Es cierta para x = 0. d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x.

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1 EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS 3º ESO TEMA 4 ECUACIONES Ejercicio nº 1.- Dada la siguiente igualdad: x x 5 3x = x responde razonadamente: a) Es cierta si sustituimos la incógnita por el valor cero? b) Qué valor obtienes en el primer miembro si sustituyes x = 1? Y en el segundo miembro? c) Se cumple la igualdad para x =? d) Son x = 0, x = 1 y x = soluciones de la igualdad propuesta? Es una identidad o una ecuación? a) = = Es cierta para x = 0. b) En el primer miembro = En el segundo miembro = c) = Se cumple la igualdad para x = = d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x. Ejercicio nº.- Halla, por tanteo, la solución entera de la ecuación: ( ) 3 x 1 = 79 (x 1) 3 = 79 x = 8 Ejercicio nº 3.- IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 1

2 Resuelve las ecuaciones: x a) x x 3 x = x 3 3 b) x 7 x = ( x 5) x 5 x 3 5x a) 6x = 10 3 x 10 3x 36x 9 15x 60 = x 10 3x 36x 9 = 15x 60 x 3x 36x 15x = x = 61 x = 0 3x x 3 3x 15 b) x 7 = x 84 18x 4x 1 18x 45 1 = x 84 18x 4x 1 = 18x x 18x 4x 18x = x = 105 x = = 8 4 Ejercicio nº 4.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x = 0 b) x 0x 50 = 0 a) x x = 0 1± 1 8 1± 9 1± 3 x = = = x = 1 x = b) x 0x 50 = 0 x 10x 5 = 0 10 ± x = = = 5 x = 5 IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página

3 Ejercicio nº 5.- Resuelve estas ecuaciones, sin aplicar la fórmula: a) 3x 48 = 0 3 x x = b) = 0 a) 3x = 48 x = 16 x = ± 16 x = 4 x = 4 x x = x x = x ( x ) = 3 b) x = 0 x = 3 Ejercicio nº 6.- Halla tres números pares consecutivos, sabiendo que el tercero más el triple del primero excede en 0 unidades al segundo. Primero x Segundo x Tercero x (x ) 3(x ) = x 0 x 6x 6 = x 0 4 6x = 4 x = = 4 6 Los números son 6, 8 y 10. Ejercicio nº 1.- a) Razona si son equivalentes las ecuaciones: x 3 = x 7 3x 1 = 13 b) Son equivalentes estas ecuaciones? 3x = 6 IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 3

4 x 1 = 7 Por qué? a) x 3 = x 7 x = 4 3x 1 = 13 3x = 1 x = 4 Sí son equivalentes, pues tienen la misma solución. b) 3x = 6 x = x 1 = 7 x = 3 No son equivalentes, pues no tienen la misma solución. Ejercicio nº.- Tanteando, halla la solución entera de la siguiente ecuación: 7 x = 401 x 7 = 401 x 4 4 = 7 = 401 Ejercicio nº 3.- Resuelve estas ecuaciones: a) ( x ) 3 x ( x ) = ( x ) x = x ( x ) b) 0, ,5 3 1 ( x ) 3 x ( x ) a) = x 10 3 x 3x 3 = x x 3x 3 = x 0 15 = 4x 3x 3 4x 4x 3x = IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 4

5 8 3x = 8 x = 3 b) 0,5 (x 4) x = 3x 4,5 (3x 1) 0,5x 1 x = 3x 13,5x 4,5 0,5x x 3x 13,5x = 4,5 1 5,5 10x = 5,5 x = = 0,55 10 Ejercicio nº 4.- Resuelve estas ecuaciones: a) 3x 3x 6 = 0 b) x x 3 = 0 a) 3x 3x 6 = 0 x x = 0 x = 1 1± 1 8 1± 9 1± 3 x = = = x = b) x x 3 = 0 1± 1 1 1± 11 x = = No tiene solución. Ejercicio nº 5.- Resuelve las siguientes ecuaciones, sin utilizar la fórmula de resolución: a) 5x 5 = 0 b) 3x x = 0 a) 5x 5 = 0 x = 1 x = ± 1 x = 1 x = 1 ( ) x x = x x = b) x = 0 x = 3 IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 5

6 Ejercicio nº 6.- Si a la mitad de un número le restas su tercera parte, y, a este resultado, le sumas 85/, obtienes el triple del número inicial. De qué número se trata? Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que: x x 85 = 3x 3 3x x 55 18x = x x 18x = x = 55 x = = El número es el 15. Ejercicio nº 1.- Dada la ecuación: x 1 x 1 x 5 3x = 7 responde razonadamente: a) Qué valor obtienes si sustituyes x = 3 en el primer miembro? b) Qué obtienes si sustituyes x = 3 en el segundo miembro? c) Es x = 3 solución de la ecuación propuesta? d) Es x = 1 solución de la ecuación? 3 1 a) = = b) 7 = 7 = 9 c) Sí, puesto que cumple la igualdad según acabamos de ver. d) Sustituimos x = 1 en la ecuación y vemos que no la cumple: = = 8 No coinciden. Además, sabemos que una ecuación de primer grado solo tiene una solución. En este caso era x = 3. IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 6

7 Ejercicio nº.- Tanteando, halla una solución entera para la ecuación: x 3 = 56 x 3 56 = x = 5 = 8 56 Ejercicio nº 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones: x 5 x 1 3x a) = b) x ( x 5) x 7 = x 3x 3 5 x 5 x 1 3x a) = x 5 x 1 9x 30 = x 5 x 1 9x = 30 10x x 9x = x = 56 x = = b) x ( x 5) x 7 = x 3x 3 5 x 10x x 7 = x 3x x 3x = x = x = 3 39 Ejercicio nº 4.- Resuelve las ecuaciones siguientes: IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 7

