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1 Serie documenos de rabajo MODELO DE DOS FACTORES CON DINÁMICA DCC EN LA EVALUACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO Carlos A. Reyes El Colegio de México DOCUMENTO DE TRABAJO Núm. VI

2 MODELO DE DOS FACTORES CON DINÁMICA DCC EN LA EVALUACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO Carlos A. Reyes * Primera versión: Julio 2011 Resumen Se presena un modelo de dos facores para esimar el riesgo de crédio de un porafolio de acciones. La especificación de los rendimienos incluye un facor local (IPC) y un facor global (S&P500) cuya esrucura de correlaciones sigue un proceso DCC (Dynamic Condiional Correlaions). Las varianzas condicionales ienen una paramerización TARCH. Se considera el período para analizar la disribución de los rendimienos agregados de un porafolio de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores durane las crisis de 1994/1995 y 2007/2009. Las funciones de disribución obenidas muesran un comporamieno empírico que describe adecuadamene los períodos económicos analizados. Los resulados son consisenes con los hechos esilizados de una mayor dependencia en la cola izquierda de la disribución de rendimienos y de exceso de curosis en períodos de esrés económico. El modelo de dos facores describe una cola más ancha que el modelo de un facor durane la crisis de 1994/1995. La meodología propuesa es innovadora en el análisis de series de iempo financieras mexicanas y es aplicable para el análisis de porafolios en mercados inegrados a un mercado más grande, ya sea global o regional. I. Inroducción Las recienes urbulencias en los mercados financieros han resalado la necesidad de revisar los modelos radicionales de medición del riesgo financiero. En el presene rabajo se planea una meodología para evaluar de * Cenro de Esudios Económicos, El Colegio de México. Ese rabajo corresponde al primer capíulo de mi rabajo de esis para el Docorado en Economía en El Colegio de México. Agradezco los valiosos comenarios de Gonzalo Rangel y José Miguel Torres, así como los comenarios de los paricipanes en los seminarios académicos del CEE. Los posibles errores son responsabilidad mía. 1

3 forma condicional el riesgo de crédio de un porafolio de acivos usando información de mercado. Se pare de una represenación de facores para los rendimienos de los acivos, que iene en cuena que para cieros mercados de valores es relevane la información del mercado local y la información proveniene de choques globales o regionales. En el caso de México esa inuición económica es capurada por el Índice de Precios y Coizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores y por el índice (global) Sandard & Poor s (S&P 500), represenaivo de los mercados accionarios esadounidenses. La mariz de varianzas y covarianzas del porafolio se modela de forma condicional combinando la especificación DCC de Engle (2002) para las correlaciones y especificaciones GARCH para las volailidades. Esa forma de esimar la mariz de varianzas y covarianzas y la represenación de facores permien reducir de forma significaiva el número de parámeros a esimar respeco a oras modelos que emplean procesos GARCH mulivariados. Siguiendo la meodología de Berd, Engle y Vornov (2007) se aprovecha la especificación de facores para obener una expresión analíica de la función de disribución de los rendimienos agregados del porafolio. Se esima el modelo para un porafolio de 10 acciones de empresas mexicanas grandes. Se rabaja bajo el supueso de porafolio de pesos iguales (equally weighed), sin embargo se permie heerogeneidad en el peso de los facores y en las volailidades idiosincráicas. La muesra va de 1994 a 2009 para poder analizar el desempeño del modelo durane la crisis de 1994/1995, de origen mexicano, y durane la crisis de 2007/2009, de origen exerno (esadounidense). Las funciones de disribución que se obienen describen de forma adecuada el comporamieno de los rendimienos agregados para el período correspondiene. Se esima ambién un modelo de un facor (IPC) para 2

