36 Alfonso Sánchez UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL

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1 36 Alfonso Sánchez UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL GEOMETRÍA 10 Prof. Alfonso Sánchez ENCUENTRO 4 PERPENDICULARIDAD. PARALELISMO POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO Al considerar la posición relativa de dos rectas en el plano, se hace referencia a la posición que puede tener una recta con respecto a otra. Dos rectas tiene solo dos posiciones: son paralelas o son secantes (no paralelas). Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común. Dos rectas son secantes cuando al prolongarse se cortan formando cuatro (4) ángulos. Si dichos ángulos son todos rectos (congruentes entre sí), se afirma que dichas rectas además de secantes son perpendiculares. El paralelismo se representa por medio del símbolo //, el cual se lee: es paralela a, de allí que EF // GH se lee: La recta EF es paralela a la recta GH.

2 Geometría Básica 37 La perpendicularidad se representa por medio del símbolo, el cual se lee: es perpendicular a, de allí que AB CD, se lee: La recta AB es perpendicular a la recta CD. Tanto el paralelismo como la perpendicularidad tienen sentido recíproco, es decir, que si la relación se cumple en un sentido, entonces también se cumple en el sentido contrario. Importante...! EF // GH GH // EF AB CD CD AB Cuando dos rectas se cortan y no son perpendiculares, entonces son rectas oblicuas. Es decir, que no forman ángulos rectos en su intersección. PROPIEDADES a) Por un punto exterior a una recta, pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. El resto de rectas que puedan pasar serán oblicuas o inclinadas. Tal como podemos verificar en la figura anterior, la recta OP es la única perpendicular que se puede trazar a la recta AB, en tanto que las restantes rectas: P M, P N, P Q son oblicuas. Lo antes indicado se puede comprobar por simple medición: la distancia más corta de un punto a una recta es la perpendicular a ella. Otra forma de comprobarlo es basándose en el postulado que dice: La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une. En el caso planteado, para ir del punto P al punto Q el camino más corto es el segmento P Q, ya que el resto de segmentos que permiten ir del punto P al punto Q, resultan ser más largo que el anterior:p M+MO; P N+NO; P Q+QO. Observe que: P O <P M+MO <P N+NO <P Q+QO De lo antes expuesto se puede concluir que: 1. La distancia más corta de un punto exterior a una recta, viene dada por la longitud del segmento perpendicular trazado desde dicho punto a la recta. 2. Por un punto exterior a una recta, pasa una y sólo una recta paralela a dicha recta. 3. El resto de líneas que pasan por el punto exterior serán inclinadas con respecto a la recta. Es decir, serán oblicuas.

3 38 Alfonso Sánchez Importante...! Tener presente que el paralelismo tienen carácter recíproco y también tienen carácter transitivo. Es decir: sí la recta AB es paralela a la recta CD y ésta última es paralela a la recta EF, entonces se cumple que la recta AB es paralela a la recta EF. b) Dos rectas en un plano, perpendiculares a una tercera recta son paralelas entre sí. c) Sí una recta es perpendicular a otra recta, también es perpendicular a toda recta paralela a esa otra recta. RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE Una línea recta que interseca a una curva en dos o más puntos, se le denomina recta secante. Por tanto, se puede llamar recta secante de dos o más rectas a la recta que las corta. Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho (8) ángulos, cuatro en cada punto de intersección.

4 Geometría Básica 39 Los ángulos que se forman, reciben el nombre de: a) b) c) Ángulos internos: Son los que están entre las rectas. 3, 4, 5 y 6 Ángulos externos: Son los que están fuera de las dos rectas. 1, 2, 7 y 8 Ángulos alternos: Son los que están en lados opuesto a la recta secante, pero en puntos distintos de intersección. Ejm: 4 y 6, son alternos. Ángulos alternos internos: 3 y 5 ; 4 y 6 Ángulos alternos externos: 1 y 7 ; 2 y 8 d) e) Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en una misma posición con respecto a la recta secante y la recta considerada, pero en puntos de intersección distintos. Son ángulos correspondientes: 1 y 5 ; 2 y 6 ; 3 y 7 ; 4 y 8. Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos en los cuales los lados de un ángulo son las prolongaciones del otro. Son ángulos opuestos por el vértice: 1 y 3 ; 2 y 4 ; 5 y 7 ; 6 y 8. Toda recta secante forma con dos rectas paralelas ángulos correspondientes iguales. Sí las rectas AB y CD son paralelas, entonces el ángulo de inclinación con el cual la recta secante P Q corta a la recta AB, es el mismo ángulo con que corta a la recta CD; por tanto, los ángulos correspondientes son iguales. Es decir, tienen la misma medida. 1 = 5 ; 2 = 6 ; 4 = 8 ; 3 = 7.

