Manual de teoría: Geometría Matemática Bachillerato

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1 Manual de teoría: Geometría Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

2 Contenido: 3) Geometría 3.1 Círculo y Circunferencia 3. Polígonos 3.3 Estereometría Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

3 Geometría 3.1 Círculo y Circunferencia 3.11Teoremas: 1) Un radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y viceversa. ) Una recta perpendicular a un radio en su punto extremo, es tangente a la circunferencia. 3) Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia, son congruentes. Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

4 4) En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa. r A m Ejercicios resueltos: a) En una circunferencia de radio 10cm de longitud, una cuerda dista 8cm del centro. Cuál es la longitud de la cuerda? r A La distancia desde la cuerda es 8cm y el radio mide 10cm. Puesto que la distancia más cerca de un punto a un segmento o recta es el segmento perpendicular a ella; se forma un triángulo rectángulo entre la distancia del centro a la cuerda, el radio y la mitad de la cuerda como se observa en la figura. Entonces por el teorema de Pitágoras se calcula la mitad de la cuerda: 10 = 8 + c = c 36 = c 36 = c c = 6cm Finalmente la cuerda mide el doble 1cm por teorema 1 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

5 b) El segmento IC mide 4cm, HI mide 8cm, HD mide 17cm, cuanto mide el segmento CD si los segmentos CD, HD, y HC son tangentes a la circunferencia. C I J c1 H K D Según el teorema 3 las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia son congruentes, entonces el segmento CJ mide 4cm y HK mide 8cm. Como HD mide 17cm, KD mide 9cm por diferencia y además congruente con JD que mide 9cm. CD es la suma de los segmentos CJ y JD : = 13cm. Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

6 3.1 Posiciones relativas de circunferencias o círculos Tangentes: Secantes: Concéntricas: A Interiores: A Exteriores: A Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

7 3.13 Arcos y Ángulos Ángulos en la Circunferencia Ángulo Definición: ángulo que tiene el vértice en: Dibujo Medida igual a la: Central El centro de la circunferencia C Medida del arco que intercepta Fórmula m BC Inscrito Seminscrito La circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma Uno de los lados es tangente y el otro cuerda C D C B D B Mitad de la medida del arco interceptado Mitad de la medida del arco interceptado BD m CD m Interior Un punto interior a la circunferencia E c1 B A D Semisuma de la mediada de los arcos mbd +mef Exterior Un punto exterior, sus lados secantes, o uno secante y otro tangente E J L C F M N F D K Mitad de diferencia de medidas de arco mayor y menor mce mcf mjl mmn Un punto exterior y sus lados tangentes C EF D Diferencia entre 180 y arco 180 º mce Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 7

8 3.14 Líneas que cortan dentro y fuera de la circunferencia Concurrentes: C G F = CG GD EG GF E A D Secantes concurrentes en un punto exterior a una circunferencia: C F D G = ED GD CD FD E Secante y tangente concurrentes: C F D EF = CD FD E Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 8

9 3.15 Medida de arcos en π radianes Paso de grados a π radianes: π n º 180º Ejemplo: Convertir 60º en π radianes π π 60º = 180º 3 Paso de π radianes a grados 180º n π π π Ejemplo: convertir a grados 3 π 180º 3 π = 10º 3.16 Longitud de arco r nº AB = π 180º Ejemplo: Calcule la longitud de un arco si el radio mide 3cm y el ángulo 45º π 3 45º 3 AB = = πcm 180º 4 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 9

10 3.17 Áreas Área de un círculo: π r Sector circular A s r nº = π 360º Segmento Circular: π r nº A seg = A 360º Corona circular: A c = π ( R r ) Trapecio circular: ( R r ) nº A t = π 360º Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 10

11 Ejercicios Resueltos: a) En la figura XY es tangente a la circunferencia de centro O. Entonces calcule la medida del ángulo R SBY X 50º B 10º O 1 S Y El ángulo XBRes seminscrito por lo que el arco BR mide el doble: 100º El ángulo ROS es central y el arco RS mide igual 10º La circunferencia en total mide 360º por diferencia sacamos la medida del arco SB: 360 º (100º + 10º ) = 140º El ángulo SBY es seminscrito y mide la mitad del arco SB entonces mide 70º 1 B b) En la figura KB es tangente a la circunferencia, calcule el valor de α K α 50º 1 140º S A 1 El SKA es inscrito por lo que arco SA mide el doble 100º. Por diferencia el arco AK mide 360 º (100º + 140º ) = 10º El ángulo α es seminscrito por lo que mide la mitad del arco AK y por lo tanto mide: 60º Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 11

