LOS NÚMEROS NATURALES. SUMA Y RESTA

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1 LOS NÚMEROS NATURALES. SUMA Y RESTA Los números naturales se escriben combinando la posición de estas diez cifras: 0,,,, 4,,, 7, y 9 Ejemplos: El valor de una cifra depende del lugar que ocupa dentro del número:. Completa esta tabla: Número Se lee 9.4 «Treinta y nueve mil doscientos cuarenta y uno.» 7.0 «Un millón novecientos tres mil cuatrocientos cincuenta.» «Ciento cuarenta mil seis.». Completa estas igualdades: a)... = b) 4.44 = c). = Al escribir cómo se lee un número, las palabras se han desordenado: mil ocho tres cuarenta doscientos seiscientos y Si las ordenas correctamente sabrás qué número era. Solo hay una solución? NATURALES. LOS NÚMEROS NATURALES. SUMA Y RESTA

2 4. Une cada suma con su resultado: cincuenta y seis mil setecientos veinticinco sesenta y cinco mil setecientos cincuenta y dos noventa mil ciento diecisiete sesenta mil trescientos veinte. Calcula el número que falta en cada caso: a) =.77 b) = Completa esta tabla: Minuendo Sustraendo Diferencia Calcula los resultados de estas restas: a) b) En la clase de Manuel hay chicos y chicas más que chicos. Cuántos alumnos hay en su clase? 9. El pueblo de Lucía tiene.7 habitantes y el de Claudia tiene.4 habitantes menos. Cuántos habitantes tiene el pueblo de Claudia? NATURALES. LOS NÚMEROS NATURALES. SUMA Y RESTA

3 LOS NÚMEROS DECIMALES. SUMA Y RESTA Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma. Los números decimales se pueden leer de varias formas. Ejemplo:,4 «coma 4.» «unidades y 4 milésimas.» Para sumar y restar números decimales, se colocan de modo que las comas queden en una misma columna, y escribimos la coma en el resultado.. Asocia cada número a su lectura:,4 «Veinte coma quinientos seis.» 0,9 «Doce unidades y treinta y dos milésimas.» 0,0 «Cincuenta y uno coma cuatro.» 9,7 «Veintinueve centésimas.» 0,9 «Nueve unidades y siete décimas.»,0 «Trescientos ocho coma noventa y seis.». Escribe cómo se leen estos números. Escribe las dos formas: a), d).9,04 b),4 e) 4, c) 4, f) 0,97. Observa cómo se leen estos números y coloca la coma decimal que les falta: «Setenta y cuatro unidades y tres centésimas.» «Ochocientas noventa y ocho unidades y cinco décimas.» 9 «Trescientas cuarenta y cinco milésimas.» 4 «Treinta y cuatro unidades y doscientas siete milésimas.» «Tres mil cuatrocientas veinte unidades y siete décimas.» «Trescientas cuarenta y dos unidades y siete centésimas.» DECIMALES. LOS NÚMEROS DECIMALES. SUMA Y RESTA

4 4. Coloca, en cada caso, el signo ">" o el signo "<" entre cada pareja de números decimales: 4, 4,49,0,0 0,4 0,,4,47. Realiza estas operaciones:,0 7,4 70,,09 +,7 +, 9,4 7,. Efectúa estas sumas y restas colocando primero las cantidades en columnas: a) 0,0 + 0,40 + 9,7 d),09 +,00 + 4,99 + 0,7 g).0, 9, b), ,0 e),04,9 h) 09,,4 c),07 +,9 + 00, f),9,9 i),04 0,9 7. El equipaje de Nuria se compone de una maleta que pesa,4 kg, un bolso de mano que pesa,7 kg y una bolsa de aseo que pesa,0 kg. Cuánto pesa el equipaje de Nuria en total?. Ruth tenía, euros y su padre le ha dado,7 euros. En la calle se ha encontrado con su tía Rocío, que le ha dado otros 4, euros. Ha ido a la librería y se ha comprado varios libros, que le han costado 9,4 euros. Cuánto dinero le queda? DECIMALES. LOS NÚMEROS DECIMALES. SUMA Y RESTA

5 LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA Los números decimales tienen una parte entera y otra decimal separadas por una coma. Estos números se pueden representar en la recta numérica. Para redondear un número decimal a las décimas, por ejemplo, nos fijamos si la cifra de las centésimas es menor, mayor o igual a. Ejemplo:,7 redondeado a las décimas es,7. 4,7 redondeado a las décimas es 4,.. Sitúa en la recta numérica estos números decimales: 4,;,; 4,;,; 4,.. A qué números corresponden los puntos señalados en esta recta numérica?. Completa la siguiente tabla: Redondeo a la décima Redondeo a la unidad,47, 4, 0,74 0, DECIMALES. LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA

6 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Los números decimales se multiplican como los naturales, y luego se separan con una coma (contando desde la derecha) tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores juntos. Ejemplo:, x 47 x 4, ,77 El factor, tiene cifras decimales. El factor 4,7 tiene cifra decimal. Entre los dos tienen cifras decimales. El resultado será:,77. Al hacer estas multiplicaciones, Sergio ha olvidado poner la coma decimal en los resultados. Ayúdale tú y colócala en el sitio que le corresponda: a) 7, x,9 = 7 d), x,09 = 9 b), x, = 790 e) 4,9 x 0,7 = 09 c) 40,4 x,4 = 94 f) 40, x = 794. Cada multiplicación tiene tres posibles resultados. Elige el que sea correcto: 9, 09,0 0, x, =.9, 7,4 x 0, = 0.9,0,9.09,0 9,.,,4 x, =.9, 49, x 7, =,,9,. Une por medio de flechas cada multiplicación con su resultado: 0, x 0, 7, x, 4 x 0,7,7 x 9,4,9 0,9 4,, DECIMALES. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

