GEOMETRÍA ANALÍTICA LA PARÁBOLA

Transcripción

1 LA PARÁBOLA CONTENIDO. Ecuación de la arábola horizontal con vértice en el origen. Análisis de la ecuación. Ejercicios. Ecuación de la arábola vertical con vértice en el origen. Ejercicios 3. Ecuación de la arábola horizontal con vértice fuera del origen 4. Ecuación de la arábola vertical con vértice fuera del origen 5. Forma general de las ecuaciones de la arábola horizontal vertical con vértice fuera del origen 6. Ejercicios 7. Posición general de la arábola su ecuación Esta cónica llamada arábola, se describe geométricamente como la curva que resulta al intercetar un cono recto circular un lano aralelo a la generatriz del cono. Ver Figura Figura Definición: La arábola es el lugar geométrico de todos los untos de un lano que artician de la roiedad de equidistar de un unto fijo llamado foco de una recta fija, que no asa or el unto, llamada directriz. Elementos de la arábola: Al unto fijo llamado foco lo reresentaremos con F, a la recta 5-

2 fija llamada directriz con D D. La distancia entre el foco la directriz lo reresentamos or, en donde >0. El vértice de la arábola con V La recta erendicular a la directriz que asa or el foco or el unto de la arábola llamado vértice (V), se llama eje de la arábola. La osición del eje determina la osición de la arábola. La arábola siemre es simétrica con resecto a su roio eje. De acuerdo a la definición de la arábola, el unto medio entre la directriz el foco ertenece al lugar geométrico se llama vértice. Directriz de la arábola es la recta erendicular al eje de la arábola está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco. Ecuación de la arábola horizontal con vértice en el origen. Emezaremos haciendo que el vértice coincida con el origen del sistema de coordenadas que el eje de la arábola sea el eje de las x. Ver Figura. Puesto que la distancia de la directriz al foco es, las coordenadas del foco son F (, 0 ) la ecuación de la directriz es x - (Figura ). Consideramos un unto M(x, ) del lugar geométrico, trazamos una recta Q M erendicular a la directriz, aralela al eje de las x, or lo que las coordenadas de Q son ( -, ) ; desués se traza la recta M F. De acuerdo a la definición de la arábola, la condición de movimiento de M es: M F Q M () Alicando la fórmula de la distancia entre dos untos: MF ( x - ) + Y de acuerdo a la Figura : Q M R M + Q R 5-

3 En donde: R M x Q R Por lo que: Q M x + Sustituendo en () estos valores, se tiene: ( x - ) + x + Elevando al cuadrado desarrollando: x - + x + x - x + + x + x Simlificando desejando a : x...(i).. Análisis de la ecuación. Considerando totalmente desconocida la forma de la curva, así como su osición sus características rinciales debemos analizar la ecuación (I), ara obtener ese conocimiento. conviene desejar a cada una de las variables de la ecuación, or lo que: ± x...(α) x...(β) El análisis de la ecuación consta de las siguientes fases: Primera: Segunda: Saber si la curva es simétrica o asimétrica. La ecuación (α) demuestra que la curva es simétrica con relación al eje de las abscisas, orque ara un valor de x se obtienen dos valores de iguales de signos contrarios. En cambio, la curva es asimétrica con relación al eje de las ordenadas, orque según la ecuación (β), ara cada valor de sólo se obtiene un valor de x. Determinar los untos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas. Si x0, resulta 0, lo cual significa que el único unto común de la curva con los ejes 5-3

4 es el origen del sistema de coordenadas. Tercera: Cuarta: Determinar las zonas donde existe donde deja de existir la curva. La ecuación (α) ermite ver que cuando el arámetro es ositivo, la variable x sólo debe recibir valores ositivos orque de otro modo los de resultan imaginarios. Esto significa que, cuando >0, la curva solamente existe a la derecha del origen del sistema la región izquierda es zona imaginaria de la arábola. En cambio, si <0, la ecuación solamente existe a la izquierda del origen del sistema. Investigar si la curva es abierta o cerrada. La misma ecuación (α) justifica que la curva es abierta, orque si x aumenta indefinidamente, también aumenta en la misma condición. En síntesis, la arábola tiene la forma aroximada que se muestra en la Figura 3. En ambos casos la ecuación es de la forma (I) se dice que la arábola es horizontal con vértice en el origen. LADO RECTO Se llama ancho focal o latus rectum de la arábola, la magnitud del segmento de recta Q Q erendicular al eje de la arábola que asa or el foco. Para calcularlo se hacen simultáneas la ecuación x con la ecuación de la arábola x, obteniéndose así que: Extraendo raíz cuadrada en ambos miembros: ± Por lo tanto: Ancho focal o lado recto Q Q A la distancia que ha entre el foco de una arábola cualquier unto de la misma, se 5-4

