Apuntes de Matemática Discreta 12. Ecuaciones Diofánticas

Transcripción

1 Apuntes e Matemática Discreta 2. Ecuaciones Diofánticas Francisco José González Gutiérrez Cáiz, Octubre e 2004

2 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas ii

3 Lección 2 Ecuaciones Diofánticas Contenio 2. Generaliaes Definición e una Ecuación Diofántica Particular General Generaliaes Estas ecuaciones reciben este nombre en honor a Diofanto, matemático que trabajó en Alejanría a meiaos el siglo III a.c. Fue uno e los primeros en introucir la notación simbólica en matemáticas y escribió seis libros sobre problemas en las que consieraba la representación e números anterior como suma e cuaraos. 2.. Definición Una ecuación iofántica es una ecuación lineal con coeficientes enteros y que exige soluciones también enteras. 2.2 e una Ecuación Diofántica Veremos un teorema que nos permite saber cuano una ecuación e este tipo tiene solución y aporta un métoo para calcular una solución particular e la misma. Matemático griego e la escuela e Alejanría (a.c. 325-a.c. 40). Dejó trece libros e aritmética, e los cuales sólo los seis primeros nos han llegao, y otro sobre los Números angulares. Aunque tomó como ejemplo para sus métoos los trabajos e Hiparco, su teoría completamente nueva e ecuaciones e primer grao y la resolución que io a las e seguno hacen e él un innovaor en este campo. Sus obras han constituio tema e meitación e sus contemporáneos griegos, y e los árabes, y, más tare, e los geómetras el renacimiento. El mismo Viete en su obra capital, reprouce sus proposiciones, aunque sustituye los problemas abstractos por cuestiones e geometría resolubles por álgebra. 343

4 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas 2.2. Particular Sean a, b y c tres números enteros. La ecuación lineal ax + by = c tiene solución entera si, y sólo si el máximo común ivisor e a y b ivie a c. Demostración Sólo si. En efecto, supongamos que los enteros x 0 e y 0 son solución e la ecuación ax + by = c, es ecir, ax 0 + by 0 = c. Pues bien, si = m.c..(a, b), entonces = m.c..(a, b) = a y b = ax 0 + by 0 = c Si. Recíprocamente, supongamos que = m.c..(a, b) es ivisor e c. Entonces, ( a m.c..(a, b) = = m.c.., b ) = p, q Z : a p + b q = = a cp + bcq = c sieno c/ entero ya que, por hipótesis, es ivisor e c. Ahora bastaría tomar x 0 = cp e y 0 = cq y tenríamos que ax 0 + by 0 = c es ecir los enteros x 0 e y 0 son solución e la ecuación. La solución encontraa se llamará solución particular el sistema. Obsérvese que este teorema aemás e asegurar la existencia e solución para una ecuación e este tipo, ofrece un métoo para calcularla. El siguiente ejemplo aclarará estas cuestiones. Ejemplo 2. Encontrar una solución para la ecuación iofántica 525x + 00y = 50 Veamos si existe solución entera para la ecuación. Calculamos el máximo común ivisor e 525 y 00 meiante el algoritmo e Euclies. es ecir, m.c.. (525, 00) = 25 y como 25 ivie a 50, el teorema anterior asegura la existencia e solución entera para la ecuación. Calculamos una solución para la ecuación. Siguieno el métoo inicao en la emostración el teorema, hallamos los coeficientes e la combinación lineal el máximo común ivisor e 525 y 00. Bastaría seguir el algoritmo e Euclies hacia atrás. 25 = ( 5)