7 4. Realiza las siguientes multiplicaciones: a), d), g), x, x 7, x b) 74 e) 7,7 h), x 4, x 0,4 x,7 c) 0,0 f).44 i),9 x x,0 x,. Las multiplicaciones de la zona interior tienen su resultado en la zona exterior. Encuentra los resultados y completa la frase final: ,4,. 4,7 x 0 0,7 0,4 9,4 x 00, 0,7,4 00 0,4 x 0 94, 7 9,4.0, x.000,7 4, 4, Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros se mueve la coma hacia.. tenga la unidad.. Ernesto ha comprado,4 kg de patatas y el kilo de patatas cuesta 0,0 euros. Cuánto ha pagado por su compra? 7. Mónica ha hecho 7 fotocopias y cada fotocopia cuesta 0,0 euros. Cuánto ha pagado por todas las fotocopias? DECIMALES. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

8 DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para dividir un número decimal entre un número natural, se hace la división como si los dos fuesen naturales, pero al bajar la cifra de las décimas ponemos la coma en el cociente. Para dividir un número natural entre un número decimal, transformamos la división en otra equivalente sin decimales en el divisor. Para dividir dos números decimales, multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. 9,7 4,4 7. Observa el ejemplo y realiza las siguientes divisiones sacando en cada una el número de cifras decimales que se indica: a) (con decimal) c) (con decimal) b) 9 (con decimal) d) (con decimal). Realiza los cálculos que necesites para poder relacionar estas tres columnas: División Cociente Resto 0,9 : 7 0,4,07 :, 7,74 :, 40, :,4 4. Por qué número hay que multiplicar el dividendo y el divisor de cada una de estas divisiones para poder hacerla? En qué división se convierte cada una de ellas? a) :, se multiplica por y se convierte en. b) :,4 se multiplica por y se convierte en. c) 4 : 0, se multiplica por y se convierte en. d) : 0,0 se multiplica por y se convierte en. DECIMALES. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

9 4. Observa estas divisiones y sus resultados. Después, completa la frase del recuadro. 40, : 00 = 4,0, : 0 =,.7,4 :.000 =,74,9 : 00 = 0,9, : 0 = 0, 97, : 00 =,97 Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma tenga la unidad.. Aplicando lo que acabas de contestar en la actividad anterior, completa la tabla sin hacer las divisiones: División, : 0 0,97 : 00 4., : , :.000 9,4 : 0, : 00 Lugares que hay que correr la coma Resultado. Realiza las siguientes divisiones: a) 9, 4, d) 4,, g) 4,7 0, b) 9,9 7, e) 47,, h),44,4 c) 7,,0 f) 7,, i) 0,7 0,00 7. Lucía quiere repartir una bolsa de abono, que pesa.749, gramos, entre macetas. Qué cantidad de abono le corresponde a cada maceta?. Un frasco de jarabe tiene 0, l de líquido. En cada cucharada caben 0,00 l. Cuántas cucharadas se pueden tomar con un frasco de jarabe? DECIMALES. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

10 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Obtenemos los números enteros poniendo un signo + o un signo delante de los números naturales. Números naturales:,, 7, Números enteros:, +, +7, Para representar los números enteros dibujamos una recta y la dividimos en partes iguales. En una de esas divisiones colocamos el 0. A la izquierda del 0 situamos los números negativos y a la derecha los positivos.. Coloca en estas rectas numéricas los números enteros que puedas. a) Números enteros pares: b) Números enteros impares:. En qué lugar hay que poner cada uno de estos números? Observa esta recta. Alguien ha olvidado poner el 0. Colócalo tú. ENTEROS. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

11 4. Qué número representa cada letra?. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa estos puntos. A = (-, -) C = (+, +) E = (-, 0) B = (0, +) D = (-, +) F = (+, -4) ENTEROS. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

12 COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para comparar números enteros los situamos en la recta numérica; cualquier número entero es mayor que otro que esté situado a su izquierda. Ejemplo: Cuál es mayor: + ó +? Los colocamos en la recta numérica: El número + es mayor que el +.. Escribe el signo adecuado (">" o "<") entre cada par de números enteros Al comparar estos números Jaime ha cometido algunos errores. Ayúdale escribiendo correctamente los que haya hecho mal. > 0 + > + > 4 > > +9 + < 7 > + 0 < + > 0 >. Lee estas frases y contesta V si son verdaderas y F si son falsas. Corrige las que sean falsas: El número 0 es menor que el número 00. El número + es menor que el número +4. El número es mayor que el número 77. El número +4 es menor que el número 0. El número es mayor que el número Completa esta tabla:, +7, +, +7, + 9,, +4,, +9 El mayor es El menor es ENTEROS. COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

13 ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para ordenar los números enteros dibujamos una recta y la dividimos en partes iguales. En una de esas divisiones colocamos el 0. Los enteros positivos quedan a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda, y cada división corresponde a un número empezando por el + (a la derecha del 0) y por el (a la izquierda del 0).. Siguiendo las instrucciones del recuadro, dibuja una recta numérica que llegue hasta el por la izquierda y hasta el + por la derecha, y escribe todos los números intermedios.. De las siguientes rectas numéricas solo hay una que está bien hecha. Cuál es? a) b) c) d). Completa esta tabla: 0,, +,, 9, +, Forma de ordenar de mayor a menor Números ordenados,,, 0, 7, 4, + < 0 < 7 < < 4 < < + +, +7, 4,, +, +44, +7 de menor a mayor, 0, +7,, 0,, +, 0 +7 > + > 0 > > > 0 > > 0 ENTEROS. ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