4 efecos comparaivos. El modelo de dos facores logra capurar colas más anchas, para los períodos de crisis anes mencionados, que el modelo de un facor y que la función de disribución empírica hisórica. En la siguiene sección se describe de manera breve el conexo eórico y meodológico en el que se ubica el presene rabajo y que permie apreciar más claramene las venajas y desvenajas del modelo propueso: por un lado se iene la lieraura concerniene al riesgo de crédio de un porafolio y por el oro la que iene que ver con la modelación de la mariz de varianzas y covarianzas. Lo deseable es conar con un modelo que incorpore la información disponible de forma condicional a las ineracciones enre los acivos que conforman el porafolio y que son deerminanes del riesgo de crédio. Claramene eso no aplica para odo ipo de riesgo de crédio, pero sí para aquellos casos donde se cuena con los precios de mercado de los insrumenos del porafolio. En la ercera sección se presena el modelo economérico propueso; se deallan las componenes y supuesos del mismo, haciendo especial énfasis en la represenación bifacorial, en el modelo DCC y en el desarrollo analíico de la función de disribución. En la cuara sección se esima el modelo y se presenan los resulados. Finalmene se concluye y se sugieren posibles exensiones al modelo. II. Riesgo de Crédio y Correlaciones La evaluación del riesgo de crédio puede ser de forma individual o de forma conjuna. Ese úlimo caso es el que nos ocupa: el riesgo de crédio de un porafolio. 3

5 Teniendo en cuena que el hablar de modelos más empleados debe esar libre de afirmaciones caegóricas (ya que las insiuciones financieras consideran esos modelos como pare de su capial inelecual y por lo ano resula complicado conocer a cabalidad los modelos que emplean en su prácica coidiana) omemos como referene res modelos represenaivos de la medición del riesgo de crédio: CrediMerics TM, desarrollado por J.P. Morgan (1997); CrediRisk+ (1997), desarrollado por Credi Suisse/Firs Boson; y CyRCE 1 de Márquez (2002). Los dos primeros alcanzan la caegoría de paradigma y el úlimo sin ser represenaivo, es un modelo desarrollado en México bajo el auspicio de la auoridad reguladora (Banco de México) y que da un raamieno compleo al ema de riesgo de crédio cuyas caracerísicas merece la pena comenar. CrediMerics TM es un modelo que emplea como insumos precios de mercado y calificaciones de crédio. Modela la ransición a disinos esados de calidad crediicia, incluido el esado de incumplimieno. Se requiere conar con probabilidades de ransición proporcionadas generalmene por una calificadora o generadas de modo inerno, lo cual es un supueso no rivial. El modelo logra capurar curosis en la cola de la disribución no-condicional de los rendimienos, ambién se pueden modelar correlaciones no-condicionales mediane el uso de facores. CrediRisk+ se origina en el conexo de la eoría del riesgo, como respuesa a los problemas de adminisración acuarial de los porafolios de acivos coningenes de las aseguradoras. Por esa razón, al exender el modelo para evaluar el riesgo de crédio, se incorporan caracerísicas úiles como son la concenración y el amaño de los riesgos. A diferencia de CrediMerics TM, en CrediRisk+ únicamene se conemplan dos esados de la nauraleza: el esado 1 El nombre proviene de Concenración y Riesgo de Crédio. 4

6 de pago y el esado de no-pago. La probabilidad de incumplimieno es una variable Poisson cuyo parámero caracerísico (asa de incumplimienos) a su vez sigue un proceso gamma. El porafolio se segmena en secores independienes de acuerdo al peso que ienen deerminados facores sisemáicos e idiosincráicos sobre el insrumeno. Esa segmenación en secores independienes permie pasar de las disribuciones marginales a las conjunas sin mayor dificulad. El modelo logra describir efecos de concenración y volailidad en las probabilidades de incumplimieno. Finalmene, es posible capurar la acumulación de probabilidad en la cola izquierda de la disribución. La modelación es condicional a los facores pero no al conjuno de información que se acualiza en el iempo. Una desvenaja clara de CrediRisk+ es que no se oman en cuena esados inermedios de calidad crediicia. CrediMerics TM sirve para insrumenos con precios de mercado, lo que excluye hipoecas, crédios al consumo y algunos acivos exóicos. CrediRisk+ puede usarse para bonos, derivados y présamos. Para una comparación más exensa de esos modelos se puede consular Gordy (2000). El modelo CyRCE de Márquez (2002) presena algunas caracerísicas imporanes: bajo ciero supuesos, se puede llegar a una expresión cerrada del VaR; se puede dividir el porafolio en segmenos no homogéneos y analizar correlaciones denro-de (wihin) y enre (beween) ellos; se mide explíciamene la conribución individual al riesgo y la conribución por concenración, medida por el índice Herfindahl-Hirchman. El modelo propueso en la siguiene sección no requiere calificaciones de crédio y recurre a supuesos disribucionales menos resricivos para obener la función de disribución de los rendimienos y para simular el 5

