Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

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1 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que se deduce, como caso particular más importate, el criterio de la media aritmética. Tambié estudiaremos el llamado criterio de la raíz, que permite estudiar la covergecia de sucesioes de u tipo muy cocreto, y es equivalete al criterio de la media geométrica. 8.. Criterio de Stolz Para idetermiacioes del tipo [ / ] es útil u método ideado por el matemático austriaco O. Stolz ( ), basádose e trabajos previos del italiao E. Cesàro ( ): Criterio de Stolz. Sea ρ ua sucesió de úmeros positivos, estrictamete creciete y o mayorada, es decir: 0 < ρ < ρ + para todo N y ρ +. Etoces, para toda sucesió x y todo L R, se tiee: x+ x x L = L ρ + ρ ρ La misma implicació es cierta, sustituyedo e ambos miembros L por + o por. Demostració. Partimos de ua igualdad de fácil comprobació. Para p, N co p <, teemos claramete que x = x p + (x x p ) = x p + (x k+ x k ), de dode: x = x p + [ ρ ρ ρ (ρ k+ ρ k ) x ] k+ x k ρ k+ ρ k Fijado L R, se aplica la misma idea para obteer: L = ρ p L ρ + ρ (ρ ρ p )L = ρ p L ρ 65 + ρ (ρ k+ ρ k )L ()

2 8. Cálculo de límites 66 Restado ambas igualdades y tomado valores absolutos, teemos x L ρ x p ρ p L + ρ ρ (ρ k+ ρ k ) x k+ x k L ρ k+ ρ (2) k dode hemos usado que ρ es ua sucesió estrictamete creciete de úmeros positivos. Teemos pues que la desigualdad (2) es válida para cualesquiera p, N co p <, y para demostrar ya la implicació buscada, fijamos ε > 0. Por hipótesis, existe p N tal que, para k p se tiee x k+ x k L ρ k+ ρ < ε k 2. Etoces, aplicado (2) obteemos > p = x L ρ < x p ρ p L + ε ρ 2ρ (ρ k+ ρ k ) = ρ x p ρ p L + ε(ρ ρ p ) 2ρ < ρ x p ρ p L + ε 2 Fijado p, como por hipótesis ρ +, teemos x p ρ p L /ρ 0, luego podemos ecotrar q N tal que q = ρ x p ρ p L < ε 2 Tomado m = máxp +,q, para m podemos usar tato (3) como (4), y obteemos (x /ρ ) L < ε. Esto prueba que x /ρ L, como se quería. Veamos ahora lo que ocurre al sustituir L por +, pues del razoamieto aterior, sólo se matiee la igualdad (). Dado C R +, usado la hipótesis que ahora teemos, ecotramos p N tal que: k p = x k+ x k > 2C ρ k+ ρ k Podemos etoces usar la igualdad () y, e lugar de (3) obteemos (3) (4) > p = x > x p + 2C ρ ρ ρ (ρ k+ ρ k ) = x p 2C ρ p + 2C (3 ) ρ Fijado p, como ρ +, teemos que (x p 2Cρ p )/ρ 0, luego existe q N tal que q = x p 2C ρ p ρ > C (4 ) Tomado m = máxm +,q, para m podemos usar (3 ) y (4 ), obteiedo x /ρ > C. Esto prueba que x /ρ +, como se quería. Fialmete, para ver lo que ocurre al sustituir L por basta aplicar lo recié demostrado sustituyedo la sucesió x por x : x+ x ( x+ ) ( x ) x x + + ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ

3 8. Cálculo de límites 67 Como fácil aplicació, cosideremos la sucesió /2. Tomado x = y ρ = 2 para todo N, se tiee obviamete 0 < ρ < ρ + para todo N y ρ +. Puesto que (x + x )/(ρ + ρ ) = /2 0, el criterio de Stolz os dice que /2 0. De maera mucho más geeral, vamos a probar lo siguiete: Para cualesquiera x R co x > y p N se tiee: p lím x = 0 (5) Como p /x = p / x para cualesquiera p, N, basta cosiderar el caso x >. Etoces, la sucesió ρ = x verifica las hipótesis del criterio de Stolz. Razoado por iducció sobre p, e el caso p = tomamos x = y teemos x+ x = ρ + ρ x 0 (x ) El criterio de Stolz o dice que /x 0. Es justo lo que hicimos ates para x = 2. Como paso previo a la etapa de iducció, observemos que, para todo N, la fórmula del biomio de Newto os permite escribir ( + ) p+ = p+ + (p + ) p + R() dode R es u poliomio de grado meor que p. Deducimos que ( + ) p+ p+ lím p = p + (6) Supoiedo ya que se verifica (5) para u p N deberemos demostrar lo mismo co p+ e lugar de p. Para ello tomamos x = p+ y teemos x + x = ( + )p+ p+ ρ + ρ (x )x = x ( + ) p+ p+ p p x N La hipótesis de iducció os dice que p /x 0 y, e vista de (6), deducimos claramete que (x + x )/(ρ + ρ ) 0. Aplicado de uevo el criterio de Stolz, cocluimos que p+ /x 0, como queríamos. x = Como otro ejemplo iteresate, que motivará el próximo criterio, fijado p N tomamos k p y ρ = p+ para todo N. De uevo ρ cumple las hipótesis del criterio de Stolz. Además, podemos escribir x + x ( + ) p ( ) + p = ρ + ρ ( + ) p+ p+ = p ( + ) p+ p+ N x+ x E vista de (6) teemos claramete que, y el criterio de Stolz os dice ρ + ρ p + que lím p+ k p = p +.

4 8. Cálculo de límites Criterio de la media aritmética Como se ha visto e el último ejemplo, el criterio de Stolz se aplica co mucha comodidad cuado algua de las sucesioes que e él aparece se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de otra. El caso particular más secillo se preseta cuado x tiee esa forma y tomamos ρ = para todo N. Obteemos etoces el siguiete resultado: Criterio de la media aritmética. Dada ua sucesió y, cosideremos la sucesió σ de sus medias aritméticas, defiida por σ = y k = y + y y N Si y L R, etoces σ L, y esta misma implicació sigue siedo cierta cuado se sustituye L por + o por. Demostració. Basta aplicar el criterio de Stolz, co x = co lo que se tiee (x + x )/(ρ + ρ ) = y + y x /ρ = σ. Por ejemplo, tomado y = / 0, teemos: lím k = 0. y k y ρ = para todo N, Coviee observar que el criterio de la media aritmética equivale al criterio de Stolz e el caso particular ρ =. Ello se debe a que toda sucesió x puede escribirse e la forma x = y k para coveiete sucesió y, co lo que x / = σ es la sucesió de las medias aritméticas de y, luego las afirmacioes del criterio de Stolz acerca de la sucesió x / so las del criterio de la media aritmética. E efecto, basta tomar y = x x, co la salvedad x 0 = 0, para teer y k = (x k x k ) = x x 0 = x, para todo N. La implicació que aparece e el criterio de la media aritmética o es reversible, e iguo de los casos. Para comprobarlo, usamos la sucesió y = ( ), que o es covergete, a pesar de que la sucesió σ de sus medias aritméticas sí coverge, σ 0, ya que σ 2 = 0 y σ 2 = /(2 ) N Para el caso de divergecia, tomamos y = ( + ( ) ) 2, que o es divergete, pues y 2 = 0 para todo N. Si embargo, observamos que ahora σ +, ya que σ 2 y 2 2 = 4 y σ 2+ = σ 2 N Por supuesto, cosiderado la sucesió y, está claro que la correspodiete sucesió de medias aritméticas diverge egativamete, mietras que y sigue si ser divergete. E resume, la covergecia o divergecia de la sucesió de medias aritméticas σ o os da iformació sobre la sucesió de partida y.

