Matemáticas 1 1 RESUMEN TEORÍA: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

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1 Matemáticas 1 1 RESUMEN TEORÍA: Números Complejos Elena Álvare Sái Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

2 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales Definición El conjunto de los números complejos se define como el conjunto R con la suma y el producto complejo definido anteriormente. Es decir, = (, +,*) C R. Adición de Complejos Se define: ( a, b) + ( c, d) = ( a+ c, b+ d) Ejemplo (, 3) + ( 3, 8) = ( + 3, 3+ 8) Multiplicación de Complejos Se define: ( a, b) *( c, d) = ( a c - b d, a d + b c) Profesora: Elena Álvare Sái

3 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Ejemplo ( ) , 5 *, = 3-5, =, Vamos a definir ahora los inversos para estas dos operaciones: Inverso Aditivo (opuesto): Dado ( a, b ) su opuesto es: ( a, - b) Ejemplo: Entonces (, 5) su inverso (, - 5 ). Observar que: (, 5) + (, - 5) = ( 0,0) Inverso Multiplicativo: Dado ( a, b) ( 0,0) su inverso es: a -b, a + b a + b Ejemplo: Entonces (, 5) su inverso 5, 9 9. Observar que: (,5 ) *, = ( 1,0) Sustracción de complejos La resta de dos complejos no es más que sumar al primero el opuesto del segundo Ejemplo ( a, b) ( c, d) = ( a, b) + ( c, d) = ( a c, b d) ( 10, 1) ( 8, 15 ) = ( 10, 1 ) + ( 8, 15 ) = (, 3) División de complejos El cociente de dos complejos no es más que multiplicar al primero el inverso del segundo siempre que éste no sea nulo ( a, b) /( c, d) = c d ac bd bc ad = ( a, b) * +, =, c + d c + d c + d c + d Profesora: Elena Álvare Sái S 3

4 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Ejemplo , / 3, 4 = 1, *, =, ( ) ( ) ( ) Producto por un número de la forma: ( λ,0) ( λ, 0 ) *( a, b) = ( λa 0 b, 0 a+ λ b) = ( λa, λb) = λ ( a, b) Luego podemos identificar a los números con segunda componente cero con los números reales. ( λ, 0 ) λ Forma binómica Hasta ahora hemos considerado los números complejos expresados en forma de par ordenado vamos a ver otra forma de expresar un número complejo. Llamemos unidad imaginaria i= ( 0, 1) es fácil ver que: Ejemplo: Entonces (, ) (, 0) ( 0, ) (,0) (,0) *( 0,1) a b = a + b = a + b a+ bi 5 9, + 6 su forma binómica es i = * = 0, 1 * 0, 1 = 1,0 1. Es fácil ver que i i i ( ) ( ) ( ) Importante: Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las mismas reglas de las operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i = -1 Entonces y para la multiplicación: ( a + bi) + ( c + di) = ( a+ c ) + ( b+ d) i ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bic + bdi = ac bd + ( ad + bc) i 4 Profesora: Elena Álvare Sái

5 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Con esta nueva notación podemos escribir C= { a+ bi / a, b R } Dado un número complejo = a+ bi se llama parte real de al valor real Re( ) parte imaginaria al valor real Im( ) = b. Por lo tanto, ( ) Im( ) = Re + i = a y Si la parte real de un número complejo es cero se le llama Imaginario puro y si es cero la parte imaginaria se trata de un número real. a 0 0 bi bi Imaginario Puro a bi si = + = + b = 0 a + 0 i = a Que representa un N Real Representación gráfica de números complejos Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano, haciendo corresponder a cada número complejo, un punto en el plano. El eje x lo llamaremos Eje Real y sobre él se representa la parte real del numero. Al eje y lo llamaremos Eje Imaginario y sobre él representaremos la parte imaginaria Profesora: Elena Álvare Sái S 5

6 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Siguiendo con el tema de la representación gráfica de un complejo, otra manera es la que se llama Representación Vectorial. A cada punto del plano le corresponde un Vector, de origen O y extremo Z, siendo O el origen de las coordenadas. A cada número complejo le corresponde un vector y a cada vector le corresponde un complejo Interpretación geométrica de la suma Dados dos complejos vectorialmente, la suma de ambos se realia utiliando la regla del paralelogramo. El gráfico muestra una interpretación geométrica de la suma vectorial de números, aplicando la regla del paralelogramo. Ejemplo: Suma como traslación: En el gráfico está representado el triángulo de vértices 0, P1 y P en aul y en verde el triángulo de vértices: w, w+p1, w+p. 6 Profesora: Elena Álvare Sái

7 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Ejercicio: Dar la interpretación vectorial de la resta. Conjugado de un número complejo Dado el número complejo = x+ iy su conjugado es el número complejo = x yi Se verifican las siguientes propiedades: (1) = () = = x+ 0i R (3) = = 0+ bi con b R (4) + = Re( ) = iim( ) (5) + w= + w (6) w= w 1 (7) ( ) 1 = Ejercicio: Probar estas propiedades del conjugado. Profesora: Elena Álvare Sái S 7

