Integración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.

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1 Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + + <, f = <, e 6. i Estudir l continuidd y derivbilidd de f. ii Clculr los etremos bsolutos de f en [, 6]. iii Dr l epresión de F = ft dt. iv Clculr el áre limitid por l grác de f desde = / hst = 6. i L función f es continu en [, 6] {, } por ser un función o bien polinómic o eponencil. En =,, debemos clculr los límites lterles. lím + + = lím = + lím = lím e = + 5 = f es continu en. = f es continu en.

2 6 Índice generl Por otro ldo, l función f es derivble en, 6 {, } por ser un función polinómic o eponencil. Clculmos f en el interior de los distintos intervlos de denición. f = + si < <, si < <, e si < < 6. Pr hllr f y f podemos estudir los límites lterles en los cmbios de denición. Si los límites lterles eisten podremos decir si l función es derivble, pero si no eiste lguno de ellos no podremos deducir nd y tendremos que ir l denición de derivd. lím + = lím = + lím = lím e = + = f no es derivble en. = f no es derivble en. ii El Teorem de Weierstrss nos segur l eistenci de etremos bsolutos de f en [, 6], y que f es un función continu en [, 6] compcto. Estos etremos se encuentrn entre los siguientes puntos. Etremos del intervlo de denición, -,6. b Puntos de no derivbilidd de f,,. c Puntos estcionrios de f, es decir, f =. En,, f = + = = =. En,, f = = En, 6, f = e = no eisten puntos estcionrios. no eisten puntos estcionrios. Finlmente pr obtener los etremos bsolutos bst clculr los vlores de l función en cd uno de los puntos obtenidos.

3 Índice generl 7 f Mínimo bsoluto 6 e Máimo bsoluto iii L función integrl de f es: Si, F = + +. Si, F =. Si 6, F = ft dt = ft dt = ft dt = t t + t + dt = + t + t = t + t + dt + ft dt + t dt = t t = e t dt = + e t = e. iv El áre limitid por l grác de f desde = / hst = 6 está ddo por: 6 / f d = / d + 6 e d = / + e 6 = + e. Problem. L sección de un sólido prlel l bse un ltur z de l mism, es un nillo circulr de rdio interno z y rdio eterno z. Sbiendo que el sólido tiene un ltur uno, hllr el volumen del mismo. Pr clculr el volumen utilizmos l fórmul de Cvlieri o cálculo del volumen de un sólido medinte el áre de sus secciones. En este cso ls secciones son nillos circulres de

4 8 Índice generl rdios r = z y r = z. Por tnto, V = r r dz = z z z dz = z5 5 =. Problem. Se considern ls funciones f = sin y g =. Se dene h = { f si [, ], g i Hllr l función integrl de h, H = si, ]. ht dt. ii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l función f entre y lrededor del eje OX. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l función f entre y lrededor del eje OY. i Como l función h está denid trozos su función integrl H tmbién lo estrá. Por tnto, debemos distinguir [, ] y [, ]. [, ] H = [, ] H = ht dt = ht dt = sin t dt = cos t = cos. t sin t dt + t dt = + = +. ii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo por l función f desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso V = sin cos d = d = sin =. iii L fórmul del volumen del sólido generdo l girr l función f entre y b lrededor del eje OY es V = f d. En nuestro cso: V = + sin =. sin d = [ u = du = d v d = sin d v = cos ] = cos + cos d =

5 Índice generl 9 Problem. Se f : [, ] IR IR denid por: <, f = sen <,. i Estudir l continuidd y derivbilidd de f en [, ]. ii Clculr el áre encerrd bjo l grác de f desde = hst =. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l función f entre y lrededor del eje OX. i L función f es continu en [, ] {, } por estr denid medinte funciones elementles. En =,, debemos clculr los límites lterles. lím = lím sen = + lím sen = lím + =. = f es continu en. = f es continu en

6 Índice generl Por otro ldo, l función f es derivble en, {, } por ser un función polinómic o sinusoidl. Clculmos f en el interior de los distintos intervlos de denición. si < <, f = cos si < <, si < <. Pr hllr f y f podemos estudir los límites lterles en los cmbios de denición. Si los límites lterles eisten podremos decir si l función es derivble, pero si no eiste lguno de ellos no podremos deducir nd y tendremos que ir l denición de derivd. lím = lím cos = + lím cos = lím = + = f no es derivble en. = f no es derivble en. ii El áre encerrd bjo l grác de f desde = hst = está dd por: A = f d = = 7 +. d + sen d + d = cos + iii El volumen del sólido que se gener l girr l función f entre y lrededor del eje OX está ddo por: V = 5 + d + sen sen 5 d = 5 = Problem.5 Se f : [, ] IR IR denid por: f = i Hllr l función integrl de f, F = si [,, e si [, ], e si, ]. ft dt. cos d = ii Hllr el áre de l región limitd por l grác de f y el eje y =. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l grác de l función f lrededor del eje OX.

