PROBLEMAS DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. 1. Ecuación básica de la dinámica en referencias inerciales y no inerciales

Transcripción

1 PRBLEMS DE DINÁMIC DE L PRTÍCUL. Ecuación básica de la dináica en referencias inerciales y no inerciales. Leyes de conservación del ipulso, del oento cinético y del trabajo 3. Fuerzas centrales 4. Gravitación Prof. J.F. Martín

2 Ley de Newton artin Página 7/05/0. Ecuación básica de la dináica en referencias inerciales y no inerciales Problea Dos bloques de asas = 0 kg y = 8 kg, están unidos ediante una cuerda hoogénea inextensible que pesa kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560 N. Calcular: a) La aceleración del conjunto; b) Las fuerzas que actúan en los extreos de la cuerda. y F 3 x a) La fuerza total exterior que actúa sobre el conjunto es F = F + P + P + P 3 = ( x 9,8) j = 66 j y su asa es de 30 kg. De la ª ley de Newton F = a se tiene que a = 8,86 j s - b) En el extreo superior y en el inferior B de la cuerda actúan fuerzas F y F B tal que F + F B + P 3 = 3 a La fuerza F B es la que ejerce el bloque sobre la cuerda, luego la cuerda ejerce sobre el bloque una fuerza igual de sentido opuesto. Moviiento del bloque F B + P = a F B = 49,3 j N Sustituyendo en la ecuación anterior queda F = 86,6 j N

3 Ley de Newton artin Página 3 7/05/0 Problea En el esquea de la figura las asas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozaiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque 0 y la tensión del cable que une los bloques y. El coeficiente de rozaiento entre los bloques y el plano inclinado es µ. 0 0 µ ( + ) celeración a = g ( + µ ) ( + ) Tensión T = 0 g + + 0

4 Ley de Newton artin Página 4 7/05/0 Problea 3 Una partícula de asa se ueve bajo la acción de una fuerza F. Deterinar el vector posición r(t) si: a) F = F 0 sen ω t, r (0) = 0, v (0) = 0 siendo F 0 un vector constante y ω una constante > 0 b) F = η v, r (0) = 0, v (0) = v 0 siendo η una constante > 0 a) De la ecuación fundaental de la dináica se tiene d v d t F = 0 sen ωt Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene: F0 v (t) = ( cos ωt) ω El desplazaiento eleental es d r = v (t) d t Sustituyendo e integrando se tiene: El oviiento de la partícula es rectilíneo F0 r ( t ) = ( ωt sen ωt) ω b) De la ecuación fundaental de la dináica en fora escalar se tiene d v d t = ηv Integrando y pasando a la fora vectorial queda: v (t) = v 0 e η t Integrando la velocidad y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se obtiene la posición r (t) = v 0 η ( e ηt / ) El oviiento de la partícula es rectilíneo

5 Ley de Newton artin Página 5 7/05/0 Problea 4 Una partícula de asa se ueve sobre un plano bajo la acción de una fuerza de ódulo constante F, cuya dirección dentro del plano gira con una velocidad angular ω constante. En el instante inicial la velocidad de la partícula es nula. Calcular v(t) y el recorrido s hasta que su velocidad es de nuevo cero. El eje x del sistea de referencia se toa en la dirección de la fuerza en el instante inicial. En el instante t la dirección de la fuerza ha girado el ángulo ω t. y F t = 0 ω t F x Las coponentes de la fuerza en el instante t son: F = F cos ω t F = F sen ω t De la ecuación fundaental de la dináica se tiene d v = F cos ω t d t d v = F sen ω t d t Integrando las dos ecuaciones anteriores se obtiene las coponentes de velocidad v = F sen ω t v = ω F ( cos ω t) ω El odulo de la velocidad es v (t) = F ω ( senωt) = F ω sen ω t La velocidad es nula en el instante inicial y se hace cero en el instante t = π/ω. El recorrido entre abos instantes es = t 8 F s v ( t) dt = 0 ω

