PROYECTO FIN DE CARRERA LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INGENIEROS INDUSTRIALES

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1 PROYECTO FIN DE CARRERA Presentado a: LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Para obtener el título de: INGENIEROS INDUSTRIALES Por: Carlos Alfonso Cuervo Rodríguez Nicolas Montaño Cárdenas Modelo de programación lineal entera- mixta, para la planeación de pedidos de generadores de material radioactivo, en la producción de radiofármacos. Diciembre 2013 Bogotá, Colombia

2 Composición del jurado Asesor: PhD Carlos Montoya, Investigador Postdoctoral, Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de Los Andes Jurados: MSc Eliécer Gutiérrez, Profesor, Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de Los Andes. Ing. Camilo Duran Chaparro, Profesor, Departamento de Física, Universidad de Los Andes.

3 Tabla de Contenido 1. INTRODUCCIÓN MARCO TEÓRICO Radiofármacos Funcionamiento de un generador de tecnecio Manejo de inventarios perecederos Modelo de Planeación Pronósticos Suavización Exponencial Simple Modelo de Holt Modelo Holt-WInters ARIMA Medidas de error Pruebas de bondad de ajuste Prueba Chi cuadrado Prueba Kolmogorov-Smirnov DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA METODOLOGÍA Metodología General Metodología Específica ESTRUCTURACIÓN DEL PROBLEMA Objetivo general Objetivos específicos Principales aspectos del problema OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN Demanda Nominal: Demanda Real: Costos de generadores Disponibilidad de los tanques de farmacia Disponibilidad de los tanques de venta MODELO CUALITATIVO MODELO CUANTITATIVO Modelo de Optimización Táctico Conjuntos... 26

4 8.1.2 Parámetros Variable de decisión Restricciones Funcione objetivo: Modelo de Optimización Operacional Conjuntos Parámetros Variable de decisión Restricciones Modelo de Optimización Integrado Conjuntos Parámetros Variable de decisión Restricciones Función objetivo: Parámetros de entrada del modelo lineal Estimación de la demanda del material radioactivo: RESULTADOS Mejor solución del número de corridas Configuración de tanques: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Aumento gradual de la demanda en farmacia: Disminución gradual de la demanda de farmacia: Escenario de mayor venta de tanques: Mejor Escenario Mejor escenario con aumento gradual de la demanda en farmacia: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES AGRADECIMIENTOS BIBLIOGRAFÍA ANEXOS Anexo 1: Comportamiento de los generadores de Tecnecio Anexo 2: Valores críticos para la prueba Kolmogorov-Smirnov Anexo3: Ficha técnica de los resultados del modelo para seleccionar el mejor número de corridas

5 Anexo 4: Información histogramas y valores esperados Anexo 5: Resumen distribuciones y pruebas de bondad de ajuste Anexo 6: Configuración de tanques para diferentes incrementos de la demanda Avexo7: Configuración de tanques con disminución de la demanda INTRODUCCIÓN Los elementos radioactivos hoy en día se han convertido en grandes aliados de la medicina nuclear, que por medio de rayos gamma, permiten la visualización en detalle del comportamiento de cierto órgano a tratar. Estos exámenes con rayos gamma son conocidos como gammagrafías y son utilizados en varios órganos como lo son: riñones, pulmones, sistema óseo entre muchos otros. Los radiofármacos, como son conocidos estos elementos radioactivos, tienen varias características importantes que se deben tener en cuenta para su manipulación: La primera de ellas es que su tiempo de vida es limitado, ya que sufre de un decaimiento, lo cual significa que al cabo de cierto tiempo su actividad radioactiva se pierde, y la segunda es que presenta riesgos para la salud humana y por último su transporte y contención son de especial cuidado. En la literatura se encuentran varias publicaciones sobre cómo manejar productos o materiales con esta característica de decaimiento, pero no precisamente radioactivos, sino modelos orientados a manejo de alimentos o drogas con tiempo de caducidad y los llaman productos perecederos. Algunos de los modelos son extensiones de modelos más generales de manejo de inventarios, como el de Ning Hsu, V. ( 2000), el cual es un modelo de lote económico de producción (ESL), el cual considera inventarios perecederos. También se encuentran modelo de EMQ como el que presenta Shen, Dessouky y Ordonez, F. (2011), para gestionar el stock de éste tipo de productos. Estos modelos se centran en determinar las cantidades óptimas a pedir en el momento indicado para satisfacer una determinada demanda con cierto nivel de servicio. Por otro lado tienen en cuenta tasas de deterioro que afectan sus costos de mantenimiento y la vida útil de los productos que tienen en inventario. Más adelante se presentarán los modelos de inventarios perecederos utilizados como referencia y se explicará la razón por la que dichos modelos matemáticos no se ajustan al caso de estudio de la presente tesis. El proceso productivo de las dosis de radiofármacos que son inyectadas a los pacientes es de especial cuidado. Para generar una dosis se necesitan dos cosas: una es el fármaco que se adherirá al fluido del órgano y dos, el elemento con determinada actividad radioactiva que permitirá que el paciente al pasar por los rayos gamma, el órgano sea visible. El elemento químico es conocido como Tecnecio, el cual tiene una vida media de 6 horas, es decir que al cabo de éste tiempo, su actividad radioactiva se reducirá a la mitad, es decir que a cada periodo de tiempo la concentración de radiactividad del elemento se irá decayendo. Esto último es de gran importancia porque si la dosis necesita cierta radioactividad para una hora determinada, entonces en el momento de la producción de la dosis se debe tener en cuenta el

6 tiempo desde que se produce, hasta que es inyectada en el paciente, ya que en este lapso de tiempo la actividad del elemento habrá decaído. Por otra parte el elemento químico es extraído de unos tanques, llamados generadores. Estos en su interior contienen otro elemento químico llamado Molibdeno, del cual al descomponerse o deteriorarse se deriva su isotopo Tecnecio. Es decir que cada día al descomponerse el Molibdeno se generará una cierta cantidad de Tecnecio, la cual día tras día es menor hasta que finalmente se agota. Cada vez que se toma material (Tecnecio) de un tanque, se denomina elución. La empresa labora doce horas al día, en las que en intervalos de tiempo de misma duración llamadas corridas fabrican las dosis necesarias. En un día si se realizaran seis corridas, eso implicaría hacer una cada dos horas. Una corrida es una puesta en marcha de la producción, donde se inicia con la elución del tanque, posteriormente se añade el fármaco al material radioactivo, y finalmente las dosis son empacadas y despachadas. En el mercado existen variedad de tamaños de tanque que ofrecen diferentes cantidades de Tecnecio al día, por lo que las empresas dedicadas a la fabricación de estas dosis, se enfrentan al problema de determinar la mejor configuración de tanques, días en los que piden los tanques y cantidad de corridas que hacen al día, para aprovechar al máximo lo que los tanques generan cada día para satisfacer la demanda. La presente tesis propone un modelo de optimización lineal entero-mixto, que permita asignar los tanques, donde se conoce con anterioridad las cantidades de Tecnecio que los diferentes tipos de tanque ofrecen día a día en un lapso de tiempo de dos semanas. Por otro lado se hace un trabajo previo de análisis de la demanda de material radioactivo de la empresa, para así determinar los mejores parámetros que alimentarán el modelo de optimización. Se presentarán algunas metodologías que son comúnmente utilizadas para la realización de pronósticos y estudio de series de tiempo. El propósito es determinado el número de corridas óptimo llevadas a cabo cada día, planear la cantidad de tanques que se deben comprar cada quince días, así como determinar su tamaño y el día que deben ser pedidos, con el propósito de minimizar los costos de adquisición del material utilizado para producir las dosis en cada una de las corridas. Por último se dan a conocer las conclusiones del caso de estudio y se dan unas recomendaciones a la empresa a tener en cuenta para la gestión de sus materiales, que les permita alcanzar sus objetivos corporativos en ésta área. 2. MARCO TEÓRICO En ésta sección se presenta la estructura teórica en la cual se basa el proyecto de grado, empezando desde los conceptos más generales como el comportamiento del material radiactivo y los generadores de Tecnecio, hasta los más específicos, como lo son los modelos de pronósticos y los modelos matemáticos de manejo de inventarios perecederos y planeación.

7 2.1 Radiofármacos Acorde con Ziessman, O Malley, y Thrall (2007). Los radiofármacos ofrecen una imagen de la fisiología o el comportamiento de un sistema corporal sin alterar su funcionamiento. Se le denomina radiomarcadores porque se administran en dosis tales que marcan un proceso concreto fisiológico del organismo. Además aseguran que la mayoría de los radiofármacos son una combinación de una molécula radioactiva que permite que el órgano sea observado y de un fármaco dotado con actividad biológica que actúa como vehículo y determina la localización del órgano. 2.2 Funcionamiento de un generador de tecnecio Dentro de los generadores se encuentra el Molibdeno, el cual a medida que se va deteriorando genera el Tecnecio. Acorde con Ziessman, O Malley, y Thrall (2007). La figura 1, ilustra la proporción entre la desintegración del Molibdeno (Mo-99) y la acumulación de Tecnecio (Tc- 99). La máxima acumulación de la actividad la cual se mide en milicurios (mci) del Tc-99 se produce a las 23 horas tras la elución. Este punto es adecuado si se decide utilizar todo el material, pero es posible eluirse, más de una vez día, solo que se obtendrá menos material. Figura 1: Curva de desintegración del Molibdeno. Fuente: Ziessman, O Malley y Thrall, (2007). 2.3 Manejo de inventarios perecederos Debido a la naturaleza de decaimiento del Tecnecio, se podría pensar en este como un producto perecedero que va decayendo a medida que pasa el tiempo, pero tiene algunas características que lo distinguen de los demás. En la literatura se encuentran diferentes metodologías desde las cuales se ataca el problema de inventarios perecederos. Por ejemplo los autores Nakhai y Jafari (2010). Proponen un modelo de optimización para la gestión de inventario de drogas perecederas con el objetivo de minimizar los costos de distribución y almacenamiento, en los que se incluye el costo por deterioro del producto, el cual trata de

