En este caso, el valor actual de una unidad monetaria pagadera al final del año de fallecimiento de

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1 Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos.4. SEGURO VIDA ENTERA.4.. Planteamento general En este caso, el valor actual de una undad monetara pagadera al fnal del año de fallecmento de una cabeza de edad, es una varable borroso aleatora ue notamos como ~, y vene dada por: ~ ~ = f t + con,,,,-- para la cual, y a un nvel α, a través de f tα =[f t (α,f t (α, podemos hallar la funcón de cuantía de la varable aleatora nferor (α y de la superor (α como: α = f t + con y ( = f t con ( α +,,,,-- Así pues, la esperanza matemátca de ~, ue notaremos como α-cortes venen dados por: [ A ~ será un número borroso cuyos A α = A, A = f, f B, B = t t Sn embargo y como ocurrrá en las estructuras actuarales ue analzaremos a contnuacón, no podemos hallar la epresón analítca de la funcón de pertenenca de la esperanza matemátca, la varanza o la desvacón estándar, ya ue s se utlzan varos tpos de nterés, debemos realzar la convolucón de las funcones de pertenenca de las funcones de pertenenca de cada uno de los tpos de nterés o de los factores de actualzacón ue defnen, o ben, s se utlza un tpo de nterés únco, no este epresón análtca de dcho tpo de nterés como funcón del valor actual de una renta. Asmsmo, la varanza borrosa toma como epresón de los α-cortes: + V[ α = R y = ( =[Mn y, Ma y t y t +, f = α En prncpo, no sólo no podemos dar una epresón de su funcón de pertenenca, sno ue no podemos dar una epresón analítca para sus α-cortes ya ue no es una funcón monótona de los tpos de nterés utlzados en la actualzacón. Sn embargo, para cada nvel α para la ue 57

2 . Análss de las prncpales estructuras actuarales con el tpo de nterés de valoracón estmado a través de números borrosos ueramos calcularla, resolveremos el etremo nferor y el superor de ésta sn más ue plantear los programas matemátcos: Mnmzar (Mamzar y ( s.a.: f f t + t + = t +,,,..,-- Sn embargo, s aplcamos la apromacón a la varanza propuesta en el apartado.6.. de la prmera parte de la tess, el resultado ue obtendremos nclurá el α-corte de la varanza. Los α- cortes de D ~ [, como sempre, se obtendrán sn más ue calcular la raz cuadrada de la varanza. La varanza de Feng se hallará partendo de: [ V[ (α= f ( - A ( α y V[ (α= f ( - A t + α [ [ t + α [ y así, V * [= f { } [ + [ f [ A + [ A = f {[ + [ f } dα [ A + [ A { } dα dα =.4.. Análss cuando el tpo de nterés a aplcar es un número borroso constante S el tpo de nterés aplcar a lo largo de toda la vda del contrato es un número borroso ~ constante para toda la operacón, las varables aleatoras (α y (α venen dadas por: (t ( α = ( + y ( α = ( + con +,,,,-- Sendo entonces los α-cortes de A α = [ A, = A ~ : A (, ( + + Asmsmo, la varanza, borrosa [ V ~, se obtendrá como un número borroso para el cual los etremos de los α-cortes se hallarán resolvendo los programas matemátcos: 58

3 Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos Mn (Ma y = ( + ( + s.a., De forma ue obtendremos el nterés para el cual la varanza toma un valor mámo ** y mínmo * y el valor de la funcón objetvo en estos puntos y**, y*. Por tanto, los α-cortes de la varanza, V[ α son: * ** [ = [ y, y V α = ( + ( + * ** ( + ( + * **, Sn embargo, como sólo aplcamos un únco tpo de nterés borroso durante toda la vda del contrato, tal como se ha comentado en el apartado.8., sólo este un valor ue cumpla las condcones de etremo relatvo de la varanza para un nterés [,. S dcho nterés de actualzacón ue denomnaremos como * puede ser hallado a través de métodos numércos, o con un pauete nformátco al efecto-, una forma relatvamente senclla de calcular los α-cortes de la varanza es: Paso : Determnar el nterés certo * para el cual V[(, ue es una funcón del tpo de nterés de valoracón, presenta un mámo. En este tpo de seguros, y para [,, ya comentamos en el apartado.8. de la prmera parte de la tess ue podíamos representar a la varanza como: V[( V[( * * (nterés 59