7 comporamieno de los acivos en el porafolio y sus ineracciones en el iempo. Una desvenaja imporane de los modelos que emplean calificaciones de crédio es que dichas calificaciones no incorporan en iempo real la información sobre el insrumeno y con frecuencia ésas se deerminan omando como base la experiencia de oros países. Además, aunque cada día se emien calificaciones más ad-hoc, la credibilidad de las mismas se ha deeriorado al no haber anicipado adecuadamene los evenos que llevaron a la crisis de 2007/2009. Una vez que se ha opado por incorporar información de forma más oporuna al modelo, se presena el problema de esimar la mariz de varianzas y covarianzas condicional, H : r H 1/ 2 H Var( r F 1) es Ruido Blanco Esrico (0,I) Donde {r } es un vecor de rendimienos de dimensión n x 1 con media cero y F es el conjuno de información generado por el proceso observable {r }. Para la modelación de esa mariz por lo general se recurre a los modelos GARCH mulivariados 2, que son una generalización del modelo GARCH univariado de Engle (1982) y Bollerslev (1986). Un problema común a esos modelos es la disyuniva enre flexibilidad y parsimonia de los modelos: por lo general los modelos más flexibles requieren esimar un alo número de 2 Para una revisión de lieraura más complea sobre modelos mulivariados de volailidad se puede consular los rabajos de Bawens, Lauren y Rombous (2006); Rue S. Tsay (2007); y Silvennoinen y Teräsvira (2008). 6

8 parámeros. Engle (2002) propone el modelo DCC que reduce la dimensión del problema. Ese modelo descompone el problema mulivariado en esimaciones univariadas de la volailidad y las correlaciones, las cuales siguen procesos condicionales auorregresivos. Esa especificación es la que se elige para modelar la mariz de varianzas y covarianzas de los facores que se presena en la siguiene sección. III. Modelo de dos Facores DCC Al siuarnos en el conexo de una economía globalizada, es naural pensar en una ala correlación enre evenos económicos ano a nivel local como a nivel global. Ese efeco se acenúa en épocas de inesabilidad económica, como quedó claro en la crisis 2007/2009, cuando evenos originados en los mercados inernacionales de crédio (principalmene en E.U.A.) uvieron repercusiones en un gran número de países en disinas dimensiones: producción, consumo, mercados laborales, comercio, el crédio mismo, ec. Aún sin la presencia de evenos sisémicos, la ineracción de los agenes, el valor de las empresas y el valor de los acivos van a cambiar en el iempo. Una medición adecuada del riesgo de crédio debe omar en cuena esos cambios. Sin embargo, es imporane idenificar los facores relevanes que deerminan los cambios en el valor de un porafolio. La especificación de los rendimienos mediane facores iene su anecedene en los modelos CAPM de Sharpe (1964) y Linner (1965), y APT de Ross (1965), los cuales dan al facor de descueno esocásico una represenación lineal. 7