8 penalizar la idea de que las drogas solo se pueden usar dentro de un determinado tiempo antes de su fecha de caducidad. Este modelo supone que se tiene una tasa de producción constante y que en cada periodo se puede producir cierta cantidad de drogas a esa tasa. Pero para el presente problema se tienen ciertas diferencias, por ejemplo, el deterioro no se presenta con el producto terminado sino en la materia prima. Las dosis después de ser producidas no se pueden almacenar, sino que deben ser entregadas de inmediato y por último, el deterioro dependerá de la cantidad de material que sea utilizado de cada tanque, no de la cantidad total de material que tenga con todos los tanques. Por otro lado, los autores Shen, Dessouky y Ordonez, F. (2011). Propone un modelo EMQ (Economic Manufacturing Quantity) para inventarios de medicamentos que deben tener un mínimo de stock para suplir la demanda en caso de una emergencia de salud pública en Estados Unidos. En éste modelo se pretende determinar el mínimo número de medicamentos que se deben tener en stock, teniendo en cuenta la tasa con la que se deterioran. Considera un sistema de manufactura MTS (Make to stock), pero en el caso de los radiofármacos, la producción es MTO (Make to order), ya que las dosis no se almacenan, y en cuanto son producidas, se despachan. Por esta razón no se hace pertinente el uso de este modelo. Otro autor consulado fue Ning Hsu, V. ( 2000), en el cual propone un modelo de lote económico de producción (ELS) para inventarios perecederos, en el cual la tasa de deterioro del stock de inventario y el costo de mantenerlo depende de la edad que este posee. De nuevo este modelo tiene en cuenta que el stock de inventario está dado por la relación entre la tasa de producción y la tasa de demanda. Pero el problema que se está abordando tiene una demanda variable entre corrida y corrida, además que debe tener en cuenta que el material que no se utiliza en la corrida j, debe ser usado en la corrida j+1 teniendo en cuenta su deterioro. Todos estos modelos a pesar que manejan el concepto de deterioro del inventario, no son aplicables a este problema específico, ya que todos ellos pretenden determinar la cantidad mínima del stock que represente menores costos de mantenimiento y de perdida por el deterioro, pero para este caso, no se pretende minimizar los costos de mantenimiento, ya que el propósito no es almacenar las dosis, sino aprovechar al máximo la cantidad de Tecnecio que cada uno de los tanques puede ofrecer cada día. Así que el problema más que ser uno de manejo de inventarios, se hace un problema de planeación que al tener en cuenta el número de corridas, la demanda en cada una de ellas y los tanques disponibles, hace la mejor configuración posible para minimizar los costos de adquisición y desperdicio. 2.4 Modelo de Planeación Los modelos de optimización de planeación y asignación de recursos se caracterizan por el uso de variables binarias que permiten mediante su activación o desactivación, asignar recursos limitados a ciertas necesidades o requerimientos. Por otro parte se caracterizan por presentar restricciones de capacidad y de demanda mínima que debe ser satisfecha. Por ejemplo en la tesis de Avella, y Solano (2012). Se utiliza un modelo de planeación, para determinar el número óptimo de vehículos que debe adquirir una empresa productora de

9 alimentos. En este modelo de optimización se tiene en cuenta restricciones de capacidad máxima de inversión, costos de trasporte, capacidad de cada uno de los vehículos, así como la demanda de cada uno de los clientes y la distancia a la que se encuentran estos desde la planta de producción. El modelo tiene como objetivo reducir al máximo los costos de adquisición de los vehículos, bajo las restricciones de satisfacción de demanda. Es decir, que se pretende utilizar al máximo los recursos disponibles, para reducir los costos, bajo unas restricciones de demanda dadas. Otro ejemplo de utilización de un modelo de asignación y planeación es mostrado por Melendez (2008), donde se busca optimizar la asignación de vuelos a una aerolínea comercial, para maximizar las ganancias, teniendo en cuenta las restricciones de vuelo de los aviones a ciertos lugares a los que podía volar y a los que no. En estos modelos el objetivo por lo general es maximizar utilidades o minimizar costos, además de un conjunto de recursos disponibles, un conjunto de demanda o requerimientos a satisfacer, y de una gama de restricciones que pretenden definir qué configuración de recursos se puede utilizar y cual no. El modelo que se propone en esta tesis, en su naturaleza es un problema de planeación a mediano plazo de adquisición de recursos, que en este caso son los tanques de Molibdeno, pero contiene variaciones importantes que lo hacen una manera diferente de atacar el problema. El modelo depende de condiciones exógenas como: La cantidad de corridas que se hacen al día, la naturaleza de la demanda y el comportamiento de los tanques que dependerá del día que este sea pedido. Ya que dependiendo del día que se pida, su patrón de comportamiento de mci que ofrece cada día cambiará. 2.5 Pronósticos Los clientes son cada vez menos leales, la competencia mundial es más intensa, por lo que es más difícil predecir dónde van las ventas. Otro problema que se generó en la última década tiene que ver con los canales de distribución, estos aumentaron de manera significativa; además los ciclos de vida de los productos se han reducido. Estos factores hacen que para ciertas compañías sea indispensable adoptar nuevas formas de planeación y pronósticos con el fin de aumentar su rentabilidad. La importancia de los pronósticos recae en la incertidumbre de eventos futuros como resultado del cambio constante del mundo en que vivimos, las empresas deben reducir este grado de incertidumbre, de tal forma que les permitan ajustarse a este constante cambio y tomar las mejores decisiones a su debido tiempo. Un pronóstico es una herramienta que proporciona un estimado cuantitativo sobre la probabilidad de eventos futuros en base a información recopilada de eventos pasados, conocidos como series de tiempo. De acuerdo con Chatfield (2000) una serie de tiempo es una secuencia de observaciones, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronológicamente y, espaciados entre sí de manera uniforme, así lo datos usualmente son dependientes entre sí. El principal objetivo de una serie de tiempo es su análisis para realizar pronósticos. Algunos ejemplos

10 donde es posible utilizar series temporales son en la economía: proyecciones de empleo, beneficios netos mensuales de cierta entidad bancaria o índices del precio del petróleo; en la demografía: número de habitantes por año o tasa de mortalidad infantil por año; en el estudio del medio ambiente o estudios de demanda. EL análisis básico de una serie de tiempo se basa en tres componentes, cuya actuación conjunta resulta en los valores medidos. Los componentes son: tendencia, estacionalidad y aleatoriedad. Tendencia se define como un cambio a largo plazo que se produce en la relación a la media de la serie de tiempo. Estacionalidad se define como el comportamiento repetitivo que presenta una serie de tiempo en cierto horizonte de tiempo, como semanas, meses, semestres, etc. Finalmente el componente aleatorio corresponde al resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma aislada en una serie de tiempo. Las series de tiempo se pueden clasificar en estacionarias y no estacionarias. Una serie de tiempo es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, cuando la media y la varianza son constantes en el tiempo. Además una serie de tiempo es no estacionaria cuando la media y/o varianza cambian en el tiempo, estos cambios generan tendencias y/o variabilidad en la serie Suavización Exponencial Simple Hyndman, Koehler, Ord y Snyder (2008) muestra que el modelo de suavización exponencial simple se basa en la atenuación de los valores de la serie de tiempo, es decir, los datos se ponderan con una constante de suavización ( ) para darle mayor importancia a las observaciones más recientes o más antiguas dependiendo del valor que tome. La ecuación para este modelo se muestra en (1). La constante de suavización puede tomar valores entre 0 y 1. Dónde: Demanda en el tiempo t. Pronostico de la serie de tiempo en el tiempo t ( ) (1) Viendo (1) es necesario entonces inicial el modelo con el factor, lo cual es posible realizar hallando el valor esperado de la serie de tiempo o tomar el consejo de un experto. Bajo circunstancias normales, cuando las fluctuaciones originales de la serie son pequeñas, seria recomendable que la constante de suavización este entre (0,1~ 0,3) para aumentar el peso del valor inicial del Pronostico. SI las fluctuaciones originales de la serie son grandes es preferible un valor para de (0,6~0,9) con el fin de aumente el peso de las primeras observaciones Modelo de Holt Hydman. et al (2008) prestan al Modelo de Holt como un modelo de estimación exponencial que como el modelo anterior atenúa la información relevante con la constante de

11 suavización( ) y además atenúa directamente la tendencia al utilizar la constante de suavización ( ). Por lo que el método de Holt seria relevante aplicarlo cuando la serie de tiempo presenta una tendencia. Las ecuaciones utilizadas para implementar el método se muestran en (2), (3) y (4). Las constantes de suavización pueden tomar valores entre 0 y 1. ( ) ( )( ) (2) ( ) ( ) (3) Dónde: Demanda en el tiempo t. Nivel de la serie de tiempo en el tiempo t. Tendencia de la serie de tiempo en el tiempo t Pronostico de la serie de tiempo en el tiempo t. (4) Al igual que el método de suavización exponencial simple este requiere ser inicializado. Una forma rápida y sencilla es calcular la regresión de la serie de tiempo como se ve en (5). Dónde: Variable independiente Variable independiente Pendiente de la línea. Nivel de la serie de tiempo en el tiempo t. (5) Entonces los parámetros iniciales y serán m y b respectivamente Modelo Holt-WInters El Modelo de pronósticos Holt-WInters (abreviado HW) visto en Chatfield (1978), fue desarrollado por P.R. Winters. El algoritmo HW hace posible incluir el factor estacional de las series de tiempo analizadas. El algoritmo está basado en dos métodos: suavización exponencial y método de Holt. En la Suavización exponencial no es tenida en cuenta la tendencia o la estacionalidad de la serie de tiempo. Hay dos modelos del algoritmo de HW: aditivo y multiplicativo. Cada modelo debe ser utilizado dependiendo de las características de la serie de tiempo. Si los efectos estacionales son constantes se debe utilizar un modelo aditivo. Si el efecto estacional es proporcional a la media, entonces se debe utilizar el modelo multiplicativo. Un pronóstico utilizando el algoritmo HW se realiza con tres componentes: media, tendencia y estacionalidad. Estos tres componentes son representados por las constantes de suavización α, β y ϒ respectivamente, los valores de estas constantes deben ser mayores o igual a cero y menores o igual a 1. Las ecuaciones del modelo aditivo se muestran en (6), (7), (8) y (12) y las ecuaciones del modelo multiplicativo en (7), (9), (10) y (11).

12 ( ) ( )( ) (6) ( ) ( ) (7) ( ) ( ) (8) ( ) ( )( ) (9) ( ) (10) Dónde: Demanda en el tiempo t. Nivel de la serie de tiempo en el tiempo t. Tendencia de la serie de tiempo en el tiempo t Pronostico de la serie de tiempo en el tiempo t. Índice estacional en el tiempo t. N: Periodo de la serie estacionaria. ( ) (11) ( ) (12) Una aplicación de un modelo HW fue realizado por Ekberg, Ylinen y Loul (2011) en la que diseñaron una un sistema de detección de anomalías en redes de comunicación integradas utilizando una plataforma que recolectaba el tráfico de las redes IP reales. Ellos utilizaron varios modelos HW para realizar pronósticos sobre el tráfico y bajo estos pronósticos saber si había anomalías en esta serie de tiempo; es decir mucho mayor o mucho menor a lo que los pronósticos indicaban. Con este ejemplo se observa que el campo de aplicación de los modelos HW no solo es aplicable en casos típicos como demanda de cierto producto, sino que siempre y cuando sea posible obtener una serie de tiempo con tendencia y estacionalidad es posible implementar modelos HW ARIMA Otra metodología para predecir el comportamiento de series de tiempo son los modelos ARIMA, mostrados por Arnau (2001). Esta palabra significa Modelo Autorregresivo Integrado de Medias Móviles. Los modelos autorregresivos se abrevian con las siglas AR(n), donde n indica el orden del modelo. Un modelo AR(n) se expresa de la siguiente forma: (13) Donde t corresponde al término de error y generalmente se comporta como ruido blanco gaussiano y es el n-ésimo coeficiente autorregresivo.