4 . Análss de las prncpales estructuras actuarales con el tpo de nterés de valoracón estmado a través de números borrosos Paso : Determnar la escala de verdad para la cual se pretende determnar los α-cortes. La msma es una sucesón de nveles de presuncón α = α α k α n =. Por ejemplo, s se trata de una escala endecadara, n=, donde 9 8. Paso : Determnar los α-cortes de ~ para dcha escala, de forma ue se obtene la sucesón de ntervalos de números reales postvos: = α... α = α. n Paso 4: Calcular V[ α de la sguente forma: Caso a: ( *. En este caso estamos en el tramo decrecente de la varanza. Gráfcamente observamos: V[( V[( * V[( ( V[( ( * ( ( (nterés Es nmedato ue los α-cortes α de V ~ [ V [ α = son: ( + [ A, ( + [ A Caso b: ( *. En este caso, cualuer nterés a aplcar con ( µ se stúa en el tramo ~ > crecente de la funcón varanza, lo cual podemos comprobar gráfcamente: V[( V[( * V[( ( V[( ( ( ( * (nterés 6

5 Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos de forma ue: ( + [ A, ( + [ A V [ α = Caso c: *. En este caso, la representacón gráfca del caso c es: V[( V[( * V[( ( V[( ( ( * ( (nterés En prmer lugar, debemos determnar Mn k {α k }, k {,,,,n} para el cual * calculamos los α-cortes como: [ α<α k, como * α, los α-cortes de la varanza son V [ α = V [, V [ V [ = Mn + donde: ( [ n A, ( + [ n A V [ = * * (t ( + + ( + α k. Así, α α k, como * α, los α-cortes del nterés se stúan en la parte crecente de la varanza (a la zuerda de * o el tramo decrecente de la funcón varanza, es decr, a la derecha de *. Dependendo del caso en ue nos encontremos, computamos los α-cortes de la sguente manera: c. S (α k > *, es decr, nos encontramos en el tramo decrecente de la varanza sendo por tanto, su epresón la msma ue en a: ( + [ A, ( + [ A V [ α = 6

6 . Análss de las prncpales estructuras actuarales con el tpo de nterés de valoracón estmado a través de números borrosos c. S (α k < *, es decr, nos encontramos en el tramo crecente de la varanza y por tanto estamos ante el caso b: ( + [ A, ( + [ A V [ α = Asmsmo, una vez hemos hallado V[ α, es nmedato determnar los α-cortes de D ~ [. Por otra parte, la varanza de Feng, se calculará a partr de la epresón del apartado.4.., susttuyendo en los etremos de los α-cortes de los factores de actualzacón por la epresón ue corresponda de los etremos de α. Asmsmo, D * [ se hallará como la raíz cuadrada del valor de V * [..4.. Análss cuando el tpo de nterés a aplcar es un número borroso constante y trangular Como las varables aleatoras nferor y superor de ~ venen determnadas por el tpo de nterés superor e nferor respectvamente, las epresones correspondentes a su funcón de cuantía son: ( α = ( + ( α con,,,,-- ( α = ( + + ( α con,,,,-- Así, los α-cortes de A ~ son: A α -- = ( + ( α, ( + + ( α Los α-cortes de la varanza borrosa se pueden hallar de la forma eplctada en el apartado anteror, sn más ue consderar ue (α= +( - α y (α= -( - α, hallándose nmedatamente, por supuesto, los de la desvacón estándar a través de V[ α. Asmsmo, la varanza de Feng se halla de la sguente forma: V * [= [( + ( α + ( + + ( α ( + ( α + ( + + ( α dα dα = 6

