SISTEMA DE NÚMEROS REALES

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1 SISTEMA DE NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que no dremos un definición forml. Podemos decir que un conjunto es un grupción de objetos distintos (pero con lgun crcterístic en común), los que reciben el nombre de elemento. Generlmente se nombr un conjunto con un letr múscul, un elemento de ese conjunto con un letr minúscul. Un conjunto puede especificrse de dos mners: ) hciendo un list de los elementos del conjunto (enumerción), en cuo cso lo describiremos utilizndo un notción de uso universl. Pr indicr el conjunto (que llmremos M), formdo por los números 4, 6 8, escribimos: M { 4, 6, 8} b) estbleciendo un propiedd que crcterice los elementos del conjunto (comprensión). Pr indicr el mismo conjunto M escribimos: M { / es un número pr comprendido entre 9} o bien M { / N < < 9} Recordr que: / : se lee tl que : se lee : se lee pertenece < : se lee menor que : se lee o

2 A menudo result de grn utilidd pr visulizr ciertos conjuntos, representrlos medinte un recinto plno limitdo por un líne cerrd, cundo se representn los elementos del conjunto se conviene en hcerlo mrcndo un punto interior. Est representción se llm digrm de Venn. Se emple el símbolo pr indicr que un elemento específico pertenece l conjunto; el símbolo pr indicr que un elemento específico no es elemento de un conjunto. A {,,, 4, } A { / es un número nturl menor que 6 } A { / N < 6 } donde A ; A ; 6 A A Ddos los conjuntos A B, si todo elemento de A es elemento de B se indic A B ( A está incluído en B, o A es prte de B). Mientrs que si A no es prte de B, es decir que h lgún elemento de A que no es elemento de B, se escribe A B. A {, } B {,,,4 } B A....4 A B Se dice que dos conjuntos A B son igules ( se escribe A B ) si A B poseen elementos idénticos, es decir si A B B A. Mientrs que si h lgún elemento de A que no es elemento de B ó si h lgún elemento de B que no es elemento de A se dice que A B.

3 símbolo. El conjunto que no tiene elementos se denomin conjunto vcío se represent con el Ejemplos: A { / N } ó A B { : < 0 } ó B Se llm conjunto universl (o referencil) se denot con U l conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntos considerdos del tem trtdo. U { / N} A { / N es pr } B { / N es impr } Se llm complemento de A (respecto de U l conjunto de elementos de U que no están en A. Pr indicr el complemento del conjunto A, usremos el símbolo A. U {,,, 4,, 6, 7, 8, 9} U A {, {,, 4, 4, 6,, 8} 6, 7, 8, 9} A {,,, 7, 9} A B {, {, 4, 6,, 8}, 4, } A B {,, {, 6, 7, 9} 8, 9 } B {,,, 4, } B { 6, 7, 8, 9 } Operciones entre conjuntos Alguns operciones entre conjuntos que utilizremos son: unión, intersección diferenci. L unión de dos conjuntos A B (representd A B ) es el conjunto de elementos que se encuentrn en A o en B o en mbos. En símbolos: A B { / A B }

4 A { / Z - < } A {-, -, 0,, } B { / Z 0 } B { 0,,,, 4, } A B {-, -, 0,,,, 4, } L intersección de dos conjuntos A B (representd A B ) es el conjunto de elementos que se encuentrn tnto en A como en B ( o se los elementos comunes A B). En símbolos: A B { / A B } A { / Z - < } A {-, -, 0,, } B { / Z 0 } B { 0,,,, 4, } A B { 0,, } L diferenci entre los conjuntos A B (representd A B ) es el conjunto formdo por los elementos de A que no son elementos de B. En símbolos: A - B { / A B } A { / Z - < } A {-, -, 0,, } B { / Z 0 } B { 0,,,, 4, } A - B {-, - } B - A {, 4, } 4

5 A modo de resumen de ls operciones vists,se present el siguiente ejemplo: A {,,, 4,, 6, 7, 8} B {, 4, 6, 0, } ) A B {,,, 4,, 6, 7, 8, 0, } ) A B {, 4, 6} ) A B {,,, 7, 8} 4) B A {0, } Est situción se puede representr medinte el digrm de Venn siguiente. A B Cd zon sombred corresponde l operción indicd A B A B A B A B A B A B A - B B - A