13 Por otro lado los modelos de medias móviles se abrevian con las siglas MA(n) donde n indica el orden del modelo, este modelo es aquel que explica el valor de una determinada variable en un periodo determinado en función de un término independiente y una sucesión de errores correspondientes a periodos precedentes ponderados convenientemente. Un modelo MA(n) se expresa de la siguiente forma: (14) Donde t corresponde al término de error y generalmente se comporta como ruido blanco gaussiano y es el n-ésimo coeficiente de medias móviles. Finalmente existen los modelos autorregresivos con medias móviles ARMA (m, n), donde m indica el orden de los términos autorregresivos y n indica el orden de las medias móviles. Un modelo ARMA (m, n) se expresa de la siguiente forma: (15) Para que un proceso estocástico admita una formulación de un modelo ARIMA, debe cumplir con dos condiciones indispensables: El proceso no debe tener recursividad temporal, lo que quiere decir que los valores de una variable en un momento t no dependerán de los que esta misma tome en t+j, siendo j cualquier valor superior a cero. El proceso ha de ser invertible, que significa que la correlación entre una variable y su pasado va reduciéndose a medida que la diferencia entre tiempos o desfase aumenta. Los modelos ARIMA son aplicados a procesos estocásticos estacionarios, sin embargo es posible transformar series de tiempo no estacionarias a estacionarias. Esto se logra con el operador, también conocido como operador de diferencia. Se expresa en la formula (16) y se muestran dos ejemplos en (17) y (18) del funcionamiento del operador. (16) (17) ( ) (18) Donde B es el orden del polinomio. Cuando se implementa un operador, los modelos ARIMA se le agregan un nuevo índice indicando el orden de diferenciación o el orden del operador. Entonces los modelos tendrán 2 o 3 índices dependiendo si son únicamente AR, MA o ARMA. Un modelo se puede expresar de la siguiente forma: ARIMA (m, d, n), donde m indica el orden de los términos autoregresivos, d, el orden del operador y n indica el orden de las medias móviles. Finalmente un modelo ARIMA se puede denotar de la siguiente forma: Con: ( ) ( ) (19)

14 ( ) (20) ( ) (21) Existe también la posibilidad de encontrarse con modelos estacionarios donde se le agregan factores estacionales al modelo. Este modelo estacional se denota ARIMA(m,d,n)(M,D,N)q, donde el componente (M, D, N) modela de forma independiente, asociada a las observaciones separas en q periódicamente. También contienen el componente (m,d,n) visto anteriormente que modela la dependencia regular asociada a observaciones consecutivas. Un modelo ARIMA estacional se denota de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) (22) Un ejemplo de la implementación de lo modelo ARIMA fue realizado por Dong, Jia, Sun, Li y Quin. (2009), donde implementa un modelo ARIMA para pronosticar el tráfico en carreteras, lo interesante sobre este artículo es que no implementa un modelo ARIMA común, ellos realizan un modelo ARIMA time-oriented ARIMA, una modificación al modelo normal donde la serie de datos está dividida en diferentes conjuntos dependiendo del tiempo. En el caso los conjuntos estaban clasificados en diferentes días y diferentes periodos en el día. Utilizando la medida de error MAPE, mostrada posteriormente, halló el mejor pronóstico y concluyó que el modelo time-oriented ARIMA era más preciso que el ARIMA convencional. Este artículo nos muestra que hay variaciones de los modelos ya explicados que permiten ampliar el campo de aplicación de los mismos Medidas de error Para evaluar que tan bueno es un pronóstico se utilizan medidas de error comparando la serie de tiempo y el pronóstico, tres de las más conocidas y utilizadas se muestran en (23) a (25) por sus siglas en ingles error porcentual absoluto medio, error absoluto medio y error cuadrático medio respectivamente. (23) (24) ( ) (25) 2.6 Pruebas de bondad de ajuste Las pruebas de bondad de ajuste son pruebas de hipótesis para verificar si los datos en una muestra aleatoria se ajustan con cierto nivel de significancia a una distribución de probabilidad conocida. Sea entonces X una variable aleatoria poblacional, la hipótesis nula (Ho) indica que X sigue la distribución asumida con los respectivos parámetros estimados y la hipótesis alterna (Ha) indica que X tiene una distribución que no se ajusta a la distribución asumida, como se muestra en las ecuaciones 25 y 26. ( ) ( ) (26)

15 ( ) ( ) (27) EL p-valor corresponde a la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado si la hipótesis nula es cierta. Al utilizar pruebas de hipótesis el p-valor permite aceptar o rechazar una hipótesis nula planteada, de la siguiente forma: si el p-valor es menor al nivel de significancia α la hipótesis nula se rechaza y si es mayor se acepta Prueba Chi cuadrado De acuerdo a Banks, J. y Carson J. S. (2005) esta prueba de bondad de ajuste es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas. Sea considera una muestra aleatoria de tamaño N tomada de una población con una distribución que se quiera verificar. Inicialmente hay suponer que las observaciones de la muestra se pueden agrupar en k clases. Entonces dada la probabilidad de k clases en una distribución sean: con frecuencias observadas. Posteriormente se utiliza la ecuación (27) la cual de acuerdo con Karl Pearson mostrado por Kinney y Keeping (1951) es una medida de la desviación de una muestra a la esperada. El resultado de esta ecuación es un estadístico de prueba con distribución Chi cuadrado con V=k-r-1 grados de libertad, donde r es la cantidad de parámetros estimados a partir de la muestra. ( ) (28) Finalmente con un nivel de significancia α es posible definir el valor critico estadístico de prueba es posible conocer si se rechaza la hipótesis nula o no, si se rechaza la hipótesis nula. y con el es mayor a Prueba Kolmogorov-Smirnov Banks, J. et al (2005) también presentan otra prueba de bondad de ajuste, Kolmogorov- Smirnov Esta prueba compara la función de probabilidad empírica de los datos observados con la función de probabilidad hipotética. A diferencia de la prueba Chi cuadrado no se requiere de especificación de intervalos y es válida para cualquier tamaño de muestra. Para realizar esta prueba Inicialmente se toma una muestra de n datos y se ordenas de forma ascendente. Posteriormente se calculan las diferencias por arriba y por abajo respecto a la función de probabilidad hipotética mostrado en las ecuaciones (29) y (30), luego se halla el estadístico de prueba D visto en la ecuación (31). Finalmente este estadístico se compara con el valor crítico mostrado en la tabla 1 del anexo 1, si el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico se procede a rechazar la hipótesis nula; de lo contrario no existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula {( ) ( )} (29) { ( ) ( )} (30) (31)

16 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA La empresa objeto de estudio, es una empresa colombiana dedicada al suministro de tecnología, dispositivos médicos y radiofármacos; con una trayectoria de cerca de 30 años. Sus clientes principales son clínicas, hospitales y centros especializados que brindan el servicio de exámenes de gammagrafías. Una de las principales características de los radiofármacos, es que presentan un tiempo de vida limitado. Desde el mismo instante en el que se inicia la producción, la concentración de radiación del material empieza a decaer de manera exponencial. El problema consiste en que el material para ser útil, debe tener una actividad radioactiva medida en milicurios (mci), entre un rango específico, para que así pueda ser utilizado en una gammagrafía. Debido a la variabilidad en el tiempo de vida de sus insumos, la empresa ha tenido que enfrentar problemas relacionados con pérdidas, o cancelación de pedidos, ya que cuando el material es inyectado al paciente, la concentración de radiación está por debajo de lo requerido y no es posible observar el órgano del paciente, lo que genera pérdidas monetarias enormes para la firma. Por otra parte, tienen problemas con la planeación y gestión del inventario de material radioactivo, ya que no tienen una metodología formal que les permita determinar el número de generadores a tener, cuando pedirlos y que tipo de generadores pedir. Esto ha ocasionado desperdicio de material, una baja utilización de los generadores, la cual debería ser superior al 80%, pero en la actualidad (según la empresa), está alrededor del 60%, y en otras ocasiones falta de materia prima. Además se debe tener en cuenta que algunos generadores son utilizados exclusivamente para la farmacia, es decir para generar dosis, pero hay otros generadores que después de ser usados por cierto tiempo, son vendidos a otros laboratorios, esto se debe a que no cualquier laboratorio tiene permiso para importar estos generadores y los otros laboratorios necesitan generadores más pequeños. 4. METODOLOGÍA La metodología con la que se desarrolló el proyecto está divida en dos grandes etapas. Una es la metodología general con la cual se abordó el problema y se estructuró la forma de solucionarlo. Y la otra, es la metodología específica con la que por medio de modelos cuantitativos se espera obtener resultados concretos para alcanzar los objetivos propuestos.

17 4.1 Metodología General Descripcion de la situación Problemática. Consiste en dar a conocer la situación y el contexto en el que se encuentra actualmente la empresa y cuales son los problemas que enfrenta. Estructuracion del problema. Aspectos importantes Objetivos Actores relevantes Criterios de decisión Obtención de la información. Información relevante para la implementación de la metodología. Formulación de la metodología específica. Diseño y estructuración de los modelos a utilizar (Modelo cualitativo y modelo matemático). Figura 2: Diagrama de la metodología general Implementación de la metodología Análisis de resultados y recomendaciones Se espera que después de analizar los resultados y probar su robustez, se pueda seleccionar la mejor alternativa y se hagan las recomendaciones pertinentes. 4.2 Metodología Específica En la metodología específica se desarrolló un modelo cualitativo, el cual tenía como propósito ayudar a entender la dinámica del sistema que se estaba abordando y un modelo matemático de optimización entera-mixta, el cual serviría para obtener resultados concretos sobre el problema abordado. Todo esto no fue un trabajo sencillo y se necesitó de la colaboración conjunta de las personas encargadas de las áreas de ventas y logística de la empresa.