8 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Módulo y argumento Dado: = a+ bi llamamos módulo de Z al número real positivo: + x + y Y se expresa: Z = = x + y Interpretación del módulo como distancia: Si, w C entonces w representa la distancia entre y w Propiedades del módulo: Si, w C (1) 0, = 0 = 0 () Desigualdad triangular: + w + w Demostración geométrica: 8 Profesora: Elena Álvare Sái

9 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación otros dos lados. En un triángulo la longitud de uno de los lados es siempre menor que la suma de los (3) w w (4) ( ) Re ; ( ) Im ; Re( ) + Im( ) (5) = (6) = (7) w = w 1 1 (8) = (9) Regla del paralelogramo: + w + w = + w Profesora: Elena Álvare Sái S 9

10 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Ejercicio: Demostrar estas propiedades del módulo. Por ultimo nos queda el argumento de un número complejo que lo definimos como la medida del ángulo ϕ en radianes formado por el semieje positivo de las x y el vector que representa al complejo. Es decir, el argumento del número complejo no nulo = x+ yi es cualquier número ϕ que verifique: ( cos ) = x+ yi= Z cosϕ+ i Z senϕ= Z ϕ+ isenϕ Como las funciones seno y coseno son periódicas de periodo π, el argumento de Z está definido salvo múltiplos de π. Con otras palabras hay una infinidad de argumentos de, 10 Profesora: Elena Álvare Sái

11 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación pero dos cualesquiera de ellos difiere en un múltiplo de π. Si φ ( ππ, argumento es principal. se dice que el Para poder obtener ϕ de un número complejo dado en forma binómica, tenemos que tener en cuenta el cuadrante en el que se representa dicho número. Dado: Z= x+ yi su argumento se obtiene por mismo que el de y. y ϕ= arc tg x siendo el signo de ϕ el Entonces (ρ, ϕ) son las coordenadas polares de Z donde Se escribe = ρϕ. ρ = Z y ϕ = arg (Z) Forma trigonométrica de un número complejo Vamos a ver ahora una nueva forma de representar un número complejo: su forma trigonométrica. Si tenemos: = x + y i su representación permite escribir x= ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ Profesora: Elena Álvare Sái S 11

12 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Reemplaando por los segundos miembros de x e y en la forma binómica: Z = x + y i Z= ρ ( cos ϕ + senϕ i) Operaciones en forma trigonométrica Interpretación geométrica del producto Multiplicar por un número complejo de módulo 1 1 Profesora: Elena Álvare Sái

13 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Multiplicar por un número complejo cualquiera: El afijo de *w se obtiene girando el afijo de un ángulo en radianes igual al argumento de w y al resultado hacer una dilatación de valor w. Profesora: Elena Álvare Sái S 13

14 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos 14 Profesora: Elena Álvare Sái

15 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Potencias: Fórmula de Moivre Utiliando la fórmula de Euler Función exponencial. Forma exponencial. iϕ e = cosϕ+ isenϕ siendo ϕ R se define la función exponencial de = x+ iy como x+ iy x ( cos ) e = e = e y+ iseny A partir de la forma trigonométrica podemos encontrar la forma exponencial de un número complejo ya que Profesora: Elena Álvare Sái S 15

16 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos i = ( cosϕ+ ϕ) = siendo r=, ϕ= arg( ) r isen re ϕ PROPIEDADES.- Si, w C se cumplen las siguientes propiedades + 0 = (ii) e = 1 (iii) e e = 1 w w (i) e e e (iv) e = e (v) e ( ) Re = e (vi) arge = Im( ) a+ bi a + (vii) Re( e ) = Re( e ) = e cosb (viii) Im( ) Im( ) a bi a e = e = e senb (ix) ( e ) 1 = e (x) La función exponencial es periódica de periodo π i. Esta propiedad afirma que los valores que toma la función exponencial en la banda de la figura son los que toma fuera de ella. π i + π i 0 π i Ejercicio: Demostrar las propiedades de la función exponencial. 16 Profesora: Elena Álvare Sái

17 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Raíces enésimas Observa que las raíces enésimas de un complejo de módulo r están distribuidas regularmente en una circunferencia de radio n r. Logaritmo neperiano Se define el logaritmo neperiano de C como el valor complejo w que cumple e w = a + bi y =r (cos φ + i sen φ ) entonces =. Si w Profesora: Elena Álvare Sái S 17

18 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos r= e a b= φ+ kπ k Z Esto significa que un número complejo tiene infinitos logaritmos neperianos. Para cada valor de k se tiene una determinación o rama de la función neperiano. Si k=0 se obtiene la rama principal. Si se tienen w con, w C se define Potencias complejas w w log = e Conviene observar que como el logaritmo neperiano de un número complejo tiene infinitos valores, entonces existen infinitos valores para las potencias complejas. Se llamará principal a aquella que corresponde al valor principal de log. 18 Profesora: Elena Álvare Sái