9 Berd, Engle y Vornov (2007) proponen una especificación simérica de un facor para los rendimienos a fin de evaluar el riesgo de crédio de los ranches de las Collaeralized Deb Obligaions 3 : r r i, m, i, Los rendimienos se descomponen en una pare sisemáica y una pare idiosincráica, donde el peso del facor de mercado y la volailidad idiosincráica son consanes e idénicos para odos los acivos. En el modelo propueso en ese rabajo se exiende la especificación de los rendimienos anerior al incluir dos facores en la pare sisemáica y permiir heerogeneidad en el peso de dichos facores y en las volailidades idiosincráicas: 4 r r r M1 M2 i, i M1, i M 2, i i, donde M1 es el IPC (facor local) y M2 es el S&P 500 (facor global). La inuición económica que se raa de capurar con esa especificación es que para mercados de valores como el mexicano que se encuenran fueremene ligados a un mercado más profundo y desarrollado, ano los choques de ese úlimo como los choques locales van ser relevanes en la deerminación de los rendimienos de los acivos. 3 Las Collaeralized Deb Obligaions (CDO) son porfolios de deuda esrucurada muy generales que se dividen en sub-porafolios (ranches o ramos) con disinos perfiles de riesgo y disinas prioridades de pago. Los flujos generados por los acivos comprendidos en el CDO se dirigen primero a los ranches de mayor senioriy. Por lo ano los ramos más junior deben ofrecer una mayor compensación por riesgo. No exise una meodología generalmene acepada para valuar ese ipo de insrumenos que, de acuerdo a sus paricularidades, pueden llegar a ser sumamene complejos. 4 Una especificación aún más flexible sería permiir que las beas del modelo y la volailidad cambien en el iempo empleando modelos del ipo Facor-DCC de Engle (2009); el Facor-Spline-GARCH de Engle y Rangel (2009); o el modelo Muliplicaivo Mulivariado de Hafner y Linon (2010). 8

10 Una venaja adicional de la represenación de facores es reducir el problema de la dimensionalidad de la esimación de la mariz de varianzas y covarianzas mencionado aneriormene. Eso se logra al ener una esrucura de correlaciones para los facores que se hereda a las correlaciones enre acivos. Esa esrucura va a esar dada por el proceso de Correlaciones Condicionales Dinámicas (DCC) de Engle (2002). El modelo DCC pare de un resulado esadísico muy básico: la mariz de varianzas y covarianzas puede expresarse como el produco de la mariz diagonal de desviaciones esándar y la mariz de correlaciones. En érminos condicionales: Donde: H Var( r F ) E( r r F ) E ( r r) H D R D r D y son vecores con media cero y dimensión n x 1 F es el conjuno de información generado por el proceso observable r R es la mariz de correlaciones condicionales del vecor r D diag( h,..., h ) es la mariz de desviaciones esándar 1/2 1/2 1 n condicionales del vecor r h i es la varianza condicional univariada del elemeno i del vecor r En ese rabajo r rm 1, rm 2,, es decir, el vecor de facores va a ener una esrucura de correlaciones DCC y por lo ano la mariz R va a ser de dimensión 2 x 2. 9

11 Es fácil mosrar que la mariz de correlaciones de los rendimienos es la mariz de varianzas y covarianzas de los residuales esandarizados. Asumiendo normalidad enemos que: N(0, R ) La mariz R se esima a parir la normalización de la mariz de cuasicorrelaciones Q la cual por lo regular (aunque no necesariamene) se esima de forma auorregresiva. Q (1 a b) R a bq donde R es la mariz de correlaciones muesral. Q recibe el nombre de mariz de cuasi-correlaciones pues para asegurarnos de que la mariz de correlaciones, R, enga elemenos en el rango (-1,1) es necesario realizar la siguiene normalización: 5 R ( I Q ) Q ( I Q ) 1/2 1/2 Donde es el produco Haddamard (componene a componene). Podemos ver que la información necesaria para esimar las correlaciones condicionales esá conenida en los residuales obenidos en una primera eapa en la cual se esiman las varianzas condicionales y se esandarizan los residuales. 5 Engle y Sheppard (2001) desarrollan de forma exensa las propiedades eóricas de esacionariedad y regularidad de los modelos DCC. 10

12 La especificación de dos facores con corrrelaciones DCC y varianzas Threshold GARCH(1,1) es la siguiene: r r r M1 M2 i, i M1, i M 2, i i, r M1, M1, M1, r r I rm1, 1 0 M 1, M 1 M 1, 1 M 1 M 1, 1 M 1 M 1, 1 r M 2, M 2, M 2, r r I rm 2, 1 0 M 2, M 2 M 2, 1 M 2 M 2, 1 M 2 M 2, 1 M1, M2, N(0, R) R ( I Q ) Q ( I Q ) 1/2 1/2 q a( ) b( q ) ij, ij i, 1 j, 1 ij ij, 1 ij i, j M1, M2 Nóese que las varianzas de los facores ienen una especificación TARCH con el fin de capurar el efeco-apalancamieno debido a los rendimienos negaivos, o en oras palabras, se le asigna mayor peso a las malas noicias. Se puede demosrar que con la especificación anerior la función de disribución condicional de los rendimienos de mercado va a ser normal bivariada. 2 r 1, 0 M 1, 1, 2, 1, 2, N 0, H, M M M M M N 2 r M2, 0 M 1, M 2, M 1, M 2, M 2, La correlación enre acivos va a depender de las correlaciones enre los facores, de los pesos de los facores y de las correlaciones muesrales de las idiosincrasias: 11