18 Primero se desarrolló el modelo cualitativo, que se mostrará más adelante, en él se especifica la relación existente entre las decisiones de producción con las de planeación y asignación de recursos. Muestra principalmente la manera en la que fue concebido el sistema y por ende como se decidió atacar el problema. Segundo, por medio de diferentes etapas se fue desarrollando el modelo matemático, el cual se empezó con un modelo, denominado táctico. Se llamó así porque no tenía en cuenta la demanda de tecnecio por corridas, sino por días, es decir que su alcance o su uso era más para decisiones de largo y mediano plazo. Era algo limitado porque no se ajustaba del todo a la realidad, por ejemplo no consideraba que algunos tanques eran para farmacia y otros para venta, y tampoco tenía en cuenta el decaimiento entre corrida y corrida, así como tampoco el orden en que debían los tanques ser eluídos cada día. Después se desarrolló un modelo denominado operacional. Y se llamó así porque a diferencia del táctico, se centraba en decisiones que serían tomadas día a día. Este modelo se pretendía usar de manera conjunta con el modelo táctico, ya que tenía como parámetro de entrada la cantidad de mci necesarios para satisfacer la demanda diaria, cantidad obtenida del modelo táctico. Este valor era tomado y desagregado corrida tras corrida, teniendo en cuenta que la cantidad que no era usada en la corrida j, sería usado en la corrida j+1, después de ser afectada por su decaimiento. EL problema de este modelo es que consideraba que en la primera elución se eluía todos los tanques, lo cual no ocurre en la vida real, donde en la primera elución se eluye uno o dos y a medida que avanzan las corridas se eluye los demás tanques necesarios. Por último con lo ya aprendido de los dos modelos anteriores, se decide integrarlos y hacer un modelo definitivo que no solo tuviera en cuenta la demanda por día y corrida, sino que además el decaimiento del material que no era usado entre corrida y corrida, así como diferenciar entre los tanques de farmacia y los de venta, y el orden en el que iban a ser asignados a cada corrida de cada día. Este modelo es el que se utiliza para resolver el problema y con el que se presentan los resultados y el análisis de sensibilidad. 5. ESTRUCTURACIÓN DEL PROBLEMA En esta sección se establecen las características del problema, lo que comprende sus aspectos más importantes así como los objetivos a alcanzar con la resolución del mismo. 5.1 Objetivo general Diseñar un modelo de optimización que permita a la empresa planear la adquisición de tanques de Tecnecio a mediano plazo. Así como asignarlos a cada una de las corridas de cada día, con el propósito de minimizar los costos. 5.2 Objetivos específicos Determinar la mejor configuración de tanques generadores de Tecnecio que minimice los costos por desperdicios de material.

19 Establecer una aproximación a la cantidad de corridas que se deben hacer por día, para maximizar la utilización de los recursos. Definir los días en los cuales la empresa debe solicitar a sus proveedores los tanques de tecnecio para satisfacer la demanda con el menor desperdicio. Analizar el comportamiento de la demanda de Tecnecio para definir los mejores parámetros de entrada del modelo de optimización. 5.3 Principales aspectos del problema Este problema específicamente tiene ciertas características que no permiten que sea desarrollado simplemente con la aplicación de los modelos vistos en la sección del marco teórico. Para empezar es un problema que integra decisiones de producción con la planeación logística y asignación de recursos. Por un lado, dependiendo de la cantidad de corridas que se lleven a cabo al día, la demanda a satisfacer se verá afectada, porque como se verá más adelante donde se define la demanda nominal y real, no es lo mismo la demanda para una jornada de 4 a una de 6 corridas, porque se necesitarán cantidades diferentes de material radioactivo. Por otro lado, después de definir el número de corridas y los valores de la demanda, con ayuda del modelo matemático, se puede establecer el tipo de tanques a traer, dependiendo del proveedor que lo ofrezca, el tamaño de los tanques, los días a pedir dado el lead time de cada uno de los proveedores y el comportamiento de los tanques durante su periodo de vida útil, donde se ve involucrado el decaimiento de la actividad radioactiva del Tecnecio. Además de esto se debe definir qué tanques serán utilizados para satisfacer la demanda de farmacia en cada una de las corridas y cuáles serán utilizados para venta. En estas decisiones se ven involucradas diferentes actores de la empresa como lo son: el área de ventas, que establece el número de tanques a vender; el área de producción que dependiendo de la demanda en farmacia solicita el material radioactivo, y por último el área logística, la cual se encarga de recepcionar las solicitudes de las otra dos áreas y asegurar que lleguen las cantidades necesarias en las fechas establecidas. Todo esto bajo restricciones de minimización de costos y máxima utilización de recursos. 6. OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN Para llevar a cabo la metodología en la resolución del problema establecido, era necesario obtener información relevante que sería necesario para alimentar el modelo matemático. Esta información fue suministrada por el área de ventas y logística, y corresponde principalmente a: la demanda por horas de material radioactivo durante los últimos tres años, costos de adquisición de cada uno de los tanques dependiendo de su referencia y proveedor, tiempos de entrega de los tanques por parte de los proveedores y días que podían ser solicitados, así como la demanda de tanques de venta.

20 6.1 Demanda Nominal: Se denomina demanda nominal a la demanda horario suministrada por la empresa en su base de datos. Se le llama así porque esta es la demanda en mci que los clientes hacen para cada hora específica, pero no es la verdadera demanda que se tiene en cuenta al momento de producir una dosis, ya que se debe pensar en el tiempo que va a transcurrir desde que se produce, hasta que es inyectada en el paciente. Es así que se hace necesaria la estimación de la demanda real, la que con ayuda de la fórmula de decaimiento, se toma la demanda nominal y se calcula la cantidad de mci necesarios en cada corrida para la producción de las dosis. 6.2 Demanda Real: La demanda real es la demanda nominal después de haber sido recalculada con la ecuación de decaimiento (32). Esta demanda real dependerá del tiempo que transcurra desde su producción hasta su aplicación. Es decir, que dependerá directamente del número de corridas. Si se sabe que la empresa labora durante 12 horas al día y se tiene programado que se hagan 6 corridas, todas con la misma duración, eso implicaría que cada corrida durara 2 horas. Pero si además se tiene en cuenta que la empresa después de cada corrida se toma en promedio dos horas para entregar las dosis, esto significa que desde el momento que el tanque es eluído hasta que la dosis es inyectada al paciente, pasarán en promedio 4 horas. Pero si el número de corridas cambia, por ejemplo a 3 corridas por día, eso significaría que cada corrida duraría 4 horas, y considerando las mismas 2 horas de entrega después de cada corrida, el número total de horas sería de 6. Sabiendo que el material radioactivo tiene una vida media de 6 horas, como se puede ver en la figura 10, si la demanda en determinada hora fuera por ejemplo de 100mCi, se necesitaría en el momento de la producción 200mCi. Esto implica que a mayor tiempo transcurrido, mayor cantidad de material será necesario para que al momento de la aplicación, la dosis tenga la radioactividad adecuada. ( ( ) ) (32) Dónde: Ao: Cantidad de concentración radioactiva inicial. A: Cantidad de concentración radioactiva después del tiempo t. Figura 3: Decaimiento exponencial del Tecnecio. Fuente: Autores.

21 Para hallar la demanda real, la cual es introducida al modelo de optimización, primero se suman las demandas horarios dentro de cada corrida, por ejemplo si son 6 corridas y cada corrida dura dos horas, se suma lo de las dos primeras horas, para la primera corrida, y se hace los mismo para el resto de las corridas, así se obtendría la demanda nominal por corrida. Después de esto, se procede a obtener la demanda real por corrida, para ello, se utiliza la ecuación (33), la cual es el resultado de haber despejado la ecuación (32). ( ) (33) Figura 4: Proceso de obtención de la demanda real En la figura 4 se ejemplifica el proceso para hallar la demanda por corrida, donde se inicia con la demanda nominal horaria que se tiene cada día, posteriormente dependiendo del número de corridas, en este caso 6, se suman para hallar la demanda por corrida nominal, y finalmente con (32) se calcula la demanda real por corrida, la cual es el parámetro de demanda utilizada que es introducido al modelo de optimización. 6.3 Costos de generadores En la tabla 1 se muestran los costos suministrados por personal de la empresa, de los generadores a utilizar con su respectiva referencia. Los generadores tipo 1 a 9 son producidos por Covidien y los restantes por General Electric.

22 Tabla 1: Costo de generador por tipo Tipo Referencia Costo (USD) 1 N8831L $ 1.200,00 2 N8841L $ 1.250,00 3 N8851L $ 1.300,00 4 N8861L $ 1.400,00 5 N8871L $ 1.500,00 6 N8881L $ 1.600,00 7 N8891L $ 1.900,00 8 N8901L $ 2.100,00 9 N8911L $ 2.250, MCI $ 937, MCI $ 1.085, MCI $ 1.367, MCI $ 1.529,38 14 R 810.8MCI $ 1.568, Disponibilidad de los tanques de farmacia La disponibilidad de material radioactivo de los tanques está dada por las especificaciones de los proveedores. En Anexo 1 es posible ver las tablas del comportamiento de todos los tanques de las diferentes referencias y proveedores. En ellas se especifica el comportamiento que tendría el tanque dependiendo del día que este sea solicitado. En las tablas 2 y 3, está la información de la logística de los proveedores. Por ejemplo si se hace un pedido a Covidien el día lunes, el generador estará en farmacia para ser usado el día miércoles. Con esta información se calcularon las tablas de producción de los generadores, como la que se puede ver en la tabla 4. En ella se ve el comportamiento de un tanque Covidien durante dos semanas, dependiendo si se pide el día lunes, miércoles o viernes. Tabla 2: Logística Covidien. LOGISTICA COVIDIEN Dia produccion Dia despacho Liberación Disponibilidad RF Disponiblidad Clientes Aerolínea LUNES LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES MIERCOLES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO FEDEX VIERNES VIERNES LUNES MARTES MIERCOLES Tabla 3: Logística General Electric. LOGISTICA GEHC Dia produccion Dia despacho Liberación Disponibilidad RF Disponiblidad Clientes Aerolínea MARTES MARTES JUEVES VIERNES SABADO JUEVES JUEVES SABADO DOMINGO LUNES IBERIA VIERNES VIERNES DOMINGO LUNES MARTES

23 Tabla 4: Comportamiento del tanque Covidien N8831L dependiendo del día de pedido Como el lector pudo haber observado en la tabla 4, si se pide el tanque el día lunes (L), este llegará el día miércoles (I), por esta razón es que ese día brinda su máxima capacidad de material radioactivo, pero si se pide el lunes y llega el miércoles por qué la tabla muestra valores entre esos días? La respuesta es que se considera que si se elige ese tanque con ese día de pedido, será una decisión que se repetirá cada dos semanas, por lo que si se pide el lunes, antes de que llegue el tanque se tendrá material restante del tanque anterior. 6.5 Disponibilidad de los tanques de venta La empresa no solo compra tanques para ser utilizados en la farmacia para sus propias operaciones, sino que vende tanques a laboratorios más pequeños fuera de la ciudad. Esto sucede porque no todos los laboratorios tienen los permisos legales para manipular tanques grandes de material radioactivo, y las farmacias pequeñas solo pueden manejar entre 500 y 1000 mci. Pero, para la empresa no es rentable traer tanques de Europa y USA para venderlos directamente, puesto que los tanques pequeños tienen costos muy altos por unidad de mci, es por esto que de los tranques que traen para farmacia, los utilizan por algunos días, hasta que el nivel de actividad baja lo suficiente para ser manipulado por empresas farmacéuticas más pequeñas, en ese momento se decide sacar el tanque y venderlo. La demanda de los tanques es semanal, no muy alta y es determinística, como se muestra en la tabla 5. Tabla 5: Demanda de tanques para la venta Día de Entrega Actividad (mci) Frecuencia Cantidad Lunes 680 Semanal 2 Martes 380 Semanal 1 Miercoles 810 Semanal 2 Es así como el modelo debe tener en cuenta dos demandas diferentes, una en términos de mci, que se necesita satisfacer en farmacia y otra que es la cantidad de tanques que después de ser utilizados en farmacia, son vendidos a las farmacias más pequeñas. Pero entonces, no cualquier tanque puede ser usado en farmacia para luego ser vendido, ya que está sujeto al comportamiento del tanque durante la semana, y de la cantidad de mci que el cliente necesita.

