NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

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1 º Bchiller UNIDAD DIDÁCTICA : NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES º BACHILLER

2 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS En est unidd prenderás :. Identificr números nturles, enteros, rcionles e irrcionles.. Operr correctmente con números reles.. Operr correctmente con epresiones lgebrics.. Relizr correctmente ls potencis de números reles y ls operciones con rdicles. 5. Reconocer y definir los conjuntos más usules de números reles (intervlos y entornos), sí como sus uniones e intersecciones. 6. Mnejr el concepto de logritmo y sus propieddes. 7. Conocer el concepto de vlor bsoluto. CONCEPTOS. Números rcionles: definición. Epresión deciml y frccionri.. Números irrcionles: definición.. Números reles: definición. Operciones y propieddes. Densidd.. Potencis de eponente culquier. 5. Rdicles: definición. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 6. Intervlos y entornos. Unión e intersección. 7. Logritmos: definición y propieddes. Cmbio de bse. 8. Vlor bsoluto. Definición y cálculo.

3 º Bchiller NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. INTRODUCCIÓN Los conjuntos de números vn mpliándose lo lrgo de l histori, medid que surgen ctividdes que hcen necesrio su uso. Desde lo más rudimentrio, contr, que d lugr los números nturles N,,,,..., psndo por reprtir, que hce necesrio el ncimiento de los números rcionles Q {/b, b 0}, comercir con sldos negtivos, que origin el conjunto de los números enteros Z...,-,-,0,,,... y construir, comprr, edificr, medir que requiere que el conjunto de números se mplíe de nuevo. Construye un triángulo rectángulo de ctetos y, cuánto mide su hipotenus? Los números siempre hn estdo en el entorno y ls ctividdes que nos roden, hciéndose notr, pesr del rechzo que h generdo l eistenci de lgunos de ellos, como el 0 y -. Son sus grfís ls que hn eperimentdo un evolución sombros lo lrgo de l histori, pr responder ls necesiddes crecientes en su uso hst lcnzr l form que tienen en l ctulidd.. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS Números NATURALES: N,,,,... Números ENTEROS: Son los números nturles, sus opuestos y 0. Z..., -, -, 0,,,... Números RACIONALES: Se llm número rcionl l que puede epresrse como frcción de números enteros. Q /,b Z; b 0 b Su epresión deciml es ect o periódic (pur o mit). Define, con los puntes de cursos nteriores, qué se entiende por deciml ecto o periódico, y escribe cómo se reliz el pso de nº deciml frcción y vicevers.

4 º Bchiller Cuál serí el resultdo de ests operciones?, 0 0 0, 0 Números IRRACIONALES: Los números irrcionles, l contrrio que los rcionles, no pueden epresrse como cociente de números enteros, luego no pueden ser ni decimles ectos ni periódicos. Por tnto, los definimos como: El conjunto de números cuy epresión deciml tiene infinits cifrs decimles no periódics. Dicho conjunto se design con l letr I. Son ejemplos de números irrcionles:, π, e... Ddo que no se puede conocer su vlor ecto (por eso se designn con letrs o símbolos), se suelen utilizr proimciones medinte números rcionles cercnos. Por ejemplo π 6, e ' 78. Números REALES: Es el conjunto formdo por todos los números rcionles e irrcionles. Se design con l letr R. RQ I Se representn en l rect rel signndo cd punto un número. Entre cd dos números reles hy infinitos números reles. Cuál es el número rel siguiente? y el nterior? Son consecutivos los números reles? R Q 5 Z N I π e Actividdes. Clsific los siguientes números indicndo cuál es el conjunto (N, Z, Q, R) más pequeño l que pertenecen: 5, - 7, 0, 5/, 8,, 5,. Clsific los siguientes números en rcionles e irrcionles: π, ' 7, )... b) 7 c) d) e) f) g) 0... h)

5 º Bchiller. INTERVALOS Y ENTORNOS Los números reles pueden representrse en l rect rel grupdos en intervlos y entornos: - Intervlo bierto:,b R / < < b ( ) { } - Intervlo cerrdo:,b R / b [ ] { } b b - Intervlo semibierto o semicerrdo: [,b) { R / < b} (,b] { R / < b} b b - Intervlos infinitos:, R / > ( ) { } [, ) { R / } (, ) { R / < } (, ] { R / } - Entorno simétrico de centro y rdio r: ( r, r) E (,r) + r + r - Entorno lterl por l izquierd de centro y rdio r: E (,r) ( r, ) r - Entorno lterl por l derech de centro y rdio r: + (, r) E (,r) + + r 5

6 º Bchiller - Entorno reducido de centro y rdio r: E * (,r) ( r, + r) { } r + r Ejemplo: [-,] E(,) (-,6) - 6 E * (-,) (-,)- {- } - - UNIÓN: Se define l unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formdo por todos los elementos de mbos conjuntos. Se escribe A B. INTERSECCIÓN: Se define l intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formdo por los elementos comunes de mbos conjuntos. Se escribe A B. Ejemplos: ) A,, 6 B,, A B,,,, 6 A B A B A B ) [-,5) (,9) [-,9) [-,5] (,9) (,5] (,] [6,8] O ( O signific conjunto vcío: que no contiene ningún elemento) Represent gráficmente los intervlos y comprueb los resultdos. 6

7 º Bchiller Actividdes. Represent los siguientes conjuntos numéricos: ) (-,-) b) { / - < 5 } c) (-,0) (,+ ) d) [,+ ) e) [-,5) (5,7] f) (-,) (,+ ). Epres como desiguldd y como intervlo y represent: ) es menor que 5. b) es menor o igul que. c) está comprendido entre 5 y. d) está entre y 0, mbos incluidos. 5. Epres en form de intervlo los siguientes entornos:. E * (-5,6) c) E, b. E +, d) E 0, 7 6. Identific los entornos E (-,6), E * (0,), E (5, ) y E + (0,6) con el conjunto que le correspond: ) A { R / 0 < < 6 } b) B { R / - 7 < < 5 } c) C { R / - < < } - { 0 } d) D { R / < < 5 }. VALOR ABSOLUTO Se define el vlor bsoluto de un número rel como su distnci l 0, es decir, el vlor bsoluto de un número es el propio número, si éste es positivo, y su opuesto, si es negtivo (Recuerd que si es negtivo, - es positivo). Se escribe si si 0 < 0 Ejemplos: ,

8 º Bchiller Actividdes 7. Hllr el vlor bsoluto de: 7, 0, Pr qué vlores de se cumplen ls siguientes igulddes? ) b) 0 c) + d) 9. Pr qué vlores de se cumplen ls siguientes desigulddes? ) < b) 5. NÚMEROS REALES. OPERACIONES. (REPASO) 5.. SUMA + b R,, b R (l sum de dos números reles siempre es otro nº rel. L sum es un operción intern) - Propieddes: ) Conmuttiv: + b b +, b R b) Asocitiv ( + b) + c + (b + c), b, c R c) Elemento neutro: 0 R + 0 d) Elemento opuesto: R, - R / + (- ) 0 **( signific: pr todo o pr culquier)** Por cumplir ests cutro propieddes, se dice que R es un GRUPO ABELIANO respecto l sum. 5.. PRODUCTO b R,, b R (el producto de números reles tmbién es un operción intern). - Propieddes: ) Conmuttiv: b b, b R b) Asocitiv: ( b) c ( b c), b, c R c) Elemento neutro: R d) Elemento inverso: 0 R, R / Se deduce que el conjunto de los números reles (R), es tmbién GRUPO ABELIANO respecto l producto. Además tmbién se cumple: Distributiv respecto l sum, b, c R, ( b + c) b + c Por cumplir ests 9 propieddes se dice que R tiene estructur de CUERPO CONMUTATIVO respecto l sum y el producto. 8