6 Ley de Newton artin Página 6 7/05/0 Problea 5 Sobre una partícula de asa actúa una fuerza dada por F = t ( t t 0 ) u, siendo u un vector constante y t 0 el tiepo de actuación de la fuerza. Deterinar : la aceleración, la velocidad y la posición de la partícula en los intervalos a) t < t 0 ; b) t = t 0 y c) t > t 0 a) La fuerza que actúa sobre la partícula tiene dirección constante, luego su oviiento es rectilíneo. Su aceleración es a = F = t ( t 0 t ) u Integrando se obtiene la velocidad v = t ( 3t0 t ) 6 u Integrando de nuevo se obtiene la posición r = t 3 ( 3t0 t ) u b) En el instante t = t 0, la fuerza es cero y tabién la aceleración. La velocidad y la posición en dicho instante son 3 4 t0 t0 v( t0 ) = u ; r ( t0 ) = u 6 6 c) partir de dicho instante el oviiento es estacionario. Problea 6 Sobre una partícula de asa actúa la fuerza F = F 0 sen ω t i donde F 0 y ω son constantes positivas. En el instante inicial, la partícula está en el origen y en reposo. Deterinar la ecuación del oviiento. F0 a) x = t sen ωt ω ω 0 b) v = ( cos ωt) F ω Los valores áxios se tienen en los instantes que cuplen ω t = π, 3π, 5π,..

7 Ley de Newton artin Página 7 7/05/0 Problea 7 Las ecuaciones del oviiento de una partícula de asa son x = sen ω t, y = B cos ω t, donde, B y ω son constantes positivas. Deterinar : su trayectoria, la fuerza que actúa sobre ella y la velocidad de la partícula Eliinando el tiepo entre las ecuaciones del oviiento se obtiene la ecuación de la trayectoria x + B y = que es una elipse de seiejes, B. y B r x La fuerza que actúa sobre se obtiene de la segunda ley de Newton d x d y F = a = ( i + j ) d t d t Efectuando las derivadas y sustituyendo queda F = ω r La velocidad es la derivada de r respecto del tiepo v = ω ( cos ωt i B sen ωt j )

8 Ley de Newton artin Página 8 7/05/0 Problea 8 Una partícula de asa = 5 kg está unida al extreo de un cable de longitud l = cuyo otro extreo está fijo. La partícula recorre una circunferencia horizontal con velocidad constante v, tal que el cable fora un ángulo de 40º con la vertical en el extreo fijo. Deterinar la velocidad de la esfera y la tensión del cable. F C r a v P Cineática. En la referencia fija de origen, la partícula tiene un oviiento circular unifore de radio r = l sen 40º, luego solo tiene aceleración noral dirigida hacia y su ódulo es a = v / r. Dináica. Sobre la partícula actúa la fuerza del cable F C y su peso P. De la ª ley de ` celer se tiene a = F C + P P 40º F C a Del triángulo se tiene la tensión del cable F C = g cos40º F C = 63,9 N y para la aceleración: tg 40º = a / g a = 8, s - La velocidad de la partícula está dada por v = a l sen 40º v = 3,5 s -

9 Ley de Newton artin Página 9 7/05/0 Problea 9 Una partícula de asa que está unida al extreo de un cable de longitud l, cuyo otro extreo está fijo, se ueve en un plano vertical, a partir de un punto tal que el cable fora con la vertical un ángulo θ 0, iniciando el oviiento con velocidad cero. Deterinar: a) La velocidad de v de la esfera en función de θ. b) La tensión del cable en función de θ. c) La aceleración a en función de θ. y x θ 0 l θ F n τ v P Cineática. En la referencia de origen, la esfera recorre una circunferencia de radio l con velocidad variable v(t). Las coponentes intrínsecas la aceleración son : dv a τ = dt ; a n = v l Dináica. Sobre la asa actúan la fuerza del cable F y su peso P. De la ª ley de Newton en coponentes intrínsecas se tiene: a) Para la coponente tangencial se tiene : a τ τ + a n n = g sen ϕ τ g cosϕ n + F n g sen θ = dv dt ds dt dv ds = g sen θ v dv = g sen θ ds = l g sen θ d θ Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales queda v = l g ( cos θ cos θ 0 ) b) Para la coponente noral:

10 Ley de Newton artin Página 0 7/05/0 La tensión del cable es F g cos θ = v = g ( cos θ cos θ 0 ) l F = g ( 3 cos θ cos θ 0 ) c) De las ecuaciones anteriores se tiene la aceleración en la base intrínseca a = ( g sen θ ) τ + g ( cos θ cos θ 0 ) n Problea 0 Una partícula de asa se encuentra en el polo de una seiesfera de radio R, la cual está apoyada sobre una superficie horizontal. Desplazada ligeraente de su posición de equilibrio, la partícula desliza sobre la superficie, la cual se supone lisa. Deterinar: a) La velocidad v de la partícula en función del ángulo θ que fora su radio posición con el radio inicial. b) El valor de la noral N en función de θ. c) El valor de θ, en el instante en que la partícula se despega de la superficie. N R θ n P τ v Cineática. En la referencia de origen, la partícula tiene un oviiento circular no unifore de radio R. Las coponentes intrínsecas de la aceleración son: dv a τ = dt ; a n = R v