24 Después de concatenar la demanda de tanques de la tabla 5 con el comportamiento de los tanques disponibles, se observó que no todos podían ofrecer cantidades necesarias para el día que el cliente lo solicita. Por ejemplo, para la demanda del lunes, la cual necesita dos tanques de 680mCi, los únicos tanques que pueden satisfacer esta demanda son los mostrados en las tablas 6 y 7. Tabla 6: Disponibilidad de material radioactivo tanque 5 (N8871L). N8871L Tipo de tanque: 5 Máxima capacidad: 1450 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= Tabla 7: Disponibilidad de material radioactivo tanque 7(N8891L). N8891L Tipo de tanque: 7 Máxima capacidad: 2420 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= El tanque N8871L con pedido el día t=3 (miércoles) y el tanque N8891L con pedido el día lunes, pueden satisfacer la demanda de tanques del día lunes, pero estas matrices deben modificarse para decirle al modelo que desde que se tiene el tanque solo se puede utilizar hasta que su actividad radioactiva llegue a la cantidad necesaria para su venta, después de eso, el tanque ofrecerá cero mci, porque ya no estará en farmacia. Esto se observa en la tabla 8.

25 Tabla 8: Disponibilidad de material radioactivo tanque 7, con el pedido el día lunes. N8891L Tipo de tanque: 7 Máxima capacidad: 2420 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= Pero hay que tener en cuenta que la demanda de tanques es semanal y el comportamiento de tanques es quincenal, por lo que su comportamiento se debe reproducir, como se ve en la tabla 9. Es decir que se puede pedir el día lunes, pero puede ser el de la semana 1 y el de la semana 2. Tabla 9: Disponibilidad de material radioactivo tanque 7, con el pedido el día lunes (2 tanques) N8891L Tipo de tanque: 7 Máxima capacidad: 2420 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= De esta manera ya se le estaría diciendo al modelo que el horizonte de tiempo es quincenal y debe pedir un tanque cada lunes. Pero, aun así es como si existieran dos patrones, cosa que el modelo no comprende porque para él, siempre se pide el lunes, por esto lo que se hizo fue sumar los mci para que diera un solo patrón, como se ve en la tabla 10: Tabla 10: Disponibilidad de mci con un solo patrón pedido dos lunes N8891L Tipo de tanque: 7 Máxima capacidad: 2420 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t=

26 Ahora el modelo puede entender el comportamiento del tanque de venta. Por otro lado los valores del día que se entrega son cero, porque por ejemplo si se entrega el día lunes, solo puede ser utilizado hasta el día domingo. A estos tanques se les asigna su propia variable binaria(x), su propia constante de disponibilidad (b) y sus propios costos (Cb), de esta manera se controla su uso; por otro lado para garantizar la satisfacción de su demanda se agrega una restricción por cada día de demanda de tanques donde se le pide que la combinación de tanques que pueden satisfacer la demanda, sea estrictamente igual a la cantidad de tanques demandada. Para verlo con más detalle ver la parte del modelamiento del problema en Restricciones de la demanda de tanques. 7. MODELO CUALITATIVO En la figura 5 se ilustra la manera como es concebido el sistema objeto de estudio. En ella se ilustra como la información fluye desde el departamento de ventas hasta el departamento de logística, ahí se toman decisiones de que tanques pedir a que proveedores y de cómo hacerlos llegar al país. Después que ya se tienen los tanques son enviados a producción, donde se toman decisiones operacionales como el número de corridas a realizar y el orden en que los tanques serán eluídos. Al tener las dosis listas, de nuevo el departamento de logística se encarga de hacer llegar las dosis a los diferentes clientes en los tiempos estipulados, así como como los tanques de venta e informar al departamento de ventas de los tanques que fueron entregados a los clientes. Ventas - Programación de pedidos - Estudio de demanda y búsqueda de clientes Logísitca - Coordinación de pedidos - Recepción de solicitudes -Envío de dosis y tanques de venta Producción - Planeación de las corridas y de las eluciones - Elaboración de las dosis Figura 5: Modelo Cualitativo. Fuente: Autores

27 8. MODELO CUANTITATIVO El modelo cuantitativo como se había mencionado en la sección de la metodología específica, es un modelo de optimización que fue desarrollado por fases. La primera fase es la de un modelo táctico, el cual tiene en cuenta una demanda diaria y no por corridas. La segunda fase es de un modelo matemático operacional que tiene en cuenta el uso de los tanques corrida tras corrida. Y la tercera fase, que consiste en el modelo definitivo, el cual es un modelo integrado que tiene en cuenta los dos modelos preliminares. 8.1 Modelo de Optimización Táctico El modelo táctico fue la primera aproximación al desarrollo del modelo definitivo. En este modelo se tenían los siguientes supuestos: La demanda está dada en días y no por corridas Solo consideraba tanques para farmacia, no consideraba los de venta Los tanques tenían una vida útil de una semana No se podían tener más de 6 tanques en inventario Como se había dicho anteriormente, este era un modelo limitado porque no tenía en cuenta la demanda que existía en cada una de las corridas, y por ende tampoco tenía en cuenta que lo que no se usaba en una corrida, podía ser usado en la siguiente. Sin embargo permitía definir la configuración de tanques por día, y definir los días de pedido de los mismos. A continuación se muestra el modelo de optimización táctico: Conjuntos t t t t ) t t t t Parámetros t t t t t t t Variable de decisión t t t t t

28 8.1.4 Restricciones Restricción de satisfacción de la demanda diaria: ( ) Restricción de seguimiento de patrón de decaimiento del tanque durante la semana: t Dentro de los días que se puede pedir ese tanque, solo se puede elegir uno: Funcione objetivo: Se desea minimizar el costo total de compra de tanques por mci: ( ) 8.2 Modelo de Optimización Operacional Dadas las limitaciones que tenía el modelo táctico, se pensó en desarrollar un modelo operacional, que funcionara de manera conjunto con él. Este segundo modelo tomaría la disponibilidad total de mci por día, que sería resultado de correr el modelo táctico, este valor sería tomado y desagregado corrida tras corrida dada una demanda por corrida. Este modelo tendría en cuenta que lo que no se usaba en una corrida podría ser usado en la siguiente después de sufrir un decaimiento de radioactividad. Después de que el modelo operacional corriera se obtendría un valor de sobrante total, el cual se pensaba usar para sumárselo a la demanda diaria del modelo táctico y de nuevo correr el modelo para así poco a poco hacer converger el valor de la demanda a un valor tal, que el desperdicio total del modelo operacional fuera mínimo. En un principio se pensó que esta podría ser la mejor manera de resolver el problema, pero después se hizo evidente, que importante información se perdía al dividir el problema en estos dos modelos. Al tomar el valor total de disponibilidad de mci que arrojaba el modelo táctico e introducirlo al modelo operacional, era como si se tomaran todos los tanques programados

29 para ese día y eluírlos en la primera corrida, lo cual es un error porque si todos se eluyen en la primera corrida pues su decaimiento será más acelerado y se desperdiciaría todo el material, además en la realidad, en las corridas se van eluyendo los tanques necesarios para que el Tecnecio no decaiga tan rápido. A continuación se presenta el modelo de optimización operacional: Conjuntos t Parámetros t t t t El valor de decaimiento P, se obtiene después de dividir la demanda nominal sobre la real de un periodo de tiempo de dos horas Variable de decisión t t t Restricciones Restricción de disponibilidad inicial: Restricción de balance de mci: ( ) Función objetivo: Se desea minimizar los sobrantes (holgura):

30 8.3 Modelo de Optimización Integrado El modelo de optimización integrado, es el modelo definitivo que se utilizó para resolver el problema y es el resultado de tomar características del modelo táctico y combinarlas con características del modelo operacional. El modelo permite obtener una configuración de tanques que satisface la demanda de cada una de las corridas de cada día, así mismo asigna cada tanque seleccionado a cada corrida y los ordena de tal manera que el desperdicio sea mínimo. Por otra parte, tiene en cuenta el sobrante que queda después de cada corrida y lo utiliza en la siguiente. Además de esto, no solo considera los tanques que son utilizados en farmacia, sino que también los tanques que son usados para venta, es decir, que combina la demanda de mci y de tanques. Como característica importante de este modelo, está que considera tanques para venta y tanques para farmacia, tiene dos variables binarias, una para cada clase de tanque, y a diferencia del modelo táctico, considera la vida útil de los tanques ya no de una semana sino de dos semanas, para que haya la posibilidad de usarlos al máximo. A continuación se presenta el modelo de optimización integrado: Conjuntos t t t t t ) t t t t Parámetros t t t t t t t t t t t t t t t t t t t Variable de decisión t t t t t t

31 t t t t t t t t t Restricciones Restricción de satisfacción de la demanda diaria. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Restricción de seguimiento de patrón de decaimiento del tanque durante la semana: Para i=1, la variable binaria tomará valor de 1. t t Estas restricciones lo que dicen es que después de seleccionar el día de pedido, el tanque seguirá ese patrón de pedido durante las dos semanas. Solo se puede seleccionar un día dentro de sus días de pedido: Solo se puede usar el tanque para una corrida: t t Restricciones de demandas de tanques de venta: Demanda del lunes:

32 Demanda del martes: Demanda del miércoles: Función objetivo: En la función objetivo se deseaba en un principio disminuir el desperdicio total diario S porque se consideraba que esto podía reducir al máximo los costos, pero por otro lado había la posibilidad de disminuir los costos totales. Así que se decidió correr el modelo haciendo uso de las dos funciones objetivo y comparar los resultados para elegir la mejor en términos de costos. Tabla 11: Comparación de las funciones objetivo FO. FO 1 Costos FO 2 Desperdicio No. Corridas Desperdicio(mCi) Costo Desperdicio(mCi) Costo $ 13, $ 13, $ 10, $ 11, $ 10, $ 11, Como se puede observar en la tabla 11, al comparar las dos funciones objetivo para 4, 5 y 6 corridas, la función de costos presenta mayores desperdicios en todos los escenarios, pero en términos agregados sus costos son menores. Esto se puede deber a que el modelo con la FO1 de costos, selecciona tanques más grandes cuyos costos por mci unitario es más bajo, por lo cual, aunque el desperdicio sea mayor, este es menos que proporcional a los costos de adquisición de los tanques más grandes. Por otra parte al hablar con las personas encargadas de la empresa, manifestaron que la prioridad era reducir el costo total, por esta razón se eligió la FO1. A continuación se presentan las dos funciones objetivo: FO 1: Se desea minimizar el costo total de compra de tanques por mci ( ) ( ) FO 2: se deseaba minimizar el desperdicio total de mci:

33 8.4 Parámetros de entrada del modelo lineal El modelo de optimización necesita de buenos datos de entrada para que los resultados que arroje sean congruentes con el problema que se quiere resolver. Los parámetros necesarios para alimentar el modelo son: La demanda por corrida, costo de los tanques (tanto para farmacia como para venta) y disponibilidad diaria de los mismos. A continuación se muestra la manera en la que estos parámetros fueron estimados y como fueron tomados para ser representados en el modelo Estimación de la demanda del material radioactivo: La principal fuente de ingresos de la compañía es la venta de material radioactivo para uso farmacéutico en centros hospitalarios, de ahí la importancia de poder determinar el comportamiento de la demanda de material radioactivo. Tras conocer el comportamiento de la misma se buscó reducir la incertidumbre que se tiene al seleccionar y comprar los generadores para suplir esta demanda. El modelo de optimización fue diseñado para cumplir la demanda de material radioactivo de uso farmacéutico para cada corrida en un horizonte de planeación quincenal con el menor costo posible. El parámetro de demanda debe ser por corrida con el fin de incluir la característica perecedera del material radioactivo en el modelo de optimización y lograr hacer una planeación detallada, esto último debido a que la producción de dosis actualmente en la compañía se maneja por corrida. Finalmente el horizonte de tiempo es quincenal para tener en cuenta el tiempo de vida de los generadores. Mediante la base de datos del a empresa fue posible obtener la demanda nominal en mci por hora, para los años 2011, 2012 y Con esta información Inicialmente se intentó hallar la distribución de probabilidad para la demanda horaria para los siete días de la semana. Las distribuciones se utilizarían para generar números aleatorios, luego siguiendo el esquema de la figura 4 se hallaría la demanda real que alimentaria el modelo de optimización, luego realizar varias simulaciones con distintos números aleatorios y obtener las configuraciones de generadores más probables y así realizar la planeación en base a estas configuraciones. Cabe mencionar que se decidió obtener la distribución probabilística de la demanda horaria dependiendo del día, debido a que el encargado de la parte de producción nos comentó que había una gran diferencia entre la demanda de la mañana y la tarde e incluso entre días. Esto se comprueba al observar la figura la 8 donde se muestra el promedio aritmético de la demanda horaria en cada día, analizando esta figura se concluye que hay una diferencia significativa de la demanda entre las primeras y últimas horas de trabajo. Asimismo se observa una diferencia significativa en la demanda diaria, más notoria comparando los fines de semana con los días entre semana.

34 Figura 6: Promedio aritmético de la demanda horaria de cada día de la semana. Para hallar la distribución de probabilidad se utilizó ARENA, un software de análisis de datos. Algunas horas presentaban un buen ajuste revisando el p-valor de las dos pruebas de bondad de ajuste que maneja el software, Chi-cuadrado y Kolmogorov-Smirnov. Sin embargo hubo horas que no se ajustaban a ninguna distribución de probabilidad, nuevamente observando el p-valor de estas dos pruebas, por ende se descartó la realización de números aleatorios para alimentar el modelo de optimización. Para las pruebas de bondad de ajuste se seleccionó un nivel de significancia del 5%, en la figura 8 se presentan tres horas y las pruebas de bondad de ajuste realizadas con un p-valor menor al nivel de significancia seleccionado. Figura 7: Resumen de las pruebas de bondad de ajuste para el día domingo. Hora 4, 5 y 6 (visto de izquierda a derecha). Dado que no fue posible hallar distribuciones conocidas para ciertas horas, se intentó determinar el comportamiento de la demanda mediante la implementación de modelos de pronósticos. Los pronósticos permitirían determinar la demanda nominal y utilizando el esquema de la figura 4 se hallaría la demanda real que alimentaría el modelo, finalmente se realizaría una planeación quincenalmente actualizando la serie de tiempo y generando nuevos

35 Demanda (mci) pronósticos. Inicialmente se construyó la serie de tiempo agrupando la demanda horaria a diaria para mejorar la precisión del pronóstico, luego se implementarían los modelos de pronósticos y finalmente se pensó desagregar esta demanda. La desagregación de la demanda se realizaría utilizando la información del comportamiento de la demanda horaria promedio visto en la figura 6, entonces la demanda horaria seria la multiplicación del pronóstico de la demanda diaria y el porcentaje horario promedio mostrado en la tabla 12. Tabla 12: Porcentaje de demanda horaria promedio respecto a la demanda diaria. Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 1 3.4% 2.8% 2.9% 4.4% 1.8% 5.6% 20.0% % 21.7% 19.9% 15.7% 17.7% 31.3% 13.5% % 12.8% 13.8% 14.0% 13.1% 12.3% 15.1% % 11.9% 12.1% 13.4% 12.5% 9.8% 10.4% 5 9.2% 10.0% 10.0% 10.6% 12.1% 8.5% 8.6% 6 9.7% 8.8% 7.5% 8.5% 10.4% 5.7% 6.2% 7 4.0% 3.9% 4.2% 4.9% 4.1% 5.0% 7.1% 8 5.9% 6.0% 6.4% 8.5% 6.3% 4.9% 7.5% 9 7.9% 10.3% 10.3% 9.3% 10.1% 6.1% 5.6% % 4.7% 5.5% 4.8% 4.9% 4.7% 2.7% % 4.6% 4.9% 3.1% 4.5% 3.0% 3.1% % 2.6% 2.4% 2.8% 2.3% 3.2% 0.0% Se utilizó un modelo HW debido a que hay un comportamiento estacional semanal como se observa en la figura 8. Se implementaron dos modelos uno multiplicativo y otro aditivo para seleccionar el mejor pronóstico posible revisando las medidas de error (21), (22) y (23) día Figura 8: Muestra de demanda del mes de Febrero de El modelo multiplicativo y aditivo se muestra en las figuras 9 y 10 respectivamente, y en la tabla 13 se muestra el resumen de medidas de error para ambos modelos. Ekberg, J. et al (2011) comentan que el MAPE es más adecuado cuando se quiere comparar como un método de pronósticos aplica a diferentes series de tiempo y el MAE es más adecuado cuando

36 Demanda (mci) Demanda (mci) queremos comparar diferentes métodos de pronósticos. Otro punto de evaluación en cuanto a medidas de error fue la tabla 14. Entonces, observando la tabla 14 se concluye que ningún modelo realizado es apropiado Método Winters para: Demanda Método multiplicativo Día Figura 9: Pronostico HW (α= 0,3 β=0,03 y ϒ=0,18). Negro: serie de tiempo, Rojo: Pronostico Método Winters para: Demanda Método aditivo Día Figura 10: Pronostico HW (α= 0,3 β=0,001 y ϒ=0,1). Negro: serie de tiempo, Rojo: Pronostico

37 Tabla 13: Resumen de las medidas de error para los modelos realizados utilizando HW. Aditivo Multiplicativo Parametros MAPE MAE MSE MAPE MAE MSE α=0,3; β=0,03; γ=0, α=0,3; β=0,01; γ=0, Tabla 14: Escala de precisión del pronóstico MAPE Precisión del Pronostico <10% Altamente adecuado 11% a 20 % Buen pronostico 21% a 50% Pronostico razonable >51% Pronostico inadecuado Fuente: Lawrence, K.D., Kllimberg, R.K. y Lawrence, S.M. (2009). Fundamental of forecasting Using Excel, Industrial Press Inc., America, Debido a que los modelos HW no arrojaron resultados satisfactorios en términos de las medidas de error, se implementaron los modelos ARIMA, en la figura 11 se muestra el modelo que mejor se ajustó a la serie de tiempo, en la tabla 4 los parámetros del modelo, los cuales son significativos dado el p-valor. Finalmente en la tabla 5 se muestran las medidas de error arrojadas por los diez mejores modelos ARIMA realizados. Comparando los resultados mostrados en la tablas 14 y 16 se concluye que los pronósticos hallados mediante la metodología ARIMA no son apropiados para la serie de tiempo estudiada. Sin embargo observando el MSE mostrado en las tablas 13 y 16, se puede considerar que más adecuado ARIMA que el método HW para pronosticar la demanda diaria de mci. Figura 11: Pronostico modelo ARIMA (0,1,0)(0,0,2)7. Negro: serie de tiempo, Rojo: Pronostico

38 Tabla 15: Parámetros del modelo ARIMA (0,1,0)(0,0,2)7 Tabla 16: Resultados de medidas de error para modelos ARIMA. Modelo MAPE MAE ARIMA estacional (0, 1, 0)(0, 0, 2)7 177, ,268 ARIMA estacional (0, 1, 0)(0, 0, 1)7 181, ,7351 ARIMA estacional (0, 1, 0)(1, 0, 0)7 191, ,5147 ARIMA estacional (1, 1, 0)(0, 0, 2)7 201, ,272 ARIMA estacional (1, 1, 0)(1, 0, 0)7 210, ,016 ARIMA estacional (1, 1, 1)(0, 1, 0)7 210, ,82336 ARIMA estacional (1, 1, 0)(0, 0, 1)7 211, ,5457 ARIMA estacional (1, 0, 1)(0, 1, 0)7 214, ,14047 ARIMA estacional (0, 1, 1)(0, 1, 0)7 215, ,14822 Debido a que tanto distribuciones de probabilidad como pronósticos no se ajustaron a la muestra de datos no se pudo realizar ninguna de estas metodologías. Finalmente dado que es necesario estimar la demanda por corridas para con el fin de incluir la característica perecedera del material radioactivo y lograr hacer una planeación detallada que se ajuste al esquema de producción que cuenta la compañía actualmente, se decidió realizar una metodología más sencilla para estimar la demanda real por corrida. Se halló el valor esperado de la demanda nominal horaria mediante la realización de histogramas con la muestra de datos. Se discretizaron los datos en conjuntos o clases de igual tamaño, la selección del número de clases para los histogramas se realizó utilizando la ecuación (32) formulada por Sturges(1926). Finalmente dependiendo de la cantidad de clases es posible conocer la frecuencia de cada clase y calcular el valor esperado. Dónde: N: Tamaño muestra de datos. (32) De esta manera con el valor esperado se determinó la demanda nominal para cada una de las 12 horas de cada uno de los 7 días de la semana y mediante el esquema visto en la figura 4 se halló la demanda por corrida, que es el parámetro que alimentaran el modelo de optimización. En la figura 12 se muestran dos histogramas realizados y su totalidad se encuentran en Anexos.