5 8. Cálculo de límites 69 Por otra parte, coviee tambié resaltar que, cuado la sucesió y es divergete, pero o diverge positiva i egativamete, o podemos asegurar que σ sea divergete. E efecto, la sucesió y = ( ) (2 ) es divergete y, usado que y = ( ) ( ) ( ) para todo N, es fácil ver que σ = ( ), luego σ o es divergete. Como el criterio de la media aritmética es caso particular del de Stolz, las dos observacioes ateriores se aplica tambié a este último, ya que lo que o es cierto e u caso particular, mucho meos puede serlo e geeral. Más cocretamete, siedo 0 < ρ < ρ + para todo N y ρ +, supogamos que queremos usar el criterio de Stolz para estudiar el comportamieto de ua sucesió de la forma x /ρ, cosiderado por tato la sucesió z = (x + x )/(ρ + ρ ). Pues bie, e primer lugar, igua de las tres implicacioes que os da el criterio Stolz es reversible, es decir, la covergecia o divergecia de la sucesió x /ρ o implica que z halla de comportarse de la misma forma. Por otra parte, si z diverge, pero o lo hace positiva i egativamete, etoces tampoco podemos asegurar que x /ρ sea divergete. E la práctica esto sigifica que, si al itetar aplicar el criterio de Stolz, os ecotramos co que la sucesió z o coverge i diverge, o bie vemos que diverge, pero o lo hace positiva i egativamete, el criterio o os da iformació sobre la sucesió x /ρ Criterio de la raíz para sucesioes Dada ua sucesió x de úmeros reales positivos, vamos a estudiar el comportamieto de la sucesió x. Empezamos cosiderado el caso e que x es costate: Para todo a R + se tiee: lím =. Supogamos e primer lugar que a, co lo que tambié teemos que para todo N, y vamos a comprobar que etoces la sucesió es decreciete. E efecto, para todo N teemos claramete ( ) + = a a, de dode deducimos que +. Teemos pues ua sucesió decreciete y miorada, luego covergete. Poiedo L = lím, sabemos de mometo que L. Cosideremos ahora la sucesió 2, que es ua sucesió parcial de, luego 2 L. Ahora bie, para todo N, es claro que a = ( 2 ) 2 = [ ( 2 ) 2 ], luego = ( 2 ) 2 L 2. Deducimos que L 2 = L, lo que siedo L 0 o deja más salida que L =, como queríamos. E el caso a <, basta pesar que = / /a y, por lo ya demostrado, teemos /a, luego tambié. E geeral, para cualquier sucesió x de úmeros reales positivos, vamos a obteer ahora dos importates desigualdades, que sugiere ua estrategia: para estudiar la sucesió de raíces x coviee prestar ateció a la sucesió de cocietes x+ /x.

6 8. Cálculo de límites 70 Lema. Si x R + para todo N y la sucesió x + /x está acotada, etoces la sucesió x tambié está acotada y se verifica que: x+ lím if límif x límsup x+ x límsup (7) x x Demostració. Empezamos fijado λ R tal que límsupx + /x < λ. Por defiició de límite superior, existe m N tal que, para m, se tiee supx k+ /x k : k λ y, por tato, x + /x λ, es decir, x + λx. Ecadeemos las desigualdades que se obtiee al aplicar lo aterior para sucesivos valores de : partimos de x m+ λx m ; para = m + deducimos que x m+2 λx m+ λ 2 x m, y ua obvia iducció os dice que x m+p λ p x m para todo p N. Equivaletemete, para m teemos x λ m x m. E resume, escribiedo b = x m /λ m, hemos ecotrado m N y b R + tales que m = x λ b La sucesió λ b coverge a λ y, e particular, está acotada, luego la sucesió x tambié está acotada, que es la primera afirmació del euciado. Pero además, siempre para m, teemos sup k xk : k sup λ k b : k, y usado la defiició de límite superior llegamos fialmete a: límsup x límsup λ b = λ (8) La última desigualdad de (7) se deduce de la libertad que tuvimos al elegir λ: si dicha desigualdad o fuese cierta, habríamos tomado límsupx + /x < λ < límsup x y, al llegar a (8) habríamos obteido ua flagrate cotradicció. Queda probar la primera desigualdad de (7), para lo cual hacemos u razoamieto muy similar al aterior. Supoiedo que dicha desigualdad o es cierta, tomamos ρ R tal que 0 límif x < ρ < límifx+ /x : m La defiició de límite iferior os permite ecotrar m N tal que, para m se tiee ífx k+ /x k : k ρ y, por tato, x + ρx. Ecadeamos ahora desigualdades, del mismo modo que ates: partimos de x m+ ρx m ; tomado = m+ deducimos que x m+2 ρx m+ ρ 2 x m y por iducció comprobamos que x m+p ρ p x m para todo p N. Equivaletemete, para m teemos que x ρ m x m. Así pues, escribiedo a = x m /ρ m, hemos ecotrado m N y a R + tales que m = x ρ Fialmete, siempre para m, deducimos que íf k xk : k íf ρ k a : k, y la defiició de límite iferior os permite cocluir que límif x límif ρ = ρ lo cual es ua cotradicció.