13 , i, j, H ( ) H H Cov(, ) M 1 M 1 M 1 M 2 M 2 M 1 M 2 M 2 i j 11, i j i j 12, i j 22, i i j j ( ) H ( ) H 2 H Var( ) ( ) H ( ) H 2 H Var( ) M 1 2 M 2 2 M 1 M 2 M 1 2 M 2 2 M 1 M 2 i 11, i 22, i i 12, i i j 11, j 22, j j 21, j j i, j 1,..., n La esrucura recursiva de las disinas componenes del modelo nos permie simular el comporamieno fuuro de los rendimienos. Esa caracerísica es imporane para poder analizar el riesgo de largo plazo de un porafolio de acivos. Durane la crisis de 2007/2009 los modelos radicionales funcionaron razonablemene bien para adminisrar el riesgo de coro plazo. Sin embargo exisían numerosas posiciones de largo plazo cuyo riesgo no era claro cómo cuanificar. Para analizar el riesgo de horizones de iempo más largos se simula el porafolio de pesos iguales para T días en el fuuro a parir de la fecha inicial. Una vez hecho eso se agregan los rendimienos. r w r w r... w r p, T 1 1, T 2 2, T n n, T w1 w2... wn w n r T r i, T i, s s1 1 Esa forma de agregar rendimienos presupone una especificación logarímica de los rendimienos. Esamos ineresados en esudiar la probabilidad del eveno de incumplimieno (defaul), el cual podemos definir como la variable binaria D p (que oma el valor uno si el defaul ocurre y cero en oro caso) y hacer un mapeo a un hreshold model de al manera que el eveno de defaul ocurre cuando se raspasa ciero umbral de pérdidas d. D 1 r d p p, T 12

14 Haciendo uso de la ley de las expecaivas ieradas y de las propiedades de las funciones indicadoras de evenos aleaorios, podemos derivar una expresión conveniene para el eveno de defaul mediane la función de disribución de pérdidas del porafolio de rendimienos agregados: donde m1 y m2 son los promedios ponderados del peso de los facores para los rendimienos individuales desagregados. La función de pérdidas del porafolio es el produco final del modelo que nos permie analizar comporamienos exremos del rendimieno del porafolio así como comporamienos más moderados de los mismos. Aún cuando se pare de un supueso de normalidad de coro plazo, la dinámica condicional que imponen los modelos DCC y TARCH induce concenración de probabilidad en la cola izquierda de la disribución del riesgo de largo plazo. p, T m1, T m2, T r p, T d rp, T d P Dp 1 P rp, T d E I E E I rm 1, T, r m2, T E P r d r, r n E P w ii, T d m 1rm 1, T m2rm 2, T i1 d m 1rm 1, T m2rm 2, T E n T 2 i n i1 IV. Esimación del Modelo y Resulados Para analizar las propiedades empíricas del modelo de dos facores se forma un porafolio de pesos iguales con 10 acciones de la Bolsa Mexicana de 13

15 Valores. Los facores de mercado esán represenados por los índices accionarios IPC y S&P 500, debido al alo grado de inegración económica de México con E.U.A. En el cuadro 1 se presenan algunas esadísicas descripivas de los excesos de rendimienos de los facores en pesos, los rendimienos del S&P 500 en dólares y los rendimienos del ipo de cambio dólar/peso. Cuadro 1. Esadísicas descripivas de los facores y del ipo de cambio. Cabe mencionar que, si bien los candidaos naurales para esudiar el riesgo de crédio son los insrumenos de deuda (bonos) de las empresas, por la poca profundidad de esos mercados en México los precios de esos insrumenos son poco informaivos pues exise una gran canidad de días en que no se regisran movimienos. En cambio, los precios de las acciones son más dinámicos y es posible exploar sus variaciones para inenar conocer el comporamieno de largo plazo. Es decir, ese ipo de análisis puede realizarse para acivos líquidos con precios de mercado. Se seleccionan 10 empresas que esán enre las más grandes en México: Carso, Cemex, Comercial Mexicana, Elekra, Femsa, Viro, Banore, Telmex, Televisa y Wal-Mar de México. En el cuadro 2 se muesran algunas esadísicas descripivas de los excesos de rendimienos logarímicos de las acciones correspondienes. 14