8 a) 3x x 5 = 0 b) x 8x 0 = 0 a) 3x x 5 = 0 ± 4 60 ± 64 ± 8 x = = = x = 5 3 x = 1 b) x 8x 0 = 0 8 ± ± ± 1 x = = = x = x = 10 Ejercicio nº 5.- Resuelve las siguientes ecuaciones, sin utilizar la fórmula de resolución: a) x 18 = 0 b) 3x x = 0 a) x = 18 x = 64 x = ± 64 x = 8 x = 8 ( ) b) 3x x = 0 x 3x 1 = 0 x = 0 x = 1 3 Ejercicio nº 6.- Halla un número entero sabiendo que si multiplicamos su anterior por su siguiente, obtenemos 360. Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que: (x 1) (x 1) = 360 x 1 = 360 x = 361 x = ± 361 x = 19 x = 19 IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 8

9 Hay dos soluciones: 19 y 19 Ejercicio nº 1.- a) Comprueba si x = 1 es solución de la ecuación: x 4 3x 5 7 = 3 6 b) Comprueba si x = 9 es solución de la ecuación anterior. c) Inventa una ecuación equivalente a la anterior. a) Sustituimos x = 1 en la ecuación: = = 6 = 3 No son iguales. Por tanto, x = 1 no es solución de la ecuación. b) Sustituimos x = 9 en la ecuación: = = = Son iguales. Por tanto, x = 9 es la solución de la ecuación. c) Cualquier ecuación que tenga como única solución x = 9. Por ejemplo: x 1 = 59 Ejercicio nº.- Dada la siguiente ecuación, busca por tanteo su solución entera: x 3 = 79 = x = 8 = x Ejercicio nº 3.- IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 9

10 Resuelve las ecuaciones siguientes: x 3 x 1 3 a) x = ( x ) 5 1 3x 1 b) ( x 3) ( x 6) = 5 10 x 3 x 1 3x a) = ( x 4) 5 5 x 3 x 1 3x = x x 6 5x 5 6x 0x 80 = x 6 5x 5 6x = 0x 80 4x 5x 6x 0x = x = 69 x = = x 1 b) ( x 3) ( x 6) = x 15 x 6 3x 1 = x 75 4x 1 3x 1 = x 75 4x 1 = 3x 1 5x 4x 3x = x = 88 x = = 18 9 Ejercicio nº 4.- Resuelve estas ecuaciones: a) 3x x = 0 b) 4x 1x 9 = 0 a) 3x x = 0 1± 1 4 1± 5 1± 5 x = = = x = 3 x = 1 IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 10

11 b) 4x 1x 9 = 0 1 ± x = = = x = 8 8 Ejercicio nº 5.- Resuelve, sin aplicar la fórmula: a) 3x 147 = 0 b) x = 3x a) 3x 147 = 0 3x = 147 x = 49 x = ± 49 x = 7 x = 7 ( ) b) x 3x = 0 x x 3 = 0 x = 0 x = 3 Ejercicio nº 6.- Halla dos números sabiendo que el primero es 1 unidades mayor que el segundo; pero que, si restáramos 3 unidades a cada uno de ellos, el primero sería el doble del segundo. Organizamos la información en una tabla: NÚMEROS TRES UNIDADES MENOS PRIMERO x 1 x 9 SEGUNDO x x 3 Sabemos que: x 9 = (x 3) x 9 = x 6 15 = x Los números son 15 y 15 1 = 7. Ejercicio nº 1.- Comprueba si x = 1 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones. Razona tu respuesta: IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 11

12 a) x x = x x 3 x b) = 1 c) x 5x 5 1 = 0 = Sustituimos x = 1 en cada una de las ecuaciones y vemos si se cumple la igualdad: a) = 1 = = 7 7 Sí se cumple; x = 1 es solución b) = = 1 x = 1 es solución de la ecuación. c) = 1 1 = 1 1 = 0 x = 1 es solución. Por tanto, x = 1 es solución de las tres ecuaciones propuestas. Ejercicio nº.- Busca, por tanteo, la solución entera de la ecuación: x 1 = 5 x 1 = 5 x = 1 Ejercicio nº 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x 3 x 5 = 3 5 ( x ) ( x ) b) x = ( x ) IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 1

13 x x 3 x 5 a) = x 30 10x 30 6x 30 = x 30 10x 30 = 6x 30 15x 10x 6x = 30 x = 30 x = 30 3x 5 x b) x 1 = x 6 3 6x 6 9x 15 x 1x 36 = x 6 9x 15 x = 1x 36 6x 9x x 1x = x = 45 x = 11 Ejercicio nº 4.- Resuelve: a) x 7x 3 = 0 b) x 8x 16 = 0 a) x 7x 3 = 0 7 ± ± 5 7 ± 5 x = = = x = 3 x = 1 b) x 8x 16 = 0 8 ± x = = = 4 x = 4 Ejercicio nº 5.- Resuelve las siguientes ecuaciones, sin utilizar la fórmula: a) x 98 = 0 b) 4x = 3x IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 13

14 a) x = 98 x = 49 x = ± 49 x = 7 x = 7 ( ) b) 4x 3x = 0 x 4x 3 = 0 x = 0 x = 3 4 Ejercicio nº 6.- Al multiplicar un número entero por el resultado de aumentar su doble en 3 unidades, obtenemos 35. De qué número se trata? Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que: ( ) x x 3 = 35 x 3x 35 = 0 3 ± ± 89 3 ± 17 x = = = x = 7 x = 5 Como buscamos un número entero, la solución es 5. IES CINCO VILLAS TEMA 4 ECUACIONES 3º ESO Página 14

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