7 Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos = [( + ( α + ( + + ( α j= ( + ( + ( t α j+ j ( j= ( + + ( dα = [ [ j= ( + t t ( + t t + t j t j t j t j [( + ( + [( + ( + + α j+ j j + t + j dα =.4.4. Aplcacón numérca A contnuacón realzamos dversas aplcacones numércas de esta estructura. Utlzaremos como sempre las tablas de mortaldad PEM 8 y un nterés constante a lo largo de toda la vda del contrato ~ = (', ', '5. Suponemos un captal asegurado de. undades monetaras. Las edades de los hpotétcos asegurados son =5, 45, 6 y 75 años, de forma ue, por ejemplo, para el asegurado de 5 años, las varables borroso aleatoras nferor y superor ue para un nvel de presuncón α defne ~ son: y, = ('5 'α con, t =,,...,79 = (' + 'α con, t =,,...,79 En prmer lugar obtendremos la esperanza matemátca de la varable borroso aleatora asocada a esta estructura actuaral, A ~ y la bondad de la apromacón trangular con la metodología ue vene sendo utlzada a lo largo de la tess, asuméndose como sempre una escala endecadara. Para ello, y de forma análoga a lo realzado en el apartado de la prmera parte de la tess, dado ue A ~ se halla como t B~ ; y ue conocemos el error absoluto mámo ue se comete en los α-cortes de la esperanza matemátca del valor actual de los captales de fallecmento ue ntervenen en el cálculo de A ~ podemos dar una acotacón superor al error ue se comete al apromar A ~ trangularmente. Para t B ~ notaremos a dchos errores como D * I (t y D * D (t, los cuales se establecen en los nveles de presuncón obtendos prevamente, α I * (t y α D * (t, y cuya epresón puede encontrarse en el apartado..4. De esta forma, el error mámo ue podemos 6

8 . Análss de las prncpales estructuras actuarales con el tpo de nterés de valoracón estmado a través de números borrosos cometer en el nvel de presuncón de un valor por apromarlo a través de un número borroso trangular a A ~ vendrá acotado por: Ma A * D I ( t ( A (, A * D D ( t ( A ( El valor de la esperanza matemátca ya apromado medante un NBT, la acotacón del error cometdo por la apromacón trangular y V * [ y D * [ venen dados en el sguente cuadro. Edad A ~ Error V * [ D * [ 5 (5,5,,48, 49,49, 896,87 7,5 45 (8,86, 9,66, 54,7,8 46,8 56,85 6 (9,, 55,5, 666,,6 74,74 64,64 75 (6,4, 74,9, 8,7, 965,59 4,9 Podemos comprobar ue a medda ue la edad del asegurado aumenta, el ajuste trangular a A ~ es mejor. Ello es debdo a ue se ncorporan cada vez menos factores de descuento con vencmentos lejanos, ue son los ue peor uedaban ajustados por un número borroso trangular. En nuestra aplcacón numérca, podemos observar ue para una escala endecadara no podríamos aceptar la apromacón trangular de A ~ 5, ya ue puede producr en determnados valores un cambo en la escala de verdad a la ue pertenecen. Sn embargo, para edades superores s ue podemos aceptar la apromacón trangular de A ~. A contnuacón presentamos para las msmas estructuras anterormente analzadas, la epresón D ~ en una escala endecadara y epresamos el nterés * para el cual de los α-cortes de [ V ~ y [ la varanza como funcón del nterés alcanza mayor valor. =5 años * =,7 =45 años * =,447 α V (α V (α D (α D (α V (α V (α D (α D (α 58,5 894,69 5,7 7,57 777,5 64,6, 6,, 6,9 894,69 7,67 7, ,6 64,6 6,5 6,, 6749,4 894,69 9,4 7,57 9,45 64,6 8,97 6,, 748,6 894,69,95 7,57 6,7 68,4 4,48 6,98,4 75, 894,69,9 7,57 675,47 677, 4,79 6,79,5 786,76 894,69,44 7,57 9,4 65,6 45,9 6,5,6 87,76 894,69 4,4 7,57 86,8 58,6 47,86 6,6,7 894,9 894,69 5,6 7,57 9,7 5467,79 49,64 59,59 64