5 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez por tanto, los coeficientes buscaos son p = y q = 5 y según el citao teorema una solución para la ecuación sería x 0 = cp e y 0 = cq one c es el término inepeniente e la ecuación y el máximo común ivisor e los coeficientes e x e y. Consecuentemente, x 0 = 50 = 2 25 e y 0 = 50 ( 5) 25 = General Sean a, b y c tres números enteros no nulos tales que el máximo común ivisor e a y b ivie a c. Entonces la solución general e la ecuación ax + by = c es x = x 0 + k b y = y 0 k a one x 0 e y 0 es una solución particular e la misma y k es cualquier número entero. Demostración Sea el máximo común ivisor e a y b. Por hipótesis ivie a c luego el teorema 2.2. asegura la existencia e una solución particular x = x 0 e y = y 0 para el sistema. Entonces, ax 0 + by 0 = c Diviieno ahora ambos miembros e esta ecuación por el máximo común ivisor e a y b, tenremos, a x 0 + b y 0 = c sieno c entero y a, b números enteros primos entre sí, luego el máximo común ivisor e ambos es y como ivie a c, el teorema 2.2. asegura la existencia e una solución particular x, y para esta ecuación, luego Pues bien, a x + b y = c a x 0 + b y 0 = c a x + b y = c = a (x x 0 ) + b (y y 0 ) = 0 = a (x x 0 ) = b (y 0 y ) y al ser b primo con a, iviirá a x x 0, luego b a (x x 0 ) b x x 0 k Z : x x 0 = k b = x = x 0 + k b. 345

6 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas Sustituimos el valor e x x 0 en a (x x 0 ) + b (y y 0 ) = 0 y resulta a k b + b (y y 0 ) = 0 = a k + y y 0 = 0 = y = y 0 k a. Veamos, finalmente, que x e y es solución e la ecuación ax + by = c. En efecto, ( ax + by = a x 0 + k b ) ( + b y 0 + k a ) = ax 0 + a k b + by 0 b k a = ax 0 + by 0 = c x = x 0 + k b y = y 0 k a es solución e la ecuación ax + by = c cualquiera que sea k Z. La llamaremos solución general e icha ecuación. Nota 2. En el ejemplo anterior, teníamos que x 0 = 2 e y 0 = 0 era una solución particular para la ecuación 525x + 00y = 50 luego una solución general e la misma, será: sieno k cualquier número entero. x = 2 + k = 2 + 4k y = 0 k = 0 2k Ejemplo 2.2 Calcular las soluciones enteras e la ecuación iofántica x + 550y = 88 x + 550y = 88 Veamos si la ecuación amite solución entera. Calculamos el máximo común ivisor e y 550 por el algoritmo e Euclies

7 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez m.c.. (, 550) = 22 y como 22 ivie a 88, término inepeniente e la ecuación, por el teorema 2.2. se sigue que la ecuación propuesta amite una solución particular x = x 0, y = y 0. Calculamos esta solución particular. Volvieno hacia atrás en el algoritmo e Euclies, tenremos 22 = ( 8) x 0 = es una solución particular e la ecuación. Calculemos ahora la solución general. 88 ( 8) 22 y 0 = = 4 = 32 Según lo visto en el teorema si una solución particular e la misma es x 0 = 32 e y 0 = 4, entonces la solución general es: x = 32 + k 550 = k 22 y = 4 k 22 = 4 3k sieno k cualquier número entero. Ejemplo 2.3 Una persona va a un supermercao y compra 2 litros e leche, unos e leche entera y otros e esnataa, por 200 ptas. Si la leche entera vale 30 ptas. más por litro que la esnataa, y ha comprao el mínimo posible e leche esnataa, Cuántos litros habrá comprao e caa una? Si x el número e litros e leche entera, entonces 2 x es el número e litros e leche esnataa y si y es el precio e la leche esnataa, entonces el precio e la leche entera será y Como el precio total e la leche compraa es 200, tenremos que x(y + 30) + y(2 x) = 200 e aquí que o sea, xy + 30x + 2 xy = x + 2y = 200 Veamos si esta ecuación amite soluciones enteras. Hallamos el máximo común ivisor e 30 y 2 por el algoritmo e Euclies

