1. Sea f una función definida en I = [1, 2] [1, 4] del siguiente modo: (x + y) 2, x y 2x, 0, en el resto.

Transcripción

1 La integral múltiple Problemas resueltos. Sea f una función definida en I [, ] [, 4] del siguiente modo: { (x + y), x y x, f(x, y), en el resto. Indique, mediante un dibujo, la porción A del rectángulo I en la que f no es nula y calcule el valor de la integral f, supuesta su existencia. A La región sombreada, A { (x, y) R : x, x y x, es la porción del rectángulo en la que f no se anula. La función f es continua en A, por tanto f es integrable en A. Luego, aplicando el teorema de Fubini: ( 4 ) f f(x, y)dy dx A [ x + y ] x x dx ( x x ) (x + y) dy dx ( 3x + x )dx 6 log x ] log. 6. Un sólido está limitado por la superficie z x y, el plano xy, y los planos x y x 3. Calcule su volumen por doble integración.

2 Problemas resueltos La intersección de la superficie con el plano xy es: z x y y x y x z y x y con los planos x y x 3, las parábolas z y y z 9 y, respectivamente. Para hallar el volumen del sólido dado hemos de calcular la integral doble de la función z f(x, y) x y sobre la región del plano xy comprendida entre las rectas x, x 3, y x e y x : V {(x, y) R : x 3, x y x (x y )dxdy 3 3 ( x (x y )dy x [x y y3 3 ] x dx x ) dx x3 dx ] 3 3 x Calcule x y dxdy siendo la porción acotada del primer cuadrante situada entre las dos hipérbolas xy y xy y las líneas rectas y x e y 4x.

3 La integral múltiple La región es el conjunto { (x, y) R : xy, x y 4x {(x, y) R : xy, y x 4. Esta expresión nos sugiere el cambio de variables Con lo que y vx, u vx x u xy, v y x. u v, y uv, siempre que u, v > y la transformación que obtenemos es u T :], + [ ], + [ R, T (u, v) ( v, uv). T es una transformación inyectiva (para cada (x, y) hay un solo (u, v) tal que T (u, v) (x, y)) y es de clase C. Hemos de comprobar además que su jacobiano es no nulo: /v u/v u/v J T (u, v) v uv u/v u uv v, u, v >. Podemos dibujar fácilmente la región calculando los puntos de corte de las rectas con las hipérbolas dadas (recordemos que son sólo los del primer cuadrante): xy y x x P (, ); xy y 4x xy y x xy y 4x x P 3 (, x 4 P (, ) 4 ); x P 4 (, )

4 Problemas resueltos Es obvio que esta región (en el plano xy) es la imagen, T (Q), del recinto (en el plano uv) Q { (u, v) R : u, v 4. Aplicando el teorema del cambio de variable obtenemos: x y dxdy u v dudv Q u du. 4 u3 dv v 3 ]. ] 4 log v 7 log Calcule la integral V (zx + zy ) dxdydz, siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono z x + y e interior al cilindro x + y, con z. La intersección del cono con el cilindro es: x + y z x + y la circunferencia x + y en el plano z.

5 La integral múltiple El conjunto V será el conjunto descrito por: V {(x, y, z) R 3 : x + y, z x + y Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas x ρ cos ϕ y ρ sen ϕ z z T : U R3, T (ρ, ϕ, z) (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ, z) siendo U ], + [ ], π[ R, J T (ρ, ϕ, z) ρ. e esta manera, y puesto que x + y ρ en el cilindro y z ρ en el cono, el recinto V es la imagen, T (Q), (salvo un conjunto de medida cero, que es la región del plano y comprendida entre el cilindro y el cono) del conjunto Q {(ρ, ϕ, z) U : < ρ, < ϕ < π, z ρ U. Por tanto, haciendo la integral con este cambio de variable obtenemos: (zx + zy ) dxdydz V [ π ( ρ ) ] zρ ρ dρdϕdz zρ 3 dz dϕ dρ Q ( π z ρ 3] ρ dϕ ) dρ ( π ) ρ 5 dϕ dρ π ρ6 6 ] π 3.