39 433,75 857,5 1281, , ,5 2976, y mayor , , , , y mayor... Frecuencia Frecuencia Clases (mci) Clases (mci) Figura 12: Frecuencia para las horas 1 y 2 respectivamente, del día lunes. 9. RESULTADOS En los resultados se presenta el número de corridas óptimo que la empresa debe llevar a cabo para que, bajo las condiciones en las que se encuentra, pueda optimizar su estructura de costos y obtener los mejore beneficios. Por otro lado se presenta la programación de pedido de los tanques, donde se especifica que tanque debe ser traído, que día y en que corrida debe ser usado. 9.1 Mejor solución del número de corridas El modelo de optimización fue corrido cada vez con un número de corridas diferente, lo que afectaba directamente los datos de la demanda real. Se corrió el modelo para 3, 4,5 y 6 corridas, haciendo uso de los valores máximos y mínimos de la demanda nominal, así como de su valor esperado. Los resultados se pueden ver en las tablas 17, 18 y 19. Tabla 17: Resultados de correr el modelo con los valores esperados de la demanda Con Valores Esperados: No. Corridas F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques Tabla 18: Resultados de correr el modelo con los mínimos de la demanda Con Valores Mínimos: No. Corridas F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques

40 Tabla 19: Resultados de correr el modelo con los valores máximos de la demanda Con Valores Máximos: No. Corridas F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques Como se puede con los valores esperados y los valores extremos, existe una tendencia que indica que a medida que aumenta el número de corridas, el número de tanques, el desperdicio y la función objetivo disminuyen. Esto se puede deber a que el número de corridas permite una demanda real que se ajusta de mejor manera a la disponibilidad de material radioactivo diario. En el anexo 3, se muestra la ficha técnica de las corridas realizadas. Dados estos resultados, se concluye que el número de corridas óptimo es 6, ya que presenta las mejores medidas de desempeño, y es con este número que se llevarán a cabo los análisis de sensibilidad. 9.2 Configuración de tanques: La configuración de tanques se presenta a continuación en la Tabla 20, donde se especifica el día que debe ser pedido el tanque, que día es usado, en que corrida y en qué cantidad se debe pedir. Es importante aclarar, que se hace diferencia entre los tanques de farmacia y en los de venta, ya que los tanques para farmacia deben ser perdidos de manera quincenal, mientras que los tanques para venta deben ser pedidos de manera semanal. 10. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Después de tener los resultados del modelo, se realizaron pruebas en las que se cambiaron parámetros para determinar cómo se comportarían los resultados bajo diferentes situaciones. En el primer análisis se varió la demanda de mci de a 10%, en la segunda se tuvo en cuenta una propuesta dos, sobre la venta de tanques, suministrada por la persona encargada. En la tercera prueba se relajaron las restricciones de cantidad de tanques a vender y se dejó al modelo que encontrará la mejor solución posible, y por último con esas mismas restricciones relajadas, se probó el modelo aumentando la demanda de a 10%.

41 Tabla 20: Planeación de la configuración de tanques, caso base Día Corrida Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Lunes 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Martes 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Jueves 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1

42 Viernes Sabado Domingo 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Viernes DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Tanque Covidien unicamente para producción Pedidos Quinsenales Tanque G.E. unicamente para producción Pedidos Quinsenales Tanque Covidien para venta Pedidos Semanales

43 Como se puede observar en la tabla 21, a medida que la demanda es incrementada en un 10% en relación al resultado del caso base, los costos son incrementados casi de manera lineal, es decir son directamente proporcionales. Por otro lado se puede ver, que a medida que la demanda aumenta el desperdicio también aumenta, pero menos que proporcional, es decir que hay una disminución relativa del desperdicio. En cuando al número de tanques, éstos se incrementan más que proporcionalmente. Figura 13: Relación entre la demanda, los costos, desperdicio y tanques En la figura 13, se ilustra de mejor manera el comportamiento del modelo a medida que aumenta la demanda, se puede observar que si la demanda sufre un aumento del 10, 20, %, los costos serán proporcionales al aumento de la demanda, pero el número de tanques aumentará, mientras que el desperdicio disminuirá más que proporcionalmente. También es de esperarse que si la demanda aumenta, la configuración de los tanques cambia. En la tabla 22 se muestra la nueva configuración de tanques, si la demanda aumentara 10%. Las demás configuraciones para el aumento de la demanda en 20, 30 y 40% se muestran en el anexo Aumento gradual de la demanda en farmacia: La demanda de mci por hora se fue aumentando de 10% y se observó el comportamiento de la función objetivo (costos), desperdicio y el número de tanques. Tabla 21: Comportamiento del modelo al aumentar la demanda Incremento Demanda 10% 20% 30% 40% F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques Incremento % costos 10.05% 18.42% 30.11% 38.77% Incremento % Desperdicio 10.69% 16.83% 20.96% 28.70% Incremento % Tanques 11.11% 22.22% 44.44% 55.56%

44 Tabla 22: Planeación de la configuración de tanques para una demanda 10% mayor Día Corrida Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Lunes 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Martes 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Miercoles 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Jueves 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6

45 Viernes Sabado Domingo 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 2 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Viernes DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 4 Martes R 810.8MCI 1 5 Viernes DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Tanque Covidien unicamente para producción Pedidos Quincenales Tanque G.E. unicamente para producción Pedidos Quincenales Tanque Covidien para venta Pedidos Semanales

46 Día Corrida Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Pedido Referencia Tanque Cantidad Lunes Martes Miercoles Jueves 1 Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Disminución gradual de la demanda de farmacia: Dada la variabilidad de la demanda, se decidió obtener la programación de tanques para los casos en los que la demanda pudiera disminuir en un 10, 20 y 30%. Ya que si la demanda tuviera comportamientos muy por debajo del valor esperado, la configuración propuesta sería poco precisa. La configuración de tanques para una demanda disminuida en un 10% se puede ver en la tabla 23. Las configuraciones para disminuciones del 20 y 30% se pueden ver en el anexo 7. Tabla 23: Configuración de tanques con demanda disminuida en un 10%

47 Viernes Sabado Domingo 1 Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI Miercoles DTE GENERATOR 3.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 2 Viernes DTE GENERATOR 3.0 CI 10ML 1 Lunes DTE GENERATOR 5.0 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 2.5 CI 10ML 1 Miercoles DTE GENERATOR 6.0 CI 10ML 1 3 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 4 Viernes DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 5 Miercoles DTE GENERATOR 7.5 CI 10ML 1 Martes R 810.8MCI 1 6 Tanque Covidien unicamente para producción Pedidos Quinsenales Tanque G.E. unicamente para producción Pedidos Quinsenales Tanque Covidien para venta Pedidos Semanales

48 10.3 Escenario de mayor venta de tanques: Ahora si se tiene en cuenta que ahora la empresa vende más tanques, como se puede ver en la tabla 24, en la propuesta dos, se observa que los costos disminuyen. Tabla 24: Propuesta dos de venta de tanques Día de Entrega Actividad (mci) Frecuencia Cantidad Lunes 680 Semanal 2 Lunes 1000 Semanal 1 Martes 380 Semanal 1 Martes 600 Semanal 1 Miercoles 810 Semanal 2 En esta nueva propuesta el número de tanques a vender ya no son 5, sino 7, uno más para el lunes y uno más para el martes, de diferente tamaño. Como se puede observar en la tabla 25 donde se comparan los tres casos, al aumentar el número de tanques para venta, se obtiene una leve mejoría en la función objetivo y en el número de tanques, mientras que el desperdicio aumenta en una mayor proporción. Esto desde un principio podría indicar que a mayor número de tanques para vender, los costos para la empresa serán menores y por ende una mayor utilidad, pero veamos entonces cómo se comporta el modelo con las restricciones de demanda de tanques relajadas Mejor Escenario En este escenario las restricciones de demanda de tanques son relajadas, es decir que se deja el modelo libre para que escoja el mejor número de tanques que deben ser vendidos y en qué días. Esto se puede ver en la tabla 25. Tabla 25: Comportamiento del modelo en el escenario óptimo. Escenario Base Opción 2 Mejor Valor Actual F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques Farmacia No. Tanques Venta Según los resultados, el mejor escenario en términos de costos y número de tanques es el de las restricciones relajadas. Aunque el desperdicio aumenta levemente en relación con el escenario base, disminuye en relación a la opción dos y al estado actual. Por otro lado, el modelo de mejor valor arroja que se deben vender 5 tanques, pero en días diferentes: 2 el día lunes y 3 el día miércoles, ninguno el día martes como se planteaba en la propuesta uno.

49 También se puede pensar que si la demanda de tanques aumenta, sin que la demanda en farmacia lo haga, los costos de compra aumentarán más que proporcionalmente, generando pérdidas. Por otra parte, si se compara cualquiera de los escenarios con el estado actual con el que la empresa lleva a cabo su programación, se puede ver una importante mejoría en términos de costos y desperdicio. Esto permite validar el modelo propuesto y llegar a la conclusión que la programación hecha al ser implementada reduciría al máximo los costos, que en un principio era el objetivo a alcanzar Mejor escenario con aumento gradual de la demanda en farmacia: En este escenario, se relajaron las restricciones de demanda de tanques, pero se hizo un análisis de sensibilidad aumentando la demanda gradualmente de a 10% y se obtuvo lo que se ve en la tabla 26. Tabla 26: Análisis de sensibilidad del escenario óptimo. Incremento Demanda 10% 20% 30% 40% F.O Desperdicio total(mci) No. Tanques farmacia No. Tanques venta Incremento % costos 4.57% 15.37% 26.20% 35.68% Se quiso probar si aumentando la demanda en farmacia, aumentaría la demanda de tanques, pero no fue así. Evidentemente si se compara la tabla 26 con la tabla 21, se observa que tanto el número de tanques como la función objetivo, son más favorables en el escenario óptimo, pero el número de tanques de venta es invariante. Por ende se puede concluir que un aumento en la demanda de tanques se puede dar, si aumenta la demanda en farmacia, pero las características de los tanques que se están demandando en este momento no son favorables para la compañía, por lo que el modelo arroja la misma cantidad de tanques para vender al aumentar la demanda en 10, 20, 30 o 40%. 11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Con base a los resultados obtenidos del modelo y después de hacer los análisis de sensibilidad, se le aconseja a la compañía que: El número de corridas que se implementa en la actualidad es la mejor alternativa. Si se cambiaran los días de entrega de tanques de venta de la propuesta uno, y se entregaran dos el día lunes y tres el día miércoles, se obtendrían ahorros significativos.