6 Usremos los conceptos operciones vists ntes pr resolver problems. Ejemplo. En un encuest relizd entre 0 estudintes los resultdos obtenidos fueron los siguientes: 8 lumnos prcticn rugb. Indicr: tletismo 46 fútbol rugb tletismo rugb fútbol 8 tletismo fútbol 6 los tres deportes. ) Cuántos lumnos prcticn sólo fútbol? b) Cuántos lumnos prcticn sólo tletismo? c) Cuántos lumnos prcticn sólo rugb? d) Cuántos lumnos prcticn sólo fútbol tletismo? e) Cuántos lumnos prcticn sólo fútbol rugb? f) Cuántos lumnos prcticn sólo rugb tletismo? g) Cuántos de los lumnos que prcticn tletismo rugb, prcticn tmbién fútbol? h) Cuántos lumnos no prcticbn ninguno de estos deportes? Solución Pr responder nos udremos con el digrm de Venn correspondiente est situción ) 9 lumnos prcticn sólo fútbol. b) sólo tletismo. c) 8 sólo rugb. d) sólo fútbol tletismo. e) 9 sólo fútbol rugb. f) sólo rugb tletismo. g) 6 de los lumnos que prcticn rugb tletismo prcticn tmbién fútbol h) 9 lumnos no prcticn ninguno de estos deportes. R F A 6

7 . LOS NÚMEROS REALES.. Conjunto de los números reles Aunque l Mtemátic v más llá del estudio de los números, comenzremos trbjndo con el conjunto de los números reles. Recordremos que el conjunto de los números nturles o enteros positivos, se compone de: N {,,, 4,... }; que N es un subconjunto del conjunto de los enteros: Z {..., -, -, 0,,,, 4,...}. El conjunto Z inclue tnto los enteros positivos como los negtivos el número cero, el cul no es ni negtivo ni positivo. A su vez el conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de los números rcionles (que denotremos con Q): p Q { / p q son enteros, q 0 }. El conjunto Q está compuesto de todos los cocientes de dos q enteros, siempre que el denomindor no se cero. El conjunto de los números rcionles no es suficiente pr solucionr ciertos problems elementles lgebricos geométricos. Por ejemplo no h un número rcionl p / q pr el p que, o se que el número q no es un número rcionl, pertenece l conjunto de los números irrcionles, es decir l conjunto de números reles que no puede epresrse como cociente de dos enteros. Otros ejemplos de números irrcionles: π, e,, - 7. Luego podemos firmr que: N Z Q R. R N Z Q 7

8 .. Sistem de números reles El sistem de números reles consiste en un conjunto de elementos denomindos números reles dos operciones conocids como dición multiplicción. El conjunto de números reles se represent R. L operción de l dición se represent con el símbolo (+), l multiplicción por ( ). Si b son elementos del conjunto R, + b design l sum de de b, mientrs que. b design su producto. El sistem de números reles se puede describir completmente por un conjunto de ioms (enuncido forml que se d por cierto sin necesidd de demostrrlo). Con estos ioms podemos deducir ls propieddes de los números reles de ls cules siguen ls operciones lgebrics de dición, sustrcción, multiplicción división. PROPIEDADES BÁSICAS Ls propieddes básics del sistem de números reles con respecto ls operciones de dición multiplicción son ls siguientes: Sen, b c dos números reles: Adición Multiplicción ) Le clusurtiv (le de cierre) + b es un número rel. b es un número rel ) L sum es socitiv + ( b + c) ( + b) + c El producto es socitivo. ( b. c) (. b). c ) L sum es conmuttiv + b b + El producto es conmuttivo. b b. 4) Eiste elemento neutro pr l sum A Eiste elemento neutro pr el producto.. ) Pr cd número rel eiste un único número rel (llmdo negtivo o inverso ditivo de ), representdo por (-) tl que: + (-) - 0 Pr cd número rel 0 eiste un único número rel (llmdo recíproco o inverso multiplictivo de ),representdo por / o tmbién por tl que:.. 8

9 6) Propiedd distributiv ( el producto es distributivo respecto de l sum). ( b + c ) (.b) +(.c) b + c ( + b ) c (.b) +(.c) c + bc OTRAS PROPIEDADES Muchs otrs propieddes de los números reles pueden demostrrse prtir de ls propieddes básics. Alguns que utilizremos son ls siguientes: ) Le cnceltiv ( o nultiv) Si + c b + c entonces b Si.c b.c, entonces b b) (Si b, entonces + c b + c ) ( Si b, entonces.c b.c) c) Si. b 0 0 ó b 0 d) Pr los números b, l diferenci b se define como: b + ( - b ) Si b 0, el cociente / b se define : b. b b En el cociente b, se llm numerdor b se llm denomindor. Con frecuenci el cociente de dos números reles se llm frcción. Recordr que b no está definid pr b 0. No tods ls propieddes que funcionn pr l dición l multiplicción son válids pr l sustrcción l división. Hremos un list de otrs propieddes importntes. e) ( -). - f) - (- ) g) (- ). b. (- b) - (.b) - b h) (- ) ( - b ) b i) ( + b) (- ) + (- b) b j) ( - ) - k) ( b) - b 9