9 º Bchiller 5.. RESTA Por eistir elemento opuesto, podemos definir l rest como l sum con el opuesto b + (-b ) 5.. COCIENTE Por eistir elemento inverso b b (b 0) 5.5. POTENCIACIÓN. PROPIEDADES ) Potencis de eponente entero: donde R, n Z - Si n > 0 n... (n fctores) - Si n 0 0 n 0 nn (y que ) n n n -n 0 - Si n < 0 ( y que ) -n b) Potencis de eponente frccionrio: Propieddes: - m n m+ n - m n : mn m n - ( ) m n m - ( b) m - ( : b) m m b m : b m m n Intent justificr ls igulddes nteriores n m n y que ( m ) n m n 5.6. RADICACIÓN. OPERACIONES CON RADICALES - Definición: Rdicl es tod epresión de l form n donde es el rdicndo y n es el índice de l riz, siendo: n n b b - Operciones ) Sum: Sólo se pueden sumr rdicles cundo l simplificrlos, tienen el mismo índice y el mismo rdicndo, etryendo como fctor común dicho rdicl ( b c) n b n + c n + 9

10 º Bchiller b) Producto : Si los rdicles tienen el mismo índice: n n b n b porque n b n ( b) n Si tienen distinto índice hy que reducirlos previmente índice común buscndo su m.c.m. Ejemplo: 7 b 5 b c ( ) b 5 ( 7 ) (b ) c 5 9 b c b 5 bc 5 c) Cociente : Si los rdicles tienen el mismo índice: : b n / b porque n : b n ( : b) n Si tienen distinto índice hy que reducirlos previmente índice común buscndo su m.c.m. n n d) Potencición : m n n m ( ) porque m /n m ( ) n n m e) Rdiclizción : m n m n porque ( /n ) / m m n m n f) Rcionlizción - Rcionlizción de denomindores: ) multiplicmos y dividimos por b b b) multiplicmos numerdor y denomindor por n n b m c) b ± c b nm multiplicmos numerdor y denomindor por el conjugdo. 0

11 º Bchiller Ejemplos: ( 5 + ) ( 5 + ) 5 5 ( ). ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) 9 6 Actividd 0. Reliz ls siguientes operciones: ) : + 5 b) (+ b+c) + ( b) + (+c) c) d) e) 6 ( ) 5 : 9 6 f) ( ) : g) ( ) ( ) 5 b h) b i) b b b b j) b b b b k) Rcionliz: ) y y b) c ) 6 5 d) 7 5 5

12 º Bchiller 6.- LOGARITMO DE UN NÚMERO. PROPIEDADES Segurmente, serís cpz de resolver l ecución: 6, unque l incógnit () esté en el eponente. Pr ello, bstrí con epresr tod l iguldd en bse : Sin embrgo, resultrí más difícil despejr con precisión l incógnit en est ecución: 0 y que, siguiendo l estrtegi nterior: + 0, sólo podrímos dr un vlor proimdo, pues 0 no es potenci de. Deducimos que + debe ser 5??.. pues 5 y 6 6. Por tnto,???. Podrímos buscr con l clculdor un buen proimción, probndo con distintos vlores. No obstnte, prece conveniente definir lgun herrmient mtemátic útil cundo se trt de mnejr eponentes. Sbemos que en tod potenci precen tres elementos: bse, eponente y potenci o resultdo. 8 Necesitmos conocer dos de los tres elementos pr clculr el tercero: ) Si conocemos l bse y el eponente: y debemos clculr el resultdo, l operción se llm POTENCIA y te result conocid. b) Si disponemos del eponente y l potenci: 8 y tenemos que clculr l bse, l operción se llm RADICACIÓN y, unque l hs estudido nteriormente, se escribe con otro formto: 8 c) L tercer posibilidd es que conozcmos l bse y el resultdo de l potenci: 8 Es entonces cundo debemos clculr el eponente. Esto es lo que conocemos con el nombre de LOGARITMO. Logritmo es un sinónimo de eponente LOGARITMO EXPONENTE Tmbién se escribe con otro formto: log 8 Se lee logritmo en bse de 8 Ejemplos: ) log 6 porque 6 b) log - porque c) log 5 0 porque 5 0

13 º Bchiller Si no consigues hcerlo medinte cálculo mentl, puedes llmrle y psr l formto potenci, es decir: 7 ( ) log 7 luego log 7 Actividd. Complet los siguientes logritmos: log 9 log log log log log log log 6 7 del Ahor que comprendes el concepto, vmos escribir un definición precis concepto de logritmo: Definición: Se define el logritmo en bse de b, como el eponente l que hy que elevr pr obtener b, es decir log b b Cundo se mnejn números muy grndes o muy pequeños, es más cómodo utilizr sólo los eponentes. Sbís que los números de l escl de Richter que miden l fuerz de los terremotos, son logritmos? Clcul hor los siguientes logritmos: log log log 0 log Si hs encontrdo dificultdes pr resolverlos, quizá hys llegdo lgun de ls siguientes conclusiones: Crcterístics: ) L bse tiene que ser un nº positivo y distinto de 0 y, y que un bse negtiv puede dr lugr potencis no reles: (-) ( )????? (en l unidd 5 veremos los números complejos, que surgen de ls ríces de números negtivos). Además, no tiene sentido hblr de log ó log 0 5, pues culquier potenci de es igul (nunc podrí ser ), y culquier potenci de 0 serí 0, es decir, sólo eistirín log y log 0 0 y serín igules todos los números reles.

14 º Bchiller ) Por otr prte, l potenci b no puede ser negtiv ni 0, Rzon por qué y escríbelo. Potenci b>0 log b c Eponente c culquier nº rel Bse >0 ) Los logritmos más utilizdos son los de bse 0, llmdos logritmos decimles, en los que no es necesrio precisr l bse, ( log 0 b logb ) y los logritmos neperinos, de bse el nº e 78 cuy notción es Ln log e. Ejemplos: log00, log0 - Lne Clcul los siguientes logritmos: log log log Lne Propieddes de los logritmos: Recuerd siempre que un logritmo es un eponente y, por tnto, debe cumplir ls misms propieddes. Sbemos que l multiplicr dos potencis de l mism bse, se sumn los eponentes y que: 5 m n m+ n Si el eponente del producto es l sum de los eponentes, el logritmo del producto debe ser l sum de los logritmos, es decir: ) log b c) log b log c ( + Por l mism rzón, y ddo que el eponente del cociente de dos potencis m mn es l rest de los eponentes: se cumplirá que el logritmo del cociente n es l rest de los logritmos: b ) log log b log c c