14 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar a un número un entero positivo, movemos el número a la derecha en la recta numérica. Ejemplo: ( 4) + (+7) = + Situamos el ( 4) en la recta numérica. El (+7) lo representamos avanzando hacia la derecha desde el ( 4). Para sumar a un número un entero negativo, movemos el número a la izquierda en la recta numérica. Ejemplo: (+) + ( 4) = Situamos el (+) en la recta numérica. El (-4) lo representamos avanzando hacia la izquierda desde el (+).. Relaciona cada suma con su resultado: (+) + (+) (+) + ( ) +0 (+) + ( ) + (+4) + (+) + (+) + (+) +4. Con ayuda de una recta numérica, señala cuál es el resultado correcto de cada una de las siguientes sumas: 4 + a) ( ) + (+9) = +4 c) ( ) + (+) = b) (+0) + ( 4) = d) (+7) + ( 4) = + + ENTEROS. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

15 . Completa esta tabla: er sumando º sumando Suma Resultado ( ) (+) ( 7) ( 7) + ( ) ( 9) ( 9) + (+) ( ) (+) + ( ) (+7) ( ) + (+7) ( ) (+4) 4. Con ayuda de esta recta numérica realiza las siguientes sumas: a) ( ) + (+) = e) (+) + ( ) = i) ( 9) + 0 = b) (+4) + ( 0) = f) ( 7) + (+7) = j) ( ) + (+0) = c) 0 + ( ) = g) (+9) + ( ) = k) ( ) + (+) = d) (+) + 0 = h) ( 4) + (+) = l) ( 7) + 0 =. Dibuja una recta numérica y completa estas igualdades con su ayuda: a) ( 9) + (...) = c) (...) + (+) = +0 e) (+) + (...) = + b) (...) + ( ) = + d) ( 0) + (...) = 4 f) (...) + (+) = +9. El termómetro marca una temperatura de grados a las 7 de la mañana. A las de la tarde la temperatura ha subido grados. Qué temperatura señala el termómetro a las de la tarde? 7. Marta visita un gran rascacielos. Desde el cuarto sótano sube 7 pisos. Después sube otros y, por último, vuelve a subir 7 pisos más. En qué piso se para el ascensor definitivamente? ENTEROS. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

16 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar a un número un entero positivo, movemos el número a la izquierda de la recta numérica. Ejemplo: (+) (+) = Colocamos el número entero (+) sobre la recta numérica. El (+) lo representamos retrocediendo hacia la izquierda desde el (+). Para restar a un número un entero negativo, movemos el número a la derecha en la recta numérica. Ejemplo: (+) ( ) = +7 Colocamos el número entero (+) sobre la recta numérica. El ( ) lo representamos avanzando hacia la derecha desde el (+).. Relaciona cada resta con su resultado: (+) (+) + (+) (+) + (+) ( ) +7 (+7) ( 4) + (+9) (+) +. Con ayuda de esta recta numérica, señala cuál es el resultado correcto de cada una de las siguientes restas: 4 a) ( ) ( 9) = +4 c) ( ) + (+) = b) ( ) (+4) = d) ( 7) ( ) = + + ENTEROS. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

17 . Completa esta tabla: Minuendo Sustraendo Resta Resultado ( ) ( ) (+7) (+7) (+) = ( 9) ( 9) (+) = ( ) (+) ( ) = ( 7) ( ) ( 7) = ( ) ( ) 4. Realiza las siguientes restas: a) ( ) (+) = e) (+) (+) = i) (+9) 0 = b) (+4) ( 0) = f) (+7) ( 7) = j) ( ) (+0) = c) 0 (+) = g) (+9) ( ) = k) (+) (+) = d) ( ) 0 = h) ( 4) (+) = l) (+7) 0 =. Dibuja una recta numérica y completa estas igualdades con su ayuda: a) (+ 9) (...) = c) (...) ( ) = +4 e) ( ) (...) = b) (...) ( ) = + d) ( ) (...) = 7 f) (...) (+) = +7. El termómetro marca una temperatura de +4 grados a las de la mañana. A las de la madrugada la temperatura ha bajado grados. Qué temperatura señala el termómetro a las de la madrugada? 7. Un tiburón que nada a metros por debajo de la superficie del mar se lanza a pescar un pez y desciende metros persiguiéndolo. A qué profundidad ha llegado? ENTEROS. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

18 POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL El cuadrado de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo. Ejemplo: = El cubo de un número es el resultado de multiplicar el número por sí mismo tres veces. Ejemplo: = Las potencias están formadas por una base y un exponente. Esta potencia se lee: «4 elevado a 7».. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos: a) 7 x 7 x 7 = e) x x x x x x = b) 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = f) x = c) x = g) x x x x = d) x x x = h) 4 x 4 x 4 =. Completa esta tabla: Base Exponente Potencia Multiplicación x x x x x Relaciona cada potencia con su lectura. 7 «7 elevado a.» «elevado a.» 4 «elevado a 7.» 7 «9 elevado a.» 9 «4 elevado a.» 4 POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL

19 4. Observa el ejemplo y calcula las siguientes potencias: a) 4 = x x x = e) = x x x b) = f) 4 = c) = g) 4 = d) = h) 7 =. Cuántos cromos tiene Irene si durante días se ha comprado sobres cada día y cada sobre tiene cromos?. En una urbanización hay 4 portales. Cada portal tiene 4 escaleras. Cada escalera, 4 pisos, y cada piso, 4 puertas. Si en cada puerta viven 4 personas, cuántas personas viven en esta urbanización? POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL

20 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación es una suma de varios sumandos iguales. Ejemplo: = 47 x Para multiplicar dos números naturales:.º Colocamos en columna los números..º Multiplicamos la cifra de las unidades del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba. Colocamos el resultado empezando en el lugar de las unidades..º Multiplicamos la cifra de las decenas del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba. Colocamos el resultado empezando en el lugar de las decenas. 4.º Continuamos con el resto de las cifras del factor de abajo..º Sumamos todos los resultados. 4. x factores producto. Empareja los elementos de las dos columnas, uniendo mediante flechas cada suma con su multiplicación correspondiente: x x x x 7. Contesta V, si son verdaderas, o F, si son falsas, las siguientes afirmaciones, y corrige las que sean falsas: El resultado de multiplicar.709 por es Si se multiplica 0 por 4.00, da El producto de 4 por.7 es El producto tiene por factores 0 y 9.9. NATURALES. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

21 . Realiza estas multiplicaciones: a). 4 b) 4. 7 c) x 7 x x 4 4. Une cada pieza de puzle con su pareja:. En una frutería hay 4 cajas de naranjas y en cada una caben 4 naranjas. Cuántas naranjas hay en la frutería?. En la clase de.º A hay 4 alumnos. Tres de ellos se han olvidado el libro de Matemáticas en su casa. El profesor también tiene el mismo libro que los alumnos. Este libro tiene páginas. Cuántas páginas hay en la clase? NATURALES. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

22 POTENCIAS DE BASE 0 Toda potencia de base 0 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Ejemplos: 0 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = = 0 x 0 = 00 Las potencias de 0 también se usan para descomponer un número. Ejemplo:.0 = Unidades de millar + centenas + decenas = = = x x 00 + x 0 = = x 0 + x 0 + x 0. Observa el ejemplo y escribe estos productos en forma de potencia: a) 0 x 0 x 0 = d) 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = b) 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = e) 0 x 0 = c) 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = f) 0 x 0 x 0 x 0 =. Relaciona cada potencia con su multiplicación correspondiente: 0 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0. Escribe el número que representa cada una de estas potencias: a)0 = d)0 = b)0 7 = e)0 = c)0 = f)0 = POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE BASE 0

23 4. Completa esta tabla: Multiplicando por la Con potencias Número unidad seguida de ceros de base x.000 x Relaciona cada descomposición con el número que representa: x 0 + x 0 + x x 0 + x x 0 + x 0 + x x x 0 + x 0 + x x 0 + x x 0 + x 0 + x Escribe el número que expresa la cantidad que aparece en cada frase y expresa los números que has escrito en forma de producto de un número por una potencia de 0. Oriéntate con el siguiente ejemplo: El Sol está a ciento cincuenta millones de kilómetros de la Tierra: = x 0 7 a) El Sol tiene cinco mil millones de años de antigüedad. b) Un árbol adulto puede tener trescientas mil hojas. c) Una hormiga reina puede poner cuatrocientos cuarenta mil huevos. POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE BASE 0

24 RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado da el primero. La raíz cuadrada se representa con el símbolo " ". Para hallar la raíz cuadrada de un número, se multiplica cada número natural por sí mismo hasta encontrar el que buscamos. Ejemplo: = = 4 = 9 4 = = =. Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas: es la raíz cuadrada de porque, al elevar al cuadrado, da. La raíz cuadrada de es 9 porque 9 elevado al cuadrado es. 44 es porque elevado al cuadrado es 44. La raíz cuadrada de 49 es porque la diferencia entre el 9 y el 4 es. 4 es la raíz cuadrada de 4 porque por 4 da 4. = 4 porque 4 =.. Completa la siguiente frase para que exprese una idea correcta: «La raíz... de... es 7 porque, al elevar... al..., el resultado es....». Forma parejas uniendo cada raíz cuadrada con su resultado: 00 = = 9 = 400 = = = 0 = 4 = = 0 = = POTENCIAS Y RAÍCES. RAÍZ CUADRADA

25 4. Completa esta tabla: Raíz cuadrada Resultado Escribe los números que faltan en estas igualdades: a)... = 4 c)... = e) 9 =... b) 44=... d)... = f) =.... Ana y Javier han plantado en su huerto plantas de tomates en una parcela cuadrada. Cuántas plantas de tomate hay en cada lado del cuadrado? 7. Mariano quiere dibujar en una hoja de cuadraditos un cuadrado que contenga 74 cuadraditos. De cuántos cuadraditos es el lado del cuadrado? POTENCIAS Y RAÍCES. RAÍZ CUADRADA

26 RAÍZ CUADRADA APROXIMADA Hay raíces cuadradas cuyo resultado no es exacto. En esos casos, daremos el resultado de forma aproximada: = Calculamos los cuadrados de los números naturales para encontrar el que, al elevarse al cuadrado, da. = x = = x = 4 no es la raíz cuadrada de porque es menor que : < 4 no es la raíz cuadrada de porque 4 es mayor que : < 4 = x = 9 La raíz cuadrada de es un número decimal que está 4 = 4 x 4 = entre y 4: < < 4. Completa esta tabla: Raíz Cuadrado inferior más cercano Cuadrado superior más cercano Resultado aproximado 0 7 = 49 = 4 7 < 0 < Completa estas expresiones: < 4 < 7 7 < < < < < 7 < < 97 < < 0 <. Lee esta frase y contesta: «Si al cuadrado es y 7 al cuadrado es 49, la raíz cuadrada aproximada de todos los números que hay entre el y el 49 está entre y 7». Qué números tienen su raíz cuadrada aproximada entre y 4? POTENCIAS Y RAÍCES. RAÍZ CUADRADA APROXIMADA

