1. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n por el método estándar y el de Horner.

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1 Interpolación. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n () = a + a + + a n n por el método estándar y el de Horner.. Hallar el polinomio de interpolación de Lagrange y de Newton en los datos (, ), (, ) y (, ). Escribirlos en la forma a + a + a para verificar que son idénticos. 3. El polinomio p 3 () = ( + ) + ( + ) ( + )( ) interpola a los primeros cuatro datos de la tabla i 3 f( i ) 7 Añadir un término más a p 3 () de manera que el polinomio resultante interpola a la tabla entera. 4. Encontrar las fórmulas de Lagrange y de Newton del polinomio de interpolación para los siguientes datos: i f( i ) Escribir ambos en la forma a + a + a para ver que son idénticos. 5. Halla el polinomio de interpolación para los siguientes datos: f() = f () = f() = f () = 6. Demostrar que en el problema de interpolación de Lagrange se verifican las siguientes propiedades: a) Los polinomios de la base de Lagrange verifican n L n k () =. k=

2 b) Si p n () es el polinomio de interpolación de f() en los puntos,,..., n (distintos), entonces, el error puede escribirse como: E n () = f() p n () = n (f() f( k )) L n k (). k= 7. Hallar el polinomio de interpolación de grado a la función f() = cos() en los puntos =, /,. Calcular el error de interpolación y dar una cota del error cometido en = 3/4. 8. Sea la tabla de datos i..4.6 f( i ) correspondientes a la función f() = e. a) Para la interpolación lineal en = /3 que intervalo tomarías. Da una cota del error absoluto y compara con el resultado eacto. b) Calcula el polinomio de interpolación de grado 3, dando una cota del error cometido y comparando con el resultado eacto. c) Aproima el valor de ep 4/5 con el polinomio de interpolación cúbico hallando el error. azona a que es debido que el error anterior sea tan grande comparado con el obtenido en b). 9. Calcular el polinomio de grado 4 que interpola a f() = cos() en los nodos,,, 3 y 4.. Hallar el valor de la siguientes sumas: a) n b) n c) n 3. Hallar el siguiente valor en las sucesiones a) 7, 8, 9, 4, 5, 6,... b) 3,, 49, 4, 76, 7, 94, 9,...

3 Ecuaciones no lineales. Demostrar que la función f() = tiene una única raíz en. e. Considerar la ecuación no lineal f() = e Probar que f() tiene una única raíz en. Determinar un intervalo en el que se encuentre y aplicar 3 iteraciones del método de bisección. 3. Demostrar que los polinomios de la forma n + + no tienen ninguna raíz real si n es par, y tienen eactamente uno si n es impar. 4. Se quiere calcular una raíz de la ecuación f() = 3 + = en el intervalo [/4, /]. Estudia la eistencia y unicidad de la misma en dicho intervalo. Aplica cinco iteraciones del método de bisección. Calcula una cota sobre el error cometido. Halla el número de iteraciones necesarias para que el error absoluto sea menor que 4, 6, 8 y. 5. epetir el ejercicio anterior para la función f() = 3 + 5e + 3 = en el intervalo [, ]. 6. En Astronomía se conoce como ecuación de Kepler a la siguiente epresión m = e sen(), < e <, Demostrar que para cada m (, π) eiste un único que satisface dicha ecuación. 7. El método de Newton para resolver cierta ecuación f() = viene dado por arbitrario n n+ = n, n. Determinar la función f(). 8. Utilizando el método de Newton para resolver la ecuación = a, con a >, deducir el algoritmo siguiente para calcular la raíz cuadrada de a: arbitrario n+ = ( n + a n ), n. 3

