TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

Transcripción

1 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 4 M,, EJERCICIO : Halla el simétrico, A, del punto A, 0 respecto de B, 8. Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B. x x Por tanto: A, 6 y 6 0 y 8 EJERCICIO : Determinar si los puntos A(,), B(,) y C(,0) están alineados. AB (,) AC (,0) (,) (,) (,) (-,-) Cierto Están alineados EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A,, B0, y C,k estén alineados. AB (0,) - (,) (-,) ) k k AC (, k) - (,) (,k -) k ECUACIONES DE RECTAS EJERCICIO : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos, 0 y, 6. b Halla la ecuación de la recta, s, paralela a y x que pasa por el punto 4, 4. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores a Pendiente Ecuación: y 0 x y x x y 0 b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m. Ecuación: y 4 x 4 y 8 x 4 x y 4 0 c Es la solución del sistema siguiente: x y 0 y x x y 4 0 x x 4 0 x 6x x 0 x y Punto:,

2 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO EJERCICIO 6 : a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por, y tiene como vector dirección d, b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por, y es paralelo al eje X. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. a) Pendiente Ecuación: y x y x y x b y y x c Es la solución de este sistema: x y x Punto:, EJERCICIO 7 : a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 0, 0 y es paralela al vector d, 6. b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por, 4 y es perpendicular a x y 0. c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores. 6 a Pendiente Ecuación: y x b Pendiente de x y 0 y x m Pendiente de la perpendicular m Ecuación de s: y 4 x y 4 x x y 0 y x x x 0 x y c Es la solución del siguiente sistema: x y 0 Punto:, EJERCICIO 8 : a Obtén la ecuación de la recta, r, que pasa por, y tiene pendiente. b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x y que pasa por, 4. c Halla el punto de intersección de las rectas r y s. a y x y x x y 0 b Pendiente de x y x y x m Pendiente de la perpendicular m Ecuación: y 4 x y 4 x 6 y x 0 c Es la solución del siguiente sistema: x y 0 x x 0 0 x 6x 0 0 y x 0 7x x y Punto:, EJERCICIO 9 : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, y,. b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a x y que pasa por el punto,. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. a Pendiente Ecuación: y x 0 0 y x x y 0.

3 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: x y y x m Ecuación: y x y x y x x y 0x x 0 x y c Es la solución del sistema siguiente: y x Punto:, EJERCICIO 0 : a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (, ) y es paralela a y x. b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, y es perpendicular a x y. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y x m x Ecuación: y x y x y x y b Pendiente de x y y x m Pendiente de la perpendicular m Ecuación: y x y 4 x x y 4 0 EJERCICIO : Dados los puntos A, y B, 4, halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB AB, Recta r : m. Ecuación: y x y x 0 x y 0 Recta s : m m Ecuación: y 4 x y 0 x x y 0 EJERCICIO : a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto,. b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a x y que pasa por el punto 0,. a y b Pendiente de x y y x m Pendiente de la perpendicular m Ecuación: y x y x x y 0 EJERCICIO : a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a x y 4 0, que pasa por,. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 0 que pasa por,. a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente: x 4 4 x y 4 0 y x m Ecuación de r : y x y 6 x x y 8 0 b La recta y 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x.

4 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIO 4 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A8, 0 y B, 4. dist A, B EJERCICIO : Halla la distancia entre los puntos P6, y Q0, 6. dist P Q, ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, y radio. x y La ecuación es: 4. EJERCICIO 7 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro, 4 y radio 4. x y La ecuación es: 4 4 REGIONES EN EL PLANO EJERCICIO 8 : Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto? b) x 0 c) x y 9 a) x y x y x y x y 9 x y 9 x 0 c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios y, respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre y x y 9, esto es: x y x 0 EJERCICIO 9 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de inecuaciones: x 4 y 4 x y 9

5 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO Le corresponde el recinto c). x y x son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por, 0 y, 0 respectivamente. y 4 e y 4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4. x y 9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio ; los puntos que cumplen x y 9 pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella. EJERCICIO 0 : Representa gráficamente el siguiente recinto: x y 6 y x 0 0 x x y 6 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de dicha circunferencia. y x 0 y x bisectriz del er y er cuadrante. Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el punto, y lo sustituimos en y x < 0. Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto, es el que corresponde a la inecuación y x > 0. x 0, x son rectas paralelas al eje Y. La representación gráfica correspondiente será: EJERCICIO : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto: Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA. AB es la recta que pasa por A( 4, 0) y tiene pendiente m. La ecuación será: y x 4 y x 0 Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo,, y lo sustituimos en la ecuación anterior: < 0. Por tanto, el semiplano buscado es x y 0. BC es paralela al eje X y pasa por 0, y El semiplano buscado es y.

6 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 6 CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m. La ecuación será: y x 4 y x x y 0 Sustituimos el punto, < 0 El semiplano buscado es x y 0. DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0. x y 0 El recinto, pues, es la solución del sistema: x y 0 0 y REPASO EJERCICIO : x y Cuál de las rectas r: y x, s: y x y t : es paralela a la recta x y 4 0? Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Pendiente de r m Pendiente de s m x y Pendiente de t : x y y x y x y x m La pendiente de x y 4 0 es m. Luego s es la recta paralela a x y 4 0. EJERCICIO : Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el punto P, 6 pertenezca a la recta. El punto P, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple: a b 6 0 a 6b 0 a b 0 a b Luego, P, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b. EJERCICIO 4 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x y 9 0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación ax c 0 es una recta paralela al eje Y a, c. c Si m y m son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m m 0. a d) La pendiente de una recta perpendicular a r: ax by c 0 es. b a FALSO. La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es:x a y b r En este caso: x 0 y 9, pero r no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia.