11 Ley de Newton artin Página 7/05/0 Dináica. Sobre la asa actúan el peso P y la reacción en el apoyo N. La ª ley de Newton en coponentes intrínsecas es : a τ τ + a n n = g sen ϕ τ + g cosϕ n N n a) De la coponente tangencial se tiene : g sen θ = dv dt ds dt dv ds = g sen θ v dv = g sen θ ds = R g sen θ d θ Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales queda v = R g ( cos θ ) b) De la coponente noral se tiene: g cos θ N = R v = g ( cos θ ) La noral es N = g ( 3 cos θ ) c) La asa deja de estar en contacto con la superficie cuando N = 0 θ = 48,9º

12 Ley de Newton artin Página 7/05/0 Problea Deterinar la fuerza F aplicada al bloque de asa M de la figura adjunta, para que los bloques de asas y apoyados en M, no se uevan respecto de M. Todas las superficies son lisas y la polea y el cable tienen asa despreciable. M F Considereos un sistea de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F. De la ª ley de Newton aplicada al conjunto se tiene: F = ( M + + ) a () siendo a la aceleración del conjunto. Las asas y están en reposo sobre el bloque M, luego en la referencia su aceleración es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sobre y la que ejerce sobre tienen el iso ódulo F C. La ª ley de Newton para es g j + N j + F C i = a i F C = a () La ª ley de Newton para es N i + F C j g j = a i F C = g (3) De () y (3) se tiene a = g (4) Sustituyendo (4) en () se obtiene la fuerza aplicada a M F = ( M + + )g

13 Ley de Newton artin Página 3 7/05/0 Problea Deterinar la aceleración ínia con que debe desplazarse el bloque de asa M en sentido horizontal para que los bloques de asas y no se uevan respecto de M, siendo µ el coeficiente de rozaiento entre los bloques. La polea y el cable tienen asa despreciable. M a a = µ + µ g Problea 3 En la figura, el bloque cilíndrico de asa tiene un orificio y puede deslizar por el cable con rozaiento. La barra cilíndrica de altura h tiene una asa > y en el instante inicial, la parte superior B del cilindro coincide con la inferior de la barra y al dejar el sistea en libertad, abos cuerpos se ueven con aceleraciones constantes. Pasados t segundos, la parte superior B del cilindro coincide con la superior de la barra. Deterinar la fuerza de rozaiento f entre el cilindro y el cable. h B f = t h N

14 Ley de Newton artin Página 4 7/05/0 Problea 4 Un bloque de asa se encuentra sobre otro bloque de asa M que está apoyado sobre una superficie horizontal lisa. El coeficiente de rozaiento entre los dos bloques es µ. l bloque M se le aplica una fuerza horizontal dirigida hacia la derecha que depende del tiepo según la ley F = k t. Deterinar: a) El instante t en que epieza a deslizar sobre ; b) La aceleración de cada uno de los bloques. M F a) Considereos un sistea de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F. Sea τ el instante en que epieza a deslizar sobre M. Hasta dicho instante t τ, el conjunto se ueve con una aceleración coún a. La ª ley de Newton aplicada al conjunto en el instante t = τ es ( M + ) a(τ) i = ( M + ) g j + N j + k τ i ( M + ) a(τ) = k τ () La ª ley de Newton aplicada a la asa en el instante t = τ es, ( la fuerza de rozaiento sobre tiene, en ese instante, su valor áxio f r = µ g ) a(τ) i = g j + N j + µ g i a(τ) = µ g () De () y () queda τ = µ ( + ) g s k k b) De () se tiene que la aceleración del conjunto para t < τ es a( t) = t + M Para t > τ. Las fuerzas que actúan sobre son constantes, luego la aceleración de es a(τ) La ª ley de Newton aplicada a la asa M es µ g k M a (t) i = ( M + ) g j + N j µ g i + k t i a = + t /s M M Gráfica de las aceleraciones en función del tiepo a a a( τ ) τ t