15 º Bchiller Por último, l elevr un potenci otr potenci se multiplicn los n eponentes: ( m ) m n y que ( ) 6, Luego debe cumplirse que: n ) log b n log b (recuerd que tnto n como el log b son los eponentes) Est últim propiedd puede rzonrse de otr mner, utilizndo l propiedd : n log b log (b b b... b) n veces log b + log b n veces + + log b n log b Ejemplos: ) Conocido el log 0 0, clcul log0 y log0 08 log0 log( 0) log+log log0 08log log8 - log00 log - log00 log ) Sbiendo que log+log log, hll log( ) log Como hs podido observr, ests propieddes nos permitirán obtener otros logritmos prtir de uno o vrios conocidos, o despejr incógnits fectds por logritmos. Tmbién es cierto que l myorí de los logritmos son números irrcionles difíciles de precisr. Además, l infinidd de bses posibles hce más difícil l tre. Por eso, tn sólo se mnejn con siduidd ls bses 0 y e, que son ls que puedes encontrr en culquier clculdor. Pero entonces, cómo clculr log 5? Muy sencillo, se h encontrdo un fórmul que permite el pso de un bse otr. Fórmul del cmbio de bse Pr psr de bse bse b log logb log b Serí entonces cierto que psndo bse 0 y utilizndo l clculdor: 5

16 º Bchiller log 5 log 5 0'698 ' 65 log 0'77 Vmos demostrr est fórmul utilizndo el formto de potenci, que result más fmilir. Demostrción Pr ello, nombrmos con un letr cd logritmo: log p, log b q y log b s. Queremos demostrr que Se cumple que: si si si log p b b p log q b q s log s b p b q (b s ) p b q Sustituyendo por b s q p s s Luego, ( b ) p q sp q q b b b sp q p como querímos demostrr s c.q.d. Por último, vmos hor resolver l ecución que hbímos plntedo l principio de este prtdo: ' ' log log 0 + log Actividdes. Clcul, utilizndo l definición de logritmo: ) log 6 + log log 9 log b) log + log log 7. Clcul l bse de estos logritmos: ) log 5 b) log c) log 0'0 d) log e) 9 log 6

17 º Bchiller.Sbiendo que log 0 77, clcul el logritmo deciml de 0, 00, 000, 0, 0 0, Sbiendo que log k clcul: ) k 00 log b) ( 0' k ) log c) log d) ( log k) k 6. Si log k, escribe en función de : ) log k b) k log c) log 0k Comprueb que log + log log 6 8. Siendo log 0 0 y log 0 77 clcul: ) log 5 b) log c) log 8 d) log 8 7

18 º Bchiller EJERCICIOS. Indic si es verddero o flso: ) [,+ ) (,+ ) b) (-,) c) (-, ) [0,+ ) d) (-,) [-,) ** El símbolo signific contenido en A está contenido en B: A B**. Ddos los conjuntos:. A { R / -7 < } b. B { R / < 6 } c. C { R / 0 < < 5 } Clcul: ) A B b) A B c) (A B) C d) A B C e) A (B C) f) A B C. Reliz ls siguientes operciones:. Clcul: + l) m) ) log 0 b) log c) log 6 d) log e) log 0'00 f) log g) log 8 h) log π 5. Sbiendo que log 0 0, clcul: ) log 0'0 b) log c) 8 0'05 log d) log 5 8 0' 6. Sbiendo que log 0 77, cuánto vldrá log 0? 7. Sbiendo que log b y log 9 b 5, cuál será el vlor de? 8

19 º Bchiller 9 8. Qué relción eiste entre y b en los siguientes csos? i. log log b 0 ii. log log b + log iii. log log b iv. log + log b 9. Reliz ls siguientes operciones: ) b) 5 ( - ) + ( - 8 ) ( - ) 5 c) 7 ( - ) ( - 8 ) : ( - ) + 5 d) + : 5 e) + + f) ( ) + + g) ( ) + 8 h) + + i) : 5 6 : 5 j) + 7 : k) : : l) b : b b 0. De los siguientes números di cuáles son rcionles y cuáles irrcionles. Añde tmbién si son periódicos o no indicndo, si eiste, cuál es el período. ) 7 6 b) 0... c) 70 d) e) f) g) h) 6. Etre fctores de los siguientes rdicles: b 6 ) y 8 5 ) y 5 ) y y ) 8 ) 8 )

20 º Bchiller. Reliz ls siguientes operciones: ) ) 8 ) [( ) ] 5 ( ) : ( ) ) ) 5 ) 5 6 ) 7 ) ( ) ( ) 5 9 ( y ) 5 : 5 5 9) 0 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) ) ) 5 ) ) [( ) ] ( 8 ) ( 0'6 ) 5 5 y z '5 ( 97 ) 0' ) ) 8. Introduce fctores bjo el signo rdicl: ) 7 ) ) y z y b ) + b + b b 5) 5 7 0

21 º Bchiller. Escribe en form de potencis los rdicles: ) 5 ) b ) 5 ) 5) 5 + b 6) 5. Escribe como rdicles ls potencis: ) ( ) + ) 5 5 )5 5 6) 5 6. Reliz ls siguientes operciones: ) 5 7 ) ( b 5) y b) b b c) d) b : e) ( ) f) g) y ( y ) 9 5 h) ( + )( + + ) i) ( ) j) b b k) ( + 5)( 5) l) m) n) 8 5 : 5 75 b + : b b ñ) o) p) ( ) ( b ) ( b ) ( b ) ( ) b q) ( y) + y + y y + + y y z 5y 5y + y

22 º Bchiller 7. Rcionliz ls siguientes epresiones: ) b) c) + d) e) f) b b g) h) + i) b b b b + j) + k) l) 9 8. Reliz ls siguientes operciones: ) ( ) b) b b b c) d) 5 8 : + + e) 5 5 : 5 5

23 º Bchiller f) g) 5 8 ( + ) h) b b b i) j) k) l) m) 6 5 : ( pq) ( p q ) ( p q ) 8 m + n m n m + n m m n cd b d cd c b d 8 d + c 6 + b d c 8 9. Epresr en form de intervlo los siguientes entornos: E (-,0), E + (,), E - (-8,) y E*(,5) 0. Define y represent gráficmente: ) E ( 0, ) E (, ) b) [ -, - ) ( -, 5 ] c) [ -, 0 ) [ -, ). Clcul: log Si log 0 0 y log 0 77, hll: ) log 0'08 0'8 b) log '. Clcul : ) log 0'00 b) log 9 c) log 5

24 º Bchiller. Clcul y represent gráficmente los siguientes conjuntos: ) A B b) A B c) A B C d) A C + siendo: A E (0,5 ) B { R / < 6} C R / < { } 5. Epres en form de intervlo y represéntlos gráficmente: ) A E ( 5,6 ) b) B E, c) + C E, d) D { R / 5 } E R / 9 F R / < e) { } f) { } 6. Siendo log 0 0 y log 0 77, clcul: ) log 7 b) ' log '6 c) log 6 d) log ' e) log f) log 5' 76 g) log( 6' ' ) 9 h) log 5 i) log 78' 5 k) log 0' Hll el vlor de en ls siguientes igulddes: ) log 5 b) log 5 c) log 6

25 º Bchiller CUESTIONES. Rzon si ests firmciones son verdders o flss: ) Todo número entero es rcionl. b) Hy números irrcionles que son enteros. c) Todo número irrcionl es rel. d) Algunos números enteros son nturles. e) Hy números decimles que no pueden ser epresdos como un frcción. f) Todos los números decimles son rcionles. g) Entre dos números enteros siempre hy otro número entero. h) Entre dos números rcionles siempre hy infinitos números rcionles. i) Entre dos números rcionles hy infinitos números irrcionles. j) Los números rcionles llenn l rect. k) Los números irrcionles llenn l rect.. Si R, eplic si es verddero o flso: ) es siempre positivo o nulo. b) es siempre positivo o nulo. c) sólo eiste si 0. d) - es negtivo si lo es. e) es siempre negtivo.. Cuál es l respuest correct? ) ( 7) 9 b). Si log 9, cuál será el vlor de log? 5. Es cierto que pr todo número rel? Y? 5

