Uso de cópulas en la estimación del capital económico

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1 Uso de cópulas en la estimación del capital económico Centre de Recerca Matèmatica, CRM Bellaterra, Barcelona 22 de febrero de 2.013

2 Índice 1.- Capital regulatorio: modelo de Merton 2.- Capital económico: simulación de Montecarlo 3.- Capital económico: uso de cópulas PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 2

3 1. Capital regulatorio: modelo de Merton LGD N G( PD) 1 1 R G(0.999) R 1 R PD G= Func. Distr. Normal Inversa N= Func. Distr. Normal Directa R= Correlación PD = Probabilidad de incumplimiento LGD = Severidad Riesgo de crédito

4 Capital regulatorio: Modelo de Merton Algunas preguntas Por qué? De dónde procede? Cómo surge? Qué hipótesis asume? Se puede mejorar? En qué se fundamenta? PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 4

5 Capital regulatorio: Modelo de Merton Dos riesgos Riesgo sistémico Representa el efecto de los cambios inesperados y adversos del sistema en las variables macroeconómicas y financieras (PIB, Paro, etc.) Riesgo idiosincrásico Representa el efecto de riesgo dependiente de cada una de las contrapartes (decisiones de inversión, etc.) PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 5

6 Capital regulatorio: Modelo de Merton Algunas hipótesis (discutibles) del modelo Modelo unifactorial Granulado infinito Comportamiento asintótico Normalidad subyacente Todos los clientes dependen de un único factor de riesgo (sistémico). Concepto de distancia al default La exposición de cada cliente constituye un porcentaje insignificante de la exposición total Diversificación del riesgo idiosincrásico R i El número de clientes de la cartera tiende a infinito Argumento de paso al límite El valor de los activos de las contrapartes se expresan como Y 1 Y, e i N(0,1); r i correlación i i i PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 6

7 Capital regulatorio: Modelo de Merton Algunas hipótesis analíticas y topológicas del modelo 1. U i [0,1] y condicionadas a Y son mutuamente independientes EAD n EAD i > 0, EAD i y >0,, O n n EADi i1 3. Y es unidimensional 4. B, entorno abierto de q (Y), y n 0 IRtales que n>n 0 i. E [ L n Y ] es no decreciente en B ii. iii. sup E[ L xb inf E[ L xb n n Y] Y] E[ L 5. B, entorno abierto de q (Y), para el cual inf x sup B sup x inf B E[ L n n Y] Y] i. Función de distribución de Y es continua (y creciente) ii. i, i (y) es continua y diferenciable en B iii. c, d, n 0 <,, n>n 0 0 < c M n (y) d PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 7

8 2. Capital económico: simulación de Montecarlo

9 Capital económico: simulación de Montecarlo Tipos de capital económico VISIÓN INTEGRADA DE RIESGOS Enfoque Top Down VISIÓN INDIVIDUAL DE RIESGOS Enfoque Bottom Up PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 9

10 Capital económico: simulación de Montecarlo El cálculo de la cifra de CAPITAL ECONÓMICO permitirá EVITAR, entre otras, las siguientes RESTRICIONES que presenta el CAPITAL REGULATORIO LIMITACIONES EN LOS FACTORES QUE INCIDEN EN EL CÁLCULO DEL CONSUMO DE RECURSOS (Límites sobre valores de factores y rejones regulatorios) AVERSIÓN AL RIESGO (Rating objetivo de la Entidad vs rating resultante de Basilea) CRITERIOS DE AGREGACIÓN DE RIESGOS (Diversificación) INCLUIR EN UNA ÚNICA CIFRA LA TOTALIDAD DE RIESGOS DE LA ENTIDAD PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 10

11 Capital económico: simulación de Montecarlo Métricas de riesgo Valor en Riesgo (VaR) vs. Expected Shortfall (ES) Medida de riesgo coherente Importancia de las colas de las distribuciones. Eventos extremos Teoría de valores extremos Medidas de riesgo coherentes Caracterización El VaR no cumple la sub-aditividad PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 11