5 40 Alfonso Sánchez En el próximo encuentro se estudiará el porque: I. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales: 1 = 3 ; 2 = 4 ; 5 = 7 ; 6 = 8 II. Los ángulos alternos internos son iguales: 3 = 5 ; 4 = 6 III. Los ángulos alternos externos son iguales: 1 = 7 ; 2 = 8 Una recta secante puede cortar a más de una recta, y esto no afecta en nada a las relaciones entre los ángulos alternos internos y alternos externos, tampoco afecta a los ángulos correspondientes. En la figura anterior se puede verificar que se formaron un total de doce (12) ángulos. Respetando la numeración de las figuras anteriores, la relación entre los ángulos del 1 al 8 son las mismas que en el ejemplo considerado anteriormente. Con respecto a los ángulos 9, 10, 11 y 12, las relaciones que se establecen son las siguientes: I. Los ángulos alternos internos son iguales: 4 y 10 ; 3 y 9 ; 8 y 10 ; 7 y 9 II. Los ángulos alternos externos son iguales: 1 y 11 ; 2 y 12 ; 5 y 11 ; 6 y 12 III. Ángulos correspondientes: 1 y 5 ; 5 y 9 ; 2 y 6 ; 6 y 10 ; 1 y 9 ; 2 y 10 4 y 8 ; 8 y 12 ; 4 y 12 ; 3 y 7 ; 7 y 11 ; 3 y 11 Importante...! 1. Algunas veces se denomina la recta secante como una recta transversal. 2. No olvidar que al hablar de igualdad entre ángulos, se debe tener presente la congruencia entre dichos ángulos.

6 Geometría Básica 41 CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD Consideremos las siguientes figuras Si tomamos dos puntos cualesquiera de cada una de las figuras geométricas, el segmento que se determina por los puntos dados, están incluidos en la figura. De allí que se puede afirmar que toda figura que cumpla con las condiciones antes indicadas es una figura convexa. Por tanto, se puede concluir que una figura geométrica es convexa, si cualquier par de puntos al unirse mediante un segmento, queda incluido en su totalidad en dicha figura. Se puede tomar dos puntos, tal que el segmento determinado al unirse ambos puntos no esta en su totalidad dentro de la figura. Se puede afirmar, en razón de lo antes indicado que una figura es cóncava, si no es convexa. Es decir, si cualquier par de puntos al unirse mediante un segmento, no queda incluido en su totalidad en dicha figura. A manera de conclusión, se pude afirmar: 1. Una figura geométrica A es convexa, si cualquier par de puntos a, b A, determinan un segmento ab incluído en A. Es decir: a, b A, ab A. 2. Una figura geométrica A es concava, si no es convexa. Es decir: si existen un par de puntos a, b A, tales que determinan un segmento ab no incluído en A: a, b A, ab A. ACTIVIDAD ESPECIAL (Justifique su respuesta) 1. Cuántos ángulos rectos forman dos rectas paralelas que es cortada por una recta perpendicular? 2. Cómo se denomina dos rectas que se prolongan y no tiene un punto en común? 3. El carácter reciproco del paralelismo permite inferir que si AS//P Q, entonces...

7 42 Alfonso Sánchez 4. El carácter reciproco de la perpendicularidad permite inferir que si AS P Q entonces El carácter transitivo del paralelismo permite inferir que si AS//P Q y MN//P Q entonces Cuál es la distancia más corta de un punto a una recta? 7. Dos rectas en un plano perpendicular a una tercera son Cuántos ángulos forman tres rectas paralelas cortadas por una secante? Sí conocemos el valor de dos de los ángulos, podemos conocer el valor de los restantes? 9. Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales y ángulos alternos externos iguales? 10. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido son iguales?. Y si están dirigidos en sentido contrario?