19 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Logaritmo complejo Podemos definir en este momento el logaritmo de un número complejo w cuando la base no es el número e sino otro número complejo. Si, w C se define el logaritmo en base de w como log w = logw log Nota: Se define igual que en R. t log w= t = w t log= logw t= logw log Funciones trigonométricas De la misma forma que hemos ampliado al campo complejo las funciones exponencial y logaritmo en este apartado vamos a extender las funciones trigonométricas a los complejos. En primer lugar observamos que si a R entonces se tiene Por lo tanto, ia e = cosa+ isena ia e = cosa isena ia ia e + e = cosa ia ia e e = isena Extendiendo estas fórmulas al campo complejo definimos el seno y el coseno complejos cos e = i + e i sen e = i e i i A partir del seno y el coseno queda definido también la tangente y la cotangente Profesora: Elena Álvare Sái S 19

20 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos i i sen e e π tg= = i si + kπ k Z cos e e i i ( + ) i i cos e + e cotg= = i si kπ k Z sen e e i i ( ) PROPIEDADES.- Si, w C se cumple (i) sen + cos = 1 sen + w = sen ω+ senw (ii) ( ) cos cos (iii) cos( ) (iv) ( ) 0 (v) ( ) + w = cos cosω sen senw sen = = kπ k Z π cos = 0 = + kπ k Z (vi) Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo π : ( + π) = ( ), cos( + kπ) = cos( ) sen k sen IMPORTANTE: Hay que hacer notar que aunque en R el seno y el coseno toman valores entre -1 y 1, en C no es cierto. Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se pueden definir también por analogía con las funciones circulares, tomando como referencia una hipérbola equilátera unidad, x -y =1, en lugar de una circunferencia. De esta forma el seno hiperbólico es la raón entre la ordenada correspondiente y el semieje transverso de una hipérbola equilátera unidad. En la figura se representa el seno y el coseno hiperbólico y su analogía con el seno y coseno trigonométricos. 0 Profesora: Elena Álvare Sái

21 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación Sea t R entonces las funciones hiperbólicas reales se definen de la forma: Cht t e = + e t Sht t e = e t Extendiendo estas fórmulas al campo complejo definimos el seno y el coseno hiperbólicos. Si C se define Ch e = + e Sh e = e A partir del seno y el coseno queda definido también la tangente y la cotangente Profesora: Elena Álvare Sái S 1

22 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Sh e e π Th= = si ( k+ 1) i k R Ch e + e Ch e + e Coth= = si kπi k Z Sh e e Se verifican las fórmulas fundamentales como enuncia la proposición siguiente. PROPOSICIÓN.- Si, w C se cumple (I) Ch Sh = 1 (ii) Sh( + w) = Sh Chw+ Ch Shw (iii) Ch( + w) = Ch Chw+ Sh Shw Sh = = k i k Z (iv) ( ) 0 π, Ch = 0 = k+ 1 π i, k Z (v) ( ) ( ) (vi) Las funciones seno y coseno hiperbólicos son periódicas de periodo π i, es decir, se Sh + k i = Sh Ch + k i = Ch, k Z verifica ( π) ( π) Ejercicio: Demostrar estas propiedades de las funciones hiperbólicas complejas. Relación entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas: ( ) = cos( ) ( ) = ( ) Ch i Sh isen i Funciones polinómicas. Teorema Fundamental del Algebra A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma Si se tiene el polinomio ( ) n o n i p = a + a1+ a a = 0 con a C ( ) n o n i n p = a + a1+ a a con a C, a 0 Profesora: Elena Álvare Sái

23 Teoría: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación al número natural "n" se le llama grado del polinomio no nulo y al coeficiente "a n " coeficiente director. En el estudio que realiaremos de los polinomios nos centraremos principalmente en el cálculo de sus raíces. Se dice que un número complejo a es raí del polinomio si ( ) ( ) p a = a + a 1 a + a a a a = 0 o p = a + a 1 + a a n o n n n p Ejemplo: Dado el polinomio ( ) 1 = + el punto a i = es raí ya que p( i) i = 1+ = 0 PROPOSICIÓN.- El número complejo "a" es raí del polinomio ( ) p = a + a 1 + a a si y solamente si dicho polinomio es divisible por q( ) = a. o n n PROPOSICIÓN.- Sea ( ) n p = a + a 1 + a a un polinomio con todos los o coeficientes reales. Entonces si o es una raí compleja también lo es su conjugada. n TEOREMA (FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA).- Un polinomio ( ) p = a + a 1 + a a con coeficientes en C se puede escribir de la forma 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) o k k k r 1 r p a n con k 1 + k kr = n ( k i es la multiplicidad de la raí i ) n n Profesora: Elena Álvare Sái S 3

24 Ingeniería de Telecomunicación Teoría: Números Complejos Observación: Este teorema se expresa a menudo diciendo que un polinomio con coeficientes en C de grado n en una indeterminada tiene n raíces complejas. Sin embargo este teorema no da ningún método para su cálculo. Se conocen fórmulas generales para calcular las raíces de un polinomio de grado dos, tres y cuatro, y se ha demostrado la imposibilidad de obtener fórmulas generales para el cálculo de las raíces de polinomios de grado mayor o igual a cinco. Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su corrección. 4 Profesora: Elena Álvare Sái