LEY DE GAUSS. A v. figura 5.1

Transcripción

1 LY D GAUSS 5.1 INTRODUCCION. l campo eléctrico producido por objeto cargado etático puede obtenere por do procedimiento equivalente: mediante la ley de Coulomb o mediante la ley de Gau, ley debida a Karl Friedrich Gau ( ) fíico y matemático alemán que hizo mucha aportacione a la fíica tanto teórica como experimental. n lo do capítulo anteriore e decribió la ley de Coulomb y el potencial eléctrico, en ete e preenta la ley de Gau. La ley de Coulomb e una forma imple y directa de exprear la fuerza eléctrica. Por otro lado, la ley de Gau e má util, má elegante y, a vece, má útil. La ley de Gau requiere una ofiticación matemática mayor que la ley de Coulomb; pero, como recompena, uándola e adquiere un conocimiento má profundo de la interacción eléctrica. La ley de Gau e puede aplicar para evaluar el campo eléctrico i la ditribución de carga e uficientemente imétrica. Como e vera má adelante, i el campo eléctrico e conoce, la ley de Gau e puede utilizar para calcular la carga que lo produce. 5.5 L FLUJO. La palabra flujo e deriva del latín fluxu, y éte de fluere, que ignifica fluir. te concepto proviene de la teoría de fluido, donde el flujo ignifica la rapidez con que un fluido paa a travé de una uperficie imaginaria. Imaginémono un tubo que conduce agua a velocidad contante v ver figura 5.1. l volumen de agua que paa por cualquier ección tranveral A del tubo, por unidad de tiempo e: dv dt A v dt dt A v figura 5.1 l mimo volumen ale de la uperficie diagonal en el extremo del tubo. l flujo de alida e debe a la componente de velocidad v. n. dv Av. n Av co A v dt ta ultima ecuación e define como el flujo del campo de velocidade, denotado como v Av. n 5.1

2 l flujo de un campo vectorial involucra : (i) al campo; y (ii) a una uperficie para la cual el flujo e evaluado. La uperficie e repreenta mediante un vector uperficie dado como A An. Para una uperficie plana el vector uperficie A tendrá un modulo A igual al área de la uperficie, y como dirección un vector normal a la uperficie. l vector uperficie preenta una ambigüedad en u definición, ya que exiten do direccione perpendiculare, una opueta a la otra. to e puede reolver fácilmente cuando la uperficie e cerrada. Por uperficie cerrada e entiende como aquella uperficie que encierra un volumen, como en la mima figura 5.1. Siguiendo la cotumbre, e ecoge la dirección de A iempre aliendo hacia afuera del volumen encerrado. to ignifica que en la figura 5.1 la dirección en la cara de la derecha apunta como en ella e muetra, para la uperficie de la izquierda apunta en la dirección contraria al campo de velocidade y para la otra uperficie (cilíndrica) apunta aliendo en la dirección radial. 5. FLUJO LCTRICO. Al igual que el flujo del campo de velocidade, el flujo para un campo eléctrico para una uperficie plana A e define como: A. n. A 5.2 Su unidade egún la ecuación 5.2 on N-m 2 -C -1 y dado que e un producto ecalar, e trata de una magnitud ecalar. l producto ecalar tiene en cuenta la orientación de la uperficie con repecto a la dirección del campo como e ve en la figura 4.2. Figura 5.2 n la figura 5.2 e oberva que el flujo en (a) e poitivo pue y A on paralelo, el flujo en (b) e negativo pue y A on antiparalelo, el flujo en ( c) e cero pue y A on perpendiculare entre i y el flujo en (d) e Aco menor que el generado en (a). l cao anterior tiene en cuenta campo uniforme y uperficie plana. Cuando la uperficie etá curvada, como en la figura 5., o cuando el campo eléctrico varia de punto a punto de la uperficie, el flujo e obtiene dividiendo la uperficie en pequeño elemento de uperficie, tan pequeño que e puedan coniderar como plano, para que el campo eléctrico no varíe a lo largo de cada una de ella.