7 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 7 b VERDADERO. c c ax c 0 x constante recta paralela al eje Y que pasa por, 0 a a c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m m m m 0 d FALSO. a a c La pendiente de r es m y x la pendiente de la recta perpendicular b b b b a r es m. m a EJERCICIO : Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax y 6 y s: bx y sean paralelas? Y para que sean perpendiculares? r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide. a a Pendiente de r y 6 ax y x mr Pendiente de s y bx ms b a mr ms b a b Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b. a Para que r y s sean perpendiculares mr ab m b EJERCICIO 6 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 0 y s: mx y 0 no se corten. Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean paralelas, es decir, tengan la misma pendiente. Pendiente de r y x m r m m Pediente de s y mx y x ms m mr ms m EJERCICIO 7 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a x c 0: a Son paralelas? b Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes? c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto,. a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y. c c b Para que sean coincidentes. a a c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que pasar por el punto,, entonces la recta buscada es y. s

8 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 8 EJERCICIO 8 : En el triángulo de vértices A(,, B, y C, 4 halla: a La ecuación de la altura h que parte de B. b La ecuación de la altura h que parte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas. a La altura h es perpendicular al lado AC. Pendiente de AC m Pendiente de h m La recta h pasa por B y su pendiente es ; luego su ecuación es: y x y 0 x 6 y x 4 0 b La altura h es perpendicular al lado AB. Pendiente de AB m 4 Pendiente de h m 4 La recta h pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y 4 4x y 4 4x 4 y 4x 0 c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h y h : y x 4 0 y 4x 0 y 4x 4 4x x 4 0 0x x 4 0 x 4 x 8 8 y 4x 4 El ortocentro es el punto,. EJERCICIO 9 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax y 0 y s: bx 9y 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P,. Pendiente de r: ax y a a y x mr Pendiente de s: bx 9y b b y x ms Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr ms 9 a b b a Calculamos a sabiendo que P, pertenece a la recta r : a 0 a 6 0 a 4 Por tanto, a 4 y b 4.

9 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 9 EJERCICIO 0 : Las rectas r : x y 4 0, s: x 4y 0 y t: x y 0 forman un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo. Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: x y 4 0 x y 4 0 x 4y 0 x 4y 0 x 4 0 x 9 x Luego A,. x y 4 0 x y 4 0 x y 0 x y 0 x 4 0 x x Por tanto B,. y 0 y y 0 y x 4y 0 x 4y 0 x y 0 x y 0 6y 0 y x 8 0 x x Luego C,. Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el sistema formado por ellas: Altura h que parte de A es perpendicular a BC Pendiente de BC : m pendiente de h : m Ecuación de h : y x y x 6 y x 9 0 Altura h que parte de B es perpendicular a AC 4 Pendiente de A C : m pendiente de h : m Ecuación de h : y x y 4x 4 y 4x 0 Resolvemos el sistema: y x 9 0 y x 9 0 y 4x 0 y 4x x 8 0 x y 9 0 y 0 y El ortocentro es,. 9 EJERCICIO : r x y AB A Halla: a El punto de intersección de r con la perpendicular a r trazada desde A. b El punto B. La recta : 0 es la mediatriz del segmento del que conocemos,.

10 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 0 a Pendiente de r : y x m Pendiente de la perpendicular a r : m Ecuación de la perpendicular: y x x Punto de corte: x y 0 x x 0 x y x y x y Por tanto, P(,. b El punto Bx, y) es el simétrico de A respecto de P : x x y y 4 B, 4 EJERCICIO : Comprueba que el cuadrilátero de vértices A,, B6, 0, C4, 4 y D(0, 0 es un trapecio rectángulo y halla su área. Para ver que es un trapecio rectángulo, comprobamos que un lado DA es perpendicular a otros dos CD y AB : DA es la bisectriz del primer cuadrante m AB y CD tienen pendiente Luego DA es perpendicular a AB y CD el trapecio es rectángulo. Calculamos el área hallando las siguientes distancias: dist A, B dist C, D , 8 altura del trapecio dist D A AB CD DA 4 7 Área u

11 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO EJERCICIO : Calcula el área del triángulo de vértices A, 4, B(, y C, 0. Área del triángulo AB CD Llamamos h a la altura que parte del vértice C. AB La altura h es perpendicular al lado AB: 6 Pendiente de AB : m ecuación de AB : y x x y 7 0 Pendiente de h : m La recta h pasa por C y su pendiente es. h : y x y x x y 0 Buscamos el punto de intersección, D, de la recta h con el lado AB : x y 7 0 9x y 0 x y 0 x y 0 9 0x 9 0 x y 0 y y Por tanto, D, CD Área u 0 0 EJERCICIO 4 : Calcula los puntos de corte de la circunferencia x y con la recta y x 0. Los puntos de corte son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones: x y x x x x x x x 4 0 y x 0 y x

12 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO y x 8 x x 0 x y x Los puntos de corte son, y,. EJERCICIO : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(, 7 y B,. a Calcula las coordenadas de C sabiendo que la recta x 0 es la mediatriz del segmento BC. b Calcula la ecuación de la altura h que parte de C. a La mediatriz del segmento BC es perpendicular a dicho segmento. Si la recta mediatriz es x, la recta perpendicular a ella que pasa por B, es y. Por tanto, el punto medio del segmento BC es,. a a 6 a b b 4 b Llamamos C a, b : C, b La altura h que parte de C es perpendicular al segmento AB. Pendiente de AB : m 4 4 Pendiente de h : m 4 La recta h que pasa por C, y tiene de pendiente es : 4 y x y 0 4x 4 4x y 6 0