6 Problemas resueltos 5. Calcule la integral A xyz dxdydz, siendo A el conjunto A {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y, z. Puesto que el conjunto A es un trozo de esfera haremos el cambio a coordenadas esféricas para que el recinto de integración sea más manejable. x ρ cos ϕ sen θ y ρ sen ϕ sen θ z ρ cos θ T : U R 3, T (ρ, ϕ, θ) (ρ cos ϕ sen θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ) T es C -invertible, con jacobiano, J T (ρ, ϕ, θ) ρ sen θ, distinto de cero en cualquier punto del abierto U ], + [ ], π[ ], π[. Sea Q { (ρ, ϕ, θ) R 3 : < ρ, < ϕ π, < θ π U. Es claro que su imagen mediante T es T (Q) A {(x, y, z) A : y

7 La integral múltiple y puesto que el conjunto {(x, y, z) A : y tiene medida cero en R 3, (es un trozo de plano) podemos aplicar el teorema del cambio de variable para calcular la integral que se pide por medio de una integral sobre el rectángulo Q: A xyz dxdydz [ ρ 6 6 Q ρ cos ϕ sen θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos θ ρ sen θ dρdϕdθ [ π [ π ] ] ρ 5 sen ϕ cos ϕ sen 3 θ cos θ dθ dϕ dρ ρ 5 dρ ] π [ sen ϕ sen ϕ cos ϕ dϕ ] π [ sen 4 θ 4 ] π π 48. sen 3 θ cos θ dθ 6. Calcule la integral (x + 5y )dxdy, extendida a la región del plano : {(x, y) R : y, 4 x + y 6.

8 Problemas resueltos La región es una corona circular; esto sugiere el cambio a polares para hacer la integral. Hacemos la transformación x ρ cos ϕ y ρ sen ϕ T : U R, T (ρ, ϕ) (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ) donde U ], + [ ], π[ y J T (ρ, ϕ) ρ es distinto de cero en U. La corona es la imagen mediante T del rectángulo Q { ρ, ϕ) R : ρ 4, < ϕ π U salvo un conjunto de medida cero en R que es el trozo del eje OX comprendido entre x y x 4 (que se obtendría con la imagen de los puntos tales que ϕ ). Aplicando el cambio de variable calculamos la integral doble en por medio de una integral doble en Q, que nos resultará mucho más sencilla de calcular porque Q es un rectángulo: (x + 5y )dxdy Q 4 4 [ ρ 4 4 ( ρ cos ϕ + 5ρ sen ϕ ) ρ dρdϕ [ π ρ 3 [ π ] 4 ρ 3 ( + 4sen ϕ ) ] dϕ dρ ] [ + ( cos ϕ)] dϕ dρ [ 3ϕ sen ϕ ] π 8π. 7. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcule la integral de línea y dx + xdy, siendo γ el cuadrado de vertices (,), (,-), (-,), (-,-). γ

9 La integral múltiple LLamemos a la región, convexa, limitada por γ. Es obvio que γ intγ [, ] [, ]. Aplicaremos la fórmula de Green-Riemann ( Q P dx + Qdy x P ) dxdy y γ con P (x, y) y y Q(x, y) x que son de clase C. Así: γ y dx + xdy ( y)dxdy [ y y ] dx [ ] ( y)dy dx dx Considere la curva γ una parametrización de la elipse 4(x )+y. Calcule la integral γ (x + y)dx + (y x)dy. a) irectamente. b) Aplicando el teorema de Green-Riemann.

10 Problemas resueltos a) Para calcular la integral de línea hemos de parametrizar la elipse: 4(x )+y x + y 4 γ(t) (cos t, sen t), t [, π] que es una parametrización de clase C. (x + y)dx + (y x)dy γ π π [(cos t + sent)( sent) + ( sent cos t) cos t]dt [ sen t (sent cos t )dt ] π t 4π. b) Sea γ intγ. Aplicando el teorema de Green-Riemann con P (x, y) x+y y Q(x, y) y x, y teniendo en cuenta que el área de la elipse de semiejes a y b es πab (en nuestro caso a, b ), obtenemos: γ ( Q (x + y)dx + (y x)dy P dx + Qdy γ x P ) dxdy y ( )dxdy µ() 4π.