10 Pr tods ls frcciones b d c donde b 0 d 0 : l) 0 b m) b d c b b si sólo si d bc (frcciones equivlentes) n) b b - b tmbién b b (regl de los signos) c o), bc b con c 0 ( le cnceltiv) Operciones * Adición sustrcción con igul denomindor. c ± b b ± c b * Adición sustrcción con distinto denomindor. c d ± ± b d bdcb * Multiplicción. * División. c c. b d bd c d b d bc 0 b 0 0 no está definid. 0 0 no está definid. c d + c tmbién + d d tmbién b c d d bc Utilizndo l propiedd distributiv se puede probr que pr todo, b R: ) ( + b). (c + d) c + d + bc + bd ) ( + b) + b + b b) ( +b). ( b) b c) si n N, n. ( ) n veces nveces n veces 0

11 .. Los números reles l rect Al conjunto R se le impone un condición denomind iom de completitud (que no estudiremos hor). Sin embrgo dremos un interpretción geométric l conjunto de números reles sociándolos los puntos de un rect horizontl llmd eje. El iom de completitud grntiz un correspondenci biunívoc (de uno uno) entre el conjunto R el conjunto de puntos en el eje. Se elige un punto en el eje pr que represente el punto 0. Este punto recibe el nombre de origen. Se seleccion luego un unidd de distnci. Entonces cd número positivo quedrá representdo por un punto situdo un distnci de uniddes l derech del origen, cd número negtivo se representrá por un punto un distnci de uniddes l izquierd del origen. Eiste un correspondenci biunívoc entre R los puntos del eje, es decir, cd número rel le corresponde un único punto en el eje cd punto en el eje se le soci un único número rel. A l rect R se l denomin rect de números reles o rect numéric Orden en los reles Eiste un ordenmiento en el conjunto R por medio de un relción denotd por los símbolos < ( menor que ) > ( mor que ) que se definen sí: < b si sólo si b es positiv. > b si sólo si b es positiv. L relción de orden sí definid verific ls siguientes propieddes. PROPIEDADES BÁSICAS DEL ORDEN: Sen, b, c R, se cumple : ) Un sólo un de ls siguientes firmciones es verdder: < b, ó > b, ó b ) Si > 0 b > 0, entonces + b > 0. ) Si > 0 b > 0, entonces b > 0.

12 Son de uso universl ls siguientes notciones: b si sólo si: < b, o bien b. b si sólo si : > b, o bien b. < b < c pr indicr que < b b < c. b c pr indicr que b b c. OTRAS PROPIEDADES DEL ORDEN EN R Muchs otrs propieddes reltivs l orden pueden demostrrse prtir de ls básics; lguns son ls siguientes: O ) b b b. O ) b b c c. O ) Si > b b > c, entonces > c. (le de trnsitividd) Si < b b < c, entonces < c. O 4) Lees de monotoní de l sum ) Si > b entonces + c > b + c. b) Si < b entonces + c < b + c. c) Si < b c < d entonces + c < b + d. O ) Lees de monotoní del producto: ) Si > b c > 0, entonces c > b c. b) Si < b c > 0, entonces c < b c. c) Si > b c < 0, entonces c < b c. d) Si < b c < 0, entonces c > b c. O 6) Si 0 < < b 0 < c < d, entonces c < b d. O 7) Si < b, entonces - b < -. O 8) Si > 0, entonces - < 0. O 9) Si b son mbos positivos o mbos negtivos, < b entonces >. b O 0) Si 0 < <b entonces < b, (donde b bb ) O ) Si < b< 0 entonces b <. O ) Si 0 entonces > 0.. O ) Signos del producto ( del cociente):

13 ) b > 0 > 0 < 0 ó b > 0 b < 0 b) b < 0 > 0 < 0 ó b < 0 b > 0 > 0 c) > 0 b < 0 ó b > 0 b < 0 > 0 d) > 0 b < 0 ó b < 0 b > 0 De ) b) result que el producto de vrios fctores no nulos es positivo si h un número pr de fctores negtivos, si el número de fctores negtivos es impr, el resultdo es negtivo. Esto nos result de utilidd si nos interes sber, por ejemplo, qué vlores del número rel hcen que el producto: ( ). ( + ) se mor que cero (positivo), menor que cero (negtivo) ó igul cero. Un form sencill de resolver est cuestión es l siguiente: signo de ( ) signo de ( + ) - 0 signo de ( ).( + ) O se que el producto (-) (+) es positivo si < - tmbién si >. Es negtivo cundo - < < Es cero cundo - tmbién cundo.

