Inversas Generalizadas

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1 Inversas Generalizadas Departamento de Matemáticas, CSI/IESM 5 de abril de 2 Índice.. Inversas generalizadas Uso de la inversa generalizada Método de cálculo Algoritmo para una inversa generalizada odas las posibles soluciones Inversa de Moore-Penrose Inversas generalizadas Una matriz inversa generalizada de una matriz A m n es una matriz n m G que cumple: AGA = A () Ejemplo Pruebe que para la matriz: dos inversas generalizadas son: Solución asta realizar los productos: AG A = G = [ 3 2 A = [ 3 2,G 2 = AGA [ 3 2 Por tanto, G sí es inversa generalizada de A Por otro lado, [ 42 [ 3 2 AG 2 A = Por tanto, G 2 sí es inversa generalizada de A Ejercicio = = [ 3 2 [ 3 2

2 Pruebe que la inversa de Moore-Penrose es una inversa generalizada de A. Sustituya A = F y G = F ( FF ) en AGA. Ejercicio 2 Suponga que G (n m) es una inversa generalizada de A (m n), entonces muestre que lo es también G = GAG + (I n n GA) + S(I m m AG) Para cualquiera que sean las matrices y S de dimensiones adecuadas. Calcule AG A desarrollando los productos. eorema. Si A es una matriz cuadrada que posee inversa, entonces A es una inversa generalizada para A. Se prueba directamente que G = A cumple AGA = A: AA A = (AA )A = IA = A.2. Uso de la inversa generalizada El siguiente resultado indica cómo se relaciona este concepto con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. eorema.2 Sea A una matriz m n, G una matriz n m y p un número entero positivo. Entonces X = G es una solución al sistema AX = para cualquier matriz m p para el cual es sistema es consistente si y sólo si G es una inversa generalizada de A. Si G es la inversa generalizada de A y sea una matriz para la cual el sistema se consistente y sea X o una solución, vemos que G también lo es: A(G) = AG(AX o ) = (AGA)X o = AX o = Por otro lado, suponga que G es solución al sistema AX = para todo para el cual el sistema es consistente. En particular, para cada i = a i de donde se obtiene: y por tanto, AGA = A Ejercicio 3 A(Ga i ) = a i 2

3 Suponga que el sistema Ax = b es consistente. Pruebe que si G es una inversa generalizada de A entonces Gb es una solución al sistema. Como el sistema es consistente, existe un x tal que Ax = b. Premultiplique la relación anterior por A G Utilice la propiedad de la inversa generalizada y de nuevo que Ax = b..3. Método de cálculo El siguiente resultado indica cómo se puede calcular una inversa generalizada de una matriz. eorema.3 Sea una matriz m r de rango columna completo y F una matriz r n de rango renglón completo. Suponga que L es una inversa izquierda para y que R es una inversa derecha para F. Entonces, RL es una inversa generalizada para F. Directamente comprobemos que cumple la definición de inversa generalizada: (F)(RL)(F) = (FR)(L)F = IIF = F Notación: Una inversa generalizada de la matriz A se simbolizará por: A (2) y de acuerdo a la definición: AA A = A.4. Algoritmo para una inversa generalizada Una algoritmo para calcular la inversa generalizada a una matriz m n A es: Encuentre una submatriz de A cuadrada de rango igual al de A. Denote por W a esta matriz. Una alternativa para determinarla consiste en: aplicar rref a A para ubicar las posiciones de las columnas a conservar (las de los pivotes), y aplicar rref a A para ubicar las posiciones de los renglones a conservar (las de los pivotes). Invierta y transponga W. Regrese (W ) a A en las posiciones correspondientes. En los elementos restantes ponga ceros. ransponga la matriz resultante. 3

4 Ejemplo 2 Determine una inversa generalizada de: 6 A = Solución Como 3 24 A GJ 8, A GJ Entonces, son renglones independientes el y el 2, y son dos columnas independientes la y la 3. ales renglones y columnas de A debemos conservar para formar W: [ 6 2 W =, (W ) = Por tanto:.5. odas las posibles soluciones G 24 8 = 2 4,G = eorema.4 odas las posibles soluciones de un sistema consistente: pueden ser generadas de Ax = b x = Gb + (GA I)z para una inversa generalizada G y un vector adecuado z Primeramente veamos que la fórmula genera efectivamente soluciones a Ax = b: A x = A (Gb + (GA I)z) = AGb + (AGA AI)z = AGb = b Por consiguiente, la fórmula para x genera soluciones al sistema de ecuaciones. Por otro lado, si ẋ es una solución cualquiera, se toma z = ẋ y se sustituye en x: x = Gb (GA I)ẋ = G (b Aẋ) + ẋ = ẋ 4

