En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2)
|
|
- Luis Ponce Lucero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral..- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades. Tipos. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral. Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Los puntos en que haya que levantar el lápiz se llaman puntos de discontinuidad. En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =) En la primera figura la función no es continua porque desde los dos lados no vamos hacia el mismo punto, es decir, no existe lim f(x). x x 0 En la segunda figura sí van hacia el mismo sitio, pero falta (no existe) el punto de unión entre los dos trozos o ramas, que sería f(x 0 ).
2 En la tercera existe ese punto de unión f(x 0 ) pero no está colocado en el sitio adecuado: lim f(x) f(x 0 ). Y por último, en la cuarta figura todo está bien y la función es continua. x x0 A la vista de esto podemos dar la definición formal de función continua en un punto. Así, diremos que una función f(x) es continua en un punto x 0 si cumple las tres condiciones siguientes: 1. lim f(x) Nota: Existen otras formas equivalentes de dar la definición. Por ejemplo: una función f(x) es continua en un punto a si: 1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a) 3. Los dos valores anteriores coinciden.. f(x 3. x x0 lim x x0 0 ) f(x) f(x O también, Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir: f es continua en x a 0 0 / x a ( f x)() f a 0 ) Ejemplos: La función f ( x) x x es continua en el punto x = 3? Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
3 1. lim f x lim x x x x 3 ( ) f ( 3) lim f ( x) f ( 3) x3 Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3. Dada la función f ( x) x x 1, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1. x Veamos si se cumplen las condiciones necesarias: 1. lim x 1 lim x x lim x x x x ( 1) ( 1) x 1 x ( x 1) x 1 x f ( 1) no existe, pues se anula el denominador El lim f ( x) y f ( 1) no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no se pueden comparar. x1 Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto. Dada la función 3x 5 si x 1 f ( x) si x 1, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1 3 x si x 1 Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1. Estudiamos la existencia del lim f ( x). x1
4 Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim f ( x) lim ( 3x 5). f (1) = 3. lim f ( x) f ( 1) x1 x1 x1 lim f ( x) lim ( 3 x) x1 x1 En consecuencia, existe lim f ( x) pues los límites laterales son iguales. x1 Luego la función es discontinua en el punto x = 1. Dada la función 3x si x f ( x) 5 si x, estudiar la continuidad de dicha función en x =. 3 x si x Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1. Estudiamos la existencia del lim f ( x) x Como en el punto x = la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim f ( x) lim ( 3x ) 4 x x lim f ( x) lim ( 3 x) 1 x x
5 En consecuencia, no existe lim f ( x) pues los límites laterales son distintos. x. f () = 5 Luego la función es discontinua en el punto x =. Continuidad lateral Cuando una función no es continua en un punto podemos preguntarnos si lo es lateralmente; es decir, si desde algún lado llegamos a f(x 0 ). En concreto: Una función f(x) es continua por la izquierda en un punto x 0 si y sólo si lim f (x) f (x0). x x 0 Una función f(x) es continua por la derecha en un punto x 0 si y sólo si lim f (x) f (x0). x x 0
6 .- Continuidad en un intervalo. El concepto de continuidad no tiene excesivo interés y aplicación práctica mientras no se extienda a un intervalo para poder tener propiedades en un trozo más amplio que un entorno, a veces muy pequeño, alrededor de un punto. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo. Así, en la función adjunta, podemos apreciar que hay continuidad en el intervalo [-4, -1], pero no en el intervalo [-1,1]
7 En en caso de que el intervalo sea cerrado, [a, b], es necesario que la función también sea continua lateralmente los extremos. Estas apreciaciones serán de vital importancia para aplicarlas posteriormente a los teoremas sobre funciones continuas.
8 3.- Operaciones con funciones continuas. Propiedades. Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones y de los límites, podemos deducir las siguientes propiedades: Si f ( x) g( x) Si f ( x) g( x) Si f ( x) g( x) y son funciones continuas en a, b, entonces la función (f + g)(x) es continua en a b y son funciones continuas en a, b, entonces la función (fg)(x) es continua en a b y son funciones continuas en a, b, y g(x) no se anula en a b Si f(x) es continua en a, b, entonces (f)(x) es continua en a b Si f(x) es continua en a, b y g(x) es continua en f a b,.,, entonces la función,, para todo R.,, entonces la función ( g f )( x),. es continua en a b f ( x) es continua en a, b. g,. Nota: Como ejemplo de que cómo se debe realizar una demostración de esas afirmaciones, veamos el caso de la suma de dos funciones continuas en un punto y comprobemos que también es una función continua en ese punto. Demostración: Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,
9 En resumen: Las operaciones con funciones continuas tienen como resultado otra función continua, siempre que tenga sentido la operación. De hecho, la mayoría de las funciones más usuales son continuas. 1. La función constante f(x) = k es continua en R. En efecto, sea un número cualquiera ar y estudiemos la continuidad de la función constante en dicho punto: lim() f xlim() k k f a xa xa Por tanto, la función es continua en el punto ar y como a es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R.. La función identidad f(x) = x es continua en R. En efecto, sea un número cualquiera ar y estudiemos la continuidad de la función identidad en dicho punto: lim() f xlim () x a f a xa xa Por tanto, la función es continua en el punto ar y como a es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R. 3. La función potencial f () x n x, N n es continua en R.
