EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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1 MÓDULO 1 Curso: Matemática EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO Introducción Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan profundizar los conocimientos adquiridos durante su instrucción de educación media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor manera posible, en un aprendizaje matemático más significativo y perecedero. 1

2 Módulo 1. Los Números Reales. Duración: 2 semanas Objetivos Competenciales: 1. Define y ejemplifica conjuntos. 2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos.. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los reales.. Resuelve operaciones básicas entre conjuntos. Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales. Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto. Ejemplos de Conjuntos: 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro. 2. Las letras del alfabeto.. Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. Un subconjunto es una parte de un conjunto. De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos. 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 5 años. 2. Las vocales.. Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman parte de un conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento pertenece a un conjunto es y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo. Ejemplo. Sea el conjunto A = {2,,5,7,11} Podemos decir que A y se lee es elemento o pertenece al conjunto A. Sin embargo, 12 A y se lee 12 no es elemento de A. CONJUNTOS NUMÉRICOS. La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos ha evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano. En la actualidad conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las dificultades epistemológicas de los aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos. 2

3 A. Los Números Naturales: son los números que utilizamos para contar. Se denotan mediante el símbolo N y se definen como N = 1, 2,,, 5, 6, 7, 8, Otras nociones básicas: a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r. Ejemplo: Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 2, 0, 6,2,8, 5, 60, 66, 72, b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de manera exacta. Ejemplo. Divisores de 15 = 1,, 5, 15 Tipos de Números a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en 0, 2,, 6, 8. Ejemplos de números pares b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en 1,, 5, 7, 9. Ejemplos de números impares c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio número. Ejemplos de números primos = 2,, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 2, 29, 1, 7, 1, d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos. Ejemplos de números compuestos = 2, 5, 78, 107, 9, 26, 59, 12, 9, 169, e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos. 5 y son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5, la diferencia es 2. B. Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo Z es el conjunto formado por: Los enteros positivos: Los enteros negativos: El número cero. Z + = +1, +2, +, +, +5, +6, +7, +8, Z - = -1, -2, -, -, -5, -6, -7, -8, Valor absoluto de un número entero: se define como sigue: x, si x > 0 x = { 0, si x = 0 } x, si x < 0 Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa su valor numérico pero no su signo.

4 Los símbolos de relación de orden son: a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9 b. Menor que <, Ejemplo, -2 < +2 c. Igual que =, Ejemplo, -5 = -5 = +15 = 15 0 = 0 Operaciones Básicas: 1. Adición con números enteros. Los términos de la adición son sumandos (números que se van a adicionar) y suma o total (resultado de la adición) Para adicionar dos o más números enteros se deben seguir las siguientes reglas: Si los sumandos tienen signos iguales, se adicionan los valores absolutos de los sumandos y el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto. (-) + (-) = -7 (+) + (+6) = +10 Si los sumandos tienen signos diferentes, se restan los valores absolutos de los sumandos y el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto. (-6) + (+1) = +7 (+10) + (-2) = Sustracción: Los términos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia. La resta se indica mediante el signo de menos (-). Para la sustracción se debe recordar que el signo de resta le cambia el signo al sustraendo. Luego se aplican las mismas reglas de la adición. (-12) (+1) = = -25 (+15) (-18) = = + (+20) (-17) = = +7 (-19) (-25) = = +6. Multiplicación: Los términos de la multiplicación son factores (los números que se multiplican) y producto (resultado de la multiplicación) La multiplicación se puede indicar simbólicamente de tres formas: a. Empleando el símbolo de por:

5 b. Utilizando signos de agrupación: llaves, paréntesis (), corchete c. Utilizando un punto (.) o un asterisco (*). Para multiplicar dos o más números enteros se aplican las siguientes reglas: + + = = = = - (-8) (-) = = * +2 = División: Los términos de la división son dividendo, divisor y cociente. La división se puede denotar mediante el símbolo o por medio de una barra horizontal de la forma m n. Para dividir dos números enteros se siguen las mismas reglas de los signos de la división. + + = = = = = = + C. Los Números Racionales: Este conjunto se denota con el símbolo Q. Se escriben de la forma a b. A los elementos del conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones. Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad. Ejemplo: Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras dos personas más. Observe la figura. Qué cantidad de chocolate le corresponde a usted? 5

6 En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? Respuesta: Cuántas partes le corresponden a usted? Respuesta: 1 Al escribir la fracción resulta 1 El número 1 recibe el nombre de numerador y el número recibe el nombre de denominador Los números racionales pueden ser: a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. 2 1 b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. 5 c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria. Representación Gráfica de Racionales. Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual se toman porciones o secciones. a) significa que una unidad se divide en partes iguales de las cuales se toman b) Si la fracción es, la unidad se divide en cinco partes iguales, y se toman tres de ellas. 5 c) Si la fracción es 5, esto nos conduce a representarla como: Operaciones con números racionales: 1. Adición: para adicionar dos números racionales debemos considerar los denominadores. Si los denominadores son iguales se dicen homogéneas y si tienen denominadores diferentes se 6

7 llaman heterogéneas. Las reglas de los signos son las mismas que se aplican cuando se usan números enteros. Si las fracciones son homogéneas se adicionan los numeradores y se escribe el mismo denominador = = + 5 Si las fracciones son heterogéneas se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, este número se divide entre cada denominador de los sumandos y el cociente obtenido se multiplica por cada numerador. Luego, se adicionan las fracciones homogéneas resultantes (2) + 2(5) + (1) = = 12 Los denominadores son, 6 y = Recordemos cómo se calcula el mínimo común de los denominadores Luego, se multiplica 2 2 = 12 = Veamos un segundo ejemplo, = (1) 15() 12(2) = = = En este ejemplo anterior, la fracción mixta se convierte a fracción impropia multiplicando el denominador por el número entero y a este producto se le añade el numerador, este resultado será el numerador de la fracción impropia, el denominador del mixto es el mismo de la fracción impropia. Ejemplo. Convertir 5 2 a fracción impropia (5 7) + 2 = 7 7 = = 7 7 Para convertir una fracción impropia a mixta se debe dividir el numerador entre el denominador; el cociente será el entero, el residuo de la división es el numerador y el diviso será el denominador. Ejemplo. Convertir 17 = 17 9 =

8 2. Multiplicación: en esta operación se pueden simplificar numeradores con denominadores. Luego, se multiplican todos los numeradores y todos los denominadores = = = = 2 21 Cuando se tienen fracciones mixtas, de forma análoga, debe convertirlas a fracciones impropias.. División: para dividir dos números racionales se debe invertir la fracción divisor = = = = = = = = = +1. Potenciación. Los términos de la potenciación son base, exponente y potencia (resultado). La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un mismo número (base) un número de veces (exponente). Ejemplo. Determine la potencia de: a. 5 5 = = 125 b. ( 7 ) = = Radicación: Es una operación que consiste en determinar el número que actúa como base n cuando se conoce la potencia y el exponente. Se expresa de la forma general como a Los elementos de la potenciación son radicando, índice y raíz. La radicación es una operación inversa a la potenciación. = b Ejemplo. índice - radicando Para la expresión -7 raíz o solución = 7 Para obtener la raíz enésima de un número dado, emplearemos el método de descomposición de factores o factorización, el cual consiste dividir el número especificado entre los números primos que lo dividan. Un número primo es aquel que solamente es divisible por él mismo y por el número uno. Recuerda que: Números primos = 2,, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 2, 29, 1, 7, 1,, 7, 8

9 Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades, a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 161 por separado. Debo expresar los divisores que sean iguales como potencias b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser exacta = 2 11 = 2 11 = = 2 11 = Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades, a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 161 por separado. Debo expresar los divisores que sean iguales como potencias. En este ejemplo observamos que el índice del radical es, por lo tanto, debemos tomar los números de en =25 b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser exacta. 9

10 = = = = Vemos que la raíz es inexactas. Esto nos conduce a otro sistema numérico llamado irracionales. Los números racionales se pueden escribir de forma decimal y viceversa. Ejemplo, escribir 12 5 de forma decimal. Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador = 12 5 = 2, En algunos casos, la parte decimal resulta infinita y periódica (se repite el mismo digito). Ejemplo, escribir 11 de forma decimal. Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador. 11 = 11 =, En ese caso, se expresa mediante una barrita horizontal por encima del dígito que se repite. De la forma,, 6 Lectura de números decimales: 0, Décimo 1 10 Centésimo Milésimo 0, treinta y cuatro centésimos Diez milésimo Cien milésimo , tres enteros con doce mil quinientos sesenta y siete millonésimas. 1,0026 un entero con veintiséis diez milésimas. 0,01 trece milésimas 1 Millonésimo Para leer los números decimales consideramos cuántos dígitos hay después de la coma decimal Para adicionar números decimales se debe colocar la coma debajo de la coma, es decir, décimo debajo de décimo, centésimos debajo de centésimos y así sucesivamente. 10

11 Ejemplo. Adicionar 12, + 52, ,1 = 5,6 1 2, 5 2, , 1 5, 6 Para multiplicar números decimales se procede de forma análoga como se multiplican los números enteros. Ejemplo, multiplicar,5 0,68,5 0, ,6 D. Los Números Irracionales: son aquellos números cuya parte decimal es infinita y no periódica. Este conjunto se denota con el símbolo I. Estos surgen de raíces inexactas. Dos o más radicales se dicen semejantes si tienen el mismo el mismo índice y el mismo radical. Radicales semejantes Radicales no semejantes 5; ; 6 7 m 2 ; m ; 5 Para adicionar números irracionales se adicionan los factores numéricos que preceden al signo de radical. El resultado lleva el mismo índice y la misma cantidad sub radical. Adicionar = ( ) 5 = (1 21) 5 = 8 5 Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los factores numéricos y las cantidades sub radicales. Multiplicar 8 18 ( 8 12 )( 2) = ( 8 ) 12 2 = = = (2 2) 18 = E. Los Números Reales: es el conjunto formado por los irracionales y los racionales. Este conjunto se denota con el símbolo R = Q I Los números reales contienen a los naturales, los enteros, los Q R I racionales y los irracionales. 11

12 Ejercicios de Refuerzo: Marque en la casilla una equis para indicar si el número dado es natural, entero, racional, irracional o real. Número Natural Entero Racional Irracional Real ,5 Aporte ejemplos de múltiplos y divisores de los números dados. Número Múltiplos Divisores Marque con una equis (X) la casilla que corresponda al tipo de número. Número Par Impar Primo Compuesto Dada la siguiente figura, escriba de forma numérica el número racional que representa. Escriba los siguientes números decimales de forma alfabética. a. 1125,5 b. 0,007 12

13 c. 9,9995 d. 0,15 e. 10,10 f. 2,78951 Escriba de forma numérica cada cantidad. a. Tres enteros con diecinueve diez milésimas. b. Un entero con quinientos millonésimas. c. Trece mil enteros con cinco centésimas. d. Un entero con cien cien milésimas. Ejercicios Retadores Resuelva las siguientes operaciones con números reales , ,5 + 8,1256 6, { 12 + [ 82 + ( )(7 11)] 15} ( 15 17)

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