MAGNITUDES VECTORIALES:

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María Pilar Navarrete Moya
hace 7 años
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1 Mgnitudes vectoiles 1 de 8 MAGNITUDES VECTORIALES: Índice 1 Mgnitudes escles vectoiles Sum de vectoes lies Poducto de un escl po un vecto 3 Sistem de coodends vectoiles. Vectoes unitios 3 Módulo de un vecto. Teoem de los cosenos diectoes 4 Poducto escl de dos vectoes 5 Consecuencis del poducto escl 5 Poducto vectoil 6 Momento de un vecto especto un punto 6 Momento de un vecto especto un eje 7 Poducto tiple de tes vectoes 7 Deivd de un vecto especto un escl 7 Integción vectoil 8 Puedes descg este pdf en

Teoem de los cosenos diectoes 4 Poducto escl de dos vectoes 5 Consecuencis del poducto escl 5 Poducto vectoil 6 Momento de un vecto

2 Mgnitudes vectoiles de 8 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Ls mgnitudes escles quedn pefectmente definids po un númeo ls uniddes coespondientes. Po ejemplo un tempetu (15ºC) Ls mgnitudes vectoiles pecisn demás de un vlo numéico (módulo), un diección, un sentido un punto de plicción. L epesión que popocion l medid de culquie mgnitud Diección Módulo Sentido vectoil es un ente mtemático que ecie el nome de vecto que se puede defini como un segmento oientdo en el que h que distingui: - Módulo: longitud del segmento AB. - Diección: ect que lo contiene (e). - Sentido: ddo po el oden A B, (punt de flech). - Punto de plicción A. Se epesent po v o v. El módulo poniendo el vecto ente s v. Tipos de vectoes: Lies poducen el mismo efecto cundo (siendo su módulo sentido igules) se despln plelmente si mismos. Deslintes solo pueden vi su punto de plicción lo lgo de su diección. Ligdos o fijos. SUMA DE VECTORES LIBRES Gáficmente Se plic l egl del plelogmo. Se hcen coincidi los puntos de plicción de mos vectoes se constuen tndo plels po los etemos de cd vecto, un plelogmo. El segmento, que une en este oden, los puntos de plicción Puedes descg este pdf en

L epesión que popocion l medid de culquie mgnitud Diección Módulo Sentido vectoil es un ente mtemático que ecie el nome de vecto que se puede defini como un segmento oientdo en el que h que

3 Mgnitudes vectoiles 3 de 8 con el vétice opuesto del plelogmo es el vecto esultnte de l sum. Tmién se puede otene l sum hciendo coincidi el punto de plicción del segundo vecto con el etemo del pimeo uniendo el punto de plicción del pimeo con el etemo del vecto plelo l segundo. L difeenci ente dos vectoes se puede ve fácilmente que se otiene uniendo el etemo del sustendo con el etemo del minuendo pues: s + ( - s ) = Es impotnte ve l plicción que tiene esto l descomposición de un vecto en sus componentes en diecciones decuds p esolve un polem. Po ejemplo el peso que ctu soe l lentej del péndulo se puede descompone en un componente tngencil ot componente noml l tectoi. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Es oto vecto cu diección coincide con l del pime vecto, módulo viene multiplicdo po el escl ( n v = n v ) su sentido es el del vecto si n > 0 el contio si n < 0. SISTEMA DE COORDENADAS VECTORIALES. VECTORES UNITARIOS. En muchs ocsiones deemos efeinos siempe uns coodends. Z En un pl, estmos doptndo un sistem de efeenci. El más usul está fomdo po tes ejes (X,Y,Z) que se cotn pependiculmente en el oigen de coodends. Culquie punto del espcio se define ho po un vecto de posición que, con punto de Y γ β α X Puedes descg este pdf en

L difeenci ente dos vectoes se puede ve fácilmente que se otiene uniendo el etemo del sustendo con el etemo del minuendo pues: s + ( - s ) = Es impotnte ve l plicción que tiene esto l descomposición

4 Mgnitudes vectoiles 4 de 8 plicción en el oigen, lleg hst el punto considedo. Se ho el vecto de l figu. Como se ve se puede descompone en tes vectoes cu sum se igul v : v = v + v + v Definiemos continución el vecto unitio u en l diección de como un vecto que teniendo su mism diección sentido tiene po módulo l unidd. Recodndo lo que se decí del poducto de un 1 escl po un vecto, se cumple: v = v u o lo que es lo mismo: u = v v Se definen los vectoes i, j, k como los vectoes unitios en l diección de los ejes X, Y, Z espectivmente con sentido diigido desde el oigen hci l pte positiv de estos ejes. Po tnto el vecto v = v + v + v = vi + v j + v L sum de dos vectoes en función de sus componentes seá: k = i + j + = i + j + k k Siendo p un escl: + = ( + ) i + ( + ) j + ( + ) k p v = p v + p v + p v MODULO DE UN VECTOR. TEOREMA DE LOS COSENOS DIRECTORES En l figu nteio se ve que el módulo de seá: v = v + v (plicndo dos veces el teoem de Pitágos). Po oto ldo v = v cosα, v = v cosß v = v cosγ sustituendo en l ecución nteio qued: de donde se deduce: + v ( α + β + ) v = v cos cos cos γ cos α + cos β + cos γ = 1 "L sum de los cuddos de los cosenos de los ángulos que fom un vecto con cd uno de los ejes Puedes descg este pdf en