15 Ley de Newton artin Página 5 7/05/0 Problea 5 Una persona de asa = 58 kg se encuentra sobre una platafora de asa M = 4,5 kg la cual está unida a una cuerda que pasa por una polea coo se uestra en la figura adjunta. Encontrar la fuerza que la persona debe hacer sobre el extreo libre de la cuerda para: a) Subir con aceleración de 0,6 s -. b) Subir con velocidad constante. a) Considereos un sistea de referencia fijo en el suelo con el eje y vertical. Para subir, en el extreo libre de la cuerda, la persona ejerce una fuerza vertical hacia abajo, y la cuerda ejerce sobre la persona, apoyada en la platafora, una fuerza igual y de sentido opuesto. En el otro extreo de la cuerda, esta ejerce sobre el sistea platafora-nobre una fuerza vertical hacia arriba. bas fuerzas son iguales. F y F Fuerzas sobre el sistea hobre-platafora De la ª ley de Newton se tiene P P x ( + M) a j = F j ( + M) g j () perando se tiene F = 377 N b) hora la aceleración es cero. De la ecuación () igualada a cero se tiene F = 355 N

16 Ley de Newton artin Página 6 7/05/0 Problea 6 El coeficiente de rozaiento entre los bloques = 5 kg, B = 0 kg y el suelo es µ = 0,30. Las asas de la polea y del cable son despreciables y el cable es inextensible. l aplicar al bloque B una fuerza horizontal de 5 N, deterinar: a) La aceleración de B ; b) La tensión del cable. B 5 N a) Considereos un sistea de referencia con origen en la pared y el eje x horizontal. Las posiciones de los bloques están relacionadas por la condición de ligadura x + x B = cte. Luego sus aceleraciones (coponentes horizontales) cuplen a + a B = 0 a B = a = a Sea F la fuerza que ejercen los extreos del cable sobre los bloques dirigida, en abos bloques, hacia la izquierda. La ª ley de Newton para el bloque es a i = µ N i F i g j + N j N = g ; a = µ g F () y para el bloque B B a B i = 5 i F i µ g i µ N g i + N j ( + B ) g j N = ( + B ) g ; B a B = 5 F µ g µ ( + B ) g () Eliinando la F entre las ecuaciones () y () se tiene la aceleración de B a = 3,43 s - b) Sustituyendo el valor de la aceleración en la ecuación () se tiene cuyo valor es la tensión del cable. F = 3,85 N

17 Ley de Newton artin Página 7 7/05/0 Problea 7 Dos bloques y B de asas y B están unidos ediante un cable que pasa a través de una polea tal coo se uestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozaiento entre el bloque y el plano inclinado es µ. Deterinar el sentido del oviiento cuando se dejan en libertad a partir del reposo. El cable es inextensible y las asas del cable y la polea despreciables. ϕ B Supongaos que el bloque asciende sobre el plano inclinado. Sea F la fuerza que ejercen los extreos del cable sobre los bloques dirigida, en abos bloques, tal coo se indica. N F F B f ϕ P P B El oviiento de B es hacia abajo, luego B g > F El oviiento de es hacia arriba, luego F > g sen ϕ + µ gcos ϕ El oviiento de los bloques es el indicado si B > sen ϕ + µ cos ϕ Supongaos que el bloque desciende sobre el plano inclinado. El oviiento de B es hacia arriba, luego B g < F El oviiento de es hacia abajo, luego F + µ gcos ϕ < g sen ϕ El oviiento de los bloques es el indicado si B < sen ϕ - µ cos ϕ Los bloques no se ueven si sen ϕ - µ cos ϕ < B < sen ϕ + µ cos ϕ

18 Ley de Newton artin Página 8 7/05/0 Problea 8 Dos bloques y B de asas = 0 kg y B = 7 kg, están unidos ediante un cable que pasa a través de las poleas tal coo se uestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozaiento entre el bloque y el plano inclinado es µ = 0,0 y ϕ = 30º. El cable es inextensible y las asas del cable y las poleas son despreciables. Deterinar: a) Las aceleraciones de los bloque B ; b) La tensión del cable. B Supongaos que el oviiento de es hacia abajo, luego ha de ser F + µ gcos ϕ < g sen ϕ F < g sen ϕ µ g cos ϕ El oviiento de B es hacia arriba, luego B g < F De abas expresiones queda B g < g sen ϕ µ g cos ϕ, desigualdad que se cuple para los valores dados, luego el oviiento es previsto. a) Considereos un sistea de referencia con el eje x horizontal. Las posiciones de los bloques están relacionadas por la condición de ligadura s + y B = cte. Luego sus aceleraciones (coponente paralela al plano inclinado y vertical ) cuplen a + a B = 0 a B = a = a () Fuerzas sobre los bloques F F y N F f r B ϕ x P P B