3 figura 5. l flujo a travé de la uperficie total e la uma de la contribucione individuale de flujo a travé de cada una de lo elemento de uperficie. Si e hace tender al limite en donde cada elemento tiende a cero, el número de elemento tiende a infinito, la uma e convierte en una integral de uperficie. lim A i A i i da nda i Superficie up erficie Si la uperficie e cerrada, la integral de uperficie e indica uando el ímbolo de integral cerrada y la ecuación de flujo eléctrico 5. queda: 5. nda 5.4 l flujo total puede er poitivo, negativo o cero. Cuando e poitivo, el flujo ale de la uperficie y cuando e negativo, entra a la uperficie. bueno anotar que la uperficie cerrada para la cual e calcula el flujo e generalmente imaginaria o hipotética, que e conoce como uperficie gauiana. jemplo. 1 Determinar el flujo eléctrico que paa a travé de una caja cubica de lado a en un campo eléctrico uniforme u x figura 5.4. Como y n on vectore contante en cualquier lado, e calcula el flujo eléctrico a travé de cada uperficie y el reultado final e la uma de la ei integrale de uperficie. l campo eléctrico en la cara z=y= y z=y=a e perpendicular a lo vectore n u, n u, n u y n u. n ea cara, n, iendo el flujo a travé y y z z de ella igual a cero. Como lo vectore normale apuntan hacia afuera del cubo, n u x para la cara en x=a y n en x=. l flujo en la cara x=a e: u x a ( n) a u a a l flujo que paa a travé de la cara x= e x

4 2 2 2 ( n) a ( u x ) a a figura 5.4 Por lo tanto el flujo neto que paa a travé del cubo e: 5.5 LY D GAUSS. 2 2 nda a a ( a ) n eta ección e decribe una relación general entre el flujo eléctrico neto a travé de una uperficie cerrada y la carga encerrada por la uperficie. Se conidera en primer lugar el campo creado por una carga puntual poitiva q, como en la figura 5.5 (a), donde la carga etá rodeada por una uperficie cerrada de forma arbitraria. n cada punto de la uperficie, el campo eta dirigido radialmente hacia afuera, a partir de la carga q, y u magnitud e K q e 2 r. n lo punto de un área da uficientemente pequeña de la uperficie puede admitire que el campo tiene magnitud y dirección contante. n la figura 5.5(a). n n que e la componente normal a la uperficie, y e igual a co. l producto de n por el área da e co ( co ) da K q da e 2 r n la figura 5.5 (b), que e una ampliación de la figura 5.5(a), e oberva que el producto daco e la proyección del área da obre un plano perpendicular a r, y que el cociente da co 2 e igual al ángulo ólido d ubtendido dede la carga q r por el área da.

5 figura 5.5 Por lo tanto, co ( co ) da K q da e 2 Keqd 5.5 r n la figura 5.5 ( c) e hace paar por el punto p una efera de radio r de tal manera que, el ángulo ólido total ubtendido debe er el mimo que el de la figura 5.5 (a). Por lo tanto i e integra a ambo lado la ecuación 5.5 por una integral cerrada, el termino de la derecha d 4. ntonce, co da nda K q d e nda 4 K q 5.6 e La ecuación 5.6 etablece que la integral de uperficie e proporcional a la carga neta encerrada q, independientemente de la forma o tamaño de la uperficie y de la poición de la carga q en el interior de aquella. Si e tienen varia carga q 1, q 2, q, dentro de la uperficie arbitraria, el flujo eléctrico erá la uma de lo flujo producido por cada carga. Haciendo 1 Ke y q N qi la ley de Gau e puede formular como: 4 i nda q N APLICACIÓN D LA LY D GAUSS. La ley de Gau e útil para la obtención del campo eléctrico producido por ditribucione de carga que poean una alta imetría. Si la ditribución de carga e muy imétrica, alguna caracterítica del campo como lo e u dirección e

6 pueden dar mediante una imple inpección de la imetría, in neceidad de realizar cálculo alguno. n eto cao e puede: (a) eleccionar una uperficie gauiana que eté en cononancia con la imetría de la ditribución de carga; (b) determinar el flujo de dicha uperficie en función del campo eléctrico ; y ( c) reolver la ecuación 5.7 para obtener el campo. l primer pao e el má importante. Debe ecogere una uperficie gauiana para la que e pueda determinar el flujo eléctrico de forma inmediata. to pao e ilutran con lo ejemplo iguiente: jemplo 2. Una efera ailante de radio a tiene una denidad de carga uniforme y una carga poitiva total Q. Hallar el campo eléctrico en r>a y r<a. figura 5.6 Para r>a el campo eléctrico e el creado por la carga total poitiva Q, repreentado en la figura 5.6 a). Por razón de imetría, el campo e radial en todo punto y u valor erá el mimo en todo lo punto ituado a la mima ditancia r del centro de la ditribución. Por lo tanto, i e elige como uperficie gauiana una efera concéntrica de radio r, en cualquier punto de ella n ==contante. Se tiene aí: nda q N de donde Q 2 nda n A 4 r Q 4 r 2 l campo eléctrico fuera de la efera e idéntico al que produce una carga puntual Q en el centro de la efera. Igual que en el ítem anterior, e radial y u valor depende únicamente de la ditancia dede el centro de la efera. Por lo tanto, e utiliza uperficie gauiana eférica con el mimo centro de la ditribución. Para obtener el campo dentro de la ditribución de carga, e toma r<a figura 5.6 b). La carga