10 n Si tenemos en cuenta que f ( x) x ( n) x x x, la función potencial es un producto de n funciones continuas y, por tanto, será otra función continua. n n1 4. La función polinómica f ( x) a x a x + a x a, es una función continua en R. n n1 1 0 La función polinómica está formada por la suma de un número finito de productos de una función constante por una función potencial: si tenemos en cuenta que el producto de funciones continuas es otra función continua y la suma de funciones continuas también es continua, la función polinómica será continua en todo R. 5. La función racional denominador. P( x) f ( x) es continua en todo su dominio, es decir, en todo R menos en aquellos valores que anulen el Q( x) El dominio de la función racional está formado por todos los números reales que no anulan el denominador de la fracción: Entonces, a Dom() f se verifica que: Dom( f ( x)) R x R / Q( x) 0 P()() x P a lim() f xlim () f a xa xa Q()() x Q a y la función es continua en adom(f) y como a es un punto cualquiera del dominio, será continua en éste. Propiedades de las funciones continuas. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en dicho punto. Esta propiedad es consecuencia directa de la definición de la continuidad.
11 Teorema de acotación. Si una función es continua en un punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada. Teorema del signo. Si f(x) es continua en un punto x = a y f(a) 0, entonces existe un entorno de x = a en el que f(x) tiene el mismo signo que f(a). f (a) f (a) f (a) O f (a) f (a) f (a) a a a ( ) O ( a a) a 4.- Discontinuidades. Tipos. Cuando una función no es continua en un punto x 0 decimos que tiene o que presenta una discontinuidad en ese punto. Teniendo en cuenta que una función es continua en un punto x = a si, y solo si, algún motivo, tendremos uno de los siguientes tipos de discontinuidades. lim()(). f x f a xa, en caso de que esta condición no se cumpla por
12 Discontinuidades Evitables Inevitables De salto (1ª especie) Esencial (ª especie Nota: En las discontinuidades evitables va a existir el límite pero en las inevitables, no Salto finito Salto inf inito Discontinuidad evitable. Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x 0 cuando: lim f(x) pero o bien no coincide con f(x 0 ) o bien no existe f(x 0 ). x x 0
13 Este tipo de discontinuidad se llama evitable porque se resolvería o evitaría definiendo una nueva función a partir de la que tenemos, de la siguiente manera: g() x f () x si x a L si x a es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite. Ejemplo: Explica como harías para que la siguiente función sea continua: f ( x) x 5x 6 x 3 en el punto x = 3. Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3 pero, si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos: x 5x 6( 3)( x ) x lim lim lim( x ) 3 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función x 5x 6 si x 3 g( x) x 3 1 si x 3 sería continua en el punto x = 3.
14 Discontinuidad de salto finito. Cuando, no existe lim x x 0 f(x) pero si existen los límites laterales, que son finitos aunque distintos. En este caso, puede existir o no f(a) Además, llamamos salto a la diferencia entre los límites laterales de la función en el punto. Salto = lim f ( x) lim f ( x) xa xa Ejemplo 3x 1 si x 1 Estudiar la continuidad de la función f ( x) 3 x si x 1 en el punto x = 1. Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que hablamos con anterioridad: 1º.- La función está definida en el punto x = 1: f ( 1) 4
15 º.- Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función lim() f xlim(3 1) x 4 x1 x1 Al ser los límites laterales distintos, la función no tiene límite en dicho punto. lim() f xlim(3 ) 1x x1 x1 En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito: Salto = lim() f xlim() 4f x1 3 x1 x1 Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor que toma la función en el punto, por lo que la función tiene una continuidad lateral a la izquierda en el punto x = 1. Discontinuidad de salto infinito. Cuando no existe lim x x 0 f(x) y alguno de los límites laterales (o los dos) es infinito
16 Ejemplo Estudiar la continuidad de la función 3x 1 si x 1 f ( x) 1 en el punto x = 1. si x 1 x 1 Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que hablamos con anterioridad: 1º.- La función está definida en el punto x = 1: f ( 1) 4 º.- Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función lim() f xlim(3 1) x 4 1 lim f ( x) lim x1 x1 x 1 x1 x1 En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito: Nota: Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor que toma la función en el punto, por lo que podemos decir que la función es continua por la izquierda en el punto x = 1. Discontinuidad esencial Cuando no existe alguno de los límites laterales (o los dos) 1 Por ejemplo, la función ( x) sen( x) 1 cada vez mas cerca del 0. Por tanto, presenta un discontinuidad esencial en x=0 f no tiene límites laterales en el 0 porque oscila infinitas veces entre 1 y
17 Ejemplo Estudiar la continuidad de la función f ( x) x si x en el punto x =. Teniendo en cuenta que su gráfica es la que se adjunta, podemos observar que en x = hay una discontinuidad esencial porque no existe el límite por la derecha.
INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULA ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: 11 AÑO 2013
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES 1.- CONCEPTO INTUITIVO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES. Otros ejemplos:
LÍMITES DE FUNCIONES 1.- CONCEPTO INTUITIVO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES. Otros ejemplos: lim f(x) = L ε > 0 δ > 0 / x a < δ f(x) L < ε x a Nótese que la idea de
Más detallesLímites y continuidad
Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad
y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesGráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0
Funciones continuas Funciones continuas Continuidad de una función Si x 0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función
Más detallesTEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea
Más detalles2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)
Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes
Más detallesRESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES
RESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES La idea intuitiva de función continua es la de aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Analíticamente, una función f(x) se dice que es
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVADA ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Índice Presentación... 3 Continuidad en un punto... 4 Estudio de la continuidad en un punto a partir de un ejemplo... 5 Discontinuidades... 7 Continuidad de las funciones definidas a trozos... 9 Propiedades
Más detalles2 o BACHILLERATO ciencias
. ANÁLISIS 2 o BACHILLERATO ciencias Francisco Navarro Martínez . Tema 1 o - Funciones Continuas 1. Continuidad de una Función 2. Definición de una Función Continua en un punto 3. Tipos de Discontinuidades
Más detalles4.2. Continuidad de una función en un punto. (A) Una función f es continua en un punto x=a, cuando se cumplen las siguientes condiciones:
4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 4.. Noción intuitiva de continuidad de una unción en un punto. La mayor parte de las unciones que manejamos a nivel elemental, presentan en sus gráicas una propiedad característica
Más detallesApuntes de Continuidad de funciones
Apuntes de Continuidad de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y el concepto de límite. Ahora vamos a estudiar la aplicación de los límites en el estudio
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2º BACHILLERATO
LÍMITES: OPERACIONES CON INFINITOS LÍMITES: RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES DEL TIPO 1 Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de la siguiente forma: 1 DOMINIO E IMAGEN DE
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesUnidad 10 Continuidad de las funciones
Unidad 10 Continuidad de las funciones 4 SOLUCIONES 1. La continuidad queda: a) La continuidad en x = 0. No es continua en ese punto al no coincidir los límites laterales. b) La continuidad en x = 3. 2.
Más detallesEs evidente la continuidad en En el punto, se tiene:
Tema 3 Continuidad Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Estudia la continuidad de la función La función puede expresarse como Para representarla basta considerar dos arcos de parábola: Es evidente la continuidad
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES
CONTINUIDAD CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función f es continua en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) Existe f(a), es decir, a Dom f. 2)
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallesTEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD
TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD. IDEA DE LÍMITE. La idea de lmite de una función f() cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe f () ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL. b) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) crecen cada vez más
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: CÁLCULO DIFERENCIAL Una función f(x) tiene por límite L en el número real x = c, si para toda sucesión de valores x n c del dominio que tenga por límite c, la sucesión
Más detallesVeamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, a qué valor tiende f(x)?