26 º Bchiller 6

27 º Bchiller UNIDAD DIDÁCTICA : ECUACIONES Y SISTEMAS º BACHILLER 7

28 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Resolver ecuciones de primer y segundo grdo de form nlític, e interpretr gráficmente ls soluciones.. Resolver ecuciones sencills de grdo superior y bicudrds.. Resolver ecuciones rdicles, eponenciles y logrítmics.. Resolver y clsificr sistems de hst tres ecuciones lineles con tres incógnits medinte los métodos de sustitución, igulción, reducción y Guss. 5. Resolver sistems de ecuciones no lineles. 6. Plnter y resolver problems medinte ecuciones y sistems de ecuciones. 7. Mnejr el método gráfico de resolución de inecuciones y sistems de inecuciones con un y dos incógnits. 8. Resolver problems de progrmción linel. CONCEPTOS. Ecución: concepto y clsificción.. Ecuciones de primer y segundo grdo: resolución y significdo geométrico.. Ecuciones de grdo superior, rdicles, eponenciles y logrítmics: concepto y resolución.. Sistems de ecuciones lineles: concepto y clsificción. 5. Sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits: métodos de resolución (reducción, sustitución e igulción) y significdo geométrico. 6. Sistems de tres ecuciones con tres incógnits: método de Guss. 7. Sistems de ecuciones no lineles. 8. Sistems de inecuciones lineles con un o dos incógnits: resolución 9. Progrmción linel. 8

29 º Bchiller ECUACIONES Y SISTEMAS. ECUACIONES Definición: Se llm ecución tod iguldd entre dos epresiones lgebrics. En ells intervienen cntiddes desconocids llmds incógnits. Los vlores de ls incógnits pr los que se cumple l iguldd se llmn soluciones. Ejemplos: +y5 +-0 ( 0 y5 ) es un solución. puedes encontrr más? cuánts soluciones hy? cuánts soluciones tiene? hállls - +5 cuánts soluciones tiene? qué puedes deducir?. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Son de l form +b0, con 0. b Su solución es y coincide con el punto de corte con el eje X de l rect y + b. (Observ que si queremos hllr los puntos de corte con el eje X de l función y+b, debemos hcer y0, es decir, +b0, lo que supone resolver l ecución).. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son de l form + b + c 0 con 0,,b,c R. Recuerd que sus soluciones son: b ± b c Pueden drse tres csos: ) Si b c > 0 dos soluciones reles. b) Si b c 0 eiste un únic solución rel doble. c) Si b c < 0 no eiste solución rel, sino complej. Gráficmente ls soluciones coinciden con los puntos de corte en el eje X de l prábol y + b + c ) b) c) b 9

30 º Bchiller Actividd. Resolver ls siguientes ecuciones de segundo grdo: ) ( 5 ) 5( 5) 5( ) b) + ( ) +. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR ) Ruffini: investig sobre ello repsndo tus puntes del ño nterior. Te fcilitmos un ejemplo. Ejemplo: Resuelve l ecución: equivle : ( )( 5)( ) ± ( )( 5)( )( + ) , -50, - 0 ó + 0 Ls soluciones son:, 5,, Actividd. Resolver ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) b) c) d) Escribe un polinomio cuys ríces sen,, -, 0. e) + 0 f) 8 0 g) h) 0 0

31 º Bchiller b) Ecuciones bicudrds: Son de l form + b + c 0, con 0. Un ecución bicudrd se puede reducir un ecución de º grdo, hciendo el cmbio z ( z ) Ejemplo: Resuelve l ecución: z ± 69 ± 5 z z z 9 z z 9 9 ± z ± Soluciones:,-, y -. L descomposición fctoril serí: ( )( + )( )( + ) 0 Compruéblo utilizndo Ruffini Actividd. Resolver ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) b) c) + 0 d) + 0 e) ECUACIONES IRRACIONALES Definición: Son quells en ls que l incógnit prece bjo el signo rdicl.

32 º Bchiller Ejemplo: Resuelve l ecución: * Aislmos un de ls rices * Elevmos l cudrdo mbos miembros (el segundo miembro es un identidd notble) * Elevmos otr vez l cudrdo * Agrupmos términos ( + 8) + 8 *Volvemos islr l riz grupndo términos que sen semejntes (ecución de segundo grdo) 88 ± ± ± 80 si es solución 8 no es solución. Por qué? Compruéblo IMPORTANTE: Debes verificr tods ls soluciones pues hy muchs posibiliddes de que prezcn soluciones flss. Investig por qué. Actividd. Resolver ls siguientes ecuciones: ) b) + + c) + d) 5 e) 6 f) ECUACIONES EXPONENCIALES Definición: Son quells cuy incógnit figur como eponente. Ejemplos: ) Resuelve l ecución: Escribimos todo en función de l potenci :

33 º Bchiller Si quieres puedes resolverl medinte un cmbio de vrible t ) Fíjte en el siguiente ejemplo: hcemos el cmbio t t 5 t + 0 ecución de º grdo t 5 ± ± 0 0 ) + Cómo lo resolverís? Clro! Utilizndo logritmos. + log log log '0 0'77 '8 ' log log Actividd 5. Resolver ls siguientes ecuciones: ) d) b) e) 5 + c) f) 6 g) 9 7. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Definición: logritmo: Son quells cuy incógnit prece sometid l operción Ejemplo: Resuelve l ecución: log log 5 log log log log 5 log log log log 5 log log log 5 log ( 5) Comprueb ls soluciones y recuerd que no eisten logritmos de números negtivos ni de cero.

34 º Bchiller Actividd 6. Resolver ls siguientes ecuciones: ) log log b) log log( 6 + 5) c) d) log log 0 log 0 5 log + log log log e) log + log( ) log(5 ) f) log( ) + log(9 + ) g) log ( + ) log (5 + ) 9 h) log5 (7 + ) log5( ) log5( + ) 8. ECUACIONES LINEALES Definición: Se llm ecución linel tod iguldd de l form: donde n n b son los coeficientes, ls incógnits y b el término independiente. i i Observ que puede hber un número culquier de incógnits, tods ells con eponente. Ejemplo: y + z t 7 Según sus soluciones, un ecución linel puede ser: ) Comptible determind: tiene solución únic. + ; ; b) Comptible indetermind: tiene infinits soluciones. + y 0 ; - y c) Incomptible: no tiene solución. + 5 ; 0 6 imposible. 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: Un sistem formdo por m ecuciones y n incógnits es un conjunto de m ecuciones de l form: n n b n n b m + m mnn b m siendo ij los coeficientes, i ls incógnits y b i los términos independientes.

