EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

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1 VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3 3. Si M(,1, M (3,3, M (6, son los puntos medios de los ldos de un triángulo Cuáles son ls coordends de los vértices de un triángulo? 4. Hll ls componentes del vector u r que se perpendiculr v r = ( 3,6 y que: Su primer componente se. b Su módulo es 1. r r r r r r r r 5.Clcul ( u 3v (3u + v sbiendo que u = 1 ; v = ; u v =, 5 r r 6. Se B { u = ( 1,; v = (,1 } Es bse? b Clsific l bse c Encuentr un bse ortonorml l nterior. RECTAS 1. De l rect r se sbe que ps por el punto A (,1 y un vector director es u (-,4. Determin su ecución en tods ls forms que conozcs.. L ecución implícit de un rect es x-3y+1=. Escribe l ecución de est rect en form continu, punto-pendiente, explícit, vectoril y prmétric rzonndo ls respuests. 3. Hllr l ecución de l meditriz del segmento determindo por los puntos A (1,- y B (3,. Hllr, tmbién, el ángulo que form est meditriz con el eje de bsciss. 4. L rect 4x-3y=1 es l meditriz del segmento AB. Hll ls coordends del punto B, sbiendo que ls del punto A son (1,. 5. Los puntos B (-1,3 y C (3,-3 son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en l rect x+y=15, siendo AB y AC los ldos igules. Clculr ls coordends de A y ls ecuciones y ls longitudes de ls tres lturs del triángulo.

2 6. Hllr ls ecuciones de tods ls rects que psen por el punto P (,-3 y formen un ángulo de 45º con l rect 3x-4y+7=. 7. Determinr el vlor de pr que ls rects x+(-1y-(+= y 3x-(3+1y- (5+4= sen: prlels perpendiculres 8. Determinr el vlor de m pr que ls rects mx+y=1 y 4x-3y=m+1 sen prlels. Después hllr su distnci. 9. Ddos los puntos A (,1, B (-3,5 y C (4,m, clculr el vlor de m pr que el triángulo ABC teng de áre Hllr ls ecuciones de ls rects que psndo por el punto A (1,- distn uniddes del punto B (3, Un ryo de luz r ps por el punto de coordends (1, e incide sobre el eje de bsciss formndo con éste un ángulo de 135º. Suponiendo que sobre el eje de bsciss se encuentr un espejo, hllr l ecución del ryo r y del ryo reflejdo en el espejo. 1. Ddos los puntos A (,-1 y B (1,, hllr ls coordends de todos los puntos P situdos sobre l rect x+y= tles que ls rects PA y PB sen perpendiculres. 13. Los puntos A (3,- y C (7,4 son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cul tiene un ldo prlelo l rect 6x-y+=. Hllr ls coordends de los otros dos vértices del rectángulo y ls ecuciones de sus ldos. 14. Hllr ls coordends del simétrico del punto P (,6 respecto de l rect y=x Los puntos A (,-1 y C (3,6 son vértices opuestos de un rectángulo ABCD. Sbiendo que B está en l rect de ecución x+4y=, hllr ls coordends de los vértices B y D. (Indicción: bst hllr los puntos P sobre l rect tles que PA y PC son perpendiculres. 16. Averigur si el triángulo de vértices A (,, B (4,7, C (9,4 es isósceles. 17. Clculr l distnci de los puntos A (-,5, B (1, y C (1/3,-5/ l rect de ecuciones prmétrics: x= 1+ 4t r : y= + 3t 18. Hllr los puntos de l rect 7x-y-8= que distn 5 uniddes de longitud de l rect 3x-4y-1=.

3 19. Un cudrdo tiene un vértice en el punto (,7 y un de sus digonles sobre l rect de ecución 3x-y-6=. Hllr el áre.. Un cudrdo tiene un vértice en el origen y un ldo sobre l rect de ecución x- y+1=. Hllr el áre del cudrdo y l longitud de l digonl. 1. Hllr l ecución de un rect que form un ángulo de 1º con el semieje de bsciss positivo y que dist uniddes del origen.. Hllr ls ecuciones de ls rects prlels l rect 3x+4y+= que distn 1 unidd de ell. 3. Hllr ls coordends de un punto P situdo sobre l rect x+y-15= que equidiste de ls rects y-=, 3y=4x Ls rects de ecuciones 3x+4y-5= y px+7y+= formn un ángulo cuyo seno vle 3/5. Hllr p. 5. Determinr ls longitudes de los ldos y los ángulos del triángulo cuyos ldos se encuentrn sobre ls rects x+y=, 5x+y=1 y el eje de ordends. 6. Clcul ls bisectrices de los ángulos determindos por ls rects: r:4x-7y-= s: 3x+4y-4= 7. Ddo los puntos A(,1 B(6,3 C(7,1 D(3,-1.Demuestr que ABCD es rectángulo y clcul su perímetro y su áre,