9 Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos,8 8479,99 894,69 5,94 7,57 879,4 5, 5,6 58,8,9 869, ,7 6,49 7,44 7, ,6 5,7 56,6 8746, ,54 6,9 6,9 77,6 77,6 54,7 54,7 =6 años * =,74 =75 años * =,786 α V (α V (α D (α D (α V (α V (α D (α D (α 674,56 586,5 7,8 89, 989, 45, 99,45 79,, 77,79 59,6,5 87,6 65,5 774,, 75,4, 856, 4466,67 4,74 85,65 4,76 946,76 6,88 7,64, 99,79 654,4 8,7 8,45 99,4 88,76,45 67,66,4 6,89 75,68 4,64 8,97 98,99 676,9,9 6,45,5 984,6 75,9 44,86 78,9 766,4 588,8 7, 59,,6 88, 654,94 47,9 75,9 455,58 85,8,64 54,5,7 756,8 9455,7 5,85 7,6 54,,4,86 49,44,8 65,4 85,4 5,64 67,79 6,69 89,94 7, 44,6,9 448,7 674, 56, 6,5 698, 965,65,7 8,8 56,9 56,9 58,8 58,8 77,8 77,8,6,6 Sendo por ejemplo, la representacón apromada de [ ( µ [ ( V ~ µ para un asegurado de 5 años: V ~ 9 58,5 8746,54 894,69 y para una edad de 75 años: µ [ ( V ~ 989, 77,8 45, 65

10 . Análss de las prncpales estructuras actuarales con el tpo de nterés de valoracón estmado a través de números borrosos No analzaremos en este caso la apromacón trangular a la varanza. Podemos comprobar, ue, por los métodos ue hemos propuesto, es decr, ajustando un número borroso trangular con el µ, ~ * > msmo núcleo y soporte, en los casos en ue el tanto de nterés crítco * cumple ue ( por ejemplo, lo ue ocurría para una edad de 5 años, dcho ajuste no tene sentdo. Por supuesto, el msmo problema se tendrá con la desvacón estándar. Otra cuestón dstnta es ue * no pertenezca al núcleo del número borroso con el ue realzamos el cálculo del valor actual, lo cual ocurre, por ejemplo, para una edad de 75 años. En este caso s podría analzarse la bondad del ajuste trangular de la varanza, o de la desvacón estándar borrosa, mantenendo el núcleo y el soporte del número borroso de partda..5. SEGURO TEMPORAL.5.. Planteamento general En este caso, el asegurado recbe una undad monetara al fnal del año de fallecmento s este sucede dentro de los prómos n años, en caso contraro no recbe ndemnzacón. El valor actual de este captal contngente untaro es una varable borroso aleatora ue notamos como ~, y vene dada por: ~ f con t = =,,..., n - ~ con n p la cual, vendrá caracterzada por las correspondentes varables aleatoras nferor, (α, y superor (α: f con t =,,..., n = y con n p f t = + con con n p t =,,..., n En cualuer caso, supondremos ue la duracón será n>, ya ue en caso contraro sería un captal de fallecmento en, y este puede ser analzado según lo epuesto en.. Así pues, la esperanza matemátca de ~, ue notaremos como cuyos α-cortes venen dados por: [ n A ~, será un número borroso na α = A, A = f, f = B (, B n n n n n t n α t 66