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. C O N C E P T O D E L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O Consideremos la función f(x)x², cuya gráfica es una parábola. Si x se aproxima a, a qué valor
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Pag. 1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.- Aplicaciones y Funciones. Definiciones. 2.- Tipos de funciones. 3.-Operaciones con funciones. 4.-Composición de funciones. 5.- Función identidad y funciones
Más detallesContinuidad de una función
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 2º Evaluación. Continuidad Continuidad de una función Una función f(x) es continua en el punto x=a, si existe el l ímite cuando x tiende a a
Más detallesTema 5: Continuidad de funciones
Tema 5: Continuidad de funciones 1. Continuidad de una función en un punto La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla, es aquella que no da saltos ni presenta interrupciones, que
Más detalles2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON
Cap. Continuidad de funciones.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO. CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO OBJETIVOS:
Más detallesEspacio de Funciones Medibles
Capítulo 22 Espacio de Funciones Medibles Igual que la σ-álgebra de los conjuntos medibles, la familia de funciones medibles, además de contener a todas las funciones razonables (por supuesto son medibles
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesTEMA 8. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINIDAD.
TEMA 8. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINIDAD. 1. Concepto de función.. Dominio e imagen de una función. 3. Tipos de funciones. 4. Operaciones con funciones. 5. Concepto de límite. 6. Cálculo de límites. 7.
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 4 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detalles4. " $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular).
10 Capítulo 2 Espacios Métricos 21 Distancias y espacios métricos Definición 211 (Distancia) Dado un conjunto, una distancia es una aplicación que a cada par le asocia un número real y que cumple los siguientes
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesTema 1. Cálculo diferencial
Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesFunciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y
Funciones Una función real de variable real es una aplicación f : A B donde A,B son conjuntos de números reales. Domf = x R f(x) B Rango: El rango o imagen de la función f es un conjunto que se define
Más detallesLÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Límite de una función en un punto
LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Límite de una función en un punto xc Se lee: El límite cuando x tiende a c de f(x) es l Notas: - Que x se aproxima a c significa que toma valores muy
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Función: Es toda aplicación definida entre conjuntos numéricos. Cuando el conjunto inicial y final son los números Reales, se llaman funciones reales de variable real.
Más detallesContinuidad de funciones
Apuntes Tema 3 Continuidad de funciones 3.1 Continuidad de funciones Def.: Dada una función f(x), diremos que es continua en x = a, si cumple la siguiente condición: En caso de que no cumpla esta condición,
Más detallesDerivadas laterales. Derivabilidad y continuidad en un punto. Derivabilidad y continuidad en un intervalo
Derivadas laterales Se define la derivada por la izquierda de f(x) en el punto x = a : Se define la derivada por la derecha de f(x) en el punto x = a : A ambas derivadas se les llama derivadas laterales.
Más detallesTema 6: Continuidad de funciones
Tema 6: Continuidad de funciones 1. Continuidad de una función en un punto La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla, es aquella que no da saltos ni presenta interrupciones, que
Más detallesEs decir, tenemos una función continua en el intervalo [2, 3] donde signo de f(2) signo de f(3).
TEOREMA DE BOLZANO: Probar que la ecuación x 3-4x - 2 = 0 tiene alguna raíz real, aproximando su valor hasta las décimas. Consideramos la función f(x) = x 3-4x - 2 la cual es continua por ser polinómica.
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesPROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa
Más detallesLímite de una función
Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden
Más detallesASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función elemental puede presentar ninguna una o varias asíntotas verticales y además puede presentar a lo sumo una asíntota horizontal o una asíntota
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257
TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Página 9 Página. a) f() 0. a) f() 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,9,99,999,9,99,999,9999 f() 00 0.000 0 6 0 8 b) f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,0,00,000
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,
Más detallesDenominadores: un denominador nunca se puede hacer cero. Ejemplo: 𝑓 𝑥 =
1. Continuidad de funciones. Una función es continua en 𝑥 = 𝑎, si se cumple: Existe 𝑓(𝑎). lim!! 𝑓 𝑥 = lim!!! 𝑓(𝑥) = lim!!! 𝑓 𝑥 𝒇 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦𝒙 𝒂 𝒇 𝒙 Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales
Más detallesDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS B A C H I L L E R A T O
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS B A C H I L L E R A T O FUNDACIÓN VEDRUNA S E V I L L A COLEGIO SANTA JOAQUINA DE VEDRUNA MATEMÁTICAS I LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite finito de una función en un
Más detalles26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU
6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos
Más detallesLímite y Continuidad de funciones de una variable
Introducción Límite y de funciones de una variable Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil Límite y de funciones
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos a
Más detallesEn este capítulo veremos como estudiar la continuidad de distintas funciones = + 5
En este capítulo veremos como estudiar la continuidad de distintas funciones Ejemplo 1 + 5 Como la función es un polinomio, es continua en R (todos los números reales. Nota: Cualquier polinomio sea del
Más detallesRESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II
RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x)
Más detallesTEMA 5 LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 5 LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 5.1. VISIÓN INTUITIVA DE LA CONTINUIDAD. TIPOS DE DISCONTINUIDADES. La idea de función continua es la que puede ser construida con un solo trazo. DISCONTINUIDADES
Más detallesel blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha)
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos.
