Juegos Repetidos. Tema 1: Juegos repetidos un número finito de veces. Universidad Carlos III de Madrid

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Héctor Ramírez Rojas
hace 7 años
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1 Juegos Repetidos Tema : Juegos repetidos un número finito de veces Universidad Carlos III de Madrid

2 Juegos repetidos un número finito de veces Un juego repetido un número finito de veces es un juego dinámico en el que un juego simultáneo (juego de etapa) se juega un número finito de veces y los resultados de cada etapa son observados antes de la siguiente. Ejemplo: Jugar el dilema del prisionero varias veces. El juego de etapa es el juego simultáneo del dilema del prisionero.

3 Resultados El juego repetido tiene un único ENPS si el juego de etapa (el juego simultáneo) tiene un único EN. En el ENPS se juegan las estrategias de EN en cada etapa. Si el juego de etapa tiene o más EN, pueden existir ENPS en los que en alguna etapa NO se juegan estrategias que sean EN sino que se juega algo que es mejor para los dos jugadores. 3

4 Un juego repetido dos veces Pensemos en un juego repetido dos veces Ø Dos jugadores juegan el mismo juego simultáneo dos veces, en t= y en t= Ø El resultado de la primera vez que se juega (de t=) es observado antes de jugarlo una segunda vez Ø El pago del juego repetido es la suma de los pagos en cada jugada (t=, t=) Ø Cual es el ENPS? Jugador Jug. L R L,, R,,

5 Forma extensiva L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R

6 Cada Jugador: CI Conjuntos de Información y Estrategias Ej de estrategia: L R R L L. L R. L R L R..3.. L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L

7 Subjuegos: + Juego Completo L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L Subjuego Subjuego Subjuego 3 Subjuego 7

8 Otra forma de representarlo L R L R L R (, ) (, ) (, ) (, ) L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R Los pagos totales serán (, ) + pagos en ese subjuego 8

9 Calculamos el EN del Subjuego El resultado es independiente de que se tomen los pagos sólo de esa etapa o los pagos totales Pagos t= Jugador Jug. L R L,, R,, Pagos t= + t= Jugador Jug. L R L, 6, R, 6, 9

10 EN de subjuegos En cada uno de los cuatro subjuegos hay un único EN que es EN = {L, L } Sustituimos, por inducción hay atrás, el subjuego por sus pagos en el EN y resolvemos el juego completo

11 Sustituimos el subjuego por su pago en EN L R L R L R (, ) (6, ) (, 6) (, ) L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R

12 Calculamos EN del juego completo con pagos sustituidos L R L, 6, R, 6, El pago de EN (, ) de la segunda etapa ha sido añadido a los pagos en t=

13 ENPS ENPS: (L L L L L, L L L L L ) El jugador juega L en t=, y juega L en t= para todo resultado posible en t=. El jugador juega L en t=, y L en t= para cualquier resultado de la primera etapa 3

14 Juego repetido de un Juego de etapa con dos EN Juguemos dos veces el juego de etapa que abajo se describe en Forma Normal. Notemos que tiene EN y que (M, M ) no es EN, pero tiene pagos que Pareto dominan los de los ENs. Puede jugarse (M, M ) en t= en un ENPS? L M R L,,, M,,, R,, 3, 3

15 Forma Extensiva (informal) L R M L M R L M R M L M R (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (3, 3) L R L M R L M R L M R (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (3, 3)

16 Puede jugarse (M, M ) en t= en un ENPS? Sí, si usamos estrategias con premios y castigos creíbles. Esto es, si premiamos y castigamos jugando estrategias que sean EN Premio: Jugar (R, R ) Pagos: (3, 3) Castigo: Jugar (L, L ) Pagos de 6

17 Estrategias de ENPS Estrategias de ENPS Ø t=, jugador juega M, y el juega M. Ø t=, Ø juega R si observa que en t= se jugó ( M, M ), y juega L si se jugó algo distinto. Ø juega R si observa que en t= se jugó ( M, M ), y juega L si se jugó algo distinto. Por qué constituyen un ENPS? En cada subjuego de t=, o se juega ( R, R ), o se juega ( L, L ), por lo tanto en cada subjuego las estrategias generan un EN Son EN del juego completo? 7

18 Forma extensiva L R M + L M R L M R L M R (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (3, 3) (, ) (, ) (, ) (, ) (3, 3) (, ) (, ) (, ) (, ) L M R L M R L M R L M R (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (3, 3) 8

19 EN del juego completo -Por inducción hacia atrás, sustituimos los subjuegos por sus pagos en EN -El juego en forma Normal que resulta tiene (M, M ) como jugada de EN Jugador Jugador L M R L, 6,, M, 6 7, 7, R,,,

20 Intuición Miremos el juego de etapa: Si juega M al Jugador le tienta desviarse y jugar L (gana en lugar de ). Para que no se desvíe: + premio > + castigo, esto es +3 > + Lo mismo aplica al Jugador. Además, para que sea ENPS los premios y castigos deben ser jugadas que sean EN L M R L,,, M,,, R,, 3, 3

21 Si los pagos en el desvío fueran mayores (desviarse es más atractivo) no podríamos sostener (M, M ) en t= en un ENPS Si juega M al jugador le tienta desviarse y jugar L (gana 7 en lugar de ). Para que no se desvíe, debe ser: + premio >7 + castigo, pero eso NO se cumple (7<8). El se desvía, y no es ENPS. L M R L,,, M, 7,, R,, 3, 3

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