27 CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA Para hallar la raíz cuadrada de un número natural se escribe el número debajo del radical y se separan grupos de dos cifras desde la derecha, poniendo un punto. 7.7 Buscamos el cuadrado perfecto menor que más se aproxime al primer grupo de la izquierda del punto. Hallamos la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto y lo escribimos en la caja. > 4 =.7 Se resta del primer grupo el cuadrado del número escrito en la caja. Se añade a la diferencia las dos cifras siguientes del radicando, y se separa la última cifra En la parte inferior de la caja de la raíz escribimos el doble del número que hay en la parte superior. Se divide el grupo de la izquierda entre este número. El cociente obtenido se escribe a continuación del número que está en la parte inferior de la caja. Si el cociente tiene más de dos cifras se escribe 9. Se multiplica el número escrito en la parte inferior de la caja por el cociente anterior. Se resta este producto del número que hay debajo del radicando x =.7 - Se sube a la parte superior de la caja este número escribiéndolo a continuación de la cifra que había. Si el resto es cero la raíz es exacta, en caso contrario es inexacta x =.7 - Comprobación: raíz + resto = radicando POTENCIAS Y RAÍCES. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA

28 . Completa esta tabla: Radicando Raíz Resto Calcula las siguientes raíces cuadradas: a) 4 b) c) d) 999 Cuáles son inexactas? Por qué? POTENCIAS Y RAÍCES. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA

29 FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de la unidad. Ejemplo: y 4 son equivalentes. Para expresar que dos fracciones son equivalentes se utiliza el símbolo = : Para comprobar si dos fracciones son equivalentes multiplicamos sus términos en cruz. Si al multiplicar en cruz el resultado es el mismo, las fracciones son equivalentes. Ejemplo: Para encontrar fracciones equivalentes a una fracción, multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por un mismo número. Ejemplos: = 4. Mira estos rectángulos y contesta: a) En cuántas partes está dividido cada rectángulo? b) Cuántas partes se han coloreado en cada rectángulo? c) Qué fracciones representan la misma parte del rectángulo y, por tanto, son equivalentes?. Comprueba si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes, multiplicándolas en cruz: a) 4 7 y b) 4 y 4 7 c) y 0 d) y FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES

30 . Completa estas expresiones: 4. Halla la fracción irreducible de: Reduce a común denominador los siguientes pares de fracciones y escribe el signo > o < según corresponda: a) 4 7 y b) 7 y c) 4 y 9 d) 4 9 y e) 7 y FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES

31 COMPARACIÓN DE FRACCIONES Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tenga el numerador mayor. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga el denominador menor. Para comparar fracciones con distinto denominador, buscamos fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador y, luego, comparamos sus numeradores. Ejemplo: Ordenar de menor a mayor las fracciones: y Método de los productos cruzados 9 < <. Coloca las siguientes fracciones en el lugar adecuado para que estén bien ordenadas de menor a mayor: < < < < < < <. Coloca en cada caso el símbolo ">" o "<", según corresponda: a) y 7 0 c) y b) y 4 d) 9 y 4. Ordena de mayor a menor las fracciones, y. Cuál es la correcta? > > > > > > > > > > > > FRACCIONES. COMPARACIÓN DE FRACCIONES

32 FRACCIONES Y NÚMEROS MIXTOS Un número mixto está formado por un número natural y por una fracción. Ejemplos: 4 7 Las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se pueden convertir en números mixtos dividiendo ambas cantidades. Ejemplo:. Relaciona cada fracción con su correspondiente número mixto: Completa esta tabla: Fracción División Número mixto Calcula el número mixto a que es igual cada una de estas fracciones: a) = 4 c) = 0 7 e) = b) = 9 d) = 7 f) = FRACCIONES. FRACCIONES Y NÚMEROS MIXTOS

33 FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES Una fracción tiene asociado un número decimal que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Ejemplo:. Une mediante flechas cada fracción con el número decimal correspondiente: , 0,7 0,4 0,4 0, 0,. Completa esta tabla: Fracción División Número decimal , 00 0, 0, 0. Calcula el número decimal que es igual a cada una de estas fracciones: a) = 40 d) = 0 7 g) = 0 b) = 4 e) = h) = c) = 0 9 f) = 0 9 i) = 0 FRACCIONES. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

34 FRACCIONES DECIMALES Las fracciones decimales son las que tienen el Ejemplos: denominador formado por la unidad seguida de 7.4 ceros Cada fracción decimal tiene asociado un :.000 = 0,0 número decimal. Se halla dividiendo el numerador entre el denominador. = 0, Para calcular la fracción decimal asociada a un número decimal, se escribe en el numerador el número decimal sin coma, y en el denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.. Une estas piezas de puzle:. Completa esta tabla: Se lee «0 coma» Número decimal Fracción decimal 0 0,,4 4, Escribe el número decimal o la fracción decimal que corresponde: 4 a) 0,0 = c) = 0 97 e) = g) = 00.4 b),0 = d) 9,7 = f) = 00 h) 4, = FRACCIONES. FRACCIONES DECIMALES