Más detallesRESUMEN TEÓRICO DE CLASES
Página 1 RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 2 Tema 1. Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: >; ;
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD. 1º Bto. Sociales. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITES Y CONTINUIDAD º Bto. Sociales. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Sea f() =. Vamos a darle valores a cercanos a y vamos a ver cómo se comporta f()..9.99.999.9999.99999 f() 4.8 4.98 4.998 4.9998
Más detallesCONTINUIDAD DEFINICIÓN CONTINUIDAD LATERAL. es continua en un punto. Una función. si:
CONTINUIDAD DEFINICIÓN Una función 1) l a ) f (a) ) f ( a) a un punto a Si una función no cumple alguna de estas condiciones es discontinua en : a CONTINUIDAD LATERAL Ejemplo a por la izquierda f ( a)
Más detallesEJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA 1º) Estudia la continuidad de la siguiente función: x+3 si x < 2 fx = x +1 si x 2 La función está definida para todos los reales: D(f)=R Tanto a
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesTema 2 Funciones(II). I). Continuidad.
Unidad. Funciones (II).Continuidad Tema Funciones(II). I). Continuidad. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas
Más detallesFUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesTema 6: Límites y continuidad
Tema 6: Límites y continuidad March 25, 217 Contents 1 *Conceptos relativos a funciones 2 1.1 Dominio de funciones usuales........................................ 2 1.2 Funciones periódicas.............................................
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Representa ráficamente la siuiente función y estudia su continuidad en = : = = f() = f() En = la función no es continua.. Puedes definir la función en alún
Más detallesEjercicios de Funciones, límites y continuidad.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Funciones: Límites, Continuidad.. Pág 1/10 Ejercicios de Funciones, límites y continuidad. 1. Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites. 2. Calcular
Más detalles1.5 Límites infinitos
SECCIÓN.5 Límites infinitos 8.5 Límites infinitos Determinar ites infinitos por la izquierda por la derecha. Encontrar dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función., cuando Límites infinitos
Más detallesLímites y continuidad 1º Bachillerato ELABORADO CON EDITORIAL SM
Límites y continuidad º Bachillerato ELABORADO CON EDITORIAL SM FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL: EJEMPLO I La fórmula f(x)=x 2 relaciona dos variables reales R Dominio 2 2,3 5 f(x) = x 2 f(2) = 4 f(2,3)
Más detallesUniversidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad
1 Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad Hasta hace muy poco se creía que una función continua siempre tenía una primera derivada cuyo
Más detallesContinuidad de funciones ( )
Cálculo _Comisión Año 07 Continuidad de funciones ( ) I) Continuidad en un punto En ésta representación gráfica de una función (fig. ), es evidente que la misma presenta una discontinuidad, tanto en x
Más detallesTEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITES EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores
Más detallesTEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,...,
Más detallesFunciones: Límites y continuidad.
Límites finitos de sucesiones. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Funciones: Límites y continuidad. + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite r R y se escribe =r o de forma
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 4 Continuidad
Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Práctica 4 Parte Continuidad 1. Idea de continuidad Intuitivamente una función es continua en un punto a si está definida en dicho punto y su
Más detallesUnidad 4: Límite, continuidad, asíntotas
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Dada la función = = a) Demostrar que no es continua en =., se pide: b) Existe una función continua que coincida con para todos los valores?. En caso afirmativo,
Más detallesTeoría Tema 8 Discontinuidades
página 1/6 Teoría Tema 8 Discontinuidades Índice de contenido Concepto de discontinuidad...2 Discontinuidad evitable...3 Discontinuidad no evitable de primera especie...4 Discontinuidad no evitable de
Más detallesTEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesDERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L, si al tomar cada vez valores más
Más detallesProfesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Más detalles2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. ESQUEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Límites. Límite de una función. Tipos de límites. Álgebra de límites.
Más detalles5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )
Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom
Más detallesLímites y continuidad de funciones
Límites y continuidad de funciones 1 Definiciónde límite Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan los valores de la función cuando x se aproxima al valor de a. lím
Más detallesContinuidad 2º Bachillerato. materiales Editorial SM
Continuidad 2º Bachillerato materiales Editorial SM Continuidad en un punto: primera aproximación Estatura medida cada 5 años: hay grandes saltos entre cada punto y el siguiente. Estatura medida cada año:
Más detalles