12 Capital económico: simulación de Montecarlo Simulación de Montecarlo. Pros y contras Pros Contras Control conjunto de los escenarios Modelización de cada factor de riesgo según su comportamiento no normalidad. Correlaciones explícitas entre los factores de riesgo Inclusión de la diversificación Posibilidad de incluir la compensación de pérdidas con beneficios entre áreas / riesgos Presencia de riesgos diversificables y no diversificables Cálculo de capital según rating objetivo Posibilidad de calcular capital en cualquier percentil aplicando modelización EVT Diferentes horizontes regulatorios de capital No se utilizan los datos de gestión para el cálculo del capital Capital regulatorio calculado sobre diferentes niveles de confianza Criterio de signos diferentes según el riesgo Dependencia de todas las áreas de riesgo para el proceso distribuido Herramientas de valoración / cálculo de pérdidas no preparadas para utilizar escenarios Existencia de un equipo potente técnicamente para la total comprensión del modelo y mantenimiento PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 12

13 3. Capital económico: uso de cópulas

14 Capital económico: uso de cópulas Definición de Cópula La cópula n-dimensional es una función de distribución n-dimensional restringida a [0,1] n teniendo marginales uniformes estándar F función de distribución n-dimensional IR n [0,1] F i funciones de distribución unidimensional IR [0,1] C cópula [0,1] n [0,1] Si X es v.a. con función de distribución F, entonces F(X) U(0,1) Densidad: f ( x1,..., xn ) C( F1 ( x1),..., Fn ( xn )) fi ( xi ) PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 14

15 Capital económico: uso de cópulas Teorema de Sklar Para cada función de distribución conjunta F, con marginales Fi, existe una cópula C tal que Además, si las Fi son continuas, la cópula es única El recíproco también es cierto Algunas propiedades Si alguna componente es cero, entonces C=0. C(1, 1,, u k,, 1) = u k C es creciente en cada componente. C es invariante ante transformaciones crecientes de las componentes PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 15

16 Capital económico: uso de cópulas 2 conceptos muy relacionados con las cópulas Correlación Diversificación Pearson Kendall Spearman Dependencia de las colas Niveles de correlación Asimetría en las correlaciones Colas pesadas de las distribuciones Existen evidencias relacionando la crisis y eventos de pérdidas extremos Hechos En tiempo de crisis, existen dependencias claras entre las colas Mayor riesgo de contagio: mayor probabilidad de arrastre en la caída (Co)Relación no lineal entre variables / factores de riesgo Teoría de valores extremos Copulas no simétricas Medidas de riesgo condicionadas PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 16

17 Capital económico: uso de cópulas Ejemplos de cópulas Familia elíptica Simétricas Asociadas a funciones con dist. elíptica 1 2 f ( x) g(( x )' ( x Normal - gaussiana )), g creciente Familia arquimediana Generadas a partir de una func. generatriz Frank 1 C( u1,..., un; ) ( ( u1)... ( un )) Simétrica Independencia asintótica en colas. Prob=0 a eventos en colas t-copula Clayton Gumbel Asimétrica Modeliza dependencia negativa Mayor probabilidad eventos en cola izquierda Asimétrica Modeliza dependencia positiva Es posible usarla como copula de valor extremo (colas pesadas) HRT No arquimediana Cópula supervivencia de la Clayton Es posible usarla como copula de valor extremo (colas pesadas). Depend. positiva PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 17

18 Capital económico: uso de cópulas Líneas abiertas para investigar Criterios de adecuación de las cópulas selección Cómo testar la bondad?. Capital = Pérdidas inesperadas. La relación de las distribuciones de PyG no observables directamente Diferentes riesgos Diferentes distribuciones marginales de pérdidas/beneficios Cómo se comportan las cópulas? Generalización de resultados bidimensionales Cálculo de la diversificación entre los riesgos vía cópulas Cálculo de la compensación entre los riesgos (beneficios compensan pérdidas) Relacionar la situación sistémica con las necesidades de capital individuales PwC 2013 PricewaterhouseCoopers Asesores de Negocios, S.L. Prohibida su revelación o reproducción sin autorización expresa del autor. 18

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