12 c) De acuerdo con los datos de la figura: C F D G EG = 9cm, GD = 11cm, CD = 15cmCalcule la medida de FD Según el teorema: ED GD = CD FD = 15 x ( ) 0 11 x = = E d) Calcule el área de un sector circular y longitud de arco de radio 3cm y ángulo central 4 π radianes. Convertimos el ángulo en radianes a grados: π 180º = 45º 4 π A s π r nº π 3 45 = = = 360º πcm 8 π r nº π 3 45º AB = = 180º 180º = 3 πcm 4 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

13 e) Calcular el área de un segmento circular si el diámetro mide 8cm y esta formado por un ángulo de 60º Como el diámetro mide 8cm el radio mide la mitad: 4cm Tenemos que calcular el área del triángulo que pertenece al sector circular y ocupamos la altura del triángulo. Note que el ángulo es de 60º y el triángulo es isósceles, entonces la altura marcada es mediana, bisectriz y mediatriz a la vez entonces al ser bisectriz parte el ángulo en dos congruentes midiendo cada uno 30º y al ser altura se prolonga perpendicular hacia el lado. Por lo tanto se forman en el triángulo dos triángulos rectángulos especiales congruentes. (Ver en anexo triángulos especiales) Resulta que al realizar este análisis el triángulo es equilátero porque todos sus ángulos son congruentes: 60º. Entonces la altura mide la mitad del radio multiplicado 4 por la raíz de tres: 3 = 3cm Ahora calculamos el área del triángulo: 4 3 A = = 4 3cm Luego calculamos el sector π 4 60º 8 circular: A s = = πcm 360º 3 Finalmente calculamos el área del segmento circular: r nº A seg = π 8 A = π 4 3 cm 360º 3 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 13

14 Ejercicios: 1) Calcule área y perímetro de un segmento circular de radio 5cm y ángulo 70º ) Calcular el área de una corona circular de radio mayor 6cm y radio menor 3cm. 3) Calcular el área y perímetro de un trapecio circular de radio mayor 8cm y radio menor 6cm y ángulo 50º 4) Determine el área sombreada según los datos de la figura si el radio mide cm: 5) Determine el ángulo alfa en π radianes según los datos de la figura: 6) Determine SBY en π radianes según los datos de la figura: Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 14

15 3. Polígonos: Polígono: Es aquella figura plana, limitada por líneas rectas llamadas lados del polígono. Se pueden clasificar de acuerdo con: a) Regulares e irregulares b) Según el número de lados Polígonos regulares e irregulares Regulares: Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y además todos sus ángulos congruentes. Nota: En bachillerato se trabajará en esta sección sólo con polígonos regulares. Ejemplo el triángulo equilátero. Irregulares: Son aquellos polígonos que tienen al menos un lado o ángulo desigual. Ejemplo el rombo Observe que el rombo tiene todos sus lados congruentes pero no todos sus ángulos. Polígonos según el número de lados: # lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 1 Dodecágono 15 Pentadecágono 0 Icoságono Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 15

16 3..1 ángulos Ángulo Central Externo Interno Fórmula 360º º 180º n n n n Ejemplos: 360 ( ) a) Determine la medida de los ángulos: central, externo e interno para un pentágono Central Externo Interno 360 º º 180º 5 = 7º 7º = ( ) = 108º b) Un polígono tiene como ángulo interno 16º Cuál es ese polígono? Utilizamos la fórmula para ángulo interno y desarrollamos la ecuación de primer grado despejando n el número de lados: ( n ) 180º = 16º n 180º n 360º = 16º n 180º n 16º n = 360º 18º n = 360º n = 360º 18º = 0 El polígono es un icoságono Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 16

17 3.. Segmentos del polígono Radio: Es la distancia más corta desde el centro del polígono hasta el vértice. Apotema: Es la distancia más corta desde el centro del polígono hasta el lado. Diagonal: es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. Fórmula Diagonales desde un vértice n 3 Diagonales totales n( n 3) Ejemplos: a) calcular el número de diagonales de un eneágono ( 9 3) 9 D = = 7 b) Si un polígono tiene 0 diagonales: Cuál es el polígono? n( n 3) 0 = 40 = n 3n 0 = n 3n 40 Ecuación Cuadrática n = 8 n = 5 Puesto que no puede haber un polígono de -5 lados es un octágono ( n = 8) Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 17

18 c) Calcular el radio y la apotema de un pentágono de lado 8cm Note que se forma un triángulo rectángulo en el cual la hipotenusa es el radio, la altura es la apotema y el otro cateto es la mitad el lado 4cm. 180º ( 5 ) Ahora determinamos el ángulo interno: = 108º 5 Luego se divide entre dos porque el radio biseca al ángulo interno, entonces la m α = 54º Utilizamos trigonometría para calcular la medida del radio y de la apotema (Si no recuerda ver la primera parte de la sección de trigonometría en este manual) 4 cos54º = r 4 r = cos54º = 6,81cm a tan 54º = 4 4 tan 54º = a a = 5,51cm Entonces la apotema mide 5,51cm y el radio mide 6,81cm Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 18