8 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas m.c.. (30, 2) = y ao que ivie a 200, la ecuación planteaa amite soluciones enteras. Calculamos una solución particular. Como m.c.. (30, 2) =, existirán 2 números enteros p y q tales que puea expresarse como combinación lineal e 30 y 2 con coeficientes enteros. Los hallaremos volvieno hacia atrás en el algoritmo e Euclies. = 30 + ( 2) 2 luego entonces los coeficientes buscaos son y 2 y la solución particular e la ecuación es x 0 = 200 y 0 = 200 ( 2) = 200 = 400 La solución general será: x = k 2 = k y = 400 k 30 = 400 5k sieno k cualquier número entero. Veamos, finalmente, cuantos litros se han comprao e caa tipo e leche. Según lo visto hasta ahora, la cantia e leche entera es y la cantia e leche esnataa será, por tanto, C e = k : k Z C = 2 C e = k = 88 2k : k Z Pues bien, suponieno que se compra alguna cantia e leche esnataa, tenremos que 0 < C e < 2 0 < k < < 2k < < k < 94 k { 99, 98, 97, 9, 95 y la cantia mínima e leche esnataa se corresponerá con la máxima e leche entera y esta se a para el valor máximo que puea tener k, es ecir para k = 95. Por tanto, C e = ( 95) = = 0 C = 2 C e = 2 o sea, se compraron 0 litros e leche entera y 2 litros e leche esnataa. Ejemplo 2.4 Hallar los valores e c Z +, con 0 < c < 20 para los cuales no tiene solución la ecuación iofántica 84x + 990y = c. Determinar la solución para los restantes valores e c. 348

9 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez La ecuación 84x + 990y = c amitirá solución entera si, y sólo si el máximo común ivisor e 84 y 990 ivie a c. Hallamos icho máximo común ivisor por el algoritmo e Euclies. luego entonces, m.c.. (84, 990) = 84x + 990y = c tiene solución entera c q Z : c = q y como 0 < c < 20, tenremos que las opciones posibles para las que la ecuación tiene solución son c = 2 y c = 8 por tanto los valores e c para los que la ecuación no amite solución entera serán:, 3, 4, 5,, 7 y 9 Calculamos una solución particular para la ecuación propuesta. Volvieno hacia atrás el cálculo hecho en el algoritmo e Euclies, tenremos = = 3 8 = = 84 = = = = 8 ( 3 8) = = = + 4(84 ) = = = (990 84) = = ( 5) 990 para c = 2. Una solución particular es x 0 = y 0 = ( 5) = 8 = 0 La solución general es x = 8 + k 990 = 8 + 5k y = 0 k 84 = 0 4k sieno k cualquier número entero. 349

10 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas para c = 8. Una solución particular es x 0 = y 0 = ( 5) = 77 = 5 La solución general es x = 77 + k 990 = k y = 5 k 84 = 5 4k sieno k cualquier número entero. Ejemplo 2.5 Hallar las soluciones enteras e la ecuación (x + y)(x y) + (2x + 2y 3)y 2(x 7) = x + y + 3 Elevano al cuarao ambos miembros x 2 y 2 + 2xy + 2y 2 3y 2x + 4 = x 2 + y 2 + 2xy + x + y + 9 y simplificano, resulta Veamos si tiene soluciones enteras. 8x + 9y = 5 8 y 9 son primos entre sí, luego m.c.. (8, 9) = y como ivie a 5, término inepeniente e la ecuación, esta tenrá soluciones enteras. Calculamos una solución particular El máximo común ivisor e 8 y 9 escrito en combinación lineal e ambos, es luego una solución particular es: = ( ) x 0 = 5 ( ) y 0 = 5 = 5 = 5 La solución general, por tanto, será x = 5 + 9k y = 5 8k sieno k cualquier número entero. 350

11 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo 2. Una mujer tiene un cesto e manzanas. Hacieno grupos e 3 sobran 2 y hacieno grupos e 4 sobran 3. Hallar el número e manzanas que contiene el cesto sabieno que están entre 00 y 0. Sean x e y los números e grupos e tres y cuatro manzanas, respectivamente. Si N es el número total e manzanas que contiene el cesto, tenremos 3x + 2 = N 4y + 3 = N y restano miembro a miembro, resulta 3x 4y = Veamos si esta ecuación tiene soluciones enteras. Como m.c.. (3, 4) = y ivie a, término inepeniente e la ecuación, resulta que la misma amite soluciones enteras. particular = ( ) 3 + ( )( 4) x 0 = ( ) y 0 = ( ) = = es una solución particular e la ecuación. general x = + 4 k = 4k y = 3 k = 3k sieno k cualquier número entero. Calculemos, finalmente, cuantas manzanas hay en el cesto. 3x + 2 = N = 3( 4k) + 2 = N = N = 2k x = 4k y como tenremos 00 N k 0 = 0 2 y como k es un número entero, tenremos que = 2 k 2 k 0 2 = 9.25 k 8.42 k = 9 35

