MATE-1207 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. (a) Si f(x,y), g(x,y) son dos funciones continuas en D, entonces

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1 Universidad de los Andes epartamento de Matemáticas MATE-27 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. Conteste Falso o Verdadero. Justifique matemáticamente. (a) Si f(x,y), g(x,y) son dos funciones continuas en, entonces f(x,y)g(x,y)da = f(x,y)da+ g(x,y)da (b) Las integrales función f(x,y). x f(x,y)dydx, y f(x,y)dxdy tienen el mismo valor para cualquier (c) Si la integral doble de una función f(x,y) sobre (disco unitario centrado en el origen incluyendo su frontera) es cero, entonces f(x,y) = para todo (x,y). (d) El mínimo absoluto de una función continua sobre (disco unitario centrado en el origen incluyendo su frontera) debe estar en el origen. (e) El valor de la integral doble de la función f(x,y) = 3x sobre, donde es la región en el segundo cuadrante acotada por y = x, y = y la circunferencia unitaria centrada en el origen es igual a / Halle el valor de la integral doble, 2 4 2y sin(x 2 )dxdy 3. Halle el área superficial del paraboloide hiperbólico z = f(x,y) = y 2 x 2 localizada entre los dos cilindros x 2 +y 2 =, x 2 +y 2 = Halle el área superficial de la porción del planoz = 2+3x+4y encima del rectángulo [,5] [,4]. 5. Halle el centro de masa de una placa plana de forma semi-circular x 2 + y 2 (y ) si la densidad de masa es δ(x,y) = y. 6. Considere en el espacio tridimensional los cilindros: y 2 +z 2 = y x 2 +z 2 =. (a) Plantee la integral con todos sus límites para hallar el área de la superficie de intersección en coordenadas cartesianas en el primer octante. (b) Plantee la integral con todos sus límites para hallar el volumen del sólido acotado por la intersección de los dos cilindros en el primer octante usando, coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas. (c) Evalúe (a mano) el área de la superficie en el primer octante. (d) Evalúe (a mano) el volumen del sólido en el primer octante. 7. Considere ahora los tres cilindros en el espacio tridimensional: x 2 + y 2 =, y 2 + z 2 = y x 2 +z 2 =. (a) Haga un bosquejo, a mano de la intersección de los tres cilindros.

2 (b) Encuentre el volumen del sólido acotado por los tres cilindros. (c) Qué sucede si el radio del primer cilindro no es uno?. Ilustre la situación. (d) Plantee, noresuelva, laintegral paraelvolumendelsólidosielprimercilindroesx 2 +y 2 = a 2 cuando a <. (e) Plantee, noresuelva, laintegral paraelvolumendelsólidosielprimercilindroesx 2 +y 2 = a 2 cuando a >. 8. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido acotado por el cilindro x 2 +y 2 = el paraboloide z = 4 x 2 y 2 y el plano z =, (a) en coordenadas cartesianas, (b) en coordenadas cilíndricas. 9. Plantee la integral triple parahallar el volumen del sólido acotado por el cilindrox 2 +(y ) 2 = el paraboloide z = x 2 +y 2 y el plano z =, (Ver Figura ) (a) en coordenadas cartesianas, (b) en coordenadas cilíndricas. Figura : Problema 9. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido debajo del paraboloide, z = x 2 +y 2 y encima del disco x 2 +y 2 4, (Ver Figura 2) (a) en coordenadas cartesianas, (b) en coordenadas cilíndricas.. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido dentro del cono x 2 +y 2 = 3z 2 y la esfera x 2 +y 2 +z 2 = cuando z en coordenadas esféricas. (Ver Figura 3) 2

3 Figura 2: Problema 2. Exprese la integral triple E f(x,y,z)dv de las seis formas diferentes posibles, donde E es el sólido acotado por: x = y = y = x z = y que está en el primer octante. 3. Exprese la integral triple E f(x,y,z)dv de las seis formas diferentes posibles, donde E es el sólido acotado por: x 2 +z 2 = 4 y = y = 6 4. Exprese la integral triple x 2 x f(x, y.z)dydzdx de las seis formas diferentes posibles. 5. Bosqueje la región de integración y evalúe la integral x cos(y 3 )dydx () 6. emuestre que: x 2 +y 2 +z 2 e x2 y 2 z 2 dzdydx = 2π (2) 7. Una placa plana de forma un cuadrilátero en el plano xy con vértices en el (,), (2,3), (5,), y (3, 2) tiene una función de distribución de densidad de masa δ(x,y) = x+y. Halle la masa de esta placa. Ayuda: Haga un dibujo y convénzase que la placa es de forma un paralelogramo. Halle las ecuaciones de los lados y úselas para hacer una transformación a un sistema de coordenadas adecuado. 8. Encuentre el volumen que está dentro de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 y el cilindro x 2 +y 2 +2x =. 9. Encuentre el área en le primer cuadrante de la región acotada por las curvas y = x 2, y = 2x 2, x = y 2, x = 4y 2. 3