19 3..3 Área y Perímetro de un polígono regular P = n L Perímetro = número de lados por la medida del lado A = s a Área = semiperímetro por apotema P s = Ejemplo: a) Calcular el perímetro y área de un hexágono que el lado mide 5cm Calculamos el Perímetro: P = 6 5cm = 30cm 30cm Luego el semiperímetro: = 15 cm Ahora la apotema: Por triángulos especiales mide la mitad del radio por raíz de tres: el radio mide igual al lado (sólo 5 ocurre en hexágonos) entonces la apotema mide: 3cm El área es: A = s a 5 A = 15cm 3cm A = 75 3cm Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 19

20 Ejercicios: Considerando que todos los polígonos son regulares realice: 1) Calcule la medida del ángulo central, externo e interno además del número de diagonales tanto desde el vértice y totales para: a) un cuadrado b) un hexágono c) un heptágono d) un decágono e) un dodecágono f) un icoságono ) Determine la medida del radio, apotema, perímetro y área para los siguientes polígonos: a) un cuadrado de lado 5cm b) un triángulo equilátero de lado 6cm c) un pentágono de lado 8cm d) un hexágono de lado 1cm e) un octágono de lado m f) un undecágono de lado 11cm g) un hexágono de lado 3 dm 3) determine cual polígono corresponde si su número de diagonales es: a) 44 diagonales b) 35 diagonales c) 0 diagonales d) diagonales e) 5 diagonales Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 0

21 3.3 Estereometría y Sólidos Poliedros: Sólidos que están limitados completamente por superficies planas Cuerpos redondos: Sólidos que están limitados por superficies curvas, o por superficies planas y curvas Poliedros Cara: Cada una de las superficies planas que limitan al poliedro. Arista: Segmento de recta que es la intersección de dos caras en un poliedro. Vértice: Punto de intersección de dos o más aristas del poliedro. Fórmula de Euler: c + v = a Donde: c=cara v= vértices a= aristas Un polígono es regular si su base es un polígono regular Los poliedros pueden ser prismas o pirámides Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

22 Prismas: Prisma recto: : Son poliedros limitados por dos polígonos paralelos y congruentes llamados bases, y por caras laterales que son rectángulos perpendiculares a las bases. Dependiendo del número de lados del polígono que forma la base, se le da el nombre. Por ejemplo si la base es un triángulo, se le llama prisma triangular: Diagonal: : Segmento de recta que tiene por extremos dos vértices opuestos. Prismas especiales: Prisma rectangular: llamado paralelopípedo,, formado por rectángulos. Diagonal: a +l largo y altura + h donde son las dimensiones ancho, Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

23 Hexaedro o Cubo,, formado por seis cuadrados Diagonal: a 3 donde a es la arista del cubo Pirámides: Pirámides rectas: Poliedros cuya única base es un polígono cualquiera regular y sus caras laterales son triángulos isósceles que concurren a un punto llamado vértice o cúspide de la pirámide. Dependiendo del número de lados del polígono de la base, es el nombre de la pirámide. Ejemplo: pirámide hexagonal, la base es un hexágono regular: La apotema de una pirámide es la altura de un triángulo isósceles. Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

24 3.3. Cuerpos redondos: Cilindros: Cilindro circular recto: : Sólido que tiene dos bases circulares congruentes y paralelas, y una superficie lateral curva. Radio: : es el radio del círculo de una de sus bases. Altura: : Es la distancia entre las bases. Generatriz: : es un segmento cualquiera en la superficie lateral. En el cilindro coincide la medida con la altura. Conos: Cono circular recto: : Sólido cuya base es un círculo y cuya superficie lateral termina en un punto llamado vértice y es curva. Radio: : es el radio del círculo de su base. Altura: : La distancia entre el centro del círculo y el vértice. Generatriz: : Es un segmento cualquiera en la superficie lateral Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

25 La altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo, por lo que si le dan dos de ellas, se puede calcular la faltante por el teorema de Pitágoras. La generatriz siempre va a ser la hipotenusa, los catetos serían la altura y el radio. Esferas: Esfera: Cuerpo tal que todos los puntos de su superficie están a igual distancia de un mismo punto fijo que se denomina centro de la esfera. A esa distancia se le llama radio de la esfera, Áreas y volúmenes de los sólidos Área Se determina el área basal y se suma con el área lateral A = A b + A l Volumen: Se determina con la fórmula para cada sólido o por principio de Arquímedes Principio de Arquímedes: En un recipiente con medidas, se introduce una cantidad de agua medida. Luego se introduce el sólido y se mide el volumen en la marca. Finalmente el volumen del sólido es la diferencia entre la marca registrada y el volumen de agua. Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