16 07/ / / / / / / / / / / / / / /2008 Cuadro 2. Esadísicas descripivas de las acciones de la BMV que inegran el porafolio. Dos casos ineresanes son los de Comercial Mexicana y Grupo Viro, ya que han presenado evenos financieros especialmene complicados en su hisoria. En paricular, en 2008, ambas empresas enraron en procesos de moraoria de pagos y de casi-bancarroa. Las series de precios diarios conforman un panel balanceado que va de julio de 1994 a abril de 2009, período en el que se desarrollan dos de las crisis financieras más imporanes de los úlimos 20 años: la crisis de 1994/1995, de origen local, y la de 2007/2009, de origen exerno. Los precios se ransforman a exceso de log-rendimienos. Por consisencia y para eviar efecos de carry rade los rendimienos del S&P 500 se expresan en pesos. La asa libre de riesgo que se considera es la asa equivalene diaria de la asa CETE a 91 días Gráfico 1. Correlaciones DCC enre el IPC y el S&P

17 Al esimar las beas de las ecuaciones individuales de rendimienos nos enconramos con problemas de significancia para algunas acciones, probablemene debido a problemas de colinealidad en los facores en cieros momenos en el iempo. Como se puede observar en el gráfico 1, las correlaciones DCC enre el IPC y el S&P 500 son basane alas a la final de la muesra, alcanzando niveles por encima del 60%. Con el fin de conar con un facor más significaivo que sea función del IPC se realiza una orogonalización consisene en exraer la información conenida en el IPC que no es explicada por el S&P 500, para lo cual se realiza una regresión TARCH(1,1) de los rendimienos del IPC sobre los rendimienos del S&P 500: r Br r IPC, SP500, i, IPC, i, Los residuales de la regresión son la nueva variable IPC_ORT y son heeroscedásicos 6. Ese cambio de variable modifica la ecuación TARCH de la volailidad del primer facor pueso que, para conservar el senido económico del efeco apalancamieno, el umbral de los efecos asiméricos no es sobre el IPC_ORT sino sobre la serie original del IPC: r r I ripc, 1 0 IPC, IPC IPC, 1 IPC IPC, 1 IPC IPC, 1 Como era de esperarse, al omar la nueva variable las correlaciones DCC se reducen (véase el gráfico 5) y las beas se vuelven alamene significaivas como puede apreciarse en el cuadro 3, a excepción de la de Comercial Mexicana la cual es por mucho la relación más débil (aunque maniene niveles de significancia razonables). También como era de esperarse las consanes son cercanas a cero y no significaivas. El peso del facor IPC_ORT, en 6 En el Anexo se hace un análisis de componenes principales para el IPC y el S&P 500, anes y después de la orogonalización aquí descria. 16

18 promedio, es muy cercano a la unidad y el del facor S&P 500 es aproximadamene un medio. Cuadro 3. Resulados de la regresión de mínimos cuadrados de los rendimienos individuales sobre los facores. Los errores son los de Newey-Wes. Se reporan los respecivos esadísicos. Hay que ener en cuena que las beas consanes a lo largo de la muesra son una simplificación que hace el modelo. Para examinar el alcance de esa simplificación se esiman rolling beas con horizones de 120 días. 7 En el gráfico 2 se presenan los promedios de las rolling beas individuales. Se observa que a pesar de que al omar promedios la variación de las beas se suaviza, aún es posible observar cambios imporanes en el peso de los facores. También podemos noar que la flucuación de las beas se da alrededor de la media de largo plazo que sugieren los esimados en el cuadro1. Aunque no exise variación en los rendimienos proveniene del peso de los facores no de las volailidades idiosincráicas (por ser consanes en el iempo), la variación proveniene de las volailidades y de las correlaciones condicionales de los facores es imporane y ésa se hereda a los rendimienos individuales. 7 Como se mencionó aneriormene, para conocer la dinámica condicional de las beas varianes en el iempo se necesiaría recurrir a una especificación donde las varianzas idiosincráicas se modelen de forma condicional como el Facor-Double-ARCH. Se obienen aún mejores esimados con modelos que oman que pueden exisir facores laenes omiidos en la especificación de los rendimienos, como el modelo Facor- DCC o el modelo Facor-Spline-GARCH para modelar correlaciones de ala y baja frecuencia de Engle y Rangel (2009). Para los oros dos modelos véase Engle (2009). 17