7 8. Cálculo de límites 7 Del lema aterior deducimos fácilmete lo siguiete: Criterio de la raíz para sucesioes. Si x R + para todo N y la sucesió x + /x es covergete, etoces x tambié es covergete y se verifica que lím x = lím x + x Si x + /x +, etoces tambié x +. Demostració. La primera afirmació se deduce directamete del lema aterior: límif x = límsup x = lím x + x Si x + /x +, aplicamos lo ya demostrado a la sucesió y = /x, que claramete verifica y + /y = x /x + 0. Obteemos que y 0, es decir, / x 0, de dode x +. Veamos varios ejemplos que poe de maifiesto la utilidad del criterio de la raíz. E primer lugar, puesto que ( + )/, el criterio os dice que lím =. Como segudo ejemplo, cosideremos la sucesió + x, co x R +. El criterio de la raíz os lleva a pesar e la sucesió ( + x + )/( + x ). Para x < teemos x 0 luego ( + x + )/( + x ), cosa que tambié es obvia para x =. Para x >, comprobamos si dificultad que (+x + )/(+x ) x. Así pues, e geeral teemos que ( + x + )/( + x ) máx,x. El criterio de la raíz os dice que tambié + x máx,x. Dados ahora y,z R +, podemos tomar x = z/y para obteer: y + z = y + (z/y) y máx,z/y = máxy,z Puesto que ( + )!/! = + +, el criterio de la raíz os dice tambié que! +. Ispirádoos e este último ejemplo, pero de maera más geeral, teemos: Criterio de la media geométrica. Sea y ua sucesió de úmeros reales positivos y cosideremos la sucesió de medias geométricas defiida por µ = y k = y y 2... y N Si y L R, se tiee µ L, y si y +, etoces tambié µ +. Demostració. Tomado x = y k para todo N, teemos x + /x = y + y x = µ, co lo que basta aplicar el criterio de la raíz.

8 8. Cálculo de límites 72 Los dos criterios ateriores so equivaletes. Para deducir el primero del segudo, dada ua sucesió x de úmeros positivos, tomamos y = x /x para todo N co x 0 =. Teemos etoces x + /x = y + y al calcular la sucesió de las medias geométricas de y obteemos µ = x, luego al aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesió y obteemos el criterio de la raíz para la sucesió x. Fialmete, e relació co el criterio de la raíz, coviee observar que la sucesió x puede ser covergete si que x + /x lo sea. Para ello basta tomar x = 2 + ( ). Puesto que 2 x 2 = 2 3 y x2 = para todo N, teemos x, pero la sucesió x + /x o es covergete, pues para impar se tiee x + /x = 3, mietras que para par es x + /x = / Ejercicios. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes y, cuado exista, calcular su límite: (a) 2 k (b) (c)! k! (d) k k 2. Sea x x R. Para p N, estudiar la covergecia de la sucesió 3. Probar las siguietes igualdades: (a) lím 3 3 ( + ) = 0 (b) lím = 2 p k x k. 4. Sea P y Q poliomios co coeficietes reales, co Q() 0 para todo N. Dado x R, estudiar la covergecia de la sucesió x P()/Q(). 5. Probar que las siguietes sucesioes so covergetes y calcular sus límites: 3 (a) 3 2 (2 ) 2 (b) +