35 FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos la cantidad entre el denominador y multiplicamos el resultado por el numerador de la fracción. Ejemplo: 7 Dividimos.7 entre :.7 : = 44 de.7 Multiplicamos 44 por 7: 44 x 7 =.40. Elige en cada caso cuál es la solución correcta: de 700 = A 700 : = x = 0 B 700 : = 0 0 x = de.00 = C 9 4 =.00 : =.0 D.00 : 9 = x 4 =.00 de 4.4 = E + = 4.4 : = 4 F 4.4 : = x =.4 7 de 9 = G 9 : = x 7 =.7 H 9 : 7 = x =. Une por medio de flechas cada operación con el resultado correcto: 4 4 de.9 de.47 de.0 de.97 de Calcula: a) de.040 c) de. e) de 9 b) de.0 d) de 70 f) de 00 7 FRACCIONES. FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD

36 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman: dividendo, divisor, cociente y resto. Recuerda cómo se divide: La prueba de la división consiste en multiplicar el cociente por el divisor y sumar el resto al resultado. Si la división está bien hecha, obtendremos el dividendo: Ejemplo: x + 4 =.9 Una división es exacta cuando su resto es cero. Es inexacta o entera cuando su resto es distinto de cero.. Observa cada división, completa las igualdades y elige la cifra que se debe colocar en cada cociente: x = 4 x = 7 x 7 = x = x = x = x = x 4 = 9 7 x = 7 x 4 = 7 x = 7 x = 9 x = 9 x 7 = 9 x = 9 x 9 =. Aplica la prueba de la división para comprobar si la siguiente división está bien hecha o no NATURALES. DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

37 . Observa esta división y contesta V, si son verdaderas, o F, si son falsas, las siguientes afirmaciones, y corrige las que sean falsas: 4 La primera cifra del cociente es porque es la mitad de. La primera cifra del cociente es porque al dividir entre el cociente es. Al dividir entre se pone 4 en el cociente porque es el número que multiplicado por se acerca más a. La división es exacta. 4. Empareja cada división con su cociente y resto. 9 : cociente 4 y resto 0 7 : cociente 4 y resto 4 9 : 7 cociente 7 y resto 0 : cociente y resto 744 : cociente y resto. Realiza las siguientes divisiones y haz la prueba de la división para asegurarte que las has hecho bien: La maestra quiere repartir las 9 piezas que hay en una caja de construcciones entre los 4 niños y niñas de la clase. Cuántas piezas le debe dar a cada uno? Sobra alguna? NATURALES. DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

38 SUMA DE FRACCIONES Las fracciones solo se pueden sumar cuando tienen el mismo denominador. La suma es otra fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es el mismo que el de los sumandos. Ejemplo: = = 9 Si las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a común denominador y sumamos las fracciones equivalentes que hemos calculado. Ejemplo: 9. Completa estas sumas: + + = = = 4 + = + = = + = =. Ordena esta tabla para que las operaciones sean correctas: Suma de fracciones Fracciones reducidas a común denominador Resultado. Realiza estas sumas: a) b) + c) + e) d) + f) + 9 FRACCIONES. SUMA DE FRACCIONES

39 RESTA DE FRACCIONES Las fracciones solo se pueden restar cuando tienen el mismo denominador. El resultado es otra fracción cuyo numerador es la resta de los numeradores y cuyo denominador es el mismo que el del minuendo y el sustraendo. Si las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a común denominador y restamos las fracciones equivalentes que hemos calculado. Ejemplo:. Completa estas restas: 4 = = = =. Ordena esta tabla para que las operaciones sean correctas: Resta de 4 4 fracciones Fracciones reducidas a común denominador Resultado. Realiza estas restas: a) b) c) e) d) f) 9 FRACCIONES. RESTA DE FRACCIONES

40 PRODUCTO DE FRACCIONES Para multiplicar una fracción por un número, multiplicamos el numerador por ese número y dejamos el mismo denominador. Ejemplo: = = El producto de dos fracciones es una fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.. Completa estas expresiones: Ejemplo: = = 40 a) = 9 b) = 4 c) = 7 d) 7 =. Busca en el rectángulo central los resultados de las multiplicaciones de las columnas laterales: = 4 = 7 = = 9 = 0 =. Señala cuáles de estas igualdades son ciertas: a) b) = d) 4 0 c) = e) 0 = = = FRACCIONES. PRODUCTO DE FRACCIONES

41 4. Multiplica estas fracciones: a) = 7 e) = i) = 0 0 b) = f) = j) = 9 9 c) 4 = 9 g) = 4 k) = d) = h) = l) = 4. Para abonar una jardinera es necesario echarle 0 de kilo de abono. Pilar tiene 0 jardineras. Cuántos kilos de abono necesita?. Las 4 partes de los cromos de animales que tiene Antonio son de peces. Las partes de esos cromos de peces corresponden a especies de mar. Qué fracción de los cromos de Antonio es de peces de mar? FRACCIONES. PRODUCTO DE FRACCIONES

42 DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir dos fracciones, multiplicamos sus términos en cruz. El resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto del primer numerador por el segundo denominador, y cuyo denominador es el producto del primer denominador por el segundo numerador. Ejemplo:. Completa estas expresiones: a) 9 : = = c) : = 4 7 = b) : 0 = = d) : 4 = =. Busca en el rectángulo central los resultados de las divisiones de las columnas laterales: : : : 4 7 = = = : : : 9 7 = = =. Señala cuáles de estas igualdades son ciertas: a) 7 : 4 0 = d) 7 : 9 = 7 c) : = b) 0 : = e) 0 7 : = 0 FRACCIONES. DIVISIÓN DE FRACCIONES