19 07/ / / / / / / / / / / / / / / Bea IPC_ORT Bea SP500 Gráfico 2. Rolling beas promedio de los acivos del porafolio a de 120 días, esimadas con OLS y errores esandarizados Newey-Wes. Los parámeros de las ecuaciones TARCH(1,1) se presenan en el cuadro 4 y los correspondienes esimados de las volailidades en los gráficos 3 y 4. Cuadro 4. Esimados de la ecuación de volailidad TARCH(1,1). La esimación se hace por máxima verosimiliud. La ecuación del IPC_ORT se modifica para omar en cuena la asimería respeco a la serie original IPC. Los parámeros de persisencia son muy parecidos para los dos facores. Sin embargo, los parámeros de efecos de las innovaciones muesran un mayor 18

20 07/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /2008 efeco de la asimería de las noicias en el caso del IPC_ORT. En ambos casos se cumple la condición de esacionariedad Gráfico 3. Volailidad diaria TARCH del facor IPC_ORT Gráfico 4. Volailidad diaria TARCH del facor S&P 500. En general la volailidad del IPC_ORT es superior a la del S&P 500 pero al final de la muesra ese fenómeno se inviere. Hay coincidencia en algunos períodos de clusering como en 1994/1995 y en el período de y un desfase imporane en el período 1997/

21 07/ / / / / / / / / / / / / / /2008 En una segunda eapa, se esiman por máxima verosimiliud las correlaciones DCC de los facores usando los residuales esandarizados de las ecuaciones TARCH. Los parámeros de la esimación son significaivos. Cuadro 5. Parámeros DCC de los facores. Los valores ípicos para rendimienos financieros de los parámeros DCC son de a=0.01 y b=0.97 8, de lo cual se infiere una velocidad de reversión a la media de largo plazo un poco menor a la de los valores ípicos Gráfico 5. Correlaciones DCC del IPC_ORT y del S&P 500 Las correlaciones del facor IPC ransformado con el S&P 500 son más bajas que las del facor original como resulado de la orogonalización y como puede observarse al comparar el gráfico 1 con el gráfico 5. La variación se da 8 Véase Engle (2009). 20

22 11/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /2008 alrededor de cero pero con flucuaciones de una magniud no despreciable que va del -40% al 40% aproximadamene. Esa dinámica que hemos observado en las correlaciones y volailidades condicionales se va a heredar a los rendimienos individuales al momeno de hacer las simulaciones en el iempo y por ende a los rendimienos del porafolio. Como se mencionó aneriormene el porafolio que se conforma iene pesos iguales y queremos conocer el comporamieno de largo plazo de sus rendimienos. Una primera aproximación al problema es consruir la función de disribución de los rendimienos de largo plazo para oda la muesra. El horizone de agregación es de 100 días. En el gráfico 6 puede verse el comporamieno de ales rendimienos agregados para los períodos de 1994/1995, 1998 y 2007/2009. Eso úlimo nos da evidencia de colas anchas en la disribución de rendimienos. Para las simulaciones se oma en cuena los períodos de 1994/1995 y de 2007/2009 por ser los que más direcamene ligan el origen de las crisis a los facores de mercado de la especificación Gráfico 6. Rendimienos Hisóricos Agregados a 100 días del Porafolio de pesos iguales. 21