35 º Bchiller Si todos los términos independientes son igules cero, se llm sistem homogéneo. Los sistems pueden ser: - Comptibles: + Determindo: solución únic + Indetermindo: infinits soluciones - Incomptibles: no tienen solución. 0. SISTEMAS LINEALES DE DOS INCÓGNITAS Definición: Métodos de resolución: Son de l form: + by c ' + b' y c' ) Método de sustitución: Despejmos el vlor de un de ls incógnits en un de ls ecuciones y l sustituimos en l otr Ejemplo: 7 y y 5 7 (5 ) y 5 9 8, y 5 8 b) Método de igulción: Despejmos un de ls incógnits en ls dos ecuciones e igulmos los vlores obtenidos Ejemplo: 7 y y + y 5 y y c) Método de reducción: Consiste en conseguir un sistem equivlente eliminndo lgun incógnit Ejemplo : 7 y + y 5 7 y + y y 5

36 º Bchiller d) Método gráfico: Gráficmente, cd un de ls ecuciones represent un rect. Por ser l solución un punto que stisfce mbs ecuciones, tiene que ser un punto en común, es decir, su punto de corte: - Si el sistem es comptible determindo: dos rects secntes + y 5 y - Si el sistem es comptible indetermindo: dos rects coincidentes + y 5 + y 0 - Si el sistem es incomptible: dos rects prlels. Escribe un ecución que forme con l dd un sistem incomptible. + y 5 * Qué observs l resolver los tres sistems? Actividdes 7. Encuentr un número de dos cifrs sbiendo que ésts sumn y que si invertimos el orden de ls cifrs el número obtenido ecede en 5 l número ddo. 8. En un prking hy 7 vehículos entre coches, motos y cmiones de 6 rueds. El número de motos ecede en l de coches y cmiones juntos. Hll el número de vehículos de cd clse si en totl sumn 8 rueds. 9. En un centro hy dos equipos de fútbol A y B. Si del equipo A psn tres persons l B en mbos qued el mismo número. En cmbio, si del B psn 7 l A qued en éste un número que es el cudrdo de los de quél. Cuántos deportists hy en cd equipo? 0. Los ldos de un triángulo rectángulo tienen por medid en metros tres números pres consecutivos. Cuánto mide cd ldo?. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS Consiste en plicr reiterdmente el método de reducción hst conseguir un sistem tringulr en el que l primer ecución teng incógnits, l segund y l tercer. Amplí est informción. 6

37 º Bchiller 7 Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem: z y 0 z y z y z y 0 z y ) ( z y + + z y 5z y z y z 5z y z y z y Recuerd que debes comprobr l solución en ls tres ecuciones. Actividd. Resuelve por el método de Guss: ) z y z y z y b) z y z y z y c) z 5 z y z y d) + + z y 5 z 8 9z y 5 e) 8 5z y 7 z y z y. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Ejemplos: ) y y y ( ) + 0 y y 0 y y 8y y y 0 8y y ± + ± y 6 y 6 y b) 9 y y y y 0 y y 0 y

38 º Bchiller y y c) 05 + y + y y 7 y 79 5y + y y 55y y 55 ± ± y y 9 6 Actividd. Resuelve los sistems no lineles: y 56 ) y + y b) log log y y c) + y 5 y log log + d) log log y 5 y + e) + y y log( y) f) log 6 + log y. INECUACIONES Definición: Un inecución es un desiguldd entre dos epresiones lgebrics en l que intervienen incógnits. Pueden precer los signos <, >,,. Dos inecuciones son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Se cumple que: ) Si los dos miembros de l inecución se les sum o rest un mismo número, se obtiene un inecución equivlente. b) Si se multiplicn o dividen mbos miembros por un número positivo, se obtiene un ecución equivlente. c) Si se multiplicn o dividen mbos miembros por un número negtivo, result otr inecución con el signo de desiguldd contrrio, pero equivlente l dd. 8

39 º Bchiller. Inecuciones con un incógnit Ejemplo: Ls soluciones son: (, ] Sistems de inecuciones lineles con un incógnit Ejemplo: > 6 > > (, ] - 6. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Ejemplo: y Dibujmos l rect y. Los puntos de corte son (0, - ) y (, 0). En los puntos de est rect, se cumple que -y es igul. En los demás puntos, -y será distinto de, es decir, myor o menor. Cd semiplno corresponde uno de los dos signos. L solución corresponde uno de los semiplnos. Se elige un punto culquier de uno de ellos (0, 0) y se sustituye en l inecución. Si l stisfce, su semiplno será l solución, si no, lo será el otro. 9

40 º Bchiller Actividd. Resuelve los sistems de inecuciones con dos incógnits: c) + 5y ) y 0 + y 8 + 5y 0 b) + y 0 5y 0 0 y < + y + > + 0

41 º Bchiller EJERCICIOS. Resuelve ls ecuciones de º grdo: ) b) ( + ) ( ) c) ( ) 8 d) ( + ) ( ). Resuelve ls ecuciones rdicles: ) + 5 b) + c) d) e) 5 f) g) h) i) + 9 j) 9 k) l) m) Resuelve ls ecuciones bicudrds: ) b) + 0 c) d) e) f) Descomponer en fctores: ) b) c) 0 d) + 0 e) Resuelve ls ecuciones eponenciles: ) b) c) 6 d) +

42 º Bchiller + 8 e) 5 7 f) 9 0 g) h) i) 8 6 j) 8 k) l) + 6 m) Resuelve ls ecuciones logrítmics: ) log + log 0 b) log ( + ) c) log log( 6) log + log( ) d) log(5 ) e) log log 5 6 f) log ( + 5 ) log ( ) 7. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones: y ) 6 5y y b) y c) d) e) y y 7 y + 5 y 5y 0 log + log y 8. Antonio mezcl cfé de clse A 950 pts el kilo con cfé de clse B 00 pts el kilo y obtiene 9 kilos de mezcl. El kilo de cfé mezcldo cuest 50 pts. Cuántos kilos de cfé de cd clse h mezcldo? 9. En l bols A y en l bols B hy un totl de 80 bols. Si psmos 0 bols d l bols B l bols A, el número de bols de l bols A es veces el número de bols de l bols B. Cuánts bols hy en cd bols? 0. En un vión vn 9 persons entre hombres y mujeres. El número de mujeres es /5 del número de hombres. Cuántos hombres y mujeres vn en el vión?. L sum de dos números es igul 5. L quint prte del myor es igul l curt prte del menor. Cuáles son esos números?

43 º Bchiller. Un pdre tiene el triple de l edd que su hij. Si el pdre tuvier 0 ños menos y l hij tuvier 8 ños más, los dos tendrín l mism edd. Cuál es l edd de l hij y cuál l del pdre?. L superficie de un triángulo equilátero es de 50m. Clcul el ldo.. En un clse hy 5 lumnos entre chicos y chics. Prcticn ntción el % de los chicos y el 60% de ls chics. Si el número totl de lumnos que prcticn ntción es igul 0, cuántos chicos y cuánts chics hy en l clse? 5. L bse de un rectángulo es / de su ltur y su perímetro es igul 8cm. Cuál es el áre del rectángulo? 6. En un cmping hy 0 vehículos entre coches y motos. Si se vn 0 coches, el número de coches y el número de motos es igul. Cuántos coches y motos hy en el cmping? 7. Un inversor, que tiene 8.000, coloc prte de su cpitl en un bnco l 8% y el resto en otro bnco l 6%. Si l primer prte le produce nulmente 00 más que l segund, cuánto coloco en cd bnco? 8. Un pís compr brriles de petróleo tres suministrdores distintos que lo venden 8, 7 y dólres el brril, respectivmente. L fctur totl sciende 6 millones de dólres. Si del primer suministrdor recibe el 0% del totl del petróleo comprdo, qué cntidd h comprdo cd suministrdor? 9. Un grnjero esper obtener 6 por l vent de huevos. En el cmino l mercdo se le rompen cutro docens. Pr obtener el mismo beneficio, ument en 0 5 el precio de l docen. Cuánts docens tení l principio? 0. Pepe y Olg hcen un trbjo en tres hors. Si Pepe lo hicier solo, trdrí hors. Cuánto tiempo trdrí Olg en hcerlo sol?