4 9. Demostrar que el método de Newton para calcular una raíz de multiplicidad k de un polinomio p() tiene convergencia lineal. Sin embargo, si se modifica el método de Newton de la forma arbitrario n+ = n k p( n) p ( n ), n. vuelve a tener convergencia cuadrática.. Demostrar que la función h() = f() f () pero simples. tiene los mismos ceros que f(),. Considerar la función f() = / a. Aplicar el método de Newton, viendo que no es preciso realizar ninguna división. Hallar la relación entre el error e n+ = n+ /a y e n.. Una persona pide un crédito de = a 5 años pagando una mensualidad de 8 e. Hallar el tipo de interés. 3. El crecimiento de una población de bacterias, en función del tiempo t, está dado por p(t) = e.t.5t Determinar el instante en el que la población sea de Determinar las ecuaciones reales para la iteración z k+ = zk +, siendo z complejo. 5. Aplicar el método de Newton a la función f() = e partiendo de =.5 y de =. 6. Aplicar el método de Newton al polinomio p() = 3 3 con =. Que es lo que ocurre?. 3 Integración. Demostrar que la función f() = es integrable en [, b].. Demostrar que la función definida es [, ] por { si I f() = si Q 4

5 no es integrable, donde I es el conjunto de los numeros irracionales y Q el de los racionales. 3. Calcular las siguientes primitivas log d d ( + ) n d + 4 d + d tan d d (4 /3 ) 3 d e 5 d 3 7 d + 5 d d ( + )e +4 5 d 3 ( /3 + ) d d arctag() d 3 log d arcsen() d e d e d cos d cos d (3 4 ) cos d e cos d 4 ( ) 3 d d ( + )( 4) d ( + )( + ) d 3 4 d 3 + d 4. Calcular las siguientes primitivas aplicando la regla de Barrow: 3 + d π/ + cos + sen d π/ π/6 cos sen 3 d π/ π/ cos cos3 d 3 d ( + ) 3/ ( + 5) 3 d 5

6 5. Calcular las siguientes integrales b a π f() d, con f() = d d cos() d 6. Hallar F () en los casos siguientes F () = t dt, F () = { [, ] [, ] t dt, F () = cos + t dt 7. Hallar la aproimación lineal y la cuadrática de la función f() = + dt en el origen. + t 8. Hallar la longitud de los siguientes arcos de curva 4 Integral doble f() = 3, en [, 4] f() =, en [, 3] f(t) = (t sen t, cos t), en [, 4π]. Evaluar las siguientes integrales iteradas: π 3y y y π π (8 y + ) dy d, sol: 8/3 y cos( + y) d dy, sol: 4/ d dy, sol: 3/4 + log 4 (cos sen y) dy d, sol: π 6

7 . En los siguientes problemas, dibujar la región de integración de la integral iterada (a) + f(, y) dy d, (c) 3 6 y f(, y) dy d, (b) 4 y y f(, y) d dy, (d) + f(, y) dy d 3. En los siguientes problemas evalúa la integral doble en la región limitada por las gráficas de las ecuaciones indicadas. Elegir el orden de integración más conveniente: 3 y da, y =, y =, =, sol: / ( + 4y + ) da, y =, y = 3 sol: 5/84 y da, y = 3, y = 8, =, sol: 96 y + y da, y =, y =, =, =, sol: log 4 4. En los siguientes problemas evalúa (+y) da, donde es la región indicada y 4 3 y sol: 4 sol: 48 7

8 5. En los siguientes problemas aplicar una integral doble para determinar el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones indicadas (a) y =, y = sol: 9/ (b) y = e, y = log, =, = 4 sol: e 4 e log 4 (c) y = + 3, y = 3, = sol: 63/4 6. En los siguientes problemas invierte el orden de integración (a) y f(, y) d dy, sol: 4 f(, y) dy d (b) 3 e f(, y) dy d, sol: e 3 3 log y f(, y) d dy (c) f(, y) dy d, sol: 3 y y f(, y) d dy 7. Halla el valor de las siguientes integrales dobles siendo la región indicado por la ecuaciones dadas (a) y da, y =, y =, sol: (b) (c) ( + y) da, y =, y = sol: 7 7 sen(y 3 ) da, y =, y =, =, sol: cos 8 3 8

9 8. Evaluar y da, donde es la región indicada en la figura: y sol: 6/9 9. En los siguientes problemas determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones indicadas (a) + y + z = 6, =, y =, z =, primer octante, sol: 8 (b) + y = 4, y + z = 4,, y, z, sol: π (c) z = + + y, 3 + y = 3,, y, z, sol: 4 (d) z = 4 y, + y =, z =, sol: 5π/4 (e) El tetraedro acotado por los planos coordenados y sol: 6 z = 6 3y, (f) El sólido del primer octante limitado por 9 + 4y = 36 sol: y 3 + 4y 6z = (g) El sólido del primer octante acotado por la superficie sol: del cilindro y = y los planos =, z =, y + z =. Hallar el volumen bajo la superficie de Gaudí z = + ( 3) sen(y) en el dominio [, 6] [, π/]. Sol: 6π 9

