más flexibles, Carnero e al (2004), Kim e al (1998), Ghysels e al (1996), Jaquier e al (1994),, que oros para represenar las caracerísicas de las series financieras presenan una problemáica que los hace ser menos uilizados: la esimación de los parámeros de dichos modelos es más compleja que en oro ipo de modelos, ya que en los modelos de Volailidad Esocásica la volailidad es una función de un proceso esocásico no observable. El desconocimieno de su función de verosimiliud complica el procedimieno de esimación, a lo que se añade que no esán implemenados en la mayoría de sofware comerciales. Ane al siuación, el objeivo del presene arículo es hacer una breve revisión de ales modelos y su aplicación al cálculo del Valor en Riesgo para comparar la carga de capial exigida por el modelo esándard en el submódulo de rena variable con la exigida por un modelo SV. El presene arículo se esrucura en los siguienes aparados: en el aparado 2 se realiza una breve inroducción de los modelos de volailidad esocásica y su especificación, añadiendo los posibles méodos de esimación exisenes. En el aparado 3 se describen de manera esimonial dos posibles aplicaciones informáicas uilizables en ese ipo de modelos. El aparado 4 coniene una aplicación prácica y por úlimo el aparado 5 presena las conclusiones, críicas y fuuras líneas de rabajo. 2. ESPECIFICACIÓN Y ESTIMACIÓN DE LOS MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA Exise gran canidad de documenos que realizan una complea revisión de los modelos de volailidad esocásica como, por ejemplo, Ruiz y Veiga (2008), Ghysels e al (1996), Harvey, e al (1994), Taylor (1994),y ambién desde el puno de visa de la esimación como, por ejemplo, Bos (2012), Yu y Meyer (2006), Broo y Ruiz (2004). Para una revisión más complea puede acudirse a ellos, ya que realizaremos una inroducción básica a los mismos. El modelo básico en el caso univariane es el denominado Modelo de Volailidad Esocásica Auorregresivo de orden 1, ARSV(1), en el cual el logarimo de la volailidad es un proceso auorregresivo AR(1) y viene definido por las siguienes ecuaciones en forma de espacio de esados: 3

4 donde h y ( * exp( 0.5h )) = µ + σ ε con ε N(0,1) = φh + η con η 1 2 N(0, ση ) y con E ( ε η ) = 0 y son los rendimienos de los índices bursáiles, µ se corresponde con la media de los 2 2 rendimienos (dependerá de una consane o de varios regresores), h ln ( σ σ* ) = con 2 σ el proceso de volailidad, σ * facor de escala posiivo y φ permie garanizar la esacionariedad del proceso cuando φ [ 0,1]. Por úlimo, 2 ση mide la variacion en el proceso de volailidad. A parir de dicho modelo han surgido, con mayor inensidad en los úlimos iempos, una gran canidad de varianes como son, por ejemplo, el modelo que capura el efeco leverage conocido como Asymmeric ARSV(1) o A-ARSV(1) y que es de gran inerés en series financieras o el modelo con memoria larga o LMVS(1,d,0) (Long Memory Sochasic Volailiy) en el cual el logarimo de la volailidad es un proceso ARFIMA (Auoregressive Fracionally Inegraed Moving Average). Además podemos enconrar la mezcla de los dos aneriores, es decir, efeco leverage en un modelo con memoria larga. Las posibilidades son inmensas, incluyendo el desarrollo de modelos mulivarianes, así podemos enconrar, Yu (2006), modelos con causalidad de Granger en la ecuación de la varianza, con correlaciones dinámicas en la ecuación de la varianza, con disribuciones de grandes colas (-suden) en el comporamieno del érmino de error en la ecuación de la serie, y modelos con facores adiivos, muliplicaivos o con disribuciones con grandes colas en el propio facor. No obsane, como ya se comenó en el inicio, las dificulades de esimación debido a la imposibilidad de obener una expresión analíica de la función de verosimiliud al aparecer los ruidos presenes en los modelos de forma no lineal, impiden uilizar direcamene los méodos clásicos de esimación basados en máxima verosimiliud. Además la volailidad es inobservable por lo que es necesario emplear méodos que permian la exracción de señales para esimarla, lo habiual es uilizar modelos de espacio de esados ras realizar una ransformación en las ecuaciones del modelo. A odo eso se añade que son escasos los paquees comerciales que implemenan ese ipo de modelos, y su simulación suele requerir conocimienos avanzados de programación empleando paquees más generales como Malab, Mahemaica o Maple. De un modo esquemáico los procedimienos de esimación de parámeros en modelos de volailidad esocásica se clasifican en dos grandes grupos, 1. Méodos que se basan direcamene en las propiedades de y pudiendo enconrar 4