4 CÓNICAS Un cónic es l curv que se obtiene como intersección de un superficie cónic y un plno π. CIRCUNFERENCIA Un circunferenci es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci de culquier punto de l circunferenci l centro se llm rdio. d(p,c=r Ecución de l circunferenci de centro C(,b y rdio R: ( x + ( y b = R Ecución reducid: x + y = R Ecución de l rect norml l circunferenci de centro C(,b en el punto p( y y x, y : y b ( x x = x

5 Ecución de l rect tngente l circunferenci se centro C(,b en el punto p=( x : y y x, y ( x b = x y ELIPSE Llmmos elipse l lugr geométrico de los puntos de un plno cuy sum de distncis dos puntos fijos del plno F y F (llmdos focos, es constnte. d(p,f+d(p,f = En un elipse se cumple: = b + c Siendo l longitud del semieje myor, b l longitud del semieje menor y c l mitd de l distnci entre los focos. L ecución reducid de l elipse es: x + b y = 1 Si l elipse tiene centro C ( x su ecución es: ( x x ( y y + b = 1, y Se define l excentricidd de un elipse como el cociente entre l distnci focl y el eje myor. e= c c = Si e tiende cero l elipse se semej un circunferenci.

6 HIPÉRBOLA Un hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos F y F, es constnte. d (P,F-d(P,F = El eje focl es l rect que ps por los focos.el eje focl cort l hipérbol en los puntos A, A, que reciben el nombre de vértices. El segmento AA es el eje rel de l hipérbol y su longitud es. El punto medio del segmento FF, O, es el centro de l hipérbol En un hipérbol se cumple: c = b + L ecución reducid de l hipérbol es: x b y = 1 Si l hipérbol tiene centro C( x su ecución es: ( x x ( y y b = 1, y

7 L excentricidd de un hipérbol es e= c. Cunto myor es l excentricidd, más se lrg l hipérbol en sentido verticl, de form que cundo e=1, l cónic degener en dos semirrects. Si e= l hipérbol recibe el nombre de hipérbol equiláter y su ecución es de l form x y = PARÁBOLA Un prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo F llmdo foco y de un rect fij d llmd directriz de l prábol. d(p,f=d(p,d L directriz es l rect x= p L ecución reducid de l prábol es: y = px Si el foco se encuentr en el eje de ordend l directriz es l rect l ecución reducid es: x py = p y = y Si el centro de l prábol es C( x, y l ecución de l prábol es respectivmente: ( y y = p( x x x x = p( y ( y

8 Ejercicios 1. Encuentr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A (-1,8 B(-3,6 C(-1,4. Comprueb que ls siguientes circunferencis son concéntrics, clculndo el centro de mbs: C : x + y + 4y 31= C : x + y + x 4y = 4 3. Encuentr l ecución de l circunferenci que es concéntric con l circunferenci x + y 6x+ 1y+ 3= y que ps por el punto P(7,-. Clculr l rect norml y tngente l circunferenci en el punto P. 4. Estudi l posición reltiv de r y C. R: y=x+ C: x + y x+ 3y+ = 5. Encuentr l ecución de l elipse de focos F(5,, F (-5, cuyo eje myor es 14, y clcul ls coordends de sus vértices. 6.Los vértices de un elipse son A(11,, A (-11,,B(, 1, B (,- 1. Determin l ecución de l elipse y ls coordends de sus focos. Clcul l excentricidd de l elipse 7. Hll l ecución de l hipérbol de focos F, F y: F(5,, F (-5, =4 b F( 7,,F (-7, =5 8. Hll los focos, los vértices y el centro de l hipérbol: 36x 64y 7x 56y 54= 9. Estudi l posición reltiv de l rect y=-x+4 y l hipérbol x y = Clcul l ecución de un prábol sbiendo que su foco es F(,4 y su directriz es l rect d, de ecución y= Determin l ecución de l prábol de foco F(5, y de directriz x= El vértice de un prábol es V(1,3 y su directriz es l rect y=1. Cuál es su ecución? 13.Clcul los focos y los vértices de ls cónics siguientes, e identific el tipo de cónics l que corresponde cd cso:

9 x + 5y = 5 b y = 1x c x y = d x + y = Hll l ecución del lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci P (1, es doble que su distnci Q(-1, Locliz l ecución del lugr geométrico de los puntos P que verificn que d (P,A= d(p,r, siendo A(-3,1 y r es l rect de ecución x+y+5=

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