26 Fórmulas de áreas y volúmenes de cuerpos sólidos Sólido Área Total Volumen Variables Prisma A b + Al A b h A b áreabase h = altura Paralelopípedo ( al + ah + lh) a l h a = ancho l = l arg o Cubo 6 l Pirámide A + b Al Cono π r( g + r) Cilindro π r( r + h) π r h Esfera 4π r 4 3 π r 3 Ejercicios resueltos: h = altura 3 l l = arista 1 A A b h b área base 3 h = altura 1 r r = radio π h 3 h = altura g = generatriz r = radio h = altura r = radio a) Calcular la medida de la diagonal de un paralelopípedo de dimensiones, ancho: cm, largo: 3cm, y altura 5cm. D = D = D = cm Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

27 15 = = h 173 = h h = b) Calcular la medida de la altura de un paralelopípedo de ancho: 4cm, largo: 6cm y la diagonal mide 15cm h = h = h D = a cm 3 = a 3 3 c) Calcule el área total y volumen de un cubo de diagonal 8 3cm 3 3 = a = 8cm A = 6 l A = 6 8 A = 6 64 A = 384cm V V V = l 3 = 8 3 = 51cm 3 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 7

28 d) Calcular el área y volumen de un prisma hexagonal recto de altura 10cm y el lado de la base mide 8cm. Calculamos el área basal que es un hexágono: Por triángulos especiales calculamos la apotema del hexágono que es la mitad del radio por raíz de tres. 8 La apotema mide: 3cm = 4 3cm. Ahora calculamos el 6 8 semiperímetro = 4cm. Finalmente el área basal es s a = A b = = 96 3 = 19 3cm porque son dos caras se multiplicó por dos (base y techo) Luego calculamos el área lateral que esta formada por 6 rectángulos: 6 l a = = 480cm El área total es la suma del área basal + área lateral: A = cm ( ) Ahora el volumen: A b h = = 960 3cm 3 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 8

29 e) Calcular área de una pirámide triangular regular de arista: 0cm El área total esta formada por cuatro triángulos equiláteros. Entonces calculamos la apotema de la pirámide que es la altura de un triángulo y va a medir la mitad de la arista por 0 raíz de tres: h = 3 = 10 3cmahora calculamos el área b h de un triángulo: = = 100 3cm y el área total son cuatro triángulos por lo que multiplicamos por cuatro: A = = 400 3cm f) Calcule el área y volumen de un cono de radio: 3cm y generatriz 5cm Calculamos la medida de la altura por teorema de Pitágoras: h = 5 3 = 4cm ) ( ) El área es: π r(g + r = 3π = 4πcm y el volumen es: V = π r h = π 3 4 = 1πcm 3 3 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 9

30 Ejercicios Propuestos: 1) Calcule el área, volumen y diagonal para un prisma rectangular de largo: 6cm, ancho: 4cm y altura: 7cm. ) Calcule el área y volumen para un hexaedro regular si su diagonal mide 15 cm. 3) Calcule el área y volumen para una esfera de radio cm. 4) Calcule el volumen y área para un cilindro de radio: 3cm y generatriz 14cm. 5) Calcule el área y volumen para un prisma octagonal si la altura mide 15cm y el lado de la base mide 8cm. 6) Calcule el área y volumen para una pirámide triangular regular si su arista mide: 10cm. 7) En un tanque paralelopípedo de dimensiones: ancho: 4dm, largo: 8dm y altura: 9dm. Se depositó la mitad del tanque con agua. Luego se introdujo una esfera sólida de hierro que alcanzó un volumen de 9 7 del tanque. Cuánto mide el radio de la esfera de hierro? Y Cuánto es el área de la esfera? 8) Cuál es el área y volumen de un cono de diámetro 10cm y generatriz 13cm. 9) Cuál es el área y volumen de una pirámide pentagonal si la arista mide 15cm y el lado de la base 7cm. 10) Cuál es el área lateral y volumen de un prisma icosagonal si la altura del prisma es 14cm y el lado de la base mide 4cm. 11) Si el volumen de una semiesfera es 480π cm Cuánto es la medida del radio y el área de la semiesfera. 1) El área lateral de un hexaedro regular es 144cm Cuánto mide la diagonal. 3 Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 30

31 Anexo Áreas de figuras planas Nombre Área Variables Paralelogramo b h b = base h = altura Rectángulo b h b = base h = altura Cuadrado L L = lado Rombo D d D = diagonalmayor d = diagonalmenor Triángulo b h b = base h = altura Triángulo L L = lado equilátero 3 4 Trapecio ( B + b) h B = base mayor b = base menor Polígono regular s a h = altura s = semiperímetro a = apotema Círculo π r r = radio Fórmula de Herón Se utiliza para calcular el área de un triángulo conociendo las medidas de sus lados a, b, c y s su semiperímetro: A = s ( s a)( s b)( s c) Geometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 31