4 Figura 3: Problema 2. Un depósito tapado esta formado por lo que encierran las superficies: S : x 2 + y 2 = 9, S 2 : y +z = 5, S 3 : z =. (a) Calcule el volumen del depósito. (b) Calcule el área de la tapa superior del depósito (S 2 ). 4

5 Respuestas Ejercicios Taller 2 P2 (a) F Contraejemplo, f(x,y) = g(x,y) = (b) F Contraejemplo, f(x,y) = x 2 y 2 (c) F Contraejemplo, f(x,y) = xy (d) F Contraejemplo, f(x,y) = x (e) V 2 4 ( cos6) 3 A = 2π 2 +4r 2 rdrdθ = π 6 ( ) 4 A = m = El gráfico de la intersección de los dos cilindros es, os cilindros Figura 4: Problema 6 La proyección sobre xy (en el primer cuadrante) es el cuadrado [,] [,]. La diagonal del cuadrado del origen a (,) es la proyección de una línea de intersección de los dos cilindros. Esta diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos congruentes. Encima de cada triángulo hay uno de los dos cilindros. Por simetría tenemos, (a) y (c) A = 2 x + x2 dydx = 2 (3) x2 5

6 (b) y (d) 2 x x 2 dydx = 2 π/4 secθ r 2 cos 2 θrdrdθ = 2 3 (4) 7 El gráfico de la intersección de los tres cilindros es, Tres cilindros Figura 5: Problema 7 La proyección sobre xy (en el primer cuadrante) es el sector circular (un cuarto de pizza ) (r,θ) [, ] [, π/2]. La proyección sobre el primer cuadrante son dos sectores circulares congruentes, tomaremos (r,θ) [,] [,π/4]. Encima de cada sector hay uno de los dos cilindros. Por simetría tenemos, 6 π/4 r 2 cosθ 8. En coordenadas cartesianas, [ [ y 2 ] ] 4 x 2 y 2 dz dx dy = y 2 2. En coordenadas cilíndricas, 2π 9 En coordenadas cartesianas, [ 2 [ (y ) 2 x 2 +y 2 ] ] dz dx dy = (y ) 2 rdzdrdθ (5) [ x 2 x 2 [ [ ] ] 4 r 2 rdz dr dθ = 7 2 π. [ ] ] 4 x 2 y 2 dz dy dx = 7 2 π. [ [ + x 2 ] ] x 2 +y 2 dz dy dx = 3 2 π. x 2 6

7 En coordenadas cilíndricas, π [ [ 2sinθ ] ] r 2 rdz dr dθ = 3 2 π.. En coordenadas cartesianas, [ 2 [ 4 y 2 ] ] x 2 +y 2 dz dx dy = 2 4 y 2 2 [ [ 4 x 2 ] ] x 2 +y 2 dz dy dx = 8π. 2 4 x 2 2. En coordenadas cilíndricas, 2π [ [ 2 ] ] r 2 rdz dr dθ = 8π. En coordenadas cilíndricas: 2π [ [ 3/2 ] ] r 2 rdz dr dθ = (6) r/ 3 2 La ecuación y = es irrelevante porque el plano x = y en el primer cuadrante determina la recta y =. La proyección sobre el plano xy es una figura de tres caras limitadas las curvas y = x, x =, y y =. El taller se calificará bien si se toma la región en el plano xy acotada por x = (no incluida en el problema), y = x, x =. En el planteaminto de las dos últimas integrales, la proyección del sólido E sobre el plano xz es un cuadrado de lado, pero la integral sobre E no se puedeexpresar como una sola integral triple. La curva intersección de las superficies y = x, z = y es una curva que se proyecta sobre el plano xz en la curva x = z (eliminando y ). Esta curva divide el cuadrado en dos partes. Por lo tanto, debemos expresar una suma de dos integrales triples dependiendo de la parte del cuadrado. x y y y 2 y z x x ( z) 2 x f(x,y,z)dzdydx f(x,y,z)dzdxdy y 2 f(x,y,z)dxdzdy y 2 f(x,y,z)dzdydx f(x,y,z)dydzdx+ f(x,y,z)dydxdz + z x ( z) 2 z f(x,y,z)dydzdx f(x,y,z)dydxdz (7) 3 Las proyecciones son: 7

8 . Sobre el plano xz un disco. Aunque en este punto se debe usar coordenadas cartesianas usaremos coordenadas cilíndricas solo como ilustración (ver séptimo y último planteamiento - opcional). x = rcosθ z = rsinθ (8) y = y Valor absoluto del Jacobiano r. 2. Sobre el plano xy un rectángulo. Coordenadas cartesianas. 3. Sobre el plano yz un rectángulo. Coordenadas cartesianas x x z z x x z z 2 2π x 2 f(x,y,z)dzdydx 4 x 2 f(x,y,z)dzdxdy 4 z 2 f(x,y,z)dxdydz 4 z 2 f(x,y,z)dxdzdy f(x,y,z)dydzdx f(x,y,z)dydxdz f(r,θ,y)rdydrdθ (9) 4 Las proyecciones son:. Sobre el plano xy un triángulo. 2. Sobre el plano xz un cuasi-triángulo rectángulo (un lado curvo) 3. Sobre el plano yz un cuadrado, pero no se puede expresar en una sola integral. Las superficies z = x 2, y = x es una curva cuya proyección sobre el plano yz es: z = ( y) 2 que es equivalente a z = 2y y 2 (parábola abierta hacia abajo, con vértice en (,) y que pasa por el origen). Techo z = x 2 Piso z = (Triángulo) Pared y = x (plano) Pared 2 x = (plano coordenado, cuadrado) Pared 3 y = (plano coordenado, cuasi-triángulo) () 8