5 Mgnitudes vectoiles 5 de 8 de coodends es igul l unidd".(teoem de los cosenos diectoes). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El poducto escl de dos vectoes es un escl. Se define como: = cosα El poducto escl de dos vectoes posee ls siguientes popieddes: Conmuttiv: = α Distiutiv: ( + c) = + c ( n ) = n ( ) Po oto ldo l popi definición de poducto escl se deduce: i i = j j = k k = 1 que i j = i k = j k = 0 Y en función de ls componentes de dos vectoes, su poducto escl seá: = + + Consecuencis Del Poducto Escl. 1. Dos vectoes cuo poducto escl es 0 son pependicules-. Se puede clcul el ángulo que fomn dos vectoes de l fom siguiente: cos α = 3. P clcul l poección de un vecto soe un diección detemind solo h que clcul el poducto escl del vecto po el vecto unitio en l diección menciond ntes. v u = v u cosα = v cosα es deci l poección de v soe l ect. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. α h Es oto vecto cuo módulo viene ddo po: = senα. α Su diección es pependicul l plno en el que se encuentn los dos vectoes su sentido viene ddo po el de vnce de un Puedes descg este pdf en

j j = k k = 1 que i j = i k = j k = 0 Y en función de ls componentes de dos vectoes, su poducto escl seá: = + + Consecuencis Del Poducto Escl. 1. Dos vectoes cuo poducto escl es 0 son pependicules-.

6 Mgnitudes vectoiles 6 de 8 sccochos que gi como lo hcemos p llev el pime vecto soe el segundo po el cmino más coto. (Regl de Mwell, del sccochos, del tonillo ). Popieddes: Anticonmuttiv = Distiutiv ( + c) = + c Po oto ldo: i i = j j = k k = 0 i j = k /// j k = i /// k i = j Según l definición de poducto vectoil se puede deduci que su módulo coincide con el áe del plelogmo que fomn mos vectoes ls plels ellos tds po sus etemos. = senα = h = S El poducto vectoil de dos vectoes en función de sus componentes seá: i j k = MOMENTO DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN PUNTO. Es un vecto que viene definido po el poducto vectoil del vecto P que une el punto P con el punto de plicción del vecto po el popio vecto. = v M P Su módulo es constnte unque el vecto vié su punto de plicción soe su diección pues senα = d siendo d l distnci desde el punto l diección del vecto. Teoem de Vignon. El momento de un vecto especto un punto es igul l sum de los momentos de cd un de sus componentes especto dicho punto. Demostlo teniendo en cuent l popiedd distiutiv del poducto vectoil especto de l sum. Puedes descg este pdf en

áe del plelogmo que fomn mos vectoes ls plels ellos tds po sus etemos.

7 P M eje Mgnitudes vectoiles 7 de 8 MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE Es l poección soe el eje del momento del vecto especto uno de los puntos de dicho eje. Se tt de un mgnitud escl. Se deduce fácilmente que si el vecto el eje son coplnios el momento de con especto ese eje vle 0. eje PRODUCTO TRIPLE DE TRES VECTORES. Se tt de un mgnitud escl, cuo vlo coincide con el volumen del plelepípedo definido po los tes vectoes concuentes po qué?. ( c ) = c c c DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO DE UN ESCALAR Si tenemos un mgnitud vectoil función de un escl: u( t) = u ( t) + u ( t) + u ( t) se define su deivd especto t de l mism fom que se define l deivd de un función escl. (El esultdo quí es un mgnitud vectoil). du dt = u(t + t) - u(t) lim t 0 t = d u dt d u + dt d + u dt Ls popieddes son ls misms que si se ttse de l deivd de un función escl. Puedes descg este pdf en

Se tt de un mgnitud escl, cuo vlo coincide con el volumen del plelepípedo definido po los tes vectoes concuentes po qué?

8 Mgnitudes vectoiles 8 de 8 d( +) d d = + dt dt dt d(n v) dn dv = v + n dt dt dt d(u v) du dv = v + u dt dt dt d(uv) du dv = v + u dt dt dt INTEGRACION VECTORIAL. Si F(t) es l deivd de v(t) entonces: v(t) dt = Igulmente: v(t) dt = [ F(t) ] = F() - F() F(t) + Cte Puedes descg este pdf en

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Cálculo con vectores Unidd didáctic 1 Cálculo con vectoes 1.- Mgnitudes escles vectoiles. Son mgnitudes escles quells, como l ms, l tempetu, l enegí, etc., cuo vlo qued fijdo po un númeo (con su unidd coespondiente). Gáficmente