44 º Bchiller CUESTIONES. Qué condición h de cumplir un ecución de º grdo pr que un de sus ríces se 0? Pon un ejemplo.. Tiene soluciones reles un ecución de º grdo cuyos coeficientes sen todos igules? Pon un ejemplo.. Un lumno dice que tod ecución de º grdo cuyo término independiente es negtivo tiene ríces reles. es cierto?. Si dos números son igules, sus cudrdos tmbién lo son, es cierto el recíproco? 5. Un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, puede tener ectmente dos soluciones? Pon un ejemplo. 6. Determin pr qué vlores de b l ecución b tiene: ) Un solución. b) Dos soluciones. 7. Qué vlor h de tomr k pr que l ecución 6 + k 0 teng un solución? 8. Escribe un ecución que teng por soluciones y. 9. Pr qué vlores de k tiene solución l ecución + k 0?

45 º Bchiller UNIDAD DIDÁCTICA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS º BACHILLER 5

46 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Identificr y clculr ls rzones trigonométrics de ángulos prtir de ls relciones eistentes entre ellos y de ls rzones conocids de otros ángulos.. Utilizr correctmente ls rzones trigonométrics de l sum y diferenci de ángulos, sí como ls del ángulo doble y el ángulo mitd.. Resolver ecuciones y sistems de ecuciones trigonométrics..- Plnter y resolver problems prtir de l trigonometrí. 5.- Determinr todos los elementos de un triángulo conocidos lgunos de ellos. 6.- Utilizr correctmente el teorem de los senos y el teorem del coseno. 7.- Resolver problems relciondos con triángulos. CONCEPTOS. Definición de ls R.T., signos y relciones entre ells.. Rzones trigonométrics de los ángulos de 0º, 5º y 60º.. Reducción de ls R.T. de culquier ángulo ls de ángulos entre 0º y 5º.. Rzones trigonométrics de l sum y rest de ángulos. 5. Rzones trigonométrics del ángulo doble y mitd. 6. Ecuciones y sistems de ecuciones trigonométrics 7. Teorem del coseno: enuncido y demostrción. 8. Teorem de los senos: enuncido y demostrción. 9. Resolución de triángulos. Aplicciones problems. 6

47 º Bchiller RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.- INTRODUCCIÓN Definición: Se llm ángulo l prte del plno limitd por semirrects del mismo origen. α Puede ser medido en grdos segesimles o en rdines. Se dice que un ángulo tiene sentido positivo si su recorrido es contrrio l de ls gujs del reloj. α α >0 positivo Se dice que un ángulo tiene sentido negtivo si su recorrido coincide con el de ls gujs del reloj. β β <0 negtivo Los ángulos pueden medirse en los dos sentidos de form que: 00º -60º 90º - 70º. Un circunferenci tiene 60º ó π rdines ddo que: Definición: Se llm rdián l ángulo centrl de un circunferenci que brc un rco igul l rdio. r rd r Por ser π r el perímetro de l circunferenci y ocupr un trmo de tmño r cd rdián, hbrá en totl π rdines. El pso de un otr medid se reliz trvés de un sencill regl de tres: π rd. 60º, o mejor, π rd. 80º 7

48 º Bchiller π π/ π π/ π/ π/ π/6 0 Actividd.- Epres en rdines los siguientes ángulos: 0º 7º 90º 00º Observ estos triángulos: Es evidente que los ángulos son igules. Cómo son sus ldos? Eiste lgun relción entre ellos? Obsérvl en este dibujo. kc c b kb α k Cuánts proporciones posibles pueden estblecerse entre los ldos de un triángulo? Cd un de ells tiene un nombre..- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO DE α, se escribe sen α cteto opuesto hipotenus cteto contiguo COSENO DE α, cos α hipotenus TANGENTE DE α, tg α cteto opuesto cteto contiguo sen α cos α 8

49 º Bchiller ** Demuestr est últim iguldd** Y sus inverss: hipotenus COSECANTE DE α, cosec α cteto opuesto sen α hipotenus SECANTE DE α, sec α cteto contiguo cos α cteto contiguo COTANGENTE DE α, cotg α cteto opuesto tg α Ests proporciones permnecen invribles en culquier triángulo rectángulo en el que el ángulo α esté incluido. Por qué no elegir el más cómodo? Efectivmente, si elegimos el de hipotenus igul, ls rzones trigonométrics quedn más visibles y que: senα sen α α b cosα cosα b b A prtir de hor, incluiremos los ángulos en un circunferenci de rdio llmd circunferenci goniométric o unidd. Considermos los ejes de coordends y un circunferenci de centro O y rdio (circunferenci goniométric). Trzmos un semirrect que forme un ángulo α con el semieje positivo de bsciss. Est semirrect cort l circunferenci en un punto P de coordends (,y) α - P(,y) Aplicndo l definición, ls rzones trigonométrics quedrín epresds: 9

50 º Bchiller y sen α y cosec α y sen cos α sec α cos α tg α y sen α cos α cotg α y tg α cos α sen α Tnto el seno como el coseno tomrán vlores comprendidos entre - y mbos incluidos (el cteto es siempre menor que l hipotenus). L cosecnte y l secnte, por ser inverss, tomrán vlores menores o igules que - y myores o igules que. L tngente y cotngente pueden tomr culquier vlor (el seno puede ser menor, igul o myor que el coseno). Actividdes.- Clcul los ctetos del triángulo sbiendo que sen α cm. α Cuánto vlen ls restntes rzones trigonométrics del ángulo α?.- Jorge jueg con un comet en l ply. El hilo de l comet mide 5 m. Si Jorge mide de lto 60 m. qué ltur está l comet cundo su hilo form con l horizontl un ángulo de 0º?.- SIGNOS DE LAS R.T. Vienen determindos por ls coordends (,y) del punto P, es decir, por el cudrnte donde se encuentre el ángulo α 90º π/ º er cudrnte cudrnte 80º π 0º er º cudrnte cudrnte 60º π 70º π/ 50

51 º Bchiller seno coseno tngente cosecnte secnte cotngente Lógicmente, cosecα, secα y cotgα mntienen el mismo signo que su correspondiente invers..- RELACIONES ENTRE LAS R.T. Sbemos que plicndo el teorem de Pitágors obtenemos: α sen α + cos α sen α cos α Fórmul fundmentl Si dividimos entre cos α : sen α cos + cos α cos α α cos α de donde se deduce que tg α+ sec α Por otr prte, si dividimos entre sen α : sen sen α α + cos sen α α sen α Obtenemos + cotg α cosec α Ests fórmuls permiten conocer tods ls R. T. de un ángulo prtiendo sólo de un de ells. Siempre hbrá que elegir un signo teniendo en cuent el cudrnte donde se encuentre α. Si el cudrnte no es conocido hbrá dos posibiliddes y se mntendrán los dos signos. (*) En cunto notción, es lo mismo sen α que (senα) y signific que es el seno del ángulo el que está elevdo l cubo. Sin embrgo, sen α indic que es el ángulo α el que está elevdo l cubo y no su seno. 5

52 º Bchiller Ejemplo: Si tg α y el ángulo está en el tercer cudrnte, clculr el resto de ls 5 rzones trigonométrics. Al estr en el tercer cudrnte: o Rzones positivs: tngente y cotngente o Rzones negtivs: seno, cosecnte, coseno y secnte o Como conocemos el vlor de l tngente, hllremos primero su invers: 5 cot gα + tg Utilizmos l relción fundmentl pr hllr el coseno: α sec α + 5 sec α sec α sec α sec α ± ± como el ángulo está en el tercer cudrnte, 5 5 sbemos que debe ser negtiv. Se tiene entonces: Clculmos l rzón invers pr conocer el coseno: sec α 5 5 cos α 5 5 Clculmos el seno: tgα senα cos α senα tgα cos α senα 5 5 Clculmos l invers del seno: cosec α Actividd.- Hll ls restntes rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de los siguientes csos: ) sen - 5 y < 70º b) cos y tg < 0 c) tg - 5