7 contenida en la efera gauiana depende únicamente del radio r. de la ditribución e: La denidad Q 4 a Por lo tanto la carga neta contenida en la efera gauiana de radio r e el producto de u volumen por la denidad de carga: La ley de Gau para ete cao e de donde 4 Q q r r Q r N 4 4 a a 4 N nda n A r q Q r 2 a Qr r 4 a l campo eléctrico aumenta linealmente con r para punto dentro de la efera cargada, iendo máximo el campo en r=a. n la figura 5.7 e muetra un gráfico de contra r para la ditribución uniforme de carga de la figura 5.6. Figura 5.7 jemplo. Hallar el campo eléctrico a una ditancia r de un alambre infinito con denidad poitiva de carga uniformemente ditribuida. Si el alambre e muy largo, la línea de fuerza fuera del mimo ( en punto no muy próximo a lo extremo) on, por razón de imetría, radiale y e encuentran en plano perpendiculare al alambre. Por lo tanto, el campo tiene igual magnitud en todo lo punto ituado a la mima ditancia radial del alambre. to ugiere que e utilice como uperficie gauiana un cilindro concéntrico arbitrario de radio r, longitud arbitraria L y con bae perpendiculare al alambre (figura 5.8). La carga neta encerrada por la uperficie gauiana e:

8 q N L Figura 5.8 entonce N nda q L Pueto que el vector campo eléctrico e perpendicular al alambre, la contribución al flujo eléctrico de la cara laterale e cero. Por lo tanto la contribución al flujo eléctrico e debida a la uperficie cilíndrica, donde = n = contante para todo lo punto obre eta uperficie. Por lo tanto, e puede ecribir nda rl L ( 2 ) Depejando de eta ultima ecuación e obtiene 2 r te reultado debe er de la mima forma i el calculo fuera el de un cilindro cargado uniformemente en un punto exterior a él, pue la carga para eta ituación parece que etuviee concentrada en una recta coincidente con el eje. jemplo 4. ncontrar el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con carga uniforme por unidad de área. Para reolver ete problema e contruye una uperficie gauiana como en la figura 5.9, y que conite en un cilindro con bae de área A y parede perpendiculare al plano cargado. Por imetría, pueto que el plano e infinito, el campo eléctrico e el mimo a ambo lado de la uperficie, uniforme y dirigido hacia afuera. Ninguna línea de fuerza atraviea la parede laterale del cilindro;

9 Figura 5.9 eto e, la componente normal de a eta parede e nula. n la bae del cilindro la componente normal n ==contante. Por coniguiente, N nda q A A nda 2 da 2A A Depejando e obtiene 2 Nótee que e una aproximación válida para punto cercano al plano y apartado de lo borde de la ditribución. el mimo reultado obtenido en el ejemplo 5 del capitulo. jemplo 5. Una efera de radio R tiene una denidad de carga r, donde e una contante y r e la ditancia al centro de la efera. Calcule el campo eléctrico para punto exteriore a la efera. La denidad volumétrica de carga la definimo como dq dv. ntonce dv dq, uando el volumen de la efera en término del radio e tiene: 4 ( d r ) dq luego 2 4 r dr dq pero r ; entonce 4 rdr dq