11 La integral múltiple 9. Calcule el área de la región del primer cuadrante comprendida entre las curvas: y x, x + y, y. a) Mediante una integral doble. b) Mediante una integral de línea. a) Calculemos la intersección de la parábola y la recta que delimitan la región descrita: y x y y 5, no es positivo + y x + y y 4, x 8 La región dada es la unión de dos regiones { (x, y) R : x 8, { (x, y) R : 8 x, y x y x con medida en R. El área de, calculada mediante una integral doble, será: dxdy dxdy + dxdy [ 8 ] x 8 ] 8 dxdy dy dx x dx 3 x [ x ] dxdy dy dx ( x)dx x x ]

12 Problemas resueltos Sumando las dos integrales obtenemos: area de dxdy b) Hemos de parametrizar la curva γ que delimita la región : la recta x + y : γ (t) (t, t), t [8, ] la parábola y x : γ(t) ( t, t), t [, 4] el eje OX : γ(t) (t, ), t [, ]. e esta manera es γ ( γ ) ( γ ) γ 3. Por el teorema de Green-Riemann, tomando P (x, y), Q(x, y) x, podemos calcular el área de como: dxdy xdy γ 8 ( t)dt xdy γ xdy + γ xdy γ 3 4 t dt t] t3 8 6 ] Calcule, mediante integración, el volumen del sólido limitado por el cono x + y 4z y la esfera x + y + z 5, siendo z. La intersección de las dos superficies es x + y + z 5 x + y 4z 5z 5 z z (z ) x + y 4

13 La integral múltiple Sea V el sólido considerado. Su volumen es µ(v ) dxdydz Para calcular esta integral haremos un cambio a coordenadas esféricas: x ρ cos ϕ sen θ y ρ sen ϕ sen θ z ρ cos θ J T (ρ, ϕ, θ) ρ sen θ La variación del ángulo θ dentro del recinto de integración viene dada por el ángulo que forma la generatriz del cono con el eje OZ en un punto de la intersección de las dos superficies, por ejemplo el punto (,, ). En este punto tan θ y por lo tanto θ arctan. El radio vector ρ variará desde al radio de la esfera 5 y el ángulo ϕ debe recorrer toda la circunferencia, de modo que si consideramos el conjunto { Q (ρ, ϕ, θ) R 3 : ρ 5, < ϕ < π, < θ arctan su imagen mediante T es el recinto V (salvo un conjunto de medida cero en R 3 : los puntos para los que ϕ ó θ ). Entonces dxdydz ρ sen θ dρdϕdθ V π dϕ 5 π 3 5 Q ρ dρ arctan [ + tan θ ] arctan V [ ρ 3 sen θdθ π 3 ] 5 3 π( 5 ). [ ] arctan cos θ

14 Problemas propuestos Problemas propuestos. Calcule las integrales dobles por integración sucesiva a) xy(x + y)dxdy donde I [, ] [, ]. I b) c) I I sen xsen ydxdy donde I [, π] [, π]. sen (x + y)dxdy donde I [, π/] [, π/]. a) /3. b) π /4. c).. Calcule I f(x, y)dxdy siendo I [, ] [, ], f(x, y) { x + y, x y x,, en el resto Calcule la integral doble A (x + y ) dxdy siendo A {(x, y) R : x + y. /. 4. Calcule la integral doble. A (4x + 7y) dxdy donde A {(x, y) R : x, x 3 y x.

15 La integral múltiple 5. ibuje la región de integración y calcule la integral doble a) (x + y )dxdy siendo el triángulo de vértices (, ), (, ), (, ). b) ( + x)seny dxdy siendo el trapezoide de vértices (,), (,), (,), (,). c) (x y )dxdy siendo la región limitada por el eje OX y la gráfica de la función y senx en el intervalo [, π]. a) 3/6. b) 3/ sin() cos() + sin() + cos(). c) π 4/9. 6. Considere la aplicación T definida por las ecuaciones x u v, y uv. a) Calcule el jacobiano J T (u, v). b) Sea Q el rectángulo en el plano uv con vértices (,), (,), (,3), (,3). Represente, mediante un dibujo, la imagen T (Q) en el plano XY. a) J T (u, v) 4(u + v ). 7. Considere la aplicación T definida por las ecuaciones x u + v, y v u. a) Calcule el Jacobiano J T (u, v). b) Un triángulo Q en el plano (u, v) tiene vértices (,), (,), (,). Represente, mediante un dibujo, la imagen T (Q) en el plano xy. c) Calcule el área de mediante una integral doble extendida a y también mediante otra integral doble extendida a Q. Area 4/3. 8. Si V es el sólido limitado por el elipsoide x a + y b + z c, calcule ( x a + y b + z c ) dxdydz. V