19 Ley de Newton artin Página 9 7/05/0 La ª ley de Newton aplicada al bloque es a = µ N + F g sen ϕ ; N = g cos ϕ a = F + µ g cos ϕ g sen ϕ () La ª ley de Newton aplicada al bloque B es B a B = F B g B a B = F B g () Eliinando la F entre las ecuaciones () y (3), y teniendo en cuenta la ecuación (), operando queda Las aceleraciones de los bloques son : a = 0,6 /s a = 0,5 ( 3 i + j ) s - ; a B = 0,6 j s - b) La agnitud de la tensión del cable es el valor de la fuerza que el cable ejerce sobre los bloques. De la ecuación () se tiene F = 35, N

20 Ley de Newton artin Página 0 7/05/0 Problea 9 Dos bloques y B de asas y B están unidos ediante un cable que pasa a través de las poleas tal coo se uestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozaiento entre el bloque y el plano inclinado es µ. El cable es inextensible y las asas del cable y la polea son despreciables. Estudiar el sentido del oviiento de los bloques. ϕ B Supongaos que el bloque asciende por el plano inclinado. Considereos un sistea de referencia con el eje x horizontal. Las posiciones, por una parte, del bloque y de la polea óvil, y por otra de la polea y el bloque B, están relacionadas por las condiciones de ligadura s + y po = cte ; y po y B = cte Las coponentes de las aceleraciones de los bloques satisfacen la condición a + a B = 0 () a) Sean F y F B las fuerzas que los cables ejercen sobre los respectivos bloques. Fuerzas sobre los bloques y sobre la polea óvil. y F B N F F B f r ϕ x P F B F B P B Las fuerzas en los cables cuplen F = F y F B = F B. La asa de la polea óvil es cero luego F = F B () es decir, la tensión del cable unido al bloque es el doble de la tensión del cable unido al bloque B.

21 Ley de Newton artin Página 7/05/0 De la ª ley de Newton aplicada al bloque se tiene a = µ N + F g sen ϕ ; N = g cos ϕ a = F µ g cos ϕ g sen ϕ (3) De la ª ley de Newton aplicada al bloque B se tiene B a B = F B B g (4) Sustituyendo las ecuaciones () y () en las ecuaciones (3) y (4) y operando queda ( + 4 B ) a = [ B (sen ϕ + µ cos ϕ) ] g = [ B (sen ϕ + µ cos ϕ) ] g El oviiento es el indicado ( a ) si se cuple que B > sen ϕ + µ cos ϕ El oviiento es de sentido opuesto ( a ) si se cuple que B < sen ϕ µ cos ϕ No hay oviiento si sen ϕ µ cos ϕ < B < sen ϕ + µ cos ϕ Problea 0 Un niño de asa = 45 kg se pesa en una báscula de resorte situada sobre una platafora especial que se desplaza por un plano inclinado de ángulo θ = 30º coo uestra la figura (no hay rozaiento entre la platafora y el plano inclinado). Cuál será la lectura de la báscula en estas condiciones?

22 Ley de Newton artin Página 7/05/0 30º Calculeos priero la aceleración con que el sistea niño-báscula-soporte se desplaza sobre el plano inclinado. Sea P = M g el peso total del sistea y N la reacción del plano inclinado. N N = M g cos 30º M a M a = M g sen 30º 30º La aceleración del conjunto es a = g P en una referencia inercial Sobre el niño actúan : su peso P y la reacción R en el apoyo. La indicación de la báscula el valor de la noral. R R y R.I. a donde N f P 30º x De la ª ley de Newton a = F i = R + P ()

23 Ley de Newton artin Página 3 7/05/0 se tiene x) a cos 30º = R y) a sen30º = R g La coponente R es la fuerza de rozaiento en la báscula f = 3 4 g = 9 N, y la coponente R es la noral N, cuyo valor es N = g = kg 3 4, en una referencia no inercial. Seleccioneos una referencia con origen en un punto de la platafora. La ª ley de Newton en una referencia no inercial en traslación es a = F i a () donde a es la aceleración de la partícula de asa ( niño) en la referencia no inercial y a la aceleración de la referencia respecto de la referencia fija. El niño está en reposo sobre la platafora luego a = 0 y la aceleración de respecto de es la aceleración de la platafora a = sen 30º g y y R no I. R.I. a R R N P g j a x a 30º g j P 30º x Del triángulo de fuerzas se tiene N + g j g j = 0 N = g 4 luego, la báscula arca N = 33, 75 kg Problea Un arco rectangular de asa M = 5 kg del que cuelga una ploada de asa = kg desliza por un plano inclinado de ángulo θ = 30º coo se uestra la figura. Una vez iniciado el oviiento la ploada se estabiliza forando un cierto ángulo respecto de la vertical. Calcular: a) El ángulo que fora la cuerda de la ploada respecto de la vertical si no existe rozaiento entre las superficies. b) El ángulo que fora la cuerda de la ploada respecto de la vertical si el coeficiente de rozaiento entre las superficies es µ =

