UNIDAD 3: INTEGRAL INDEFINIDA

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1 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN....- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES....- INTEGRACIÓN INMEDIATA INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIÓN POR PARTES INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES ACTIVIDADES....- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES INTRODUCCIÓN. El Cálculo Inegral, que es una de las más imporanes y complejas pares del Análisis Maemáico iene su origen en el esudio del área de figuras planas. Las fórmulas para el cálculo de las áreas de riángulos y recángulos eran ya conocidas en la Grecia Clásica, así como la de los polígonos regulares previa descomposición en riángulos. El problema se planea a la hora de calcular áreas de figuras limiadas por líneas curvas. Euclides (00 a.c.) sigue los rabajos de Eudoio (00- a.c.) para calcular el área del círculo por el méodo de ehaución, es decir, inscribiendo en él sucesivamene polígonos con más lados. La suma de esas áreas se aproimaba cada vez más al área del círculo, esando en el límie el valor eaco Arquímedes (87- a.c.) halló ambién el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiene, cosa realmene difícil en aquel iempo, ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geomería analíica. El méodo uilizado era el de agoamieno, eso es, se encaja el área enre dos polígonos, uno inscrio en la región y oro circunscrio a la región. Desde los griegos hasa el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas y volúmenes de figuras limiadas por líneas o superficies cerradas. Pascal, Ferma y Leibniz comienzan un esudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque hisóricamene se esudian los primeros elemenos del cálculo inegral anes que el Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

2 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA diferencial, en el siglo XVII se esudian y configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e imporanes resulados. En esa primera de las dos unidades que dedicaremos al cálculo inegral, nos cenraremos en el Cálculo de Primiivas, herramiena necesaria para la segunda unidad, en la que aplicaremos lo viso en esa para el cálculo de áreas..- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición : Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice que F es una primiiva de f si se cumple que F ' = f D. Ejemplo : Sin más que recordar la abla de derivadas, es evidene que: a) F = sen es una primiiva de f = cos en. = +. b) F = ln es una primiiva de f ( ) en ( 0, ) Proposición : Si F es una primiiva de f ( ), enonces F primiiva de f C. + C es ambién una Proposición : Si F y G son dos primiivas de una función f ( ), enonces G = F + C. Es decir, dos primiivas de una misma función se diferencian en una consane. Noa : Según hemos viso en la proposición anerior para hallar odas las primiivas de F, ya que las infinias una función f ( ), basa calcular una primiiva concrea primiivas de dicha función serán odas las de la forma: F C cualquiera..- INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES Definición : Se llama inegral indefinida de una función f primiivas de f ( ). A dicho conjuno lo represenaremos por +, con C una consane f d. al conjuno de odas las Ejemplo : Sin más que recordar el ejemplo, se concluye que: a) cos d = sen + C. b) d = ln + C. c) e d = e + C Proposición : (Linealidad de la inegral indefinida) a) ± = ± b) f d = f d f g d f d g d Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

3 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Ejemplo : cos d = d cos d = g + C Noa : Para eviar errores graves en los cálculos, conviene ener en cuena que, en general: f f d a) ( f g ) d f d g d b) d g g d.- INTEGRACIÓN INMEDIATA Como ya hemos podido comprobar en lo viso hasa ahora en la unidad, el problema de deerminar la inegral indefinida de una función se reduce al de hallar una primiiva, es decir, al de calcular una función cuya derivada sea la función a inegrar. Anes de empezar con los méodos y, a modo de curiosidad, debemos saber que no odas las inegrales se pueden epresar como una función elemenal. Algunos sen e ejemplos de ésas son: d, sen d, e d, d enre oras. Realmene son pocas las inegrales que se pueden abordar con un único méodo. Por el conrario, es muy normal que debamos combinar varios de los méodos que veremos en lo que resa de unidad para inegrar una función. Todos los méodos que abordaremos ienen como objeivo final ransformar la inegral inicial en oras hasa llegar finalmene a inegrales inmediaas. Por ello, el primer méodo de inegración y base de odos los demás de los que veremos a coninuación, es el de inegración inmediaa, eso es uilizar al revés la abla de derivadas de las funciones elemenales visa en la unidad anerior y que resumimos a coninuación: cos TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS d = + C d = + C n+ n d = + C n n + d = + C n n d = ln + C n d = n a e d = e + C a d = + C lna sen d = cos + C cos d = sen + C sen = + = = + d = ( + g ) d = sec d = g + C sen d C cos = sec + d = arcsen + C d cog d cosec d cog C cos d = cosec + C sen + d = arcg + C Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

4 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Anes de comenzar con odos los méodos de inegración, conviene recordar (porque las necesiaremos en muchas inegrales), además de las propiedades de los logarimos visas en la unidad anerior, las principales relaciones rigonoméricas que resumimos en la siguiene abla: sen + cos = sen g = cos RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS cos cog = sen + g = sec sec = cos ( + y ) = y + y sen sen cos cos sen ( + y ) = y y cos cos cos sen sen g ga + gb ga gb ( a + b) = g( y ) sen = sen cos + cog = cosec cosec = sen sen y = sen cos y cos sen y cos a b = cosa cosb + sena senb = g gy + g gy cos sen = cos cos sen = + cos cos = g g = cos g = g + cos sen sen y cos y cos y = ( ( ) ( + )) cos cos y = cos( y ) + cos( + y ) sen cos y sen y sen y = ( ( + ) + ( )) cos sen y = sen( + y ) sen( y ) Noa : En muchos casos de inegrales rigonoméricas, resula muy úil reducir los eponenes pares. Eso se consigue despejando en la fórmula del coseno del ángulo doble, obeniéndose las relaciones: a) cos sen = b) + cos cos = Noa : (Inegración por descomposición) Aunque la aplicación de las propiedades de linealidad de la inegral visas en la proposición no es realmene un méodo de inegración considerado como al, es uno de los méodos más uilizados o combinados con oros, proporcionándonos, en muchos casos, soluciones sencillas a deerminadas inegrales. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo : a) b) g d = + g d = + g d d = g + C d sen + cos d d = d = + = g cog + C sen cos sen cos cos sen Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

5 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA c) d) + d d = d = d = arcg + C d = 7 d = 7 d = 7 + C e) + cos cos d = d = d + cosd = cosd sen C + = + + Como se puede ver en el ejemplo, la esraegia de sumar y resar una misma canidad, al igual que la de muliplicar y dividir por una misma canidad, resula basane úil en deerminados casos y ayuda a simplificar el cálculo de deerminadas inegrales. Se proponen las acividades y..- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Aunque el méodo de inegración por susiución o cambio de variable se aplica en numerosas siuaciones, su origen esá en la regla de la cadena uilizada en la derivación. F g será una En efeco, si f es una función cuya primiiva es F ( ), enonces, ( ) primiiva de f ( g ) g '( ), sin más que uilizar la regla de la cadena, porque ( F ( g ))' = F '( g ) g '( ) = f ( g ( )) g '( ), con lo que f ( g ( )) g '( ) d = F ( g ( )) + C. = g En la prácica uilizaremos la noación: f ( g ) g ' d = = f ( ) d d = g ' con d el objeivo de simplificar dicha inegral, es decir, el cambio de variable es un buen méodo cuando se obiene una inegral más sencilla de resolver que la primera. En principio la dificulad para aplicar ese méodo radica en saber qué cambio hay que hacer. Esa dificulad la salvaremos con la prácica y algunos cambios recomendados que veremos más adelane. Ejemplo : = sen a) sen cos d = = d = + C = sen + C d = cos d b) c) d) = + d e + d = = e = e d = e + C = e + + C d d = d d = = d d = = d = = arcsen + C = arcsen + C d = d ( ) = 0 d d = = = ln + C = ln + C d = ( 0) d Se propone la acividad. Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

6 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Noa : (Inegración de funciones racionales de eponenciales) En las funciones racionales de eponenciales se suele uilizar el siguiene cambio que las ransforma en una racional: = a R a d = d d = a lna d d = lna. Veamos un ejemplo: = e e e d d d Ejemplo 6: d = d = = d = = e + d e d d + + = = + + = d d ln arcg ln arcg C e e C + + = + + = INTEGRACIÓN POR PARTES Por la regla de derivación del produco, sabemos que ( u v )' = u ' v + u v '. Si uilizamos la noación diferencial, endremos que d ( u v ) = v du + u dv. Inegrando en ambos miembros, obenemos u v = v du + u dv fórmula de inegración por pares u dv = u v v du. Así pues, despejando, se obiene la. Lo que conseguimos aplicando esa fórmula es ransformar una inegral en ora. Eso faciliará el cálculo siempre que la segunda sea más sencilla que la primera. En muchos casos, ha de aplicarse el méodo más de una vez o combinarlo con oros méodos. Ejemplo 7: a) e d = u = du = d dv = e d v = e = e e d = e e + C = e ( ) + C b) ln d = u = ln du = d = ln d = ln + C = ( ln ) + C dv = d v = Se propone la acividad 7.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES La inegración de funciones racionales es, en general, una area larga y, a menudo, complicada. En esa sección veremos únicamene los casos más sencillos para iniciarnos P en ese ipo de inegrales. Eso es, inegrales del ipo d siendo Q un polinomio Q con raíces reales. Para mejor comprensión, disinguiremos dos casos: Caso : gr P < gr ( Q ) º) Supongamos que las raíces de n Q son a,... a con muliplicidades m,... m Enonces, la fracción se puede descomponer en fracciones simples en la forma siguiene: P ( ) A A A m A n A A n n m n m m n Q ( ) = ( a ) + ( a ) + ( a ) + + ( a ) + ( a ) + ( a ) n n n n Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 6

7 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA º) Susiuyendo en la inegral y aplicando la linealidad de la inegral, obenemos: P ( ) A A A m A n A A n nmn m Q = a + a + a + + a + a + a n n n º) Resolvemos por separado cada una de esas inegrales, que son inmediaas. Caso : gr P gr ( Q ) En ese caso, efecuamos la división y obenemos la igualdad: lo que P Q P R = C, siendo C el cociene y R el reso Q +. El primer Q mn R = C +, con Q sumando es inmediaa (polinómica) y el segundo sumando se resuelve procediendo como en el caso. Veamos eso con más claridad con algunos ejemplos: Ejemplo 8: a) d. + Lo primero que observamos es que el grado del numerador es menor que el del denominador, así pues, no es necesario dividir. Pasamos direcamene a descomponer en fracciones simples el inegrando: + = + Facorizamos el denominador: A B A( + ) + Descomponemos: + + ( + ) B = + = = A + + B Llegados a ese puno, se puede proceder de dos formas para deerminar A y B: A + B = A = o Igualando coeficienes: = ( A + B) + A A = B = = 0 = A A = o Susiuyendo en dos valores: = = B B = Enonces: = + d = d + d = ln + ln + + C b) d. + Lo primero que observamos es que el grado del numerador es mayor que el del denominador, así pues, es necesario dividir: 6 = Descomponemos: A + B + C 6 A B C = + + = + Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 7

8 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA = 0 = A A = Susiuyendo en res valores: = = C C = 9 = = A B + C B = + + = Enonces: 6 / 9/ / d = + d + = ( + ) d d + d + d = = + ln + ln Se propone la acividad ( ) 8.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La inegración de funciones rigonoméricas es, en general, un proceso largo y laborioso. Los méodos que se pueden uilizar son diversos, aunque desaca la uilización de deerminados cambios de variable que veremos a coninuación. Como norma general, cuando nos enconremos con una inegral rigonomérica, podemos recomendar probar con lo siguiene (en ese orden):.- Simplificar el inegrando lo máimo posible uilizando las relaciones rigonoméricas. Suele ser úil, a menudo poner el inegrando en función de seno y coseno..- Observar si es inmediaa o si se puede ransformar por descomposición en inegrales más sencillas uilizando las relaciones rigonoméricas..- Si después de probar con lo anerior no se resuelve de manera sencilla, escribirla de la f sen,cos, siendo una función en la que aparecen operaciones elemenales forma (suma, resa, produco, cociene, poencia) y se recomiendan los siguienes cambios de variable: Si la función es impar en seno, es decir, si f ( sen,cos ) = f ( sen,cos ) En ese caso, se recomienda el cambio de variable = cos d = sen d = cos sen d = = sen sen d = cos sen d = d = sen d Ejemplo 9: cos = ( )( d ) = ( ) d = + C = cos + C Si la función es impar en coseno, es decir, si f ( sen, cos ) = f ( sen,cos ) En ese caso, se recomienda el cambio de variable = sen d = cos d Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 8

9 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Si la función es par en seno y coseno, es decir, si f ( sen, cos ) = f ( sen,cos ) En ese caso, se recomienda el cambio de variable + g = sec = cos = g cos = d d = + sen = + + = g cos = sen = = Veamos la demosración: d Por ora pare: = g = arcg d = + sen = cos No obsane, conviene ener en cuena que uilizando las idenidades de la noa, se pueden simplificar muchas inegrales de ese ipo, sobre odo en el caso de que el inegrando no sea una fracción sino un produco de poencias pares de senos y cosenos. La dificulad varía en cada caso. Veamos dos ejemplos bien disinos: Ejemplo 0: a) Uilizando el cambio de variable: d = = sen = = g + sen cos d = cos = = + d d = + d + + +, que es una inegral racional sin raíces reales en el ( + ) denominador que ni siquiera hemos viso cómo resolverla en el ema. cos + cos b) Si uilizamos las fórmulas de la noa : sen cos d = d = cos = ( cos ) sen ( cos) sen d = d d d C = = = c) Incluso hay una forma más fácil: sen cos d = sen cos d = sen d A parir de ahí, se puede seguir como en el aparado b. Ejemplo : a) Uilizando el cambio de variable: d = g sen = d = + = + = sen d d = + + ( ) Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 9

10 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA + = d = ()() d d C C + = + = + + = + g g b) Si uilizamos las fórmulas de la noa : d d d = sen =, cuya cos ( cos) resolución es basane más larga y compleja que con el cambio de variable. Cambio general o universal El siguiene cambio es válido para cualquier caso. No obsane, al ser algo más complejo, conviene reservarlo para cuándo no se pueda resolver la inegral con los aneriores. sen = + = g El cambio es: cos = + d d = + cos cos = g = = + cos = cos + cos + cos Veamos la demosración: + cos = cos cos ( + ) = cos = sen = = = = = + ( + ) ( + ) Por ora pare, si = g = arcg = arcg d = d + Ejemplo : d sen = + = g d = + + cos = = = d = 8 d + + d = + + cos + + d Descomponemos g = d = d d = ln = ln + C + + g +. Noa 6: Hay un caso paricular de inegrales rigonoméricas, que son las del ipo sen cos d, sen sen d, cos cos d y cuya resolución es un ano Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 0

11 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA paricular, ya que se uilizan las relaciones rigonoméricas que vimos en el puno. Concreamene son las siguienes: ( + y ) = y + y sen sen cos cos sen ( + y ) = y y cos cos cos sen sen sen y = sen cos y cos sen y cos a b = cosa cosb + sena senb Se raa de buscar dos es esas relaciones que engan en común el radicando y sumar o resar, según sea más apropiado. Veamoslo de forma más clara con un ejemplo: Ejemplo : sen cos d Buscamos dos de las relaciones en la que aparezcan. En ese caso es evidene que son las de la primera fila. sen( + ) = sen cos + cos sen Basa aplicar las igualdades:. sen( ) = sen cos cos sen Si resamos, obenemos: sen7 sen = cos sen. sen cos d = sen7 sen d = cos7 + cos + C 6 Así pues, Se propone la acividad INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES En general, aunque la palabra irracional se refiere a algo mucho más eenso, cuando hablamos de inegración de funciones irracionales, enenderemos que nos referimos a inegrales en las que la variable se encuenra denro de una raíz. Ese ipo de inegrales es uno de los que presena mayor complejidad al nivel que nos movemos en Bachillerao y son muchos los casos que se nos pueden presenar. Por lo general y, en las inegrales que nos enconraremos en ese curso, suele funcionar alguna de las siguienes esraegias, que recomendamos probar en ese orden: º) Hacer un cambio de variable, llamando al radicando n, siendo n el índice de la raíz. En el caso de que haya varias raíces en el inegrando, omaremos como n el mínimo común múliplo de los índices. º) A veces, aunque son escasas, suele funcionar ambién un cambio de variable llamando al radicando sin más. º) Para deerminadas inegrales, se pueden hacer los siguienes cambios de variable de ipo rigonomérico: R(,) a d sen = o abien cos = a R(,) a + d g = a Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

12 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA R(,) a d sec = a Como siempre R(,) a represena una función racional. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo : + = + + d = = = = + + = d d = d d d ( ) d = + C = Ejemplo : ln ln + = = + 8 d = d d = = d = d = = ( (desahemos ) el cambio) 8 + d = + + C = + + C = = ( + ) ( + ) = ( + ) + + C 8 8 Ejemplo 6: = sen d = = d = d = d = cos d sen cos sen cos + cos cos d = d = ( + cos ) d = + sen + C = + sen cos + C = = + sen sen = arcsen + + C = arcsen + + C Se propone la acividad ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Acividad : Efecúa las siguienes inegrales inmediaas: a) d b) d c) d d) d e) d f) h) 7 6 d i) d j) d k) ( + ) d l) d g) d d m) d Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

13 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA n) d ñ) d o) d p) d q) ) e d u) sen + d v) g sec d w) d d ) r) cos d s) Acividad : Halla el valor de las siguienes inegrales por descomposición: a) e) ( + 7) d b) + d f) d j) i) ( cos + ) 7 + d c) e + d g d y) g d d d) d + d cog d h) cos d d k) d + l) + d 6 + g) Acividad : Halla el valor de las siguienes inegrales mediane un cambio de variable: a) + d b) d c) d f) e) ( )( ) 7 d j) i) cos( ) cos m) d n) + sen p) ( + ) d g) d d) 9 d + h) ln ln d e e d l) 7 d ñ) d o) cos k) ( + ) + d q) + g d r) cos ( + ) sen d s) e d sen ln d sen sen cos d cos d + cos Acividad : Halla el valor de las siguienes inegrales aplicando el méodo de inegración por pares: a) cos d b) ln d c) arcg d d) e sen d e) e cos d f) sen d g) arcg d h) arcsen d ln + + d i) Acividad : Halla el valor de las siguienes inegrales racionales: a) e) d b) 7 6 d f) i) ( + ) ( ) + d c) d g) d j) + d k) + 8 ( + ) d + d d) d d h) + + d d + 8 Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

14 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad 6: Halla el valor de las siguienes inegrales rigonoméricas: a) sen d d d cos d b) c) sen d) sen cos cos + sen + d d e) f) sen + cos g) sen cog d 9cos sen sec sen h) d i) d cosec j) sen d + cos k) cos d l) sen sen d m) cos cos 6 d n) g sec d Acividad 7: Halla el valor de las siguienes inegrales irracionales: a) d b) + f) d g) d + c) 9 d h) d + d) d i) 8 d e) + + d d ACTIVIDADES DE DESARROLLO Acividad 8: Halla el valor de las siguienes inegrales: arcsen + 6 e d a) d b) d + + c) d) sen( + ) d + sen + cos e) e d f) + d g) sen ( + ) cos ( + ) d cos( ln ) h) d i) e + sen( + ) d j) ( ) + + e e d k) sen 6 cos d l) d + m) d n) ( ) d sen( ln ) ñ) d o) + d cos ln p) ln d + q) + cos d e r) d s) e e sen d 7 ) + cos d u) d + v) d + w) d sen ( ln ) + 6 ) e e d y) ( ) + e arcg d z) d + Acividad 9: Halla la función cuya derivada sea la siguiene y que pase por el puno dado: a) f ' = e pasando por el puno ( 0,) b) g '( ) = ( ) pasando por el puno ( 0,0) Acividad 0: Deermina la función f al que f f y f ( ) '' = sen ; 0 = / = 0 Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

15 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad : Calcula la función f definida en (,+ ) cuya derivada es y cuya gráfica pasa por el puno (,ln ). y ' = Acividad : Halla razonadamene la epresión de una función f de la que se sabe que su derivada segunda es la función g = +, sabiendo ambién que su gráfica pasa por el puno, y que la reca angene en dicho puno es y = sen Acividad : Calcula el valor de la inegral d haciendo el cambio de variable cos = cos. Después, halla el valor de la misma inegral uilizando el cambio z = g. Se obiene el mismo resulado? Eplica qué es lo que ocurre. Acividad : Encuenra la familia de curvas cuyas pendienes de las recas angenes a las mismas en cualquier puno de abscisa vienen dadas por la función f = e. De enre odas ellas, deermina la que pasa por el puno A ( 0,). ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Acividad : (00) Sea f : ( 0, + ) la función definida por f ( ) ln ln puno (, / ). = donde es el logarimo neperiano de. Calcula la primiiva de f cuya gráfica pasa por el Acividad 6: (00) Se sabe que la función f : ( 0,) su dominio, siendo f ' Halla la epresión analíica de f. si 0 < = + si < < Acividad 7: (00) Sea ln( ) la función definida por f ( ) ln( ) puno ( 0, ). es derivable en odo puno de y que f = 0. el logarimo neperiano de y sea : (,) f =. Calcula la primiiva de f cuya gráfica pasa por el Acividad 8: (00) Halla una función f : al que su gráfica pase por el puno M(0,), que la angene en el puno M sea paralela a la reca y + = 0 y que f '' =. Acividad 9: (00) Sea f : primiiva de f cuya gráfica pasa por el puno (, e ). la función definida por f = ( ) e. Calcula la Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

16 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad 0: (00) De la función f : (, + ) se sabe que f ' f = 0. = ( + ) y que a) Deermina f. b) Halla la primiiva de f cuya gráfica pasa por el puno (0, ). Acividad : (00) Calcula la inegral d Acividad : (00) Calcula las siguienes inegrales: d b) a) cos( + ) d c) ( + ) e d Acividad : (00) De la función f : primiiva de f cuya gráfica pasa por el puno ( 0, ). Acividad : (006) Calcula: definida por f = sen. Calcula la a) 60 d b) ( ) g( ) d siendo g la función angene. Acividad : (006) Sea la función f : sabiendo que f '' = 6 y que la reca angene a la gráfica de f en el puno de abscisas = iene de ecuación y 7 = 0. Acividad 6: (006) Calcula ( ) e d Acividad 7: (006) Sea f : [ 0,] una función al que su función derivada viene si 0 < < dada por f ' = 8 si < 6 a) Deermina la epresión de f sabiendo que f = b) Halla la ecuación de la reca angene a la gráfica de f en el puno de abscisa =. Acividad 8: (007) Deermina la función f : sabiendo que su derivada viene dada por f ' = + 6 y que el valor que alcanza f en su puno de máimo (relaivo) es el riple del valor que alcanza en su puno de mínimo (relaivo). Acividad 9: (007) Dada la función f : definida por f ( ) = Ln ( + ), halla la primiiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denoa logarimo neperiano). Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 6

17 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad 0: (007) Sea I = d. e a) Epresa I haciendo el cambio de variable b) Calcula I. Acividad : (007) Calcula: + a) d + b) cos( ) d = e. Acividad : (007) Deermina la función f : sabiendo que f '' = y que la reca angene a la gráfica de f en el puno de abscisa = 0 es la reca y =. Acividad : (008) Considera las funciones f : 0, y g : ( 0, + ) definidas sen por f = y g = ln (ln denoa logarimo neperiano) cos a) Halla la primiiva de f que oma el valor cuando = (se puede hacer el cambio de variable = cos ). b) Calcula g ( ) d. f Acividad : (009) Sea f función definida por = 9 que cumple que F ( 0) =. (Sugerencia: uiliza el cambio de variable. Halla la primiiva F de f = ) Acividad : (00) Sea f : (, + ) la función definida por f ln( ) una primiiva F de f que verifique F ( 0) = 0. (ln denoa logarimo neperiano). Acividad 6: (00) Sea I = d + e. a) Epresa I haciendo el cambio de variable = e. b) Deermina I. = +. Halla Acividad 7: (00) Sea la función f dada por f = Deermina la primiiva F de f al que F =. + para y 0. Acividad 8: (0) Sea f : ( 0, + ) la función definida por f ( ln ) =, donde ln denoa el logarimo neperiano. Deermina la primiiva de f cuya gráfica pasa por el puno P,. Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 7

18 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad 9: (0) Deermina la función f : ( 0, + ) al que f '' iene angene horizonal en el puno P (,). = y su gráfica Acividad 0: (0) Calcula: + d + Acividad : (0) variable = e. Halla: e d. Sugerencia: efecúa el cambio de ( e )( e + ) Acividad : (0) Sea f la función f : primiiva de f que pasa por el puno (,0)..- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES Acividad : a) + C b) + C c) g) 6 + C h) 6 definida por f = cos. Deermina la + C d) + C e) + C i) 7 ( + + C j) ) + C k) + C f) + C 0 + C l) ( ) m) + C n) + C ñ) 6 + C o) + C p) ln + C 7 q) ln C r) sen + C s) e + + C ) e + C u) cos C v) sec + C w) + C ) g + C y) ln cos + C ln Acividad : 7 a) C b) ln C c) + C d) ln + C e) + + C f) + ln + C 9 g) ln sen + C h) cog cosec + C i) sen + + C ln j) arcg + C k) ln ( ) arcg + + C l) ln C 6 Acividad : + C a) C b) arcg + C c) arcsen + C d) e + C Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 8

19 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA ( e) )8 8 i) ( ) + C f) sen + C j) 6 m) arcg( sen) ln ln ln + + C g) sen + C h) ln + C k) ( ) e + e + C l) ln + C 7 arcsen + C ñ) g ( + ) + C + C n) o) ln sen + cos + C ( + g p) arcg + C q) ) s) + C + C + C r) cos + C Acividad : a) cos + sen + C b) ln + + C c) arcg + C 6 e ( sen cos ) e ( sen + cos ) d) + C e) + C f) cos + sen + cos + C g) arcg ln( + ) + C h) arcsen + C i) ln( + + ) + + C Acividad : a) + 7ln + + ln ln + + C b) ln + C + c) + C ( + ) d) ln + ln + + C e) ln + ln + + C f) ln ln + + C g) ln + ln + + C h) ln ln + + C 9 9 ( + ) j) ln + ln + c k) Acividad 6: i) ln + + ln + ln + + C ln + ln + C cos cos ln cos ln + cos sec a) + C b) + C c) ln sen ln cos + + C d) + C e) ln + + g ln g C + + g + f) ( ln + g ln + g ) + C h) cos + C i) sec + cos + C 6 cos i) ln + cos + cos + C j) cos + cos cos + C Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 9

20 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA k) + sen + sen8 + C l) sen sen6 + C m) sen0 + sen + C n) sec sec + C 0 Acividad 7: + C b) 6 a) arcsen sen( arcsen ) c) + + d) C f) ln ln ( ) 8 8 arcg + C e) C h) ln ln C ln + ln + + g) + C arcg + C arcsen i) ln C + + Acividad 8: arcsen a) ln C b) e ( cos( arcsen ) ) + C c) arcg g C + + d) cos ( + ) + C e) e ( ) + C f) ( + ) + + C 9 g) cos ( + + ) + C h) sen( ln ) + C i) e ( sen( + ) cos( + ) ) + C 8 j) e + + C k) cos9 cos + C l) + + C m) + + C n) 7 C ( + ) + C o) sec ( ln ) + C p)( ) ln ( + ) ln + + C q) sen + C r) (ln e ) C sen + 6 cos + C ) 7 arcg g + C 6 u) ( ln + ln + + ) + C v) cog( ln ) + C w) ln + ln ln + + C ) e + ln( + e ) + C 6 0 y) + arcg ln( + ) + C z) ( 8) + C Acividad 9: + s) + e a) f ( ) = b) g Acividad 0: f = sen + = ( ) + C Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página 0

21 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad : + ln ln Acividad : f ( ) = + 6 Acividad : De la ª forma sale g sec + C mienras que de la ª forma se obiene + C. No se obiene el mismo resulado, cosa que es oalmene normal ya que eisen infinias primiivas y es evidene que esas dos se diferencian en una consane ya sec g g g que + = = Acividad : La familia de curvas es 9 f = e + es Acividad : Acividad 6: f 9 = + F ln Acividad 7: Acividad 8: f ( ) + si 0 < = 7 si + < < F = ln + ln + ln + = + + F = e + e Acividad 9: Acividad 0: f = e + C y la que pasa por el puno A a) f = + + Acividad : b) F = ln ln ln + + C Acividad : sen + + C b) a) ( ) + + C + c) + C 9e Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

22 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad : Acividad : F = cos + sen b) ln cos( ) a) ln ln C Acividad : Acividad 6: Acividad 7: f = 8 + e + + C + C a) f + si 0 < < = + si 8 7 b) y + = 0 Acividad 8: f ( ) 7 = f = ln + + arcg Acividad 9: Acividad 0: a) I d = b) I = ln e + C ( ) Acividad : ln + + arcg + C b) a) sen cos + + C Acividad : Acividad : f = + = cos b) a) F ln + C 6 Acividad : F = arcsen + 6 Acividad : F = + ln + ln Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página

23 UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA Acividad 6: a) I = 0 d b) 0ln I e = + 0ln + e + C ( + ) Acividad 7: F = ln ln ln Acividad 8: ln F = + Acividad 9: f = ln + Acividad 0: + ln + ln + + C e e C Acividad : ln ln Acividad : ( e + ) F = sen + cos NOTA IMPORTANTE: Las acividades de la a la son de Selecividad. En las dos páginas web siguienes se encuenran las soluciones de odos los eámenes de forma deallada: hp://emesrada.wordpress.com/00/0/0/maemaicas-ii-problemas-selecividad-resuelos/ hp:// Maemáicas II. º de Bachillerao A. Prof.: Saniago Marín Fernández Página