5 eorema.5 odas las soluciones a Ax = b para b pueden ser generadas de x = Gb usando todas las inversas generalizadas G de A. Lema.6 Para todo vector z y para todo vector b no cero existe una matriz X tal que z = Xb. omar X ij = z i /b k para j = k y cero en otro caso (b k ). Sea x una solución a Ax = b, por consiguiente, existe una z tal que: x = Gb + (GA I)z. Por el lema anterior, existe X tal que z = Xb y sustituyendo en la fórmula anterior: x = Gb + (GA I)( Xb) = [GAG + (I GA)X + ( G)(AG I)b = G b Ejemplo 3 Encuentre todas las soluciones al sistema x = Solución Determinando una inversa generalizada de la matriz de coeficientes tenemos: 5 8 G = Por tanto, al sustituir en la fórmula de todas las soluciones x = Gb + (GA I)z obtenemos: x = x = z z 4 3 z 4 5z 4 7/5 28/5 /5 z z 2 z 3 z 4 5

6 Ejemplo 4 Encuentre todas las soluciones al sistema Inversa de Moore-Penrose X = Definición Sea A una matriz cualquiera y A = F una factorización donde es de rango columna completo y F es de rango renglón completo. La inversa de Moore-Penrose de A es la matriz: M = F ( AF ) (3) Se puede demostrar que M es la única matriz que cumple AMA = A MAM = M AM es simétrica. MA es simétrica. Ejercicio 4 Sea A una matriz cualquiera y A = F una factorización donde es de rango columna completo y F es de rango renglón completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A M = F ( AF ) satisface: AMA = A En la expresión AMA sustituya A = F y la matriz M propuesta. El punto clave estará en la inversa de FF. Aquí conviene considerar a esta matriz como FF = ( )( FF ) Note que las matrices y FF son cuadradas de rango renglón y por tanto son invertibles y por tanto: ( FF ) = ( FF ) ( ) Proceda simplificando matrices con sus inversas. Ejercicio 5 6

7 Sea A una matriz cualquiera y A = F una factorización donde es de rango columna completo y F es de rango renglón completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A M = F ( AF ) satisface: MAM = M Vea la sugerencia al problema anterior. Ejercicio 6 Sea A una matriz cualquiera y A = F una factorización donde es de rango columna completo y F es de rango renglón completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A M = F ( AF ) prueba que la matriz AM es simétrica. ome su transpuesta y simplifique como se suguiere en problema previo. Ejercicio 7 Sea A una matriz cualquiera y A = F una factorización donde es de rango columna completo y F es de rango renglón completo. Pruebe que si M es la inversa a Moore-Penrose de A: Entonces la matriz MA es simétrica. Vea la sugerencia del problema anterior. M = F ( AF ) Ejemplo 5 Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz A: A = Solución: Al aplicar eliminación gaussiana se obtiene: Por consiguiente, la factorización A = F es: A = F = [

8 Recuerde que la matriz F es la matriz reducida que se obtiene de A, eliminando en el resultado los posibles renglones de ceros, mientras que es la matriz cuyas columnas son las columnas de A que tienen las posiciones de los pivotes en F. Por tanto, [ AF 6 2 = 2 6 De donde: Ejercicio 5 M = F ( AF ) = Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz A: A = Siga el proceso del ejemplo de las notas Ejercicio 6 Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz: eorema.7 Sean x,x 2,...,x t soluciones a un sistema consistente Ax = b con b. Entonces es solución si y sólo si Definamos x = t i= λ ix i, así: ( t ) A x = A λ i x i = i= t λ i x i i= t λ i = i= t λ i Ax i = i= 8 ( t t λ i b = λ i )b i= i=

9 Por tanto, x es solución, es decir A x = b, si y sólo si (recuerde que b ) t λ i = i= eorema.8 Sea A una matriz m n con rango r A entonces el sistema consistente: Ax = b para b tiene n r A + soluciones que forman un conjunto linealmente independiente. Hay k = (n r A ) soluciones linealmente independientes a Ax = digamos z,z 2,...,z k. Si x es una solución a Ax = b defina x i = x + z i para i =,...,k. Si el conjunto de formado por x i para i =,,...,k fuera linealmente dependiente, y debido a que x no puede ser el vector cero pues Ax = b, debería haber un vector x j (j ) que fuera combinación de los anteriores x,...x j. Así j x j = λ i x i i= Por consiguiente y por el lema anterior, Por lo que la suma anterior queda: j λ i = i= De donde: x + z j = Y así cancelando x tenemos: j j j x j = x + z j = λ i (x + z i ) = λ i x + λ i z i ( j i= i= i= j j λ i )x + λ i z i = x + λ i z i i= i= i= j z j = λ i z i lo cual dice que el conjunto z,...z k es linealmente dependiente. Lo cual es imposible. i=