( ) Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

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1 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln( + + ) 7A d + + arctan + ln( + ) 8A d + + 9A d ( + ) 0A d + arctan A sn(ln ) d sn(ln ) cos(ln ) A + + d ln + + A d + arctan A d + ln ( + ) ln = ln + A + d + ln( + ) + arctan ( ) + 6A cotg d cotg 7A ( ) d d 8A 9 + ln ln ln = + d ln ln ln ( + 9) + ln - -

2 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas 9A + d ln C + B cos d ( cos + sn ) B ln d ln B d ln( + ) + B d sn tan = + sn cos cos B + ln( + ) d + arctan + 6B + d + 7B d ln (( + ) ( ) ) 8B d 9B d ln (( ) ( + ) ) 0B d B d B sn d d B ( ) ln sn sn = ln B d ( + ) ln( + ) arctan B arctg d ln + ln 6B d + 7B d + 8B d + + d 9B + ( ) ( + ) ln( + + ) ( + ) arctan + ln + - -

3 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas C cos d sn C sn d cos C d ln ( + ) +,C ln ln ln ln C d ( ) 6C + d ln ( + ) + 7C ln( + ) d arctan + 8C d 9C + d ( ) ( ) ln( ) 0C ln d ln = (ln ) C + d 7 ln( + ) ln sn C sn cos d d C ln ln( + ) C ln d d C + 6C ln d 7C d C d + ln ln + ( ) 6ln + ln arctan ln( + ) arctan + C 9C d b arcsn a b b a - -

4 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Halla la función F () tal qu F ( 0) = y sa primitiva d la función f = + S trata d ncontrar la intgral I = d Como ( + ) =, s inmdiata: + ) = d = ln( + ) + S nos pid concrtamnt F 0) = ln = C = ln O bin, como = ln, C = ln F = d = ln ( + ) + ln + C = ln ln C = ln, con lo qu la función busca- ) = ln + + ln da también s pud prsar como: Encuntra la primitiva d ( ln ) f = qu s anula n = También ahora s trata d ncontrar las primitivas d una función, n st caso F ) ( ln ) qu s hac por parts: u = ln du = ln d dv = d v = ) = ln Aplicando a I l método d intgración por parts: u = ln du = d I = ln d = dv = d v = ln d I ln F = ln ln + ( = d, La constant la dtrminamos imponindo qu ) = 0 + = 0 qu dfinitivamnt: ) = ln ln + Calcular () f d forma qu ( ) = ln( + ) f ( ) = ln( + ) f ln( ) f y qu f ( 0) = 0 = + d, qu podmos hacr por parts: d u = ln ( + ) du = + ln( + ) f = d + dv = d v = C =, con lo - -

5 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Esta nuva intgral s una racional con l grado dl numrador mayor qu l dl dnominador, por lo qu s prciso hacr la división: ln( + ) = = = + + d + d d + ( + ) ( + ) ln ln f = + f (0) = 0 C = 0 f = ln + + y admás f = Si s sab qu su drivada sgunda s la función g =, ncuntra razonadamnt la prsión d f () La gráfica d una función f pasa por (,) Como sabmos qu f = g( ) =, por sucsivos procsos d intgración, imponindo las condicions dl nunciado, ncontrarmos la función f () f = f = d = = C = 0 f = f () = = = = + f f d C Pasa por, f () = = C = 0 f = 6 Dtrmina f () sabindo qu f =, f ( 0) = 0, f ( 0) = y f ( 0) = f = f = f = + f (0) = C = f (0) = C = = + + f C f = + + f (0) = 0 C = 0 = f C f = Encuntra una función F () qu vrifiqu F + + = para 0 F + + = 0 F = + F = + La función pdida s cualquira d st tipo y = sabindo qu pasa por l punto (,) 8 Halla la cuación d la curva f () d la rcta tangnt n l punto d abscisa s m = + y qu la pndint Darnos la pndint d la tangnt a la curva n un punto gnérico quival a darnos la función drivada: m = + f = + f = +, D todas stas funcions s nos pid aqulla cuya gráfica pasa por (,), s dcir, qu f () = - -

6 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas f () = + = C = f = + 9 Encuntra la primitiva d la función f = cuya rcta tangnt n l punto d abscisa ln = pasa por l orign d coordnadas f = ln d ( ln ) F = = d = d ln ln ln F = ln( ln ) La tangnt n = d cualquira d stas funcions, s d la forma: t : y ) = F ( ) y como F = f =, t : y = + F = + F Esta rcta t pasará por l orign cuando l término indpndint d su cuación, s st caso F = ln ln = C = F, s cro La función buscada s: F = ln( ln ) + 0 Halla la cuación d la curva y = f () qu cumpla f =, y qu la rcta tangnt n l punto d abscisa = tin por cuación y = 9 f = f = t y = 9 f = 9 = 9 C = f = f = f = El hcho d qu la tangnt sa la rcta y = 9 no solo nos prmit conocr la pndint, también sabmos qu l punto (, ) s l punto d tangncia, y n conscuncia f = 9 = C = f = + f = f = Eist alguna función f () tal qu f = y f () =? f = y qu f ( 0) = y f =? Y qu La función f (), n caso d istir, sría d la forma: f d = f = ( ) d ( ) C = = + f = d = + D Ninguna d sta funcions vrifica la condición ( 0), Para qu s vrifiqu la sgunda condición db ocurrir: ( ) f = + D f = porqu 0 D f - 6 -

7 Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas f () = + D = C = 9 6 f () = + C + D = D = 9 La función cuya sgunda drivada s f = y qu cumpl qu f = y f = s: ( ) 6 f =

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