23 Gráfico 7. Disribución Hisórica de los Rendimienos Agregados del Porafolio Homogéneo. La línea es la función de disribución y las barras son la función de densidad. El gráfico 7 presena la función de disribución hisórica de los rendimienos agregados (que describe el comporamieno promedio de los mismos). En la gráfica se puede apreciar la presencia de colas anchas en el lado izquierdo de la disribución. Esa disribución se oma como puno de referencia para conrasar los resulados empíricos de las funciones resulanes de la simulación. Como se mencionó al final de la sección anerior, la ecuación que queremos esimar es la siguiene: P D P r d E d r r 1 1, 2 2, 1 p p, T n T 2 2 i m m T m m T i n La forma recursiva de las ecuaciones DCC y TARCH nos permie simular los rendimienos condicionales de los facores T=100 días en el fuuro empleando números normales bivariados. Los pesos de los facores son el promedio ponderado (de acuerdo a los pesos de los acivos en el porafolio) esimados aneriormene. 22

24 El umbral d puede calibrarse de acuerdo a la experiencia del porafolio en paricular. Para efecos de ese esudio se varía el umbral en el dominio de los evenos de probabilidad posiiva. Se realizan k=3,000 simulaciones a 100 días para los facores omando como puno inicial disinos períodos de inerés: principios de enero de 1995 (crisis financiera con origen en México), principios de enero de 2007 (período previo a la crisis de 2007/2009), principios de enero de 2008 (los mercados financieros empiezan a mosrar ciera inquieud pero aún es incipiene) y principios de noviembre de 2008 (la crisis de 2007/2009 en pleno). Una vez que enemos los esimados de los rendimienos agregados del porafolio podemos esimar la ecuación de inerés de la siguiene manera: 1 3,000 3,000 d r r T ( k) ( k) m1 m1, T m2 m2, T n k i i n p En cada simulación k se obienen los rendimienos para los siguienes 100 días, los cuales se agregan y muliplican por los pesos correspondienes. Para cada probabilidad p se deermina el umbral d p que saisface la igualdad. Para cada uno de los posibles períodos iniciales se simula una función de disribución. También se esima el modelo análogo que emplea sólo un facor en la especificación de la ecuación de rendimienos y que por ano no emplea la dinámica DCC enre facores, pero que sí emplea la dinámica TARCH para las volailidades del facor único (IPC). Los resulados de las simulaciones son presenados en los gráficos 8 y 9. Se superponen las funciones de disribución para poder apreciar la cola izquierda de la disribución. 23

25 Función de Disribución de los Rendimienos del Porafolio 2 Facores (DCC, TARCH) P (rp < dp) Ene 95 P (rp < dp) Ene 07 P (rp < dp) Ene 08 P (rp < dp) Nov 08 Hisórica Gráfico 8. Disribuciones de los Rendimienos Agregados del Porafolio: Modelo de dos facores. El eje horizonal represena los disinos umbrales d p Función de Disribución de los Rendimienos del Porafolio 1 Facor (TARCH) P (rp < dp) Ene 95 P (rp < dp) Ene 07 P (rp < dp) Ene 08 P (rp < dp) Nov 08 Hisórica Gráfico 9. Disribuciones de los Rendimienos Agregados del Porafolio: Modelo de un facor. El eje horizonal represena los disinos umbrales d p. 24

26 En el gráfico 8 y cuadro 6, la función de disribución del modelo de dos facores que iene como puno inicial enero de 1995 presena una cola más ancha que la disribución hisórica. La disribución de noviembre de 2008 presena una cola muy similar a la de enero de Las colas de enero de 2007 y de enero de 2008 son muy similares enre sí y esán por debajo del comporamieno promedio hisórico. Los resulados aneriores son consisenes con la hisoria de los rendimienos y con el hecho esilizado de una mayor acumulación de rendimienos en la cola izquierda de la disribución. Cuadro 6. Rendimienos Agregados del Porafolio. Modelo de 2 Facores. Cuadro 7. Rendimienos Agregados del Porafolio. Modelo de 1 Facor. Por oro lado, en el gráfico 9 y cuadro 7, las funciones de disribución de un solo facor presenan un comporamieno similar a las de dos facores con excepción de la correspondiene a enero de 1995, en la que se describe una cola menos ancha que la del modelo de dos facores para el mismo período. 25