16 Problemas propuestos Cambio: x aρ sin(θ) cos(ϕ), y bρ sin(θ) sin(ϕ), z cρ cos(θ). J T abcρ sin(θ). Resultado: 4 5 πabc. 9. Calcule la integral A x + y dxdydz, siendo A el sólido formado por la hoja superior del cono z x + y y el plano z. π/6.. Calcule la integral (x + y ) dxdydz, siendo V el sólido limitado por la superficie z x + y y el plano z. V Cambio a coordenadas cilíndricas. 6π/3.. Halle el volumen del tumor cuya ecuación en esféricas es ρ 3 + sen(5ϕ)sen(4θ), ϕ [, π], θ [, π]. 8π/. Utilizando el cambio a polares, halle { x + y, siendo (x, y) R : (x ) + y. 3π/ 3. La densidad en un punto (x, y) sobre la lámina semicircular {(x, y) R : y, x + y r

17 La integral múltiple es f(x, y) a x + y. Calcule el centro de masa de la lámina. (, 3r/π) 4. Sea S el sólido limitado por el cilindro y + z 9 y los planos x, y 3x, z en el primer octante. Si tiene una función de densidad dada por f(x, y, z) x + y, calcule su masa, centro de masa y momento de inercia alrededor del eje OZ. 5. Halle el volumen del sólido comprendido dentro del tronco cónico x + y (z ), con z [, ], exterior al cilindro x + y 4, utilizando el teorema de Pappus-Guldin. π/6 6. Halle el volumen del toro de radios R y r (R > r) de ecuación z + ( x + y R) r a) utilizando el cambio a coordenadas cilíndricas. b) utilizando el teorema de Pappus-Guldin. π Rr 7. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcule la integral de línea y dx + xdy, siendo γ la circunferencia de radio y centro en el origen. 4π. γ 8. Calcule, aplicando la fórmula de Green-Riemann, la integral (xy x )dx (x + y )dy, γ siendo γ la curva formada por los ejes coordenados y el cuadrante positivo de la circunferencia x + y 4. π 6/3.

18 Problemas propuestos 9. Calcule, mediante una integral de línea, el área de la región plana: { (x, y) R : x y, x + 4y 4. Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva ρ 3 cos 3t, t [, π 6 ]. a) Mediante una integral doble. b) Mediante una integral de línea. 3π/8.. Sea la región interior a la elipse 4x + 9y 36 y exterior al círculo x + y. enotando por α a la frontera de esta región, calcule la integral de línea xydx + (x + x)dy. π. α. Calcule el área de la región interior a la circunferencia x + y 4 y a la derecha de la recta x. 4π/ Calcule el área de la región del plano 5/6. A {(x, y) R : y 4x x, y 6 3x, y. 4. Halle el volumen limitado por: a) x + y + z 4, x + y 3z. b) z x + 6y, x + 4y 4, z. a) 9π/6. b) π/3.

19 La integral múltiple 5. Calcule la integral triple el interior del elipsoide V x 9 + y 4 + z. (4x + 9y + 36z )dxdydz siendo V Cambio: x 3ρ sin(θ) cos(ϕ), y ρ sin(θ) sin(ϕ), z ρ cos(θ). J T 6ρ sin(θ). Valor de la integral: π. 6. Haciendo un cambio a coordenadas esféricas, resuelva la integral (x + y + z ) dxdydz, A siendo A el sólido A {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x + y z, z. 7. Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies z 4 y, y x, x, z. 8. Utilizando un cambio de variable, halle el valor de la integral (x y) sin (x + y) dxdy, donde es el paralelogramo de vértices (π, ), (π, π), (π, π), (, π). 9. Sea la región del plano limitada por las curvas 4x + (y ) 4, 4x + (y + ) 4 y que contiene el (,). a) Calcule la integral (x y) dxdy. b) Calcule la integral anterior como la integral curvilínea de cierto campo vectorial F : R R. (Utilice el teorema de Green-Riemann para encontrar el campo F adecuado).

20 Problemas propuestos 3. Calcule la integral V z sin(x + y )dxdydz, siendo V el sólido limitado por las superficies z cos(x + y ), z con z. 3. Calcule el área, utilizando coordenadas polares, de la región limitada por la curva (x + y ) xy, x, y, a) mediante una integral curvilínea, b) mediante una integral doble. 3. Calcule el volumen de la porción del sólido comprendido entre las superficies (z + ) x + y, 4z x + y, situada por encima el plano XY.