24 Ley de Newton artin Página 4 7/05/0 φ 30º en una referencia no inercial. a) La aceleración del arco respecto de una referencia fija es a = g sen 30º. Seleccioneos una referencia con origen en un punto del arco. La aceleración del origen respecto de la referencia fija es a = a. La ª ley de Newton en una referencia no inercial en traslación es a = F i a () La asa esta en reposo en la referencia luego su aceleración a = 0. Sustituyen en la ecuación () queda 0 = F + P a y R no I. F φ y a F φ R.I. a x 0º φ a 30º P x P 30º De la ley del seno aplicada al triángulo de fuerzas se tiene g = sen (0 φ) sen φ g ()

25 Ley de Newton artin Página 5 7/05/0 perando en la ecuación () se obtiene φ = 49,º b) Cuando hay rozaiento entre el arco y la superficie del plano inclinado, la aceleración del arco respecto de una referencia fija está dada por a = g (sen 30º µ cos 30º) a = 0, 36 g N f r M a P 30º La ecuación () es ahora sen g (0 φ) = 0, 36 g sen φ (3) perando en la ecuación (3) se obtiene φ = 9,4º Problea Un plano inclinado de ángulo θ = 30º y longitud total h =,3, se encuentra en el interior de un ascensor. Un cuerpo de asa se deja caer desde el extreo superior y desliza sin rozaiento. Calcular: a) El tiepo que tarda el cuerpo en descender todo el plano si el ascensor sube con aceleración constante 8 g s - ; b) Calcular la aceleración del bloque en una referencia inercial.

26 Ley de Newton artin Página 6 7/05/0 en una referencia no inercial. a) El ascensor constituye una referencia no inercial en traslación que se ueve con una aceleración constante en sentido ascendente respecto de una referencia fija. Seleccioneos una referencia con origen en un punto del ascensor. La aceleración del origen respecto de la referencia fija es la aceleración del ascensor a = 8 g j. El bloque de asa desciende por el plano inclinado con una aceleración a respecto del ascensor. La ª ley de Newton en una referencia no inercial en traslación es a = F i a () Las fuerzas exteriores que actúan sobre son: su peso P y la reacción N, es decir F i = P + N y R. I. y R. no I. N h N a a a P a 30º P x a 30º x Del triángulo de fuerzas se tiene a = g ( + ) sen 30º 8 perando queda

27 Ley de Newton artin Página 7 7/05/0 a = 5,5 /s El tiepo que tarda en descender está dado por h t = = 0,9 s a' b) Cálculo de la aceleración en una referencia inercial. En la referencia fija, el bloque desliza sobre el plano inclinado con una coponente de aceleración a P y siultáneaente se desplaza hacia arriba con una coponente de aceleración 8 g j, luego su aceleración es a = a P + 8 g j. Sobre actúan: el peso P y la noral N. y 8 g j N a P 30º P x De la segunda ley de Newton ( a P + 8 g j ) = P + N se tiene a P ( cos 30º i sen 30º j + 8 g j) = N ( sen 30º i + cos30º j ) g j Igualando coponentes a P cos 30º = N sen 30º N = 3 a P a P sen 30º + 8 g = N cos30º g a P + 3 N = g + 8 g Sustituyendo el valor de N y operando queda a P = 9 g 6 Problea 3 los extreos de un hilo que pasa a través de una polea fija al techo de la cabina de un ascensor se atan los cuerpos de asa y ( < ). La cabina coienza a subir con una aceleración constante g /. Despreciando las asa de la polea y del hilo, así coo el rozaiento, calcular: a) La aceleración de y respecto de la cabina y con relación al foso del ascensor. b) La fuerza con la cual la polea actúa sobre el techo de la cabina.

