Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto

Transcripción

1 Capítulo Desigualdades valor absoluto 1

2 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o cero, se tiene: ½ si 0 = si 0 a a a a a 0 a a 0 a Si a >0 Si a <0 Figura -1 Recuerda que si 0, entonces 0 Es claro que = pues dista de 0 lo mismo que su simétrico Observación: La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero Por consiguiente no es necesariamente un número negativo, podremos decidirlo hasta que sepamos que número representa Ejemplos 1 Si = 3 entonces = 3 Si = 1 6 entonces =1 6 3 Si =0entonces =0 Observaciones: El valor absoluto de cualquier número es no negativo no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = 8, entonces queespositivo = ( 8) = 8 Algunas propiedades del valor absoluto Si son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

3 Desigualdades valor absoluto 3 = = =,donde denota la raíz no negativa de, para cualquier número 0 = = Ejemplos 1 11 = 11 =11 1 =( 1) =1 3 5 = 5 = = 8 15 = = 7 = Resolver la ecuación =7 Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos: Si 0, entonces =, de donde =7 Si 0, entonces =, dedonde =7Así, = 7 Por tanto =7 = 7 satisfacen la igualdad Esto era de esperarse a que 7 7 son los únicos puntos cua distancia al cero es Figura - 7 Resolver la ecuación + + =0donde, son números reales dados 6= 0 Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto

4 Desigualdades valor absoluto Primero factorizamos el coeficiente de : Despejamos el término independiente + + = = = 0 + = El número que completa a + como trinomio cuadrado perfecto es,asíque sumamos éste número en ambos lados de la igualdad: + + = + + = + Efectuando la suma de la derecha simplificamos: + + = + = + = + = s + = + = Tenemos dos casos + de donde = o + = + = o + =

5 Desigualdades valor absoluto 5 Con lo cual obtenemos las soluciones: = + o = Podemos escribir brevemente lo anterior como: = ± La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado Desigualdades valor absoluto En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros El ancho requerido es de 1 5 cm, un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de, alomás,0 0 cm Qué anchos pueden tener los cuadernos que haan aprobado el control de calidad? Llamamos al ancho de un cuaderno El defecto en el ancho del cuaderno es la diferencia: 1 5 Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor absoluto de la diferencia anterior Dicho error puede ser de, a lo más, 0 0 cm, es decir, Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto: ½ 1 5 si = ( 1 5) si Ahora resolvemos las desigualdades: Si 1 5 0, entonces

6 6 Desigualdades valor absoluto Si entonces ( 1 5) Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre cm Propiedades del valor absoluto 1 Si 0 entonces Observa en la siguiente figura,quelospuntosque satisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derecha de a la izquierda de ( ) -k k Figura -3 Si entonces o Los puntos cua distancia al origen es maor que son los que están a la derecha de o bien los que se encuentran a la izquierda de ) ( -k Figura - k Ejemplos 1 Resolver 5 5 Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser 5 un número positivo, que: es decir,

7 Desigualdades valor absoluto 7 Resolver Si + 0, entonces no ha solución Si + 0, entonces, esdecir, [ ) : ( +) Así, para que sea solución, tiene que cumplir que: 3 1 Observamos que si satisface que 3 1, entonces también satisface que Así, todas las soluciones de la desigualdad son 3 1, esdecir, Resolver Utilizando la propiedad del valor absoluto, tenemos: o 6 5 ( +7) Así, es solución si satisface que 6 o 1, es decir, 5 1 (6 ) 5 Resolver 5 1 Si 1 0, entonces no ha solución, a que 5 es siempre maor o igual que 0

8 8 Desigualdades valor absoluto Si 1 0, entonces 1 1, es decir, : ( 1) Así, para que sea solución, tiene que cumplir que: Pero , así que no existe un real que satisfaga solución por tanto, la desigualdad no tiene Desigualdades recta Una ecuación del tipo = + representa la ecuación de una recta Dos personas están en un valle atravesado por un río Es claro que las dos personas están del mismo lado del río, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarse sin atravesar el río Similarmente, dos puntos en el plano están del mismo lado de una recta, si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta Están los puntos (3 1) ( 3) del mismo lado o en lados opuestos de la recta = +? Dibujamos la recta = + Véase la figura -5 La gráfica de la recta = +divide al plano en tresregiones: Los puntos que están en la recta Los puntos que están arriba de la recta Los puntos que están debajo de la recta

9 Desigualdades valor absoluto 9 Y 6 X Figura -5 Sabemos que los puntos que están en la recta son los que satisfacen la ecuación: = + El punto (3 10) está en la recta: = + Todo punto que esté verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada 3 su segunda es maor que 10; esdecir,lacoordenada(3 ) de satisface: + El punto (3 1) satisface: 1 (3)+ De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada del puntoescadavezmenor,esdecir, + El punto ( 3) satisface 3 ( ) + = 0 Por tanto, los puntos (3 1) ( 3) están en lados opuestos de la recta Entonces los puntos que están arriba de la recta satisfacen la desigualdad + Los puntos que están abajo de la recta satisfacen la desigualdad +

10 10 Desigualdades valor absoluto Y Y Y X X X > x + = x + < x + Figura -6 La gráfica de una recta = + divide al plano en tres conjuntos: Los puntos que están arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad + Los puntos que están en la recta, que son los que satisfacen la ecuación = + Los puntos que están abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad + Ejemplos > mx + b = mx + b < mx + b Figura -7 1 Describir las regiones determinadas por la recta = 1 3 Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 1 3 Los puntos que están en la recta satisfacen = 1 3 Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 1 3

11 Desigualdades valor absoluto 11 Y Y Y 6 6 X 6 6 X X > 1 x 3 = 1 x 3 < 1 x 3 Figura -8 Describir las regiones determinadas por la recta = 7 Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 7 Los puntos que están en la recta satisfacen = 7 Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 7 Y Y Y X X X > 7 = 7 < 7 Figura -9