43 4. Divide estas fracciones: a) : = 4 e) : = 7 i) : = 0 0 b) : = 7 f) : = 9 j) : = c) : = 9 g) : = 4 k) : = d) : = h) : = 0 0 l) : = 4. Cuántos vasos de de litro se pueden llenar con 9 de litro? 4. Se reparten de kilo de harina en bolsitas en las que cabe de kilo de harina. Cuántas bolsitas se han llenado? FRACCIONES. DIVISIÓN DE FRACCIONES

44 CÁLCULO DE PORCENTAJES El porcentaje o tanto por ciento significa «cuántos de cada 00». Ejemplos: 7% de los coches son rojos 7 coches de cada 00 son rojos Para calcular el porcentaje de una cantidad:. Multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje.. Dividimos el resultado entre 00. 4% de 00 4 x 00 = : 00 = 44 Para calcular un descuento o un aumento:. Calculamos el porcentaje de la Descuento: % Cantidad:.000 cantidad.. Lo restamos o sumamos a la % de.000 = (.000 x ) : 00 = 40 cantidad inicial =.70. Relaciona estas tres columnas: % por ciento de cada 00 4% 7 por ciento de cada 00 % 4 por ciento 7 de cada 00 % por ciento de cada 00 7% por ciento 4 de cada 00. Completa esta tabla: Porcentaje Significado % de perros blancos de cada 00 perros, son blancos 94% del alumnado lee cómics de cada 00 partes de aire, son de oxígeno de cada 00 películas, 7 son españolas % de no fumadores PORCENTAJES Y PROPORCIONALIDAD. CÁLCULO DE PORCENTAJES

45 . Las piezas de un puzle que expresaban el porcentaje de una cantidad se han separado. Empareja los trozos correspondientes para volver a unir las piezas: 4. Calcula los siguientes porcentajes: a) % de.400 = d) 0% de = b) % de 00 = e) % de.000 = c) 9% de 0 = f) % de.00 =. Calcula los siguientes porcentajes de cantidades usando esta "máquina" de calcular porcentajes: Cantidad Porcentaje Resultado : 00 Resultado 4% de : % de : % de 0 49% de.00. Silvia tiene CDs de música. El % es de cantantes extranjeros y el 7% es de cantantes españoles. Cuántos CDs de cantantes españoles tiene Silvia? Y de cantantes extranjeros? 7. Un juego de ordenador cuesta 47,0 euros, pero está rebajado un 0%. Cuántos euros te rebajan al comprarlo? Cuánto dinero hay que pagar por él? PORCENTAJES Y PROPORCIONALIDAD. CÁLCULO DE PORCENTAJES

46 CÁLCULO DE CANTIDADES PROPORCIONALES Dos cantidades son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (o disminuye). Ejemplo: Si compro un periódico, pago una cantidad de dinero; si compro el doble de periódicos, también pagaré el doble de dinero. Dos series de números son proporcionales si podemos pasar de una a otra multiplicando o dividiendo por el mismo número. Ejemplo: Para calcular cantidades proporcionales hay que averiguar cuál es el número por el que se multiplica para pasar de una serie a otra. Ejemplo: Dividimos:,44 : 4 = 0, Cada bolígrafo cuesta 0, 9 x 0, =,4. Contesta V, si son verdaderas, o F, si son falsas, las siguientes afirmaciones, y corrige las que sean falsas: Si compro más cuadernos, pagaré menos dinero. Si compro menos cromos, me gastaré menos dinero. Si preparo dos zumos de naranja, necesitaré el doble número de naranjas. Si tengo más trabajo que hacer, tardaré más tiempo en hacerlo.. Completa estas frases: Si compro el doble de manzanas, pago el... de dinero. Si compro el doble de patatas, pago el... de dinero. Si compro el... de peras, pago el doble de dinero. Si compro el... de tomates, pago el triple de dinero. Si compro la mitad de cebollas, pago la... de dinero. PORCENTAJES Y PROPORCIONALIDAD. CÁLCULO DE CANTIDADES PROPORCIONALES

47 . Averigua si estas series de números son proporcionales. 4. Estas serie de números son proporcionales. Completa lo que falta.. Completa estas tablas:. Para hacer batidos de fresa, Mario necesita 0 gramos de fresas. Cuántos gramos de fresas necesita para preparar batidos de fresa? 7. Cuántos kilómetros separan a dos ciudades cuya distancia en un mapa de escala : es de centímetros? Ten en cuenta que la escala : indica que cm del plano representa cm en la realidad. PORCENTAJES Y PROPORCIONALIDAD. CÁLCULO DE CANTIDADES PROPORCIONALES

48 MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Los múltiplos de un número son los números que se obtienen al multiplicar ese número por todos los números naturales. Ejemplo: Múltiplos de Completa estas tablas: Múltiplos de Múltiplos de Escribe los primeros múltiplos de.. Contesta V, si son verdaderas, o F, si son falsas, las siguientes afirmaciones, y corrige las que sean falsas: es múltiplo de 9 porque 9 x 7 son. 7 es múltiplo de 7 porque acaba en 7. es múltiplo de porque la suma de sus cifras es. 00 es múltiplo de porque hay un número que al multiplicarlo por da es múltiplo de porque al multiplicar por da 0. NATURALES. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

49 4. Escribe múltiplos de cada uno de estos números: a) d) b) 4 e) 0 c) 0 f). Todos los números de una de estas cajas son múltiplos de 9. Qué caja es?. El número ha invitado a su fiesta de cumpleaños a algunos de sus múltiplos, pero tres números que no son múltiplos de se han colado en la fiesta aprovechando la alegría y el alboroto. Ayuda al número a encontrar a los intrusos. 7. Las natillas se venden en paquetes de 4 unidades. Cuántas natillas hay en 7 paquetes? Puede una persona comprar natillas? NATURALES. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