7 Índice generl iv Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l grác de l función f entre = y = lrededor del eje OY. i Como l función f es continu slvo quizás en un número nito de puntos, es integrble; demás como está denid trozos su función integrl F tmbién lo estrá. Por tnto, debemos distinguir [, ], [, ] y [, ]. [, ] F = [, ] F = + e. [, ] F = + e + e. ft dt = ft dt = ft dt = t dt = t t t dt + ft dt + = +. e t dt = + e t = e t dt = + e + et = ii El áre limitd por l grác de f y el eje y es A = f d = F = + 5e.

8 Índice generl iii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo por l función f desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = d + [ e + e d + + e e d = ] = + 7 e. 6 iv L fórmul del volumen del sólido generdo l girr l función f entre y b lrededor del eje OY es V = f d. En nuestro cso: V = [ ] e e e d = =. [ u = du = d v d = e d v = e Problem.6 Se f : [, ] IR, denid por f = sin. ] ] = [e e d = i Hllr el áre limitd por l grác de f y el eje OX. ii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l grác de l función f lrededor del eje OX. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l grác de l función f lrededor del eje OY. iv Un sólido tiene como bse l región limitd por sin desde = hst = y el eje OX, y sus secciones perpendiculres l eje OX son rectángulos de ltur cos. Hllr el volumen del sólido. i Como l función f es positiv en [, ], el áre será: A = sin d = cos = cos + cos = + =. ii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje OX generdo por l función f desde = hst = b es V = f d. V = sin cos d = d = sin =.

9 Índice generl iii L fórmul del volumen del sólido generdo l girr l función f entre y b lrededor del eje OY es V = f d. [ ] u = du = d V = sin d = = v d = sin d v = cos ] [ cos + cos d = [ + sin ] =. iv Como ls secciones del sólido son rectángulos, de bse sin y ltur cos, podemos plicr l fórmul de Cvlieri: V = A d = cos sin cos d = Problem.7 Se f : [, ] IR IR denid por: f = + sin i Hllr l función integrl de f, F = si [, /, si [/, ]. ft dt. = cos ii Hllr el áre de l región limitd por l grác de f y el eje y =. + cos =. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = lrededor del eje OX. iv Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = lrededor del eje OY. i L función f es integrble y que es continu slvo quizás en /; demás como está denid trozos su función integrl F tmbién lo estrá. Por tnto, debemos distinguir

10 Índice generl,5,5 - -,5 - [, /] y [/, ]. [, /] F = ft dt = + t + t dt = t + t = / [/, ] F = ft dt = t + t dt + sint dt / = 5 cos t / = 5 cos. ii El áre limitd por l grác de f y el eje y es A = f d = F = 5 +. iii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: / V = + + d + sin d = / / cos d = / / d sin = 9. iv L fórmul del volumen del sólido generdo l girr lrededor del eje y l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En /

11 Índice generl 5 nuestro cso: / V = + d + sin d = / [ ] u = du = d = v d = sin d v = cos + [ / ] cos / cos d = / sin / = Problem.8 Se f : [, ] IR denid por: f =. i Hllr l función integrl de f, F = ft dt. ii Hllr el áre de l región limitd por l grác de f y el eje y =. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = lrededor del eje OX. iv Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = lrededor del eje OY. L función f en [, ] puede reescribirse como: f = {,,, <. i L función f es integrble y que es continu por ser un vlor bsoluto; demás como está denid trozos su función integrl F tmbién lo estrá. Por tnto, debemos distinguir [, ] y [, ]. [, ] F = [, ] F = = + t ft dt = ft dt = t t dt = t dt + = +. t t =. t dt

12 6 Índice generl ii El áre limitd por l grác de f y el eje y es A = f d = F =. iii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = d + + d = d = 5 d = 5 + = 6 5. iv L fórmul del volumen del sólido generdo l girr lrededor del eje y l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = d + 5. Problem.9 Se f : [, ] IR IR denid por: [ d = + + <, f = cos <,. ] =

13 Índice generl 7 i Hllr l función integrl de f, F = ft dt. ii Estudir l continuidd y l diferencibilidd de F. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f desde = hst = y el eje y = lrededor del eje OX. iv Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f desde = hst = / y el eje y = lrededor del eje OY. - - i L función f es integrble y que es continu slvo en ; demás como está denid trozos su función integrl F tmbién lo estrá. Por tnto, debemos distinguir [, ], [, ] y [, ]. [, ] F = [, ] F = [, ] F = ft dt = ft dt = t + dt = t ft dt + = + sent = + sen. ft dt = ft dt + + t cost dt = + +. dt = t = +.

14 8 Índice generl ii Por el Teorem fundmentl del cálculo l función F es continu en [, ] y que l función f es integrble. Además, F es derivble en los puntos de continuidd de f, por tnto F es derivble en [, ] {}. Pr estudir l derivbilidd en podemos proceder l cálculo de los límites lterles de F = f. lím cos = y lím =, + por tnto F no es derivble en. iii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = V = f d. En nuestro cso: cos + cos d = d = + sen =. iv L fórmul del volumen del sólido generdo l girr lrededor del eje y l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = / sen / [ ] u = du = d cos d = = v d = cos d v = sen / sen d = + cos/ =. Problem. Se f : [, ] IR IR denid por: < /, f = / <,. i Clculr el áre de l región limitd por l grác de f y ls rects =, = e y =. ii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y ls rects =, = e y = lrededor del eje OX. iii Hllr el volumen del sólido que se gener l girr l región limitd por l grác de f y ls rects =, = e y = lrededor del eje OY.

15 Índice generl 9 i El áre de l región limitd por l grác de f y ls rects =, = e y = está dd por: A = d + d + d Clculmos cd un de ls integrles por seprdo. = sen t d = = t = = t = + cost dt = t + sent d = =. = sen t d = = t = / = t = + cost dt = t + sent = Finlmente el áre es 8. d = cos t dt =. = +. d = cos t dt. = cos t dt = cos t dt =

16 Índice generl ii L fórmul del volumen de un sólido de revolución lrededor del eje generdo l girr l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = d + d d = iv L fórmul del volumen del sólido generdo l girr lrededor del eje y l región limitd por l grác de f y el eje y = desde = hst = b es V = f d. En nuestro cso: V = d + d + Problem. Se f = + e, IR = d i Estudir l continuidd de f en IR. ii Clculr los etremos de f en IR, y clsicrlos. iii Estudir el número de ríces de l ecución = + e. iv Clculr l integrl indenid o primitiv de f. = = 6. i L función f es continu por ser sum y diferenci de funciones elementles que lo son. ii L función f es C por ser sum y diferenci de elementles que lo son. Por tnto, los etremos se hllrán entre los puntos estcionrios. f = e = = =. f = e = f = > = = es un mínimo locl. iii Pr estudir el número de ríces de l ecución = + e, denimos l función f = + e. Con los clculdos efectudos en el prtdo nterior sbemos que f tiene un mínimo locl en = y que f = >, por tnto f no puede tener ríces.

17 Índice generl iv + e d = + e + C. Problem. Clculr el volumen generdo l girr lrededor del eje l curv entre = y = b. y = e + e L curv y = e del volumen de revolución respecto del esje tenemos: V = senh + e puede reescribirse como y = cosh. Utilizndo l fórmul cosh d = b + = senh cosh + b + b. d = Problem. Se R = {, y IR : y, y }. i Clculr el áre de R. ii Hllr el volumen del sólido de bse R cuys secciones trnsversles, perpendiculres l eje, son cudrdos. Clculmos los puntos de corte de ls dos prábols. { = y = y = =. Por tnto los puntos de corte son, y,. i Por simetrí el áre pedid es el doble de: A = d + Por tnto el áre pedid es. d = / / =.

18 Índice generl y ii Aplicmos l fórmul de Cvlieri: V = A d. Como ls secciones son cudrdos tenemos que A = l. Donde l es: Si [, ], l = =. Si [, ], l = Por tnto, V = =. d + d = [ ] = 6. Problem. Se R = {, y IR : y sin, y cos, y, [, ]}. i Clculr el áre de R. ii Hllr el volumen del sólido de revolución obtenido l girr R entorno del eje OX. i El áre de R está dd por: A = sen d cos d = cos sen =.

19 Índice generl ii Utilizndo l fórmul del volumen de revolución respecto del esje tenemos: V = sen d sen d [ + cos cos d + sen = + cos d ] = = +. Problem.5 Se F : [, ] IR denid por F = + si <, f = cosh si <, si. ft dt siendo: i Obtener un epresión eplícit de F. ii Estudir l continuidd y diferencibilidd de l función G : IR IR denid como G, y = F, y. iii Clculr, cundo se posible, dg, y. i L función f es integrble por ser continu ecepto en =, y que está denid medinte funciones elementles y los límites lterles en = coinciden, mientrs que en = no coinciden. L función F estrá denid como un función trozos, por ser l función integrl de un función trozos. [, ], F = ft dt = t t + dt = + t = + +.

20 Índice generl [, ], F = + senh. [, ], F = ft dt = ft dt = t + dt + t + dt + + senh + t = + senh +. cosht dt = + senht = cosht dt + dt = ii L función G, y = F, y, será continu si lo son cd un de sus funciones componentes. F es continu por ser l función integrl de un función integrble Teorem Fundmentl del Cálculo e y es continu por ser un función elementl. Por tnto, G es continu en IR. Pr que G se diferencible deben serlo tmbién sus funciones componentes. En este cso, y lo es, pero F no es diferencible en =, y que f no es continu en ese punto. En el resto de puntos F = f. De nuevo plicmos el Teorem Fundmentl del Cálculo. iii L diferencil dg, y, en IR {, y IR : = } es dg, y = f,.

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