- Ángulos positivos. Los que tienen el sentido de giro en contra de la agujas del reloj.

Transcripción

1 Ángulos. TRIGONOMETRÍA - Ángulo en el plano. Dos semirrectas con un origen común dividen al plano, en dos regiones, cada una de las cuales determina un ángulo ( α, β ). Al origen común se le llama vértice. - Ángulos positivos. Los que tienen el sentido de giro en contra de la agujas del reloj. - Ángulos negativos. Los que tienen el sentido de giro a favor de las agujas del reloj. Sistemas de medidas de ángulos. - Sistema Sexagesimal: Grado sexagesimal. Cada una de las partes cuando se divide la circunferencia en 360. Un grado sexagesimal tiene sesenta minutos sexagesimales, y un minuto sexagesimal tiene sesenta segundos sexagesimales ; 1 60 ; Ángulo recto 90 ; Ángulo llano Sistema centesimal: Grado centesimal. Cada una de las partes cuando se divide la circunferencia en 400. Un grado centesimal tiene cien minutos centesimales, y un minuto centesimal tiene cien segundos centesimales. g m m s ; Ángulo recto 100 g ; Ángulo llano 00 g ; Medida en radianes. Radián: Es la medida del ángulo central que corresponde a un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma. Su símbolo es rad. Un ángulo completo, abarca toda la circunferencia, luego su medida es π radianes, que es precisamente la medida de la circunferencia cuando se toma como unidad el radio. Ángulo recto rad; Ángulo llano π rad. π 1

2 Relación de conversión entre medidas: g x rad a b π rad Ej. Cuántos grados sexagesimales y centesimales tiene un radián? a 1rad 180 a 1rad 57, ,8 180 π rad π rad b 1rad 00 b 1rad 63, , π rad π rad g g m s Ej. Expresa en grados sexagesimales 3 radianes. a 3 rad 180 a 3 rad 171, , π rad π rad Ej. Expresa en radianes 17 x rad 17 π rad x rad 17, rad π rad g Ángulos en la circunferencia. Para representar geométricamente un ángulo, se sitúa sobre los ejes cartesianos, haciendo coincidir el origen de coordenadas con el centro de una circunferencia. Los ejes dividen a dicha circunferencia en cuatro partes iguales llamados cuadrantes, cada cuadrante π mide 90,100 g ó rad. Cualquier ángulo en la circunferencia se dibuja haciendo coincidir la parte positiva del eje OX con el lado origen del ángulo. Enumerándose los cuadrantes, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. (De ahora en adelante, daremos los ángulos en grados sexagesimales y/o en radianes). Ángulos del Primer Cuadrante (0 α 90 ) ó (0 π α ) < < Ángulos del Segundo Cuadrante π < α < ó ( < α < π ) < < ( )

3 Ángulos del Tercer Cuadrante 3π α ( π α ) (180 < < 70 ) ó Ángulos del Cuarto Cuadrante 3π < α < ( < α < π ) < < ( ) ó Ángulos mayores de 360 El punto P se mueve por la circunferencia en sentido positivo, va determinando ángulos cada vez mayores hasta alcanzar los 360. Ahora bien si P sigue corriendo, la circunferencia va marcando ángulos mayores de 360. Por lo que, una misma posición en la circunferencia representa un ángulo menor de 360 y también todos los que se obtienen al sumar a éste, cualquier número de vueltas completas a la circunferencia, ya sea en sentido positivo o en el opuesto. Ángulo reducido de un ángulo. El ángulo positivo menor que 360, definido por su misma posición. Todo ángulo β mayor de 360 o π rad, puede escribirse: β 360 k + α ó β π k + α, donde k es el cociente entero de la división de β por 360 ó π, y α es el resto de esa división. (No se debe simplificar al efectuar la división pues cambiaría el resto). Ej: Calcula la reducción al primer giro de un ángulo de Ej: Calcula la reducción al primer giro de un ángulo de 11π. 11π π π 5 11π 5 π + π 11π π 3