10 . Si f (, y) f (, y) para todo (, y) de una región, entonces el volumen del sólido entre las dos superficies y sobre es V = (f (, y) f (, y)) da. En los problemas siguientes aplica este resultado para evaluar el volumen comprendido entre las gráficas de las ecuaciones indicadas (a) + y + z = 4, z = + y,, y sol: 6/9 (b) z =, z = +,, y, y = 5, sol: 35/6. Evalúa las siguientes integrales iteradas (a) (b) π/ cos θ π sen θ r sen θ dr dθ sol: / r dr dθ sol: 4/9 3. En los siguientes problemas, calcula el área de la región dada, haciendo primero un dibujo de la región. (a) La región interior a la circunferencia r = 4 cos θ sol: 3 + 4π/3 y eterior al círculo r = (b) es un pétalo de la rosa de cuatro hojas sol: πa /8 r = sen θ (b) r = sen θ sol: 7π/3 4. En los siguientes problemas, evalúa las integrales utilizando coorde-

11 nadas polares. Dibuja primero la región de integración (a) e +y da en + y 4 sol: π(e 4 ) (b) (c) (d) (e) (f) ( 4 y ) / dy d sol: π( 3) dy d sol: / + y dy d sol: 9π y e +y d dy sol: dy d + + y 4 π(e ) 4 dy d sol: 3π/8 + y

12 5. En los siguientes problemas localiza el centro de masas de la lámina que tiene la forma y la densidad indicadas ( ) 8 (a) =, = 4, y =, y = 3, ρ(, y) = y sol: 3, ( (b) y =, + y = 6, y =, ρ(, y) = y sol: 3, 3 ) ( 7 (c) y =, =, y =, ρ(, y) = + y sol:, 55 ) 47 ( ) 3e 4 (d) y = e, =, =, y =, ρ(, y) = y 3 + sol: 4(e 4 ), 6(e5 ) 5(e 4 ) 6. Halla el centro de masas de la región limitada por y =, y = y cuya densidad es proporcional a la distancia al eje de abscisas. sol: (, 4/7) 7. Halla el centro de masas de la región limitada por y =, y = y cuya densidad es proporcional a la distancia al eje de ordenadas. sol: (, /3) 8. En los siguientes problemas, encuentra los momentos de inercia I, I y, I z para la lámina limitada por las curvas dadas y con densidad ρ(, y) = + y (a) y =, = 9, y =, sol: (69.36, 594.3, ) (b) Cuadrado de vértices sol: 5a5 (,, ) (, ), (a, ), (, a), (a, a) 9. En los siguientes problemas evalúa el momento de inercia indicado en la lámina que tiene la forma y la densidad dadas: (a) r = a, ρ(r, θ) = k, I, sol: πa 4 k/4 (b) El eterior de r = a y el interior de r = a cos θ, y la densidad en un punto P es inversamente proporcional al cubo de la distancia al origen. I y, sol: ka (5 3 4π). Halla el área limitada por las curvas + y =, + y = 4, y =, y =. sol: 3 + 3π 4

13 . Calcula D + y d dy, siendo D el dominio limitado por la circunferencia + y = a. sol: 3πa 4 /. Calcular el volumen limitado por el paraboloide z = + y y el plano z = + + y. sol: 8π 3. Calcular el volumen del sólido limitado por el cono ( + y ) = z y el hiperbolide + y z = a. sol: 4 3 πa3 ( ) 4. En los siguientes problemas determina el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones indicadas: (a) Un pétalo de r = 5 cos 3θ, z =, z = 4. sol: 5π 3 (b) Entre + y =, + y = 9, z = 6 y, z =. sol: π 3 (53/ 7 3/ ) (c) r = + cos θ, z = y, z = en el primer octante. sol: 5 4 3

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