28 Ley de Newton artin Página 8 7/05/0 a) El ascensor constituye una referencia no inercial en traslación que se ueve con una aceleración constante en sentido ascendente respecto de una referencia fija. Seleccioneos una referencia con origen en un punto del ascensor. La aceleración del origen respecto de la referencia fija es la aceleración del ascensor a = g j. Sean a j la aceleración de y a j la aceleración de en la referencia. Las fuerzas exteriores que actúan sobre la son la tensión del cable F y el peso P, y sobre son la tensión del cable F y el peso P. De la ecuación fundaental de la dináica en la referencia no inercial se tiene a = F g g ; a = F g g () De la condición de ligadura para los bloques se tiene a + a = 0 a = a = a Restando las dos ecuaciones () y despejando a se obtiene 3 ( ) a = g + a = a j ; a = a j En la referencia fija, las aceleraciones de y de se obtienen de suar a las anteriores la aceleración del ascensor a = a + a = + g + ; a = a a = g + b) La fuerza que la polea ejerce sobre el techo de la cabina es F = F. De una de las ecuaciones () se tiene F = 6 + g j Problea 4 El ecaniso de la figura se copone de una barra en fora de L lisa, dispuesta en un plano horizontal y del anguito de asa, unido a un uelle de longitud l, y cuyo otro extreo está unido a la barra en el punto B. La constante de rigidez del uelle es k. El sistea gira alrededor de un eje vertical que pasa por el punto, a una velocidad angular constante ω. Hallar el alargaiento del uelle.

29 Ley de Newton artin Página 9 7/05/0 B Seleccioneos el origen de la referencia no inercial en el vértice B de la barra en fora de L. El oviiento del punto es circular unifore, luego su aceleración está dirigida hacia. La ecuación fundaental de la dináica en una referencia en rotación unifore es a = Σ F i a + ω r ω v () Las fuerzas externas que actúa sobre son : Σ F i = P + R + F u. El anguito está en reposo en la referencia, luego v = 0 y a = 0. La posición de respecto de es r = (l + l) i, donde l es la longitud del uelle sin deforar, y la fuerza del uelle es F u = k l i R a F u x a ω ω r x y P Sustituyendo en la ecuación () se tiene 0 = g k + R j + R 3 k k l i a j + ω (l + l) i () La reacción R de la barra sobre el anguito equilibra el peso P y el térino a, y de igualar a cero las coponentes según i se tiene el alargaiento del uelle l = ω l k ω Problea 5 Un anguito de asa desliza por una barra horizontal lisa que gira con velocidad angular constante ω alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extreos. En el instante inicial el anguito se encuentra en el eje con velocidad cero. Deterinar, cuando se encuentra a una distancia r del eje : a) la reacción R de la barra sobre el anguito ; b) la velocidad del anguito en una referencia fija.

30 Ley de Newton artin Página 30 7/05/0 ω r a) Seleccioneos el origen el origen de la referencia inercial en el punto del eje unido a la barra y el origen de la referencia no inercial en el io punto con el eje x dirigido a lo largo de la barra. El anguito desliza a lo largo de la barra, luego su velocidad v y su aceleración a tienen la dirección de la barra. La segunda ley de Newton en la referencia es a = Σ F i a + ω r ω v () Las fuerzas externas que actúan sobre la asa son, el peso P y la reacción de la barra R, es decir que Σ F i = P + R. ω y = y R = ω r r = r ω r ω v P v x = x Escribiendo la ecuación () en coponentes se tiene a = ω x ()

31 Ley de Newton artin Página 3 7/05/0 a i = g k + R + ω x i ω v j De la ecuación () se tiene R = ω v j + g k (3) d v d t = ω x v d v = ω x d x v = ω x = ω r Sustituyendo en la ecuación (3) queda para la reacción R = ω r j + g k b) La velocidad en la referencia fija es v = ω r + v = ω r ( i + j ) Problea 6 Un disco de radio R gira, a velocidad angular constante ω, en un plano horizontal, alrededor de un eje vertical que pasa por un punto de su periferia. Por el borde del disco se ueve, con velocidad constante respecto del disco, una partícula de asa. En el instante en que se encuentra a la distancia R del eje de rotación, la sua de las fuerzas inerciales que actúan sobre en la referencia ligada al disco es cero. Deterinar : a) la aceleración de respecto del disco ; b) la fuerza de inercia F in que actúa sobre en función de la distancia r al eje de rotación.