5 llama radio focal.. Ejercicios. Encontrar las coordenadas del foco la ecuación de la directriz ara la arábola cua ecuación es 8 x. Comarando con la ecuación (I), tenemos: Entonces, las coordenadas del foco son: F (, 0 ) Y la ecuación de la directriz es: x - -. Encontrar las coordenadas del foco la ecuación de la directriz ara la arábola con ecuación - 6 x. Comarando la ecuación dada con la ecuación (I), tenemos: Como es negativo, entonces las ramas de la arábola son hacia la izquierda, or lo que las coordenadas del foco son: F ( - 4, 0 ) 5-5

6 Y la ecuación de la directriz es: x 4 3. Una arábola horizontal con vértice en el origen asa or el unto A(-,4). Determinar su ecuación. Dicha ecuación debe tener la forma de la fórmula (I) las coordenadas del unto deben verificarla, or lo que: 6 ( - ) La ecuación de la arábola es: - 8 x La gráfica se muestra en la Figura 4. Ecuación de la arábola vertical con vértice en el origen. Para encontrar la ecuación de la arábola vertical con vértice en el origen del sistema V(0,0), reviamente necesitamos hacer constar que la ecuación a conocida x, también se uede exresar de acuerdo con la Figura 5: Ya sabemos que: x Pero de acuerdo a la Figura 5 tenemos: ( B M ) A M Se observa en dicha Figura 5 que, B M reresenta la distancia de un unto cualquiera de la curva a su eje de simetría, en tanto A M es la distancia del mismo unto cualquiera a la erendicular al eje que asa or el vértice. 5-6

7 Primer método. Esta manera de escribir la ecuación los significados de los segmentos B M A M, nos ermitirán deducir la ecuación de la arábola vertical con vértice en el origen las corresondientes a otras osiciones de la arábola. Aoándonos en la Figura 6 alicando los concetos anteriores, ara este caso se tiene: ( Q M) R M Pero: Q M x R M Sustituendo en la exresión anterior se tiene: x (II) Segundo método. Por otra arte, basándose en la Figura 6 de acuerdo a la definición de la arábola, tenemos: M N MF...() Alicando la exresión ara determinar la distancia entre dos untos, obtenemos: MN MF ( x - x ) ( x - 0 ) + ( + ) + ( - ) ( + ) x + ( - ) Sustituendo en la ecuación (): ( + ) x + ( - ) Elevando al cuadrado: ( + ) x + ( - ) 5-7

8 Desarrollando: ( + ) x + ( - ) + + x 4 Simlificando: x - Desejando a x : x...(ii) Como se ve, hemos obtenido la misma ecuación (II) de la arábola vertical con vértice en el origen del sistema de ejes cartesianos. En donde también se cumle que si el arámetro es ositivo, la concavidad de la curva está dirigida hacia arriba, si es negativo, hacia abajo, con vértice en (0,0), foco en (0,/) ecuación de la directriz.. Ejercicios. Encontrar las coordenadas del foco la ecuación de la directriz ara la arábola x 6. Comarando la ecuación dada con la fórmula (II), tenemos que: Entonces, las coordenadas del foco son: F 3 0, Y la ecuación de la directriz es:

9 . Escribir la ecuación de la arábola con foco en F(0,5) cua ecuación de la directriz es 5. Como el foco está sobre el eje, indica que es una arábola vertical con vértice en el origen, or lo que la forma de la ecuación está dada or la fórmula (II). Además, or definición es la distancia del vértice al foco, or lo que 5. Por tanto, 0 0, lo que sustituido en la ecuación, se tiene: x 0 3. Una arábola de eje vertical, vértice en el origen, tiene su foco en el unto F(0,). Determinar su ecuación. La forma de la ecuación es igual a la fórmula (Il). En este roblema, según datos: 4 8 Así que la ecuación es: x 8 3. Ecuación de la arábola horizontal con vértice fuera del origen. Las ecuaciones de la arábola vistas anteriormente, son válidas solamente en el caso de que el vértice esté en el origen que el eje de simetría de la arábola sea el eje x o el eje. Veamos el caso en que el vértice está en un unto cualquiera que no es el origen que el eje de simetría de la arábola es aralelo al eje x. Primer método. Para deducir la ecuación corresondiente, nos aoaremos en la definición de la arábola. El vértice está ahora en V(h, k) la distancia del vértice al foco del vértice a la directriz sigue siendo, como se ve en la Figura 7: De la Figura 7 de acuerdo a la definición, tenemos. M N MF () 5-9

10 Alicando la ecuación de la distancia entre dos untos, tenemos: MN MF x -(h- ) x -(h- ) x -(h+ ) +( - ) +( -k) +0 x - ( h - ( x - h + Sustituendo en () elevando al cuadrado ambos miembros: ) ) ( x - h - Desarrollando: x - ( h + ) ) + ( - k + ( - k ) ) x + h hx + x h x + h + + hx x + h + ( k) + x Simlificando: h h x + x -hx +h + 4 Reduciendo términos semejantes: - h x - x +h+( -k ) x h ( k) (x h) ( k) Finalmente, rearreglando la ecuación anterior: ( - k ) ( x - h )...(III) Es la ecuación de una arábola horizontal con vértice en ( h,k ), foco en h +, k ecuación de la directriz x h

11 Segundo método. Otra forma de obtener la ecuación de la arábola horizontal con vértice fuera del origen es alicando los significados de los segmentos B M A M vistos con anterioridad que alicados a la Figura 8, tenemos: ( C M ) B M tiene: Solamente que en la Figura 8 se C M D M - D C - k B M A M - A B x - h Así que la ecuación es: ( - k ) ( x - h )...(III) Es decir que, hemos obtenido la misma ecuación ordinaria (III) de la arábola horizontal con vértice en V(h, k). 4 Ecuación de la arábola vertical con vértice fuera del origen. Obtendremos ahora la ecuación de la arábola vertical con vértice fuera del origen, de acuerdo a la siguiente Figura 9: Primer método. De la definición de la arábola, tenemos que: M N MF...() Alicando la fórmula ara la distancia entre dos untos: MN ( x - x ) + - k k - - k - MF ( x - h ) + - k + Sustituendo en (): - k - ( x - h ) + - k + 5-

12 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: - k + ( Desarrollando: x - h ) + - k - + k k + - k ( x - h ) + + k k - + k Simlificando: - k + - k ( x - h ) - k ( x - h ) ( - k ) ( x - h ) Rearreglando la ecuación: - k - + k ( x - h ) ( - k ) (IV) Esta es la ecuación de una arábola vertical con vértice en (h, k), foco en h, k + ecuación de la directriz Segundo método. k -. De acuerdo a la Figura 9 el significado de los segmentosbm AMa vistos alicados. En este caso tenemos que la exresión x, se uede escribir de la siguiente manera: CM BM...() Pero: CM DM - CD x - h BM AM AB k Sustituendo en (): (x h) ( k)... (IV) Como se ve hemos obtenido la misma ecuación (IV). En estos dos últimos casos sigue siendo verdad que del signo del arámetro, deende hacía donde está dirigida la concavidad de la curva. Así mismo en los cuatro casos tratados, la ecuación reresentativa de la arábola 5-

13 solamente contiene una de las variables a la segunda otencia, ues la otra aarece a la rimera. 5 Forma general de las ecuaciones de la arábola horizontal vertical con vértice fuera del origen. Las ecuaciones ordinarias (III) (IV) que hemos obtenido de la arábola horizontal vertical con vértice fuera de origen del sistemas cartesiano, las exresaremos cada una de ellas en su forma general, como se ve en seguida. Desarrollando la ecuación común, de la arábola horizontal tenemos: ( k) k + k (x h) x h x k + k + h 0...() La comaramos con la ecuación general de segundo grado. Ax + Bx + C + Dx + E + F 0 Podemos observar que: A 0 B 0 C D E k F k + h Sustituendo estos valores en la ecuación () se tiene: + Dx + E + F 0... (V) Que es la forma general de la ecuación de la arábola horizontal. De la misma forma ara la arábola vertical artimos de: (x h) ( k)...() Desarrollando: x hx + h + k 0 Comarando con la ecuación general Ax + Bx + C + Dx + E + F 0 5-3

14 Se tiene: A B 0 C D h E F h + h Sustituendo en la ecuación (). x + Dx + E + F 0... (VI) Que es la forma general de la ecuación de la arábola vertical. 6. Ejercicios. Hallar el vértice, lado recto, foco, ecuación de la directriz trazar la gráfica de la arábola cua ecuación es: x - 4 x Comletando el trinomio cuadrado erfecto en x ara encontrar los elementos edidos: x - 4 x ( x ( x - ) ( - 4 x ) x - ) ( + ) Que es la ecuación de una arábola vertical con vértice fuera del origen, en la cual: V(, ); lado recto 4 Por tanto: 4 Por lo que la ecuación de la directriz es: k

15 Y las coordenadas del foco son: F h, k + ; F (, - +); F (, - ) La Figura 0 muestra gráficamente los resultados obtenidos.. Determinar la ecuación de la arábola de eje vertical, con vértice en el unto V(-,), sabiendo que asa or el unto A(,-3). La forma de la ecuación es la dada or la fórmula (IV). Como h k, según datos del vértice V, tendremos: ( x + ) ( - ) Las coordenadas del unto A deben satisfacer la ecuación anterior, es decir: ( + ) (- 3 - ) 9 (- 5) Por tanto: 9 5 Sustituendo en la fórmula (IV), se obtiene la ecuación de la arábola edida: 9 ( x + ) - ( - ) 5 3. Demuestre que 3 x es la ecuación de una arábola. Determínese su ancho focal, su vértice, su foco la ecuación de su directriz. En la ecuación dada, basta observar que solamente una de las variables aarece elevada a la segunda otencia ara asegurar que la ecuación sí reresenta una arábola. Sin embargo, ara maor seguridad odemos llevarla a la forma tio, que además servirá ara determinar los elementos solicitados. Comletando el trinomio cuadrado erfecto en, se tiene: x - ( - ) 4 3 x ( x - ) 5-5

16 En donde: Ancho focal 3 Vértice : B(,) 3 3. Por tanto : 4 7 Foco : F, 4 La ecuación de la directriz es: x 4 La Figura muestra gráficamente los resultados obtenidos. 4. La directriz de una arábola es el eje de las x su foco es el unto F(a,0). Encontrar su ecuación. La ecuación debe ser de la forma exresada en la fórmula (III), ara la cual, según los datos, se tiene: a h ; k 0 ; a Sustituendo en la fórmula (III), se obtiene la ecuación de la arábola edida: a a x - 5. Los untos de una curva tienen la siguiente roiedad: su ordenada más 3 es igual a su distancia al unto A 0, -. Determinar qué clase de curva es. Sea M(x, ) un unto cualquiera de la curva a determinar. Entonces, de acuerdo con las roiedades establecidas con el enunciado, se tiene: 3 + M A ( x - 0 ) + + Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación: x

17 Reduciendo semejantes: términos x + 4 Finalmente, rearreglando la ecuación, se obtiene: ( x - 0 ) ( + ) Por la ecuación obtenida, vemos que se trata de una arábola vertical, con los siguientes elementos: Lado Recto Ancho Focal Vértice : V(0, ) Foco : F(0, /) 3 Ecuación de la Directriz : La Figura, muestra gráficamente los resultados obtenidos. 6. Probar que toda arábola cuo eje de simetría es el eje de las abscisas, tiene una ecuación de la forma x a + b. Determinar la ecuación articular de la arábola que asa or los untos P(3,) Q(-,-). En su forma tio la ecuación es: (x - h) Desarrollando desejando a x, se tiene: x - h x + h x h + + h Y si convenimos en hacer: a h b 5-7

18 Nos queda: x a + b Las coordenadas de los untos P Q deben verificar esta ecuación: Para P: Para Q: 3 4 a + b...() - a + b...() Restando () de () desejando a a, se obtiene: 3 a 5 5 a 3 Sustituendo en (): 5 6 b Sustituendo los valores de a b, se obtiene la ecuación articular edida: 5 x 3 3 x x x + 5 Finalmente: 3 5 x + 3 Que es la ecuación de la arábola que asa or los untos P Q. 7. Probar que una arábola cuo eje es aralelo al de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma A x + B x + C encontrar la ecuación de una arábola tal que asa or los untos: O(0,0), P(,0) Q(3,6). De la forma común de la ecuación de la arábola ( x - h ) ( - k ) ; desarrollando, reduciendo términos semejantes desejando a, se tiene: x hx + h k 5-8

19 x x Al hacer: hx + h + h h x + + k k A, h - B h + k C Nos queda: A x + B x + C Las coordenadas de los tres untos dados deben verificar esta ecuación: Para O: 0 C...() Para P: 0 A + B...() Para Q: 6 9A + 3B...(3) De (): B - A Sustituendo en (3): 9 A - 3A 6 6 A 6 A Sustituendo A en B: B - La ecuación solicitada es: x - x 8. Determinar los untos donde la recta - x 4 corta a la arábola - x + 0. Encontrar los untos donde la arábola corta a los ejes de coordenadas. Comrobar los resultados construendo una gráfica. De las ecuaciones dadas: - x 4... () - x -...() 5-9

20 Restando () de (): - x + x Rearreglando la ecuación: x - x Resolviendo la ecuación anterior, se tiene que las raíces son: x 3, x - Según la ecuación (): x + 4 Sustituendo los valores de x x, se obtiene: ; Los untos de intersección de la recta la arábola son: A 7 3, B (-,) Según (): Para 0: - x -. Por tanto : x ± Las intersecciones de la arábola con el eje de las x son: C (, 0 ), D ( -, 0 ) Cuando x0, según (): + 0. Por tanto : - La intersección de la curva con el eje de las es el vértice: V ( 0, - ) Para hacer la gráfica (Figura 3) aroximada, le damos forma tio a la ecuación de la arábola: 5-0

21 - x Por tanto: (x 0) ( + ) 9. Un arco tiene la forma de una arábola con el eje vertical, la altura de su centro es de 0 íes tiene en su base un claro de 30 íes. Determínese su altura a la distancia de 5 íes de un extremo. Según el enunciado exresamos los datos en la Figura 4. Según el enunciado observando la Figura 4, se uede decir que: La ecuación de la curva es de la forma: x ( k) Y como V(0,0), sustituendo queda: x ( - 0 ) Las coordenadas del unto A deben verificar la ecuación. Sustituendo: 5 ( - 0 ) La ecuación definitiva es: x - 45 ( - 0 ) Las coordenadas del unto Q deben verificarla también: ( - 0 )

22 Desejando a ' se obtiene la altura edida, o sea: Posición general de la arábola su ecuación. que: De acuerdo a la Figura 5, sabemos Q M R M () Alicando la fórmula ara la distancia de un unto a una recta dada, se tiene: Q M - m + m x - b ; R M - m + m x - b Al sustituir en () obtenemos la ecuación de la arábola corresondiente a esta osición general: -.mx b + m mx b + m... (VII) Desués de efectuar todas las transformaciones del caso, se uede exresar esta ecuación en la siguiente forma general: A x + B x + C + D x + E + F 0 La intervención del llamado término rectangular x, es síntoma seguro de que el eje de simetría de la arábola está inclinado con relación a los ejes del sistema de coordenadas. EJEMPLO: Determínese la ecuación de la arábola que tiene or vértice el unto V(,), or eje de simetría la recta x + que asa or el unto P(3,7). Haciendo la gráfica (Figura 6) se tiene según datos: La ecuación de la erendicular al eje de simetría que asa or el vértice, es de la forma: - m ( x - x ), or lo que ara nuestro caso articular, tenemos: - - ( x - ) - x + 5-

23 Por tanto: x + 3 Una vez que conocemos la ecuación anterior, sabemos que: Q M R M () Pero: Q M - x - ; R M + x - 3 Sustituimos en () estos valores: ( - x - ) + x - 3 Las coordenadas del unto P debe verificarla: 9 7 Por tanto: 9 4 La ecuación es: ( - x - ) x - 3 Haciendo oeraciones ara simlificar: 7 ( - x - ) Desarrollando: x 9 ( + x - 3 ) x x x - 7 Reduciendo términos semejantes: 7 x - 4 x x Que es la ecuación exresada en su forma general. 5-3

24 Nombre de archivo: arabola Directorio: C:\Geometria_analitica Plantilla: C:\WINDOWS\Alication Data\Microsoft\Plantillas\Normal.dot Título: V Asunto: Autor: Pablo Fuentes Ramos Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: 04/03/0 0: P.M. Cambio número: 5 Guardado el: 9/05/0 06:04 P.M. Guardado or: Pablo Fuentes Ramos Tiemo de edición:,343 minutos Imreso el: 9/05/0 06:05 P.M. Última imresión comleta Número de áginas: 3 Número de alabras: 3,37 (arox.) Número de caracteres: 8,453 (arox.)