5 1. Méodos basados en el principio de Generalized Mehod of Momens (GMM) 2. Méodos basados en la aproximación de la Verosimiliud, desacando: 1. Mone Carlo Markov Chain (MCMC). 2. Máxima Verosimiliud Simulada (SML). 3. Máxima Verosimiliud Direca. 2. Méodos que uilicen ransformaciones adecuadas para linealizar el modelo. Tras el análisis de los diferenes esudios comparaivos de los méodos de esimación, Bos(2012), Ruiz y Veiga (2008), Broo y Ruiz (2004), se ha decidido emplear análisis bayesiano mediane MCMC (Mone Carlo Markov Chain) ya que siguiendo a Broo y Ruiz (2004) permien obener simuláneamene inferencia sobre los parámeros de la muesra, esimaciones suavizadas de la varianza no observada y disribuciones para predicciones de la volailidad, añadiendo que si la muesra es lo suficienemene grande ienen asinóicamene la misma disribución que el esimador de maxima verosimiliud, aunque esa no sea necesaria al raarse de disribuciones muesrales finias. La principal desvenaja que presena ese méodo es que es complejo de implemenar y que requiere un uso compuacional elevado. Para un esudio más deallado de esa meodología puede consularse además por ejemplo en Jaquier e al (2004), Kim, e al (1998) y Jacquier e al (1994). Habiualmene el ipo de muesreo empleado es el muesreo de Gibbs, Geman y Geman (1984), caso paricular del algorimo de muesreo de Meropolis-Hasings, que consise en un méodo de remuesreo de movimieno único que genera, dadas odas las demás variables de esado y parámeros, una única variable de esado en cada momeno del iempo. Su principal inconveniene esá en que necesia un elevado número de muesras, ya que genera muesras alamene correlacionadas. La ala persisencia hace ambién el procedimieno muy cososo compuacionalmene, Shephard y Kim (1994). Para solucionar ese aspeco varios auores realizan diferenes modificaciones en los algorimos de esimación, Omori e al (2007), Shephard y Pi (1997), y Shephard (1994). En un ámbio más general de espacio de esados gaussiano algunos auores proponen muesrear las volailidades laenes mediane una facorización de Cholesky de la mariz de precisión, aprovechando la esrucura de al mariz. Para un análisis más deallado de ese úlimo aspeco puede consularse McCausland e al (2011) y Rue (2001). Apoyándose en esos desarrollos Kasner y Frühwirh-Schnaer y (2014) proponen un algorimo de muesreo que ha sido implemenado por Kasner (2014) en R projec mediane el paquee Sochvol y que permie esimar de manera más o menos sencilla los parámeros del modelo ARSV(1). 5

6 3. ALTERNATIVAS DE SOFTWARE DISPONIBLE Para la implemenación de un ejemplo real uilizando MCMC mediane muesreo de Gibbs es posible uilizar diferenes aplicaciones, de las cuales por su especialización y acceso libre hemos considerado OpenBUGS. BUGS es un paquee esadísico para realizar inferencia bayesiana uilizando muesreo de Gibbs (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) creado por la unidad de Bioesadísica de la Universidad de Cambridge en 1989, y cuyo sucesor naural ha sido WinBUGS y poseriormene la versión de código abiero OpenBUGS. BUGS puede ser además implemenado en el conocido paquee esadísico de código abiero R projec mediane diversos paquees. Aunque el manejo de al aplicación es relaivamene sencilla, para la implemenación de modelos de volailidad esocásica es necesario conocer su lenguaje (basane similar al uilizado por R) y programar el código oporuno. Pueden enconrarse ejemplos deallados del uso de BUGS en Yu (2005) y Yu y Meyer (2000). Tal y como se ha comenado en el aparado anerior una opción alernaiva y no menos araciva es la uilización del paquee esadísico R mediane la librería sochvol, paquee que pasaremos a usar en la aplicación prácica. 4. APLICACIÓN PRÁCTICA Los daos que vamos a uilizar son los perenecienes al precio de cierre del IBEX desde el 02/01/2007 al 29/09/2014. Esos rendimienos se obienen como R ( ) diario de cierre y = Ln P P, con P precio 1 R serie de rendimienos final. La represenación gráfica de la serie de precios de cierre y de los rendimienos obenidos es la presenada en la Figura 1. Como podemos observar el comporamieno de la serie de rendimienos es el ípico observado en series financieras, los rendimienos se mueven en un nivel consane en orno a cero y presenan rachas de mayor y menor volailidad. Puede observarse la exisencia de periodos con volailidad agrupada. Además se observan valores aípicos en la serie (en ese análisis ales valores no han sido eliminados ya que en la esimación del Valor en Riesgo es ineresane conocer las posibles grandes desviaciones). El análisis de los esadísicos descripivos básicos de la serie permie observar la ausencia de normalidad en el comporamieno de la serie de rendimienos, el coeficiene de asimería es levemene posiivo, lo que indicaría que la disribución es asimérica posiiva a la derecha. Además el coeficiene de curosis es muy superior a 3, es decir, nos enconramos con una disribución con cola más pesada que una Normal y con mayor apunamieno, es decir, una disribución lepocúrica. A odo eso se añade que el conrase de Jarque-Bera es 6

7 significaivo, por lo que podemos rechazar formalmene el comporamieno Normal de los rendimienos del Ibex-35 el periodo de esudio. Figura 1: Serie y Rendimienos Media Desviación Típica Asimería Curosis -0, , , , Máximo Mínimo JB Probabilidad 0, , ,39 0, Tabla 1: Esadísicos Descripivos El análisis de las funciones de auocorrelación (Figura 2) (fac) y auocorrelación parcial (facp) es ineresane para la deección de la presencia de heerocedasicidad condicional en la serie. Para ello es necesario analizar la función de auocorrelación de la serie de rendimienos y de la serie de rendimienos al cuadrado. En las mismas podemos observar que no exise correlación en la serie de rendimienos, pero si ocurre en la serie de rendimienos al cuadrado, con valor generalmene posiivo y decrecimieno suave hacia cero. Esas caracerísicas permien confirmar de nuevo la presencia de agrupamienos de volailidad y persisencia en la serie. El siguiene paso consise en la esimación de la volailidad y de los parámeros asociados al modelo de volailidad esocásica. Las esimaciones obenidas son: 7

8 µ µ = , ρ = 0.978, σ = 0.172, σ* = con σ* = exp 2 La esimación de los parámeros permie adverir la elevada persisencia a ravés del parámero ρ, además puede afirmarse que el proceso es esacionario dado el valor cercano a uno de ese parámero. Figura 2: Correlogramas simple y parcial En la figura 3 mosramos el gráfico conjuno de rendimienos reales y volailidad esimada mediane el modelo ajusado. Podemos observar cómo se ajusa la volailidad esimada al comporamieno de la serie de rendimienos, consiguiendo esimar el comporamieno con rachas de volailidad agrupada. Obenida la esimación del modelo, el objeivo sería uilizarla para esimar el capial necesario para una carera inverida en Ibex-35. Siguiendo la meodología planeada por Duran Sanomil e al (2011) y por Oero González e al (2011), deberíamos simular un deerminado número de escenarios a un año para obener el facor que exigiría un VaR del 99.5% y así comparar dicha carga con la requerida por el modelo esándard impueso por la Direciva. 8

9 Figura 3: Rendimieno y volailidad esimada 5. CONCLUSIONES Y CRÍTICAS. FUTURAS LINEAS DE TRABAJO Los modelos de volailidad esocásica consiuyen una alernaiva más en la modelización de la volailidad presene en series financieras y sus posibles aplicaciones. A pesar de las dificulades de esimación descrias (desconocimieno de su función de verosimiliud y fala de implemenación en la mayoría de sofware comercial), las bondades de esos modelos exigen su uilización en la esimación de la volailidad en series financieras y su comparación con los modelos GARCH frecuenemene uilizados. No obsane, debe enerse en cuena la complejidad que subyace en la uilización de los diversos méodos de esimación exisenes y más concreamene en la uilización de inferencia Bayesiana mediane MCMC, ya que esa meodología exige un conocimieno sólido de las écnicas empleadas y de su implemenación. Respeco al cálculo de exigencias de capial en Solvencia II, las críicas aparecen no sólo en la asunción de hipóesis de normalidad de los rendimienos de las diferenes careras sino ambién en la uilización del VaR como medida del riesgo ya que el VaR genera una represenación inadecuada del riesgo, ya que no saisface la propiedad de subadiividad, es decir, el VaR de una carera puede ser mayor que la suma de VaRs individuales. El VaR no iene en cuena los valores de la variable aleaoria a la derecha del percenil, sino solamene la probabilidad global asociada a los 9

10 mismos (que es la de que la variable lo supere), siendo más imporane ese problema cuano más larga sea la cola de la disribución. Para superar esos inconvenienes Arzner e al. (1997) inroducen la Pérdida Esperada, Expeced Shorfall o ES (ambién conocida como TailVar o CondiionalVar Cvar), que expresa el valor esperado de la pérdida suponiendo que ésa ha ocurrido. Como fuuras líneas de invesigación, se planean la obención de las cargas de capial asociadas al riesgo de rena variable mediane modelos de volailidad esocásica, uilizando ano el VaR como el CVar y la uilización de modelos de volailidad más complejos que permian capurar las caracerísicas de las series financieras como, por ejemplo, el modelo asimérico A-ARSV(1) y modelos con memoria larga LMSV(1). BIBLIOGRAFÍA 1. Arzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., Heah, D., (1999): Coheren measures of risk. Mahemaical Finance 9, Bollerslev, T., (1986): Generalized Auorregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Economerics 31, Norh-Holland. 3. Bos, C.S., (2012). Relaing Sochasic Volailiy Esimaion Mehods. En L Bauwens, C Hafner, S Lauren (eds.), Handbook of Volailiy Models and Their Applicaions, pp John Wiley & Sons. 4. Broo, C., y Ruiz, E., (2004): Esimaion Mehods for Sochasic Volailiy Models: A Survey. Journal of Economic Surveys 18(5), Carnero, M.A., Peña, D., y Ruiz, E., (2004): Persisence and Kurosis in Garch and Sochasic Volailiy Models. Journal of Financial Economerics 2, Direciva 2009/138/CE del Parlameno Europeo y del Consejo, de 25 de noviembre de 2009, sobre el seguro de vida, el acceso a la acividad de seguro y de reaseguro y su ejercicio (Solvencia II) (versión refundida). 7. Duran Sanomil, P., e al (2011): Análisis del riesgo de rena variable en el marco de solvencia II: modelos inernos frene al modelo esándar. Cuadernos de Economía y Dirección de la Empresa 14, Engle, R.F., 1982: Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion. Economerica 50, Garcia, C., (2013): Modelización de la Volailidad mediane procesos auorregresivos de heerocedasicidad condicional. Trabajo Fin de Máser. Universidad de Granada. 10. Geman, S., Geman, D., (1984): Sochasic Relaxaion, Gibbs Disribuions, and he 10

11 Bayesian Resoraion of Images. IEEE Transacions on Paern Analysis and Machine Inelligence 6, Ghysels, E., Harvey, A.C., y Renaul, E., (1996): Sochasic Volailiy. En C.R.Rao y G.S. Maddala (Eds.), Saisical Mehods in Finance, , Norh-Holland, Amserdam. 12. Harvey, A.C., Ruiz, E., y Shephard, N.G., (1994): Mulivariae Sochasic Variance models. Review of Economic Sudies 61, Jacquier, E., Polson, N.G., y Rossi, P.E., (2004): Bayesian Analysis of Sochasic Volailiy Models wih Fa-Tails and Correlaed Errors. Journal of Economerics, 122, Jacquier, E., Polson, N.G., y Rossi, P.E., (1994): Bayesian Analysis of Sochasic Volailiy Models. Journal of Business and Economic Saisics 12, Kasner, G., Fruhwirh-Schnaer, S., (2014). Ancillariy-Suciency Inerweaving Sraegy (ASIS) for Boosing MCMC Esimaion of Sochasic Volailiy Models.Compuaional Saisics and Daa Analysis 76, Kasner, G.,(2014): sochvol: Eficien Bayesian Inference for Sochasic Volailiy (SV) Models. R package version 0.8-4, URL hp://cran.r-projec.org/package=sochvol. 17. Kim, S., Shephard, N., y Chib, S., (1998): Sochasic Volailiy: Likelihood Inference and Comparison wih Arch Models. Review of Economic Sudies, 65, McCausland, W.J., Miller, S., y Pelleier, D., (2011). Simulaion smohing for sae space models: A compuaional efficiency analysis. Compuaional Saisics and Daa Analysis 55, Omori, Y., Chib, S., Shephard. N., y Nakajima, J., (2007). Sochasic volailiy wih leverage: Fas and efficien likelihood inference. Journal of Economerics Oero González, L., e al (2011): Esimación de las necesidades de capial mediane modelos inernos alernaivos al propueso en Solvencia II (QIS4). Revisa Española de Financiación y Conabilidad. Vol XL, nº149. Enero-Marzo Rue, H., (2001). Fas sampling of Gaussian Markov random fields. Journal of he Royal Saisical Sociey, Ser. B Ruiz, E., Veiga,H., (2008): Modelos de volailidad esocásica: una alernaiva araciva y facible para modelizar la evolución de la volailidad. Anales de Esudios Económicos y Empresariales, Shephard, N., y Pi, M. K., (1997). Likelihood analysis of non-gaussian measuremen ime series. Biomerika Shephard, N., (1994). Parial non-gaussian sae space. Biomerika 81, Taylor, S., (1994): Modeling Sochasic volailiy: a review and comparaive sudy. Mahemaical finance, 4,

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