50 DIVISORES DE UN NÚMERO La palabra divisor significa: «que divide». Los divisores de un número son aquellos números entre los que se puede dividir de forma exacta. Ejemplos: Los números,, y son divisores del número 4. Para encontrar todos los divisores de un número se divide por todos los números menores que él y por él mismo. Los que dan de resto 0 son los divisores.. Realiza las oportunas divisiones y contesta a estas preguntas: a) Es divisor de 4? e) Es divisor de 9? b) Es 9 divisor de 4? f) Es divisor de 7? c) Es 7 divisor de 7? g) Es divisor de 9? d) Es divisor de? h) Es divisor de?. Contesta V, si son verdaderas, o F, si son falsas las siguientes afirmaciones, y corrige las que sean falsas: es divisor de porque los dos acaban en. es divisor de 7 porque 7 dividido entre es una división exacta. Un mismo número puede ser divisor de varios números. 7 es divisor de 7 porque cualquier número es divisor de sí mismo.. Entre estos números hay dos que no son divisores de 0. Encuéntralos NATURALES. DIVISORES DE UN NÚMERO

51 4. En la columna de la derecha hay varios números. Algunos son divisores del número de la columna de la izquierda y otros no. Observa el ejemplo y coloca cada número de la derecha en la columna central que le corresponda. Divisores No divisores Encuentra todos los divisores de los siguientes números: a) e) 40 b) f) c) 4 g) d) h) 0. Observa esta tabla y complétala: El número es divisor de Sí No 7. En la papelería de Diego hay 4 rotuladores sueltos y estuches de, de 4, de y de rotuladores. En cuáles de esos estuches puede guardar Diego los rotuladores sin que sobre ni falte ninguno? NATURALES. DIVISORES DE UN NÚMERO

52 Apellidos: NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Un número primo es un número que solo tiene como divisores el y él mismo. Ejemplo: 7 tiene como divisores y 7. 7 es primo. Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores. Ejemplo: tiene como divisores,,, 4, y. es un número compuesto.. Completa esta tabla: Divisores y el propio número Otros divisores Primo o compuesto? 4 y 4 00 y Relaciona estas tres columnas: 7 divisores divisores primo 4 divisores 49 divisores compuesto 7 divisores. Calcula los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos: NATURALES. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

53 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por otro cuando la división es exacta, es decir, el resto de la división es 0. Muchas veces no es necesario hacer la división para saber si un número es divisible por otro: Un número es divisible por si termina en 0 o cifra par. Un número es divisible por si la suma de sus cifras es un múltiplo de. Un número es divisible por 4 si el número que forman sus dos últimas cifras es múltiplo de 4, o acaba en 00. Un número es divisible por si acaba en 0 o en. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.. Observa estos números y contesta a las siguientes preguntas: a) Cuáles de estos números acaban en 0 o en cifra par? b) Cuáles de estos números son divisibles por?. Observa el ejemplo y termina de completar la tabla: Suma de las cifras Es múltiplo de? Es divisible por? = Sí Divisible Clasifica estos números colocándolos en su fila correspondiente: Divisible por No divisible por NATURALES. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

54 4. Sin hacer las divisiones, averigua cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 y cuáles por 9. Hay alguno divisible por 4 y por 9 a la vez? Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas: Un número es divisible por si acaba en. Que un número sea divisible por quiere decir que si lo dividimos entre, el resto es 0. 9 es divisible por. Un número que acaba en 4 es divisible por 4. Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras sea 9. Un número que acaba en 4 no es divisible por, sí lo es por y puede serlo por.. Completa esta tabla poniendo una cruz en la casilla del, del, del 4, del o del 9, si el número es divisible por, por, por 4, por o por 9: Divisible por Hay algún número que no sea divisible por, ni por, ni por 4, ni por y ni por 9? 7. Se podrían repartir hormigas en hormigueros artificiales iguales? NATURALES. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

55 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero. Ejemplo: Calculamos el mínimo común múltiplo de 4 y. Múltiplos de 4 = {0, 4,,,, 0, 4,, } Múltiplos de = {0,,,, 4, 0,, 4, } Múltiplos comunes = {0,, 4, } Elegimos el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero: m.c.m.(4 y ) =. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 0 y 7 y 4 y 4. Resuelve los siguientes apartados: a) Escribe los múltiplos de menores de 0. b) Escribe los múltiplos de menores de 0. c) Escribe los múltiplos comunes de y menores de 0. d) Cuál es el mínimo común múltiplo de y?. Ana y Carlos llaman por teléfono desde la única cabina que hay en el pueblo. Ana llama cada días y Carlos cada 0. Si hoy han coincidido, cuándo lo volverán a hacer? NATURALES. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

56 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos dos números. Ejemplo: Calculamos el máximo común divisor de 4 y. Divisores de 4 = {,,, 4,,,, 4} Divisores de = {,,, 4,, 9,,, } Divisores comunes = {,,, 4,, } Elegimos el mayor de los divisores comunes: m.c.d.(4 y ) =. Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números: 0 y 9 y y 0. Resuelve los siguientes apartados: a) Escribe los divisores de 9. b) Escribe los divisores de. c) Escribe los divisores comunes de 9 y. d) Cuál es el máximo común divisor de 9 y? Son el 9 y el primos entre sí?. Tenemos un saco con 0 kilos de harina y otro con kilos. Se quieren repartir los dos sacos en paquetes del mismo tamaño, sin que sobre harina de ningún saco. Cuántos kilos pesará el mayor paquete posible? NATURALES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR