11 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A I (INTERVALOS DE CONFIANZA)

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1 I N F R N C I A S T A D Í S T I C A I (INTRVALOS D CONFIANZA) Sea Ω ua població y sobre ella ua variable aleatoria X que sigue ua ley ormal N(µ; ), co media µ descoocida y desviació típica coocida. Co el fi de estimar µ se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño M = (x,x,...,x ), que proporcioa ua media x. Por el Teorema Cetral del Límite sabemos que si la població es grade y 30, etoces x sigue ua ley ormal x N(µ; ), luego la variable tipificada µ Z = sigue ua ley ormal N(0;). Sea tal que P{ Z } = ; es decir Φ( ) =, dode Φ() es la fució de distribució acumulativa de la N(0; ). toces P Z = de dode P x µ x = +. Así, I = x ; x + es el itervalo de cofiaa para µ co el ivel de cofiaa (ivel de sigificació ). A / se le llama valor crítico correspodiete a. Se trata de u itervalo cetrado e la media de la muestra, x, y de radio =. ste radio es el error máximo que se comete al estimar µ mediate x. Mide la precisió del itervalo: a meor radio más precisa es la estimació. PRINFRNCIA STADISTICA I (INTRVALOS D CONFIANZA) 53

2 La librería de fucioes estadísticas de XCL icluye la fució =INTRVALO.CONFIANZA( ;;) que devuelve el radio = del itervalo co u ivel de cofiaa, esto es, co u ivel de sigificació. l itervalo es, por tato, I = a,b = x ; x. [ ] [ ] + Como e el texto hay suficietes ejercicios resueltos maualmete, usado las tablas de la ormal tipificada N(0;), aquí obtedremos los resultados mediate XCL siempre que sea posible. 54 STADÍSTICA J. Sáche-Mª. S. Sáche

3 La variable estadística X sigue ua ley ormal de media descoocida, µ, y desviació típica = 3. xtraída ua muestra de tamaño = 36 se ha obteido ua media muestral x 36. Hallar u itervalo para estimar µ co u ivel de cofiaa del 95%. Aplicar al caso e que x 36 = 4. l cosumo de gasolia de los vehículos de u empresa, durate u período de 36 días elegidos al aar durate el año 00, proporcioa ua media de 4000 litros/día. Se sabe que el cosumo de la empresa sigue ua ley ormal cuya variaa es de 600 litros/día. Determiar u itervalo para estimar el cosumo medio diario durate 00 co u ivel de cofiaa del 99% PRINFRNCIA STADISTICA I (INTRVALOS D CONFIANZA) 55

4 Recordemos el TORMA DL LÍMIT PARA PROPORCIONS : Si la distribució de ua població grade tiee ua proporció p de ua cierta característica A, etoces la variable aleatoria, P, de las proporcioes muestrales extraídas de esta població (que se distribuye biomialmete), a medida que aumeta al tamaño de la muestra, se aproxima a ua distribució ormal: p ( p ) N( µ P = p; P = ) (La afirmació se da por buea si 30 y N ) Co el fi de estimar p se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño A M = (x,x,...,x ), que da ua proporció muestral pˆ = p =. La variable tipificada pˆ P Z = sigue ua ley ormal N(0;). Sea tal que pˆ ( pˆ ) P{ Z } = ; es decir Φ( ) =, dode Φ() es la fució de distribució de la N(0; ). toces, P Z = de dode pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) P pˆ P pˆ + = Así, pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) I = pˆ ; pˆ + es el itervalo de cofiaa para la proporció, p, co el ivel de cofiaa (ivel de sigificació ). Se trata de u itervalo cetrado e la proporció de la muestra, pˆ = p, y de radio pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) = =. ste es el error máximo que se comete al estimar p mediate pˆ = p. Para estimar la proporció, XCL o proporcioa directamete el radio del p ( p ) itervalo es =, pero lo podemos calcular: Φ( ) = implica = Φ que se calcula co =DISTR.NORM.STAND.INV(/) l cetro del itervalo es la proporció muestral: cetro = pˆ, y el itervalo es, I = a,b = pˆ ; pˆ + [ ] [ ] 56 STADÍSTICA J. Sáche-Mª. S. Sáche

5 3 Ua determiada marca de electrodomésticos seleccioa ua muestra de tamaño = 300 de u cierto modelo a fi de estimar la proporció de toda la producció que so defectuosos. Resulta que la muestra cotiee 30 defectuosos. Dar u itervalo de cofiaa, al 95%, para estimar la proporció de artículos defectuosos de dicho modelo. 4 A fi de determiar el tiempo medio, e miutos, que emplea u autobús de circuvalació e realiar su recorrido, se midió dicho tiempo durate 5 días, dado ua media de 35 miutos. Supoiedo que el tiempo empleado e el recorrido se distribuye ormalmete co media descoocida, µ, y desviació típica = 4 miutos, costruir u itervalo de cofiaa para µ co u ivel de sigificació = 0,0 PRINFRNCIA STADISTICA I (INTRVALOS D CONFIANZA) 57

6 5 ua ecuesta de opiió, durate ua campaña electoral e ua ciudad, se pregutó a ua muestra aleatoria de 400 persoas a cual de los dos partidos, A o B, pesaba votar: 60 declararo que votaría al partido A. Obteer u estimador putual y u itervalo de cofiaa, al 95 por 00, para la proporció de la població que votará al partido A e las eleccioes. 6 Para estudiar la velocidad de lectura, e palabras por miuto, de los alumos de señaa Secudaria Obligatoria de u Istituto, se ha tomado ua muestra de tamaño = 00 alumos, que proporcioa ua media muestral de x 00 = 0 palabras por miuto. Sabiedo que el itervalo de cofiaa para la media poblacioal, al 95%, 07,65;,35, hallar la desviació típica poblacioal,. es [ ] a + b La media muestral es el cetro del itervalo, x =, y el error máximo el radio del b a itervalo: =. Ua ve calculado, de = se despeja =. 58 STADÍSTICA J. Sáche-Mª. S. Sáche

7 7 La viscosidad del aceite de las latas que produce ua fábrica sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica 0,00. Seleccioada ua muestra de tamaño de dichas latas se ha obteido ua viscosidad media x = 4, l extremo superior del itervalo de cofiaa, al 95%, resulta ser b = 4,609 a) Determiar el tamaño de la muestra. b) Hallar el extremo iferior del itervalo. l radio del itervalo es = b x ; el extremo iferior es a = x b. De despejamos = = = PRINFRNCIA STADISTICA I (INTRVALOS D CONFIANZA) 59

8 STADÍSTICA J. Sáche-Mª. S. Sáche 60 8 La durea de u cierta fibra se distribuye ormalmete co desviació típica 0,. Para estimar la durea media de dicha fibra se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha ecotrado u itervalo de cofiaa [7,37; 7,48]. a) Cuál ha sido la durea media de las 49 fibras? b) Cuál es el ivel de cofiaa de este itervalo? l itervalo os proporcioa la media muestral b a x + = y el error máximo o radio del itervalo es a b =. De = despejamos =. toces = = = Φ Φ Φ ) (

9 9 U Istituto co 000 alumos tiee e su horario u úico recreo de 30 miutos. Se estudia la posibilidad de cambiar a dos recreos de 5 miutos, para lo cual se cosulta a ua muestra de 00 alumos y resulta que el 55% está a favor del cambio y el resto e cotra. Hallar u itervalo de cofiaa, al 95%, para la proporció poblacioal de alumos favorables al cambio. l itervalo es: I = pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) [ pˆ, pˆ + ] = pˆ ; pˆ + PRINFRNCIA STADISTICA I (INTRVALOS D CONFIANZA) 6

10 0 relació co el ejercicio aterior, qué tamaño debería darse a la muestra para que el ivel de cofiaa de que fuese elegido el cambio sea del 95%? l cambio será elegido si la proporció poblacioal es mayor al 50%; es decir, si el extremo iferior, a, es mayor que 0,50. toces, a = pˆ = 0,55 > 0, 50, Por tato, ha de ser < 0, 05. Así, pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ 0,05 = < > > 0,05 0, 05 ) 6 STADÍSTICA J. Sáche-Mª. S. Sáche

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