14 .. Intervlos Pr indicr que un número se encuentr entre b, o se si < < b. Esto puede escribirse de l siguiente mner: < < b. Tmbién son utilizds ls epresiones: b, < b, < b. Al conjunto formdo por todos los vlores reles de que cumplen con lgun de ls condiciones nteriores se lo denomin intervlo, tiene un notción determind se lo puede representr en l rect numéric. (, b) { R : < < b} (intervlo bierto) [, b] { R : b} (intervlo cerrdo) (, b] { R : < b} (intervlo semibierto l izquierd o semicerrdo) [, b) { R : < b} (intervlo semibierto l derech o semicerrdo) Ejemplos: A { / R - < < } (-, ) B { / R - } [-, ] - - C { / R - < } [-, ) - D { / R - < } (-, ] Otros intervlos: [, + ) { R : } - (, + ) { R : > } (-, ] { R : } (-, ) { R : < } (-, + ) { R } R 4

15 .6. Otrs operciones: potencición rdicción Potencición Así como un sum repetid se podí escribir 4, el producto repetido se puede escribir En generl, pr culquier entero positivo n, el símbolo n represent el producto de n fctores de. n donde n es el eponente es l bse nveces Tmbién pr culquier entero positivo n definimos - n De ls propieddes vists del producto surgen ls siguientes n PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN ) m. n m + n b) ( m ) n m. n c) (. ) m m. m d) m m m e) m n m n Ejemplos: ( )... (. )

16 Rdicción Ls ríces de los números reles se definen por el enuncido n r si sólo si r n donde r son números reles no negtivos n es un entero positivo, ó r son números reles negtivos n es un número entero positivo impr. Al número n se lo denomin l ríz enésim de. L epresión n se llm rdicl; el número n es el índice del rdicl se llm rdicndo. El símbolo se llm signo rdicl. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Ls propieddes siguientes se utilizn pr operr simplificr epresiones que contengn rdicles. Sen m n números positivos e números reles. Entonces: ) ( n ) n b) n. n n. n c) n n d) n m m.n Ejemplos: ) b) ó. 8 8 ( ) c) 8 4 d)

17 Al rcionlizr un denomindor estmos encontrndo un epresión equivlente l dd que no tiene rdicles en el denomindor. Pr ello bst multiplicr l epresión dd por, escrito en form especil ( 7 ) 7 Si un frcción contiene epresiones del tipo ( + ) ó ( ) bstrá multiplicr por un epresión conveniente pr obtener otr epresión, equivlente l dd, pero que no conteng rdicles en el denomindor. Ejemplos: ) ( 7 + ) ( 7 + ) ( 7 + ( 7 ) ( ) 7 4 ) b) ( ) ( ) c) + +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

18 Eponentes rcionles El concepto de ríz enésim de un número nos permite mplir l definición de eponentes enteros eponentes rcionles, veces es más cómodo trbjr con eponentes rcionles que con rdicles. Si el vlor n está definido, diremos que: Análogmente n n m m n n n m Ejemplos: ) 64 ( ) 6 64 ( ) ( ) 4 6 b) ( ) ( ) ( ) 8 c) d)

19 9 PROPIEDADES Ls propieddes de l potencición vists pr eponentes enteros positivos tmbién son válids pr los eponentes rcionles o se si e son números reles decudos, r p son números rcionles se cumple que: ) r. p r + p b) ( r ) p r. p c) (. ) r r. r d) r r r e) p r p r Ejemplos:.) b)

20 Vlor bsoluto El vlor bsoluto de un número rel se design medinte, se define como: si 0 si < 0 Geométricmente el vlor bsoluto de un número es l distnci entre ese número el origen. L epresión d represent quellos vlores de cu distnci l origen es d. Gráficmente: -d d 0 - d d Ejemplos 4, esto puede interpretrse: los números cu distnci l origen es igul >, esto se lee: los números cu distnci l origen es mor -d d 0 - d d Análogmente, se define l distnci (no dirigid) entre dos números como: - En prticulr si 0, - 0 tendrímos l distnci l origen como se definió ntes. Ejemplo L epresión - se lee los números cu distnci es. Los números que stisfcen est iguldd son: - 8, tl como se muestr en l siguiente figur:

21 Not: Si es un número negtivo l epresión ( ) + L epresión + < 4 se lee los números cu distnci - es menor que 4. Los números que stisfcen est desiguldd son los que pertenecen l intervlo: (-,) tl como se muestr en l siguiente figur: Propieddes del vlor bsoluto. 0 ( > 0 si 0 0 si 0) (desiguldd tringulr) Otrs propieddes de vlor bsoluto < < 7. Observción

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