53 º Bchiller 5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 5. α 0º Duplicndo el triángulo 0º obtenemos un nuevo triángulo equilátero por tener los tres ángulos igules. 60º / 0º 0º / 60º Por tnto sen0º, y plicndo l fórmul fundmentl: cos 0º + cos 0º cos0º + 5. α 60º Como sen0º cos60º /cos0º y sen60º 60º 0º y 5. α 5º 5º 5º Por ser un triángulo isósceles se cumple: + + luego: sen5º cos5º Podemos completr entonces l siguiente tbl: 5

54 º Bchiller senα cosα tgα 0º 0 0 0º / / / 5º / / 60º / / 90º 0 80º º REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Observremos hor que se pueden clculr ls rzones trigonométrics de culquier ángulo conociendo únicmente ls rzones de los ángulos del primer cudrnte. Es más, incluso bst con conocer ls rzones de los ángulos comprendidos entre 0º y 5º. 6. ÁNGULOS DEL º CUADRANTE (ángulos suplementrios: sumn 80º) Observ en el dibujo que P y P son simétricos, es decir: 80º-α α sen(80º- α) sen( π α ) senα cos( π α) - cos α tg( π α) - tg α Ejemplo: sen60º sen0º cos00º - cos80º (Hz un dibujo de l circunferenci pr comprobr los ejemplos) 6. ÁNGULOS DEL er CUADRANTE (ángulos que difieren en π : α y π + α ) 80º+α α Se compr cd ángulo del tercer cudrnte con el ángulo del primero correspondiente lo que ecede de 80º ( π ) de form que: α y π + α tienen seno y coseno opuestos y l mism tngente. sen ( π + α ) - sen α cos ( π + α ) - cos α tg ( π + α ) tg α Ejemplo: sen0º - sen 50º cos90º - cos0º (Compruéblo de nuevo) 5

55 º Bchiller 6. ÁNGULOS DEL ª CUADRANTE (ángulos opuestos α y -α ) Se compr cd ángulo del º cudrnte con su opuesto de form que: α -α sen( -α ) - senα cos( -α ) cosα tg( -α ) - tgα Ejemplo: tg00º tg (-60º) - tg60º - cos0º cos(-0º) cos0º 6. REDUCCIÓN A ÁNGULOS COMPRENDIDOS ENTRE 0º y 5º α 90º-α α π Se observ que sen α cos α π cos α b sen α π tg α cotg α Los ángulos que sumn 90º se llmn complementrios. (Es por eso que sen0º cos60º coseno de 5º son igules) cos0º sen60º y el seno y Por tnto, pr hllr ls R. T. de culquier ángulo trvés de ls de uno del primer cudrnte, son necesrios dos requisitos:.- Comprobr cuál es el ángulo que le corresponde y.- Asignr el signo del cudrnte correspondiente. Ejemplo: cos0º (ecede 0º de 80º, luego su coseno será el mismo pero con signo - por ser del tercer cudrnte) cos0º -cos0º Qued visto, por tnto, que todo ángulo puede ser reducido uno de l primer mitd del primer cudrnte. 55

56 º Bchiller 6.5 ÁNGULOS MAYORES QUE 60º Siempre pueden ser reducidos uno comprendido entre 0º y 60º. Pr ello dividimos el ángulo entre 60º pr conocer el número de vuelts complets (cociente) y nos quedmos con el resto, que será el ángulo equivlente cuys R.T. coincidirán con ls del ángulo ddo. No debemos olvidr que no se pueden simplificr ceros en ests divisiones por trtrse de un sistem segesiml. Ejemplo: el ángulo 80º será equivlente l de 00º y que: 80º : 60º tiene cociente y resto 00º, lo que signific que ocup vuelts complets de l circunferenci y ocup 00º de l curt. Actividdes 5.- Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos 55º, 5º, 5º, 5º, 5º, 05º y 5º, prtir de ls R.T. de 5º. Dtos sen5º 0 57 cos5º 0 8 tg5º Epres como un ángulo del primer cudrnte : ) sen50º d) cos5º g) tg0º b) cos5º e) sen5º h) tg0º c) tg0º f) cos00º i) sen90º 7.- Si tg α y 0 < α < 90º hll: ) sen α c) cos(80º + α ) e) sen (80º- α ) b) tg( 90º- α ) d) cos α f) tg(60º- α ) 8.- Clcul los ángulos ) cuyo coseno es igul l cos7º b) cuy tngente es igul tgº 9.- Hll, sin usr clculdor: π sen5º tg(-60º) sec 6 sec0º cos(-5º) sen8750º 56

57 º Bchiller 7.- RAZONES DE LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS Ddos dos ángulos culesquier y b pretendemos conocer, prtir de sus R. T., ls de los ángulos +b y -b. 7. SENO DE LA SUMA Vmos demostrr que sen(+b) no es lo mismo que sen + senb, es decir, el seno de l sum no es l sum de los senos. Si lo fuer, entonces sen90º sen(5º+5º) +, lo cul no sólo es flso (sen90º ) sino que demás es imposible por ser myor que. Lo que sí es rigurosmente cierto y demostrble es: sen(+b) sen cosb + cos senb Demostrción: Observ en el dibujo los ángulos, b y +b. C D B b +b O E A En el triángulo OEC se cumple: sen(+b) EC AB + BD (Si demostrmos que AB sen cosb y que BD cos senb, hbremos demostrdo l fórmul). Observ que en el triángulo OBC se cumple: senb BC y cosb OB. AB Por otr prte, en el triángulo OAB podemos observr que sen y, OB utilizndo l iguldd nterior, podemos cmbir OB por cosb. Quedrí entonces: AB sen cosb AB sen OB AB cosb de donde, multiplicndo en cruz, obtenemos Fíjte hor en el triángulo BCD y comprueb que el ángulo correspondiente l vértice B es, tmbién, el ángulo. BD Podemos deducir que cos BC BD senb 57

58 º Bchiller Multiplicndo de nuevo en cruz obtenemos: BD cos senb Por tnto, sen(+b) AB + BD sen cosb + cos senb c.q.d. Ejemplo: sen75º sen(0º+5º) sen0º cos5º + cos0º sen5º SENO DE LA RESTA Se demuestr que sen( - b) sen cosb cos senb Pr comprobrlo, tendremos en cuent que l rest es l sum con el opuesto y utilizremos l fórmul nterior y demostrd. sen( b) sen( + (-b)) sen cos(-b) + cos sen(-b) Sbemos que, por reducción l primer cudrnte, sen(-b) -senb y cos(-b) cosb. Por tnto, sen( b) sen cosb + cos (-senb) sen cosb cos senb c.q.d. Ejemplo: sen 60º sen (90º - 0º) sen90º cos0º - cos90º sen0º - 0 b -b 7. COSENO DE LA SUMA Se cumple que: cos(+b) cos cosb sen senb Demostrción: Trtremos de utilizr ls fórmuls nteriores pr relizr est demostrción. Tendremos en cuent que el coseno de un ángulo coincide con el seno de su complementrio. π cos(+b) sen ( + b) π cos senb cos cosb sen senb π π sen ( ) b sen ) cosb - c.q.d. 58