10 La carga total de la efera e obtiene de R 4 rdr Q 2 luego Q 2R Para el cálculo del campo eléctrico, coniderando la imetría de la ditribución de carga, el campo deberá er radial, y dependerá olamente de r. Aplicando la ley de Gau Q ˆ nda Pueto que el campo depende de r, la magnitud a ea ditancia e contante entonce Q da (4r 2 ) entonce reolviendo para e tiene R 2 r LA LY D GAUSS Y LOS CONDUCTORS. Como e vio en el capitulo anterior lo conductore on materiale en lo que lo portadore de carga e mueven libremente. Si un conductor e encuentra en equilibrio electrotático, la fuerza obre lo electrone libre en el interior del conductor debe deaparecer. La conecuencia de eto on: 1. n el interior del conductor,. 2. Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico e normal a u uperficie. Ademá, eto permite enunciar un teorema que e puede probar mediante la ley de Gau para lo conductore ailado: La carga en exceo en un conductor ailado debe reidir completamente en u uperficie externa. La primera propiedad puede entendere coniderando una placa conductora ituada en un campo externo contante producido por un plano infinito como el del ejemplo 4 (figura 5.1). n equilibrio electrotático, el campo eléctrico dentro del conductor debe er cero. Si éte no fuera el cao, la carga libre e acelerarían bajo el campo. Ante de que e aplique el campo externo, lo electrone e ditribuyen uniformemente por todo el conductor. Cuando e aplica el campo externo, lo electrone aceleran hacia la izquierda y producen una acumulación de carga negativa en la uperficie izquierda y una carga poitiva a la derecha.

11 Figura 5.1 ta ditribución de carga crean u propio campo eléctrico interno, el cual e opone al campo eléctrico externo. l itema logra el equilibrio electrotático cuando in = ex, lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor ea cero. Toda carga e generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor e cero entonce la carga neta dentro del conductor debe er cero. Para ver eto e aplica la ley de Gau a una uperficie cerrada dentro de un conductor como en la figura Como, el flujo a travé de cualquier uperficie de ee tipo e cero, y en conecuencia ea uperficie no encierra carga eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceo debe etar en la uperficie exterior. Ademá, debe notare que un objeto cargado ejerce una fuerza apreciable obre un conductor neutro, porque la carga uperficial no etá a la mima ditancia del objeto figura 5.1. Figura 5.11 Puede también utilizare la ley de Gau para determinar el campo jutamente obre la uperficie de un conductor. te campo debe er perpendicular a la uperficie del conductor. Si el campo tuviera en la uperficie del conductor una componente tangencial, lo portadore de carga e moverían a lo largo de la

12 uperficie, en repueta a la fuerza tangencial correpondiente y, por lo tanto, no e etaría en la condición electrotática. Por lo tanto, en la uperficie de un conductor en equilibrio el campo eléctrico olo tiene la componente normal. Como e perpendicular a la uperficie del conductor, e puede tomar como uperficie gauiana un pequeño cilindro con cara paralela a la uperficie del conductor, como e muetra en la figura l cilindro e lo uficientemente pequeño para depreciar la variacione de y la curvatura de la uperficie del conductor en la región que ocupa. Figura 5.12 No hay flujo a travé de la parte cilíndrica de la uperficie gauiana debido a que e tangente a eta parte y por lo tanto perpendicular al vector uperficie. l flujo a travé del extremo plano e cero porque dentro del conductor. Por último, el flujo a travé del extremo plano (de área A) que e encuentra juto por fuera del conductor e de donde nda A A A 5.8 n lo punto en que ea poitiva el campo irá hacia afuera de la uperficie ( e poitivo), y en lo punto en que ea negativa e dirigirá hacia la uperficie ( e negativo). Otro tipo de problema que correponden a la ley de Gau e lo concerniente con la ditribución de carga obre la uperficie o uperficie de un conductor. Para ello e ua el hecho de que en el interior del conductor. jemplo 6. Un conductor poee una carga neta de 1 C. Dentro del conductor hay una cavidad y dentro de ella e encuentra una carga punto Q C como en la figura 5.1. Hállee la carga q 1 en la uperficie interior del conductor (e decir en la pared de la cavidad), y la carga q 2 en la uperficie exterior del mimo.

13 Figura 5.1 Para reolver ete problema e ecoge una uperficie gauiana en el interior del conductor que rodee la cavidad como e muetra en la figura. Como la gauiana queda comprendida completamente dentro del conductor, en todo u punto. por lo tanto, el flujo eléctrico de a travé de la uperficie gauiana e N nda q q Q 1 entonce q1 Q C. Como q1 q2 1 C, entonce q2 1 C ( C) 1 C. Aí, la carga 1 C del conductor e ditribuye a í mima como igue: q C (en la uperficie interior), 1 q2 1 C (en la uperficie exterior).