32 Ley de Newton artin Página 3 7/05/0 v ω R a) Seleccioneos el origen el origen de la referencia inercial en el punto del eje unido al disco y el origen de la referencia no inercial en el centro del disco. La segunda ley de Newton en la referencia es a = Σ F i a + ω r ω v () donde, los tres últios suandos se denoinan fuerzas de inercia. Cuando se encuentra en el extreo del diáetro, la fuerza de inercia es cero, luego F in = a + ω r ω v = 0 () ω v a ω r ω v n n a r La aceleración de es a = ω R n y r = R n. De la ecuación () se tiene la velocidad v de respecto del disco v = ω R. La aceleración de respecto del disco es a = ω R n b) La fuerza de inercia que actúa sobre cuando se encuentra en una posición P a una distancia r del eje de rotación es

33 Ley de Newton artin Página 33 7/05/0 F in = a + ω r ω v (3) ω r a F in P v n r ω R n r a i ω n Las coponentes horizontal y radial de la fuerza de inercia son iguales a ω R, luego queda F in = ω R (n + i ) = ω ( P + ) = ω P F in = ω P pero la cuerda es P = 4 R r, sustituyendo queda F in = ω 4 R r Problea 7 Se deja caer, sin velocidad inicial, una partícula de asa desde una altura h sobre el nivel del suelo en un punto de la superficie terrestre de latitud λ. Deterinar en una referencia ligada a un punto de la superficie terrestre : a) las ecuaciones del oviiento; b) la trayectoria ; c) la desviación respecto del píe de la perpendicular.

34 Ley de Newton artin Página 34 7/05/0 a) Considereos una referencia con origen en un punto de la superficie terrestre. La referencia tiene un oviiento de rotación con velocidad angular ω constante respecto a una referencia fija con origen en el centro de la tierra. z x ω a R λ v y z z v x R λ a ω La velocidad de es v = ω R cos λ y su aceleración a = ω R cos λ, donde ω y R son, respectivaente, la velocidad de rotación de la tierra y el radio terrestre. La segunda ley de Newton para la asa en la referencia no inercial de origen es a = P a + ω r ω v () donde el térino de aceleración ω z es despreciable frente a a = ω R cos λ para cualquier problea referente al oviiento de una partícula sobre la superficie terrestre. La aceleración centrífuga a es 0,033 cos λ /s y puede ser despreciada frente al valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, g = 9,8 /s. La velocidad de caída de la partícula está prácticaente sobre el eje z, luego la aceleración de Coriolis es ω v = ω v cos λ j. De la ecuación () se tiene a = ω v cos λ j g k () y en coponentes : d v d t = ωv cos λ d v3 ; = g d t (3) Integrando las ecuaciones (3) con las condiciones iniciales se tienen las ecuaciones del oviiento :

35 Ley de Newton artin Página 35 7/05/0 3 y = ω g cos λ t ; 3 z = h g t (4) b) Eliinando el tiepo entre las ecuaciones (4) se obtiene la trayectoria / 3 9 g y z = h (5) ω cos λ c) De la ecuación de la trayectoria (5) se obtiene la desviación respecto del pie de la perpendicular haciendo z = 0. s h = ω h cos λ 3 g z trayectoria h N W s y E S El valor de la desviación áxia se obtiene en el ecuador. Problea 8 Cual debería ser la velocidad angular de rotación de la tierra para que la aceleración efectiva de la gravedad no dependa de la latitud? Para la rotación noral de la tierra, la ploada arca la vertical del lugar. Deostrar que la dirección de la ploada coincide con la de la gravedad efectiva.

36 Ley de Newton artin Página 36 7/05/0 Se denoina aceleración efectiva de la gravedad en un punto de latitud λ, a la sua de la aceleración centrífuga as la aceleración de la gravedad g e f = a + g. z ω a x R g λ Escribiendo la aceleración efectiva en coponentes se tiene g e f = ω R cos λ ( sen λ i + cos λ k ) g k = ω R cos λ sen λ i + ( ω R cos λ g ) k cuyo ódulo es g e f = ω R ( ω R g ) cos λ + g No dependería de la latitud si la velocidad angular de la tierra fuera ω = g R Ploada. La ploada está forada por una cuerpo pesado de asa unido a uno de los extreos de un hilo inextensible, anteniendo el otro extreo fijo. La asa está en reposo respecto de la superficie terrestre. De la segunda ley de Newton para la asa en la referencia no inercial de origen se tiene 0 = P + F a = g + F a donde F es la fuerza que el cable ejerce sobre. Despejando F se tiene F = g + a = ( a + g ) = g e f La dirección de la ploada defina la vertical del lugar, cuya dirección está ligeraente desviada de la dirección radial