12 Universia e Cáiz Consecuentemente, N = 2( 9) = 08 = 07 es ecir el cesto contiene 07 manzanas. Departamento e Matemáticas Ejemplo 2.7 Hallar el menor número e cuatro cifras que iviio por 4, 7 y a resto 3, y que iviio por 3 a resto. Sea n el número buscao, entonces por el algoritmo e la ivisión existen q, q 2 y q 3 tales que n = 4 q + 3 = n 3 = 4 q n = 7 q = n 3 = 7 q 2 n = q = n 3 = q 3 luego 4 n 3, 7 n 3 y n 3 es ecir, n 3 es un múltiplo común a 4,7 y, por tanto ha e ser múltiplo e su mínimo común múltiplo y al ser m.c.m.(4, 7, ) = 4 7 = 308 será luego existirá un entero x tal que es ecir, 308 n 3 n 3 = 308x n = 308x + 3 Por otro lao y también por el algoritmo e la ivisión, existirá un entero y tal que por tanto, n = 308x + 3 n = 3y + n = 3y + Veamos si esta ecuación amite soluciones enteras. = 308x 3y = 2 Calculamos el máximo común ivisor e 308 y 3 por el algoritmo e Euclies. luego m.c.. (308, 3) = y ivie a 2, término inepeniente e la ecuación, luego tiene soluciones enteras. particular Buscamos los coeficientes enteros e expresao como combinación lineal e 308 y 3. = = 3 9 = 2( 3) = = = 9 2(3 9) = 2( 3) = = 2( 3) + 3 [ ( 3)] 352 = ( 3)

13 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez luego y una solución particular es: = ( 3) x 0 = ( 2) 3 y 0 = ( 2) 7 42 general one k es cualquier número entero. x = + k 3 y = 42 k 308 = 3k = k Calculemos, finalmente, el número peio. n = 308x + 3 = n = 308( 3k) + 3 = k x = 3k y al ser n > 0, tenremos k > 0 = k < 845 = k < 0.4 = k 4004 y el número más pequeño se proucirá para el valor más alto e k. Para k =, n = ( ) = 259 y es el menor número e cuatro cifras que cumple las coniciones el enunciao. Ejemplo 2.8 Un granjero gastó pts. en 00 animales entre pollos, conejos y terneros. Si los pollos los compró a 50 pts, a 000 pts. los conejos y a 5000 pts. los terneros y aquirió animales e las tres clases, Cuántos animales compró e caa clase? Sean x, y y z el número e pollos, conejos y terneros, respectivamente. De acuero con el enunciao tenremos el siguiente sistema e ecuaciones: { x + y + z = 00 x + y + z = 00 = 50x + 000y z = x + 20y + 00z = 2000 = { x + y + z = 00 x + y + z + 9y + 99z = 2000 = y + 99z = 2000 Veamos si la ecuación propuesta tiene soluciones enteras. Calculamos el máximo común ivisor e 9 y 99 por el algoritmo e Euclies. 353

14 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas m.c.. (9, 99) = y como ivie a 990, término inepeniente e la ecuación, esta tiene soluciones enteras. Calculamos una solución particular Expresamos como combinación lineal e 9 y 99 volvieno hacia atrás los cálculos en el algoritmo e Euclies. por tanto, una = = = = La solución general será, y 0 = = = 4 (9 4 4) = = = 9 + 5(99 5 9) = ( 2) ( 2) z 0 = = 9500 = = y = k 99 = k sieno k cualquier número entero. z = 9500 k 9 = k Veamos, finalmente, cuantos animales e caa clase compró. Tenieno en cuenta que aquirió animales e las tres clases, tenremos y > 0 = k > 0 = 99k > = k > = < k < 500 z > 0 = k > 0 = 9k < 9500 = k < 500 y como k es un número entero, se sigue que k = 499. Así pues, y = = z = = 9 y al ser x + y + z = 00 será x = 00 9 = 80 por tanto compró 80 pollos, conejo y 9 terneros. 354