9 H x x 2 y x 2 x 2 x z x 2y y 2 y (2 4 4z)/2 y f(x,y,z)dzdydx f(x,y,z)dzdxdy f(x,y,z)dydzdx f(x,y,z)dydzdx f(x,y,z)dxdzdy + f(x,y,y,z)dxdydz + z 2y y 2 f(x,y,z)dxdzdy (2 4 4z//2 z f(x,y,y,z)dxdydz () 5 y 2 cos(y 3 )dxdy = sin() (2) 3 6 Con las coordenadas esféricas (r, ϕ, ψ) tenemos que, Calculamos, r 3 e r2 dr = x 2 +y 2 +z 2 e x2 y 2 z 2 dzdydx = = 2π r 2 e r2 2 2rdr = 2 ( con la substitución u = r 2 ) = 2 2π π dψ sinϕdϕ r 2 e r2 d(r 2 ) = [ π [ ue u du = 2 ] ] re r2 r 2 sinϕdr dϕ dψ = r 3 e r2 dr = 2π 2 (( ue u ) + r 3 e r2 dr. ) e u du = 2. 9

10 Entonces, x 2 +y 2 +z 2 e x2 y 2 z 2 dzdydx = 2π 2 = 2π. (3) 2 7 La placa P es un paralelogramo (ver Figura 6). Necesitamos encontrar las ecuaciones de las rectas Figura 6: Problema 7. La placa P AB, BC, C, A. Existen varios métodos para hallar la ecuación de la recta PQ, que pasa por los puntos P(x P,y P ) y Q(x Q,y Q ). Usaremos el siguiente método: La ecuación de la recta PQ es, Entonces, [ x xp y y PQ : det P x Q x P y Q y P ] =. [ ] x y AB : det = 3x 2y =. 2 3 [ ] x 2 y 3 BC : det = 2x+3y 3 = [ ] x 5 y C : det = 3x 2y 3 = [ ] x y A : det = 2x+3y =. 3 2 Ahora podemos cambiar las coordenadas: { { u = 3x 2y x = 3 v = 2x+3y 3 u+ 2 3 v y = 2 3 u+ 3 3 v (4) Luego, las rectas tienen ecuaciones siguientes con respecto a las coordenadas u y v (ver Figura 7): AB : u = ; BC : v = 3; C : u = 3; A : v =.

11 Figura 7: Problema 7. El Jacobiano del cambio de las coordenadas es, [ ] J 3 2 = det = 3 J = y Entonces, la masa de la placa P es M = δ(x,y)da = P δ = x+y = 3 (u+5v) (u+5v) 3 33 dvdu = = 39 8 Reescribimos la ecuación del cilindro, (x + ) 2 + y 2 =. Entonces, tenemos que encontrar el volumen del solido sobre el circulo dada por la ecuación (x+) 2 +y 2 = acotado por la gráficos de las funciones z = ± 4 x 2 y 2, [ ] 4 x 2 y 2 dz dxdy = [2 ] 4 x 2 y 2 dxdy. 4 x 2 y 2 Usamos las coordenadas cilíndricas, x = rcosϕ, y = rsinϕ, entonces, la ecuación de la circunferencia x 2 +y 2 +2x = con respecto a coordenadas polares es r = 2cos(ϕ), donde π/2 ϕ 3π/2. Por lo tanto, 3π/2 π/2 [ 2cos(ϕ) 2 ] 4 r 2 rdr dϕ = 6 3 3π/2 9 ibujamos las parábolas (ver Figura 8). Cambiamos las coordenadas: π/2 ( sin(ϕ) 3 )dϕ = 6 3 (π 4 3 ). { u = y 2 /x v = x 2 /y { x = u 2/3 v /3 y = u /3 v 2/3 El Jacobiano es (x,y) (u,v) = 3. Las parábolas tienen las ecuaciones u =, u = /2, v =, v = /2 con respecto a las coordenadas u y v. Entonces, el área de la región es, [ ] A = da = /3du dv = /2 /2 2.

12 Figura 8: Problema 9. 2 a) Sea el círculo x 2 +y 2 = 9. Entonces, el volumen del sólido (ver Figura 9) es, [ 5 y ] dz da =. (4 y)da Usamos las coordenadas polares, x = rcosϕ, y = rsinϕ, entonces y+z=5 z= 2π Figura 9: Problema 2. [ 3 ] (4 rsinϕ)rdr dϕ = 36π. b) Usamos la formula del área del gráfico de la función f(x,y) = 5 y, entonces encontramos que A = +fx 2 +f2 y da = 2dA = 2 da = 9 2π, porque el área del círculo es 9π. 2

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