4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo. La trigonometría estudia, principalmente, la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. Viene bien recordar los criterios de semejanza de triángulos rectángulos. Dos triángulos rectángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones: * Tienen dos lados proporcionales. * Tienen un ángulo agudo igual. Dado un triángulo como el de la figura: Se pueden establecer las siguientes definiciones: -Seno deα : es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. c sen α a b -Coseno deα : es la razón entre el cateto contiguo (adyacente) y la hipotenusa. cosα a. -Tangente deα : es la razón entre el seno y el coseno del ánguloα : por lo tanto es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo sen α c / a tg α cosα b / a Estas tres razones trigonométricas tienen sus razones inversas o reciprocas, que son: c b -Cotangente deα : es la inversa de la tangente deα : es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto. 1 cos α b / a ctg α tg α sen α c / a b c -Secante deα : es la inversa del coseno de α : entre la hipotenusa y el cateto contiguo. 1 1 a secα, es decir es la razón cos α b / a b 4

5 -Cosecante de α : es la inversa del seno de α : razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. 1 1 a cosecα, es decir es la sen α c / a c Los triángulos ABC y A B C de la figura son semejantes, sus lados son proporcionales las razones trigonométricas de un ángulo α no dependen del triángulo rectángulo elegido, solamente del ángulo α. Para un ángulo agudo, el seno y el coseno son siempre menores de 1, ya que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor que cualquiera de los dos catetos. En cambio la tangente puede tomar cualquier valor positivo pues la relación entre los dos catetos puede ser cualquiera. Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. Sea el triángulo de la figura: Aplicamos el teorema de Pitágoras: 1 a b c ; + si dividimos por a ambos miembros: a b c b c b c a a a a a c b sen α ;cosα a a a a 1 cos sen α + α Ec. fundamental de la trigonometría Si en 1 dividimos por b : a b c a c b b b b a c sec α ; tg α b b b sec α 1+ tg α Y si dividimos por c en 1 : a b c a b c c a b cosec α ; ctg α c c c c c cosec α 1+ ctg α 5

6 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Tenemos así las razones trigonométricas: y y r 1 sen α y cosec α r 1 y y x x r 1 cos α x sec α r 1 x x y x tg α cotg α x y Todos los estudios posteriores se realizarán sobre circunferencias goniométricas. * Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera coinciden con las de su ángulo reducido, ya que un ángulo mayor de 360 está determinado por el mismo punto P que su ángulo reducido. Lo mismo le ocurre a un ángulo menor de 0. * Puesto que la circunferencia en la que se determinan el seno y el coseno de un ángulo α tiene de radio la unidad 1 senα 1; 1 cosα 1, y a partir de estas, se puede concluir que: cosec α (, 1] [ 1, + ) y sec α (, 1] [ 1, + ), y la tgα y ctgα pueden tomar cualquier número real. Signo de las razones de un ángulo según el cuadrante: Vamos a ver las razones trigonométricas de un ángulo α asociadas a un punto P( x, y ), situado sobre una circunferencia. A cada ángulo, le corresponde en dicha circunferencia, un solo punto. Dado que las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que esté el ángulo, también lo será el radio de la circunferencia que se elija en el sistema de referencia angular, por lo que elegiremos la circunferencia de radio unidad (circunferencia goniométrica) El signo de las coordenadas de los puntos de cada cuadrante corresponde al signo de las razones trigonométricas de los ángulos que estos puntos determinen 6

7 Valores de las razones trigonométricas de los ángulos: π π π 0 (0 rad), 90 ( / rad), 180 ( rad), 70 (3 / rad) y 360 ( π rad ). sen 0 sen 360 y 0 sen 90 y 1; cos 0 cos 360 x 1 cos 90 x 0; sen18 0 y 0; sen 70 y 1; cos 180 x 1; cos 70 x 0; Razones trigonométricas de los ángulos de 30,45,60. a) Para α 30. En el triángulo equilátero OAB de la figura se traza la altura sobre el lado AB, con lo que α 30, obteniendo el triángulo rectángulo OCA En el que se cumple el teorema de Pitágoras: h h 1 h / 1 1 sen 30 cosec / 3 / cos 30 sec / / / tg 30 ctg / / 7