59 º Bchiller Ejemplo: Hll cos0º como sum de 90º+0º y comprueb que l solución es correct utilizndo reducción l primer cudrnte. 7. COSENO DE LA RESTA Se cumple que: cos(-b) cos cosb + sen senb Demostrción: Se bs en l mism estrtegi nterior de entender l rest como sum con el opuesto y recordr que, por reducción l primer cudrnte, sen(-b) -senb y cos(-b) cosb. cos( b) cos( +(-b)) cos cos(-b) sen sen(-b) cos cosb sen(-senb) cos cosb + sen senb c.q.d. 7.5 TANGENTE DE LA SUMA Se cumple que: tg(+b) tg + tgb tg tgb Demostrción: Sbemos que: tg(+b) sen( cos( + + b) b) sen cos b cos cos b + cos senb sen senb y dividiendo numerdor y denomindor entre cos cosb obtenemos: tg(+b) sen cos b cos senb + cos cos b cos cos b cos cos b sen senb cos cos b cos cos b sen senb + cos cos b sen senb cos cos b tg + tgb tg tgb c.q.d. Ejemplo: tg60º tg(0º+0º) TANGENTE DE LA RESTA Se cumple que: tg( - b) tg tgb + tg tgb 59

60 º Bchiller Demostrción: Prueb intentrl tú, siguiendo los mismos psos que en l demostrción nterior. Actividdes 0.- Si sen º 0 y sen 7º 0 6, hll ls restntes rzones trigonométrics de 9º y 5º.- Si cos 0º clcul: ) sen5º b) cos50º c) tg 0º. Sbiendo que sen6º 0 05 y que cos7º , clcul: ) cosº b) cos8º c) sen5º d) tgº e) sen7º. Sbiendo que tg y que tgb - 7, hll tg(+b) y cotg(-b) 8.- RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE Y MITAD Pretendemos clculr ls R.T. de los ángulos del ángulo. Sen sen (+) Cos tg y prtir de ls R.T. Intent completr ls fórmuls y consult tu resultdo. Actividd.- Si sen α y α está en el º cudrnte, clcul sen α y cos α. 7 60

61 º Bchiller Por otr prte, sbemos que : cos A + sen A cos A - sen A cosa ) Sumndo mbs ecuciones : cos A + cosa de donde se deduce que cos A + cos A cosa ± + cos A Aunque sbemos que el ángulo A es l mitd de A, el cmbio de vrible A nos yudrá verlo mejor, y que, en ese cso, A L fórmul qued entonces de l siguiente form: + cos cos ± ) Si restmos hor ls dos ecuciones nteriores obtenemos: sen A cosa sen cos A cos A A sena ± y, relizndo el mismo cmbio de vrible nterior, se deduce: cos sen ± De mbs fórmuls concluimos: sen tg cos ± ± + cos cos ± cos + cos 90 º cos 90º Ejemplo: sen5º sen + **Elegimos signo + porque 5º está en el primer cudrnte. En cd ángulo, hbrá que elegir el signo que le correspond según el cudrnte en el que se encuentre. ** Recuerd que si conoces que el ángulo está, por ejemplo, en el tercer cudrnte (entre 80º y 70º), entonces estrá entre 90º y 5º, y tendrás que elegir pr los signos del segundo cudrnte. 6

62 º Bchiller Actividdes 5.- Sbiendo que cos 78º 0, hll ls R.T. de 9º π 6.- Sbiendo que sen y que < < π, clcul 5 π π ) sen c) cos ( - ) e) sen + 6 b) tg d) cos π f) tg + 7. Clcul ls R.T. de α sbiendo que α está en el tercer cudrnte y que sec α ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Se trt de resolver ecuciones en ls que precen rzones trigonométrics y en ls que ls incógnits despejr, son ángulos. Considermos suficiente dr ls soluciones de l primer vuelt, entre 0º y 60º. Es necesrio comprobr tods ls soluciones obtenids, pues pueden precer soluciones flss. Ejemplo: sen cos 6 sen sen cos cos 6 sen sen cos 6 sen sen ( - sen ) 6 sen sen sen 6 sen sen 8 sen sen sen sen ( sen ) 0 (**) entonces, o bien sen 0 de donde obtenemos 0º, 80º o bien sen 0 sen sen ± luego 0º, 50º, 0º,0º Observ que hemos obtenido 6 soluciones. Compruébls. (**) Si en lgún pso simplifics sen o lgun otr rzón, estrás perdiendo ls soluciones correspondientes sen 0, puesto que simplificr es dividir, y no se puede dividir entre 0. Por ello es consejble, en vez de simplificr, psr todo un miembro y scr fctor común. 6

63 º Bchiller Actividd 8.- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) cos + cos - 0 b) sen + cos c) cos + cos d) cos - cos Ejemplo: Resuelve el sistem sen seny π y De l segund ecución despejmos: y + π y sustituimos en l primer. π sen y + seny π π π sen y + seny seny cos + cosy sen seny seny + cosy seny seny + cosy seny cosy seny cos y 9 sen y ( - sen y) 9 sen y sen y 9 sen y sen y sen y seny ± Si seny Si seny - y 0º, 50º y 0º, 0º Como y + π, ls soluciones son: ) 90º ) 0º ) 70º ) 90º0º y 0º y 50º y 0º y 0º Comprueb que sólo son válids ls soluciones ) y ). 6

64 º Bchiller Actividd 9.- Resuelve los siguientes sistems: ) + y 0º sen seny sen b) cos + cos sen y y c) sen seny y 60º d) sen cos y cos + cos y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Trtremos de conocer los 6 elementos de un triángulo prtir de de ellos únicmente. Pr ello, introducimos el teorem del coseno y el teorem de los senos. 0. TEOREMA DEL COSENO En culquier triángulo se verific c B b + c - bc cosa b + c - c cosb c b + - b cosc A b C siendo,b,c los ldos y A,B,C los ángulos opuestos respectivos. Demostrción: Trzmos un ltur h del triángulo. Se cumple entonces, por el teorem de Pitágors que: h + (b - ) c h B + c h A b C b- despejndo h obtenemos: h - (b - ) h c - luego es cierto que: - ( b - b + ) c - - b + b - c - 6

65 º Bchiller b + c - b y observndo el dibujo, deducimos que cosa c o, lo que es lo mismo, c cosa. Sustituyendo en l epresión nterior obtenemos: b + c - bc cosa c.q.d. Ls otrs ecuciones se obtienen igulmente trzndo ls otrs dos lturs del triángulo. Qué ocurre en el cso prticulr de los triángulos rectángulos? Aplicndo el teorem resultrí b + c - bc cos 90º, es decir, b + c, con lo que estrímos nte el Teorem de Pitágors. 0 c B A b C Qued visto entonces que el Teorem del Coseno es un generlizción culquier triángulo del Teorem de Pitágors.. TEOREMA DE LOS SENOS En todo triángulo se cumple que los ldos son proporcionles los senos de b c sus ángulos opuestos, es decir, sena senb senc Demostrción: Distinguiremos tres csos: ) TRIÁNGULOS ACUTÁNGULOS ( ángulos gudos) B c h h Considermos l ltur h del triángulo, que lo divide en dos triángulos rectángulos. En cd uno de ellos se cumple: A b C sena c h h c sena senc h h senc c sena senc sena c () senc Por otr prte, si considermos otr ltur h obtenemos: 65