50 Si se implementa la programación expuesta, y se adopta la propuesta dos, esto puede ser beneficioso para la compañía en términos de costos, en comparación con el estado actual. Se debe tener presente, que bajo situaciones diferentes del comportamiento de la demanda, la planeación de la configuración de tanques debe variar, para mantener los costos al mínimo. Si la demanda aumenta, y se recalcula la programación de tanques, el desperdicio puede disminuir y los costos aumentar de manera proporcional a la demanda, lo cual es beneficioso porque significaría mayores ingresos. Si los costos de producción aumentan más que proporcionalmente al aumentar la demanda, se podrían generar pérdidas. Se deben estudiar otros factores que pueden influir en el resultado del modelo propuesto, como son la tasa de producción y la velocidad de despacho de las dosis, así como la evaluación de nuevas alternativas de venta de tanques. La configuración de tanques a pedir, debe ser cambiada, y se propone la que se encuentra en la tabla 21. En ella se especifica que la periodicidad de pedidos de tanque para farmacia debe ser de 15 días, mientras que los de venta deben ser de una semana según demanda del cliente. En ese mismo esquema se indica que día debe ser pedido el tanque, en que cantidades, cuales referencias y en qué días puede ser usado y en que corrida. Existe una fuerte relación entre los tanques de farmacia y venta. Se debe tener claro que los tanques de venta también son utilizados en farmacia, por lo que si se venden demasiados, a tal punto que la farmacia no sea capaz de absorber el excedo de mci, lo que resultará al final será un aumento de costos y por ende menor utilidad, a pesar de que se vendan más tanques.

51 12. AGRADECIMIENTOS Parece ayer cuando fue el día de bienvenida a estudiantes. Un día en el que el sólo se sentía emoción y alegría de por fin estar aquí, en este lugar donde se llevaría a cabo el sueño de ser profesional y ser todo lo que siempre se había querido ser. Ya son cinco años desde ese primer día, se han pasado por muy gratos momentos, donde se han hecho amigos, compañeros y se ha compartido con colegas muchas experiencias, que a su vez han sido apoyo y aliento en los momentos difíciles, que han puesto a prueba la pasión y convicción de llegar hasta aquí, donde ahora estamos. Así que el agradecimiento es a todas esas personas que han estado ahí siempre, con apoyo incondicional, a todos ellos gracias. Gracias a todos los maestros que con su vocación permitieron que jóvenes con ilusiones, se convirtieran en verdaderos profesionales. Gracias a nuestro asesor de tesis Carlos Montoya, que nos dio la orientación para llevar a cabo este proyecto y gracias a las empresas involucradas por su colaboración.

52 BIBLIOGRAFÍA Avella, G. & Solano, J.C. (2012). Modelo de optimización de la selección de la flota de vehículos en circuitos nacionales de la empresa Bimbo utilizando un modelo de asignación de recursos. Tesis pregrado en Ingeniería Industrial. Universidad de Los Andes, Bogotá, Colombia. Melendez, J.(2008). Modelo de Optimización para el itinerario y Asignación de Los Vuelos de una Aerolínea Comercial. Tesis pregrado en Ingeniería Industrial. Universidad de Los Andes, Bogotá, Colombia. Nakhai, I. & Jafari, S. (2010). New Inventory Model for Perishable Value Materials Such as special Deseases Drugs. 5th IEEE International Conference on Management of Innovation and Technology, ICMIT2010 (pgs ).June 2, June 5, 2010, Singapore. Shen, Z., Dessouky, M. & Ordonez, F. (2011). Perishable Inventory Management system with a minimum volume constraint. Journal of operation research Society, 62, Ziessman, H.A., O Malley, J.P. & Thrall, J.H. (2007). Medicina nuclear: Los requisitos en radiología (3re Ed.). Madrid, España: ELSEVIER. Chatfield, C. (1978). The Holt-Winters Forecasting procedure. Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), Vol. 27, No. 3, pp Arnaus, J. (2001). Diseños de Series Temporales: Técnicas de Análisis. Barcelona: Edición Universidad de Barcelona. pp Chatfield, C. (2000). Time-series forecasting. Chapman & Hall, CRC, pp Hyndman, R., Koehler, A., Ord, J. y Snyder, R. (2008). Forecasting with exponential Smoothing. Springer, pp Ekberg, J., Ylinen, J.y Loul, P.(2011).Network Behaviour Anomaly Detection Using Holt- Winters Algorithm. IEEE. International Conference on internet Technology and Transactions. Abu Dhabi, Emiratos Arabes Unidos. Dong, H., Jia, L., Sun, Li, C. y Quin, Y. (2009). Road Traffic Flow Prediction with a Time-Oriented ARIMA model. IEEE. Quinta conferencia internacional sobre INC, IMS y IDC. Kenney, J. F. and Keeping, E. S.(1951). Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp Banks, J. y Carson J. S. (2005). Discrete-Event System Simulation. Prentice-Hall, Cuarta Edicion, pp Sturges, H. (1926). The choice of a class-interval. J. Amer. Statist. Assoc., 21, Ning Hsu, V. ( 2000). Dynamic Economic Lot Size Model with Perishable Inventory. Management Science 2000 INFORMS, Vol. 46, No. 8, August 2000 pp

53 ANEXOS Anexo 1: Comportamiento de los generadores de Tecnecio Generadores de COVIDIEN N8831L Tipo de tanque: 1 Máxima capacidad: 480 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8841L Tipo de tanque: 2 Máxima capacidad: 720 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8851L Tipo de tanque: 3 Máxima capacidad: 970 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8861L Tipo de tanque: 4 Máxima capacidad: 1210 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8871L Tipo de tanque: 5 Máxima capacidad: 1450 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8881L Tipo de tanque: 6 Máxima capacidad: 1690 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t=

54 N8891L Tipo de tanque: 7 Máxima capacidad: 2420 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8901L Tipo de tanque: 8 Máxima capacidad: 2900 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= N8911L Tipo de tanque: 9 Máxima capacidad: 3620 Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D L t= I t= V t= Generadores de GENERAL ELECTRIC 337.8MCI Tipo de tanque: 10 Máxima capacidad: Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D M t= J t= V t= MCI Tipo de tanque: 11 Máxima capacidad: Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D M t= J t= V t= MCI Tipo de tanque: 12 Máxima capacidad: Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D M t= J t= V t=

55 675.7MCI Tipo de tanque: 13 Máxima capacidad: Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D M t= J t= V t= R 810.8MCI Tipo de tanque: 14 Máxima capacidad: Día i Día de tanque t L M I J V S D L M I J V S D M t= J t= V t= Anexo 2: Valores críticos para la prueba Kolmogorov-Smirnov. Fuente: Massey, F.J. Jr (1951). The Kolmogorov-Smirnov test for goodness of fit. Amer Statistical Assoc

56 Anexo3: Ficha técnica de los resultados del modelo para seleccionar el mejor número de corridas. No. Corridas: Best Bound Gap: 1.84% 3.60% 3.73% 3.61% Best Solution Time(Sg): Tipo Solución Incunvente Incunvente Incunvente Incunvente Anexo 4: Información histogramas y valores esperados Tabla 1: Información histogramas realizados. Lunes (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 2: Información histogramas realizados. Lunes (horas 7 a 12) Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 3: Información histogramas realizados. Martes (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 4: Información histogramas realizados. Martes (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0

57 Tabla 5: Información histogramas realizados. Miércoles (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 6: Información histogramas realizados. Miércoles (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 7: Información histogramas realizados. Jueves (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 8: Información histogramas realizados. Jueves (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 9: Información histogramas realizados. Viernes (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0

58 Tabla 10: Información histogramas realizados. Viernes (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 11: Información histogramas realizados. Sábado (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 12: Información histogramas realizados. Sábado (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 13: Información histogramas realizados. Domingo (horas 1 a 6). Hora 1 Hora 2 Hora 3 Hora 4 Hora 5 Hora 6 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 Tabla 14: Información histogramas realizados. Domingo (horas 7 a 12). Hora 7 Hora 8 Hora 9 Hora 10 Hora 11 Hora 12 Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia Clase Frecuencia y mayor y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0 y mayor... 0

59 Tabla 15: Resumen valores esperados horarios. Valor Esperado demanda nominal (mci) Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Anexo 5: Resumen distribuciones y pruebas de bondad de ajuste. Figura 2: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Lunes hora 1, 2 y 3. Figura 3: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Lunes hora 4,5 y 6.

60 Figura 4: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Lunes hora 7, 8 y 9. Figura 5: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Lunes hora 10, 11 y 12. Figura 6: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Martes hora 1, 2 y 3. Figura 7: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Martes hora 4, 5 y 6.

61 Figura 8: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Martes hora 7, 8 y 9. Figura 9: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Martes hora 10, 11 y 12. Figura 10: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Miércoles hora 1, 2 y 3.

62 Figura 11: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Miércoles hora 4, 5 y 6. Figura 12: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Miércoles hora 7, 8 y 9. Figura 13: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Miércoles hora 10, 11 y 12.

63 Figura 14: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Jueves hora 1,2 y 3. Figura 15: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Jueves hora 4, 5 y 6. Figura 16: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Jueves hora 7, 8 y 9. Figura 17: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Jueves hora 10, 11 y 12.

64 Figura 18: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Viernes hora 1, 2 y 3. Figura 19: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Viernes hora 4, 5 y 6 Figura 20: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Viernes hora 7, 8 y 9. Figura 21: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Viernes hora 10, 11 y 12.

65 Figura 22: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Sábado hora 1, 2 y 3. Figura 23: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Sábado hora 4, 5 y 6. Figura 24 : Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Sábado hora 7, 8 y 9. Figura 25: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Sábado hora 10, 11 y 12.

66 Figura 26: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Domingo hora 1,2 y 3. Figura 27: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Domingo hora 4,5 y 6. Figura 28: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Domingo hora 7, 8 y 9. Figura 28: Resumen de pruebas de bondad de ajuste. Domingo hora 10. Para las horas 11 y 12 no había la cantidad suficiente de datos para realizar pruebas de bondad de ajuste.

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