8 b) Para α 60 Nos fijamos en el triángulo anterior pero ahora en el ángulo A 60 3 / 3 sen / 1 cos cos ec 60 3/ sec 60 1/ 3 / 1/ / 3 / tg 60 ctg 60 c) Para α 45 En el triángulo rectángulo isósceles de la figura, se cumple el teorema de Pitágoras: 1 l + l 1 l l l l sen 45 / 1 cos45 / 1 1 cos ec 45 / 1 sec 45 / tg / / 1 ctg 1 / / Tabla resumen de las razones trigonométricas de los ángulos 0 ;30 ;45 ;60 ;90 sen cos

9 Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos de diferentes cuadrantes (Reducción al primer cuadrante). Dado un ángulo cualquiera α, del º, 3 er o 4º cuadrante. Existe un ángulo en el primer cuadrante cuyas razones trigonométricas son iguales en valor absoluto a las del ángulo dado ( α ). Esto simplifica mucho los cálculos ya que conocidas las razones trigonométricas de los ángulos de 0º a 90º pueden obtenerse sin más cálculos que tener en cuenta el signo de estas, las de los demás cuadrantes. - Razones trigonométricas de ángulos complementarios. (Ángulos del primer cuadrante). Dos ángulos son complementarios si suman 90º o π rad. Dado que los triángulos OAP y OA P son iguales, ya que tienen iguales la hipotenusa y dos ángulos, podemos afirmar que y x, e x y por tanto, aplicando las definiciones de las razones trigonómetricas: senα y cosα x Se tiene: sen π α y cos π α x sen π π α cosα cosec α secα π cos α senα sec π tg α ctg α ctg π α cosecα π α tgα 9

10 - Razones trigonométricas de ángulos suplementarios. (Ángulos del segundo cuadrante). Dos ángulos son suplementarios si suman 180º o π rad. Sea α un ángulo agudo, ( π α) sea su ángulo suplementario y se encontrará en el segundo cuadrante. Los triángulos OAP y OA P son iguales, ya que tienen iguales la hipotenusa y dos ángulos y y; x x Se tiene: sen ( π α ) cos( π α ) tg ( π α ) senα cosec( π α ) cosecα - cosα sec ( π α ) -secα - tg α ctg( π α ) -ctgα - Razones trigonométricas que difieren en 180º o π radianes. (Ángulos del tercer cuadrante). Dado que los triángulos OAP y OA P son iguales y y; x x, se tiene: sen( π + α ) -senα cosec( π + α ) -cosecα cos( π + α ) -cosα sec( π + α ) -secα tg( π α ) + tgα ctg ( π α ) + ctgα 10

11 - Razones trigonométricas de ángulos que suman un ángulo completo o que son ángulos opuestos. (Ángulos del cuarto cuadrante). Dado que los triángulos OAP y OA P son iguales x x; y y, se tiene: sen( π α ) sen( α) -senα cos( π α ) cos( α) cosα tg( π α ) tg( α) -tgα cosec ( π α ) cosec( α) -cosecα sec( π α ) sec( α) secα ctg( π α ) ctg( α) -ctgα Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar todos sus elementos desconocidas. Hemos de tener en cuenta que en un triángulo rectángulo siempre se conoce un ángulo, el ángulo recto. Además, para poder resolver un triángulo es necesario conocer dos elementos más. Los demás los podemos calcular basándonos: Suma de los ángulos, Si A es el ángulo recto, como A+B+C 180º B+C 90º Teorema de Pitágoras. Las razones trigonométricas de los ángulos agudos. 11