Ejercicios de optimización
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- Carlos Ferreyra Godoy
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1 Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y y 0y y 1 0 y y Ay y 1 0 y y 1 y 0 y y 1 900y 0y Ry 900y 0y R y 1800y 180y 180y10 y 0 y 0 y 10 Intervlos 0, ,0 signo R 0 función R Mx r Máximo reltivo en y 10 Solución: el triángulo de áre máxim es el que tiene de bse y 10 cm. y de ldo x 0y 10 cm.. Se quiere construir un recipiente cónico de genertriz 10 cm. y de cpcidd máxim. Cuál debe ser el rdio de l bse? Función mximizr: V 1 r h Relcionr vribles: h r 100 r 100 h 0 h 10 Estudimos l función:
2 Vh 1 r h h h 1 100h h V h h 0 h 100 (El vlor negtivo no es solución) Intervlos 0, ,10 signo V 0 función V Mx r 100 Máximo reltivo en h r 100 h r 00 Solución:Elrdiodelbsedebeser 8. 1 cm.. En un triángulo isósceles de bse 1 cm. (el ldo desigul) y ltur 10 cm, se inscribe un rectángulo de form que uno de sus ldos esté sobre l bse del triángulo y dos de sus vértices sobre los ldos igules: ) Expres el áre, A, del rectángulo en función de l longitud de su bse, x, y dí cul es el dominio de l función. b) Hll el vlor máximo de es función ) Áre en función de x: A xy Como los triángulos ABC y DEC son semejntes: 10 y 1x 101 x 1y y Luego: Ax x 0 5x b) Máximo de l función Ax A x 010x 0 x 0x 5x AB DE BC EC 10 y 1 1 x 101 x 1 Ax 51 x 0x 5x 0 5x 0 x 1 Intervlos 0,,1 signo A 0 función A Mx r
3 Máximo en x Vlor máximo de Ax es A 0 cm. Hllr el rdio y l ltur del ciclindro de volumen máximo inscrito en un esfer de 0 cm de diámetro.. Función mximizr: V r h Relcionr vribles: h r 900 r 900h 0 h 0 Estudimos l función: Vh 900 h V h 900 h 0 h 10 h 900h h Intervlos 0,10 10,0 signo A 0 función A Mx r Máximo pr h 10 r r Solución: El volumen es máximo pr h 10 cm y r 5 cm (El vlor negtivo no es solución) 5. Un rect que ps por el punto 1, determin sobre los semiejes positivos, los segmentos OP y OQ. Determinr: ) El triángulo OPQ de áre mínim. b) L rect pr l cul OP OQ es mínimo ) El triángulo OPQ de áre mínim.. Función minimizr: A x 0 OQ x 0 1 Relcionr vribles: Rect que ps por Px 0,0 y 1, :
4 Punto : A1, Pendiente : m 0 1x 0 1x 0 y 1x 0 x 1 y 1x 0 x x 0 1x 0 Intersección de l rect con el eje OY: x 0 y x 0 1 x 0 Por tnto ls coordends del punto Q son: Estudimos l función: Q 0, x 0 1 x 0 Ax 0 1 x 0 x 0 1 x 0 x 0 1 x 0 A x 0 x 01 x 0 x 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x 0 0 x 0 x 0 0 x 0 0 No es solución x 0 Intervlos 1,, signo A 0 función A Min r Mínimo reltivo pr x 0 P,0 y Q 0, Solución: El triángulo de áre mínim es el formdo por los puntos O0,0, P,0 y Q 0, b) LrectprlculOP OQ es mínimo: Función minimizr: S OP OQ Sx 0 x 0 x 0 x 01 x 0 x 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 S x 0 x 0 11 x 0 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x x 0 x 0 x x 0 1 x 0 1 No es solución x 0 1 Mínimo en x 0 1 Intervlos 1,1 1 1, signo S 0 función S Min r
5 Solución: L rect pr l cul OP OQ es mínimo es l rect que ps por 1, y P 1,0. En un rectángulo de m de perímetro, se sustituyen los ldos por semicircunferencis exteriores. Hll ls dimensiones de los ldos pr que el áre de l figur resultnte se mínim.. Función minimizr: A xy x y Relcionr vribles: x y x y y x Estudimos l función: Ax x x x x x x x x x x x x x x x x x A x x x x 1 0 x 1 Intervlos 0,1 1 1, signo A 0 función A Min r Mínimo en x 1ey x 1 Solución: ls dimensiones de los ldos pr que el áre de l figur resultnte se mínim son x 1mey 1m 7. Se trz un rect desde el punto 0, hst el eje OX y desde llí l punto 1,b otr, tl como indic l figur. Demostrr que l longitud totl es mínim cundo los ángulos y son igules.
6 Podemos suponer en todo el rzonmiento que b. Estudimos l función: L x 1 Función minimizr: L l 1 l Relcionr vribles: l 1 x l b 1 x Lx x b 1 x x 0,1 x x 1 Clculmos ls rices de l derivd: x x 1 x1 x b 1 x x L x 0 1 x 0 b 1 x x b 1 x 1 x x x b 1 x 1 x x x b x 1 x 1 x x 1 x x b 1 x 0 x b 1 x x 0 x b x x 0 Obtenemos l ecución de segundo grdo en x: b x x 0 cuys soluciones son: x b b b b b b b 1 x b 1 x x b x b No es solución y que b El estudio del crecimiento-decrecimeinto de l función es: 0,1
7 Intervlos 0, b b,1 b signo L 0 función L Min r Luego en x hy un mínimo reltivo y bsoluto. b Vemos hor que pr x se verific que b x b 1 x 1 b b b Clculmos l tngente de yde tn x b b tn b 1 x b b b entonces tn tn b b b Por tnto si x b Es decir, si l longitud es mínim entonce Tmbién es cierto l contrrio, es decir si entonces l longitud es mínim: Por tnto l longitud es mínim. tn tn x b 1 x 1 x bx x bx bx x b 8. Determin en l hipérbol x y 1 un punto cuy distnci P,0 se mínim. Función minimizr:. D x y Relcionr vribles: x y 1 y x 1 Estudimos l función: Dx x x 1 x x Pr x,1 1, D x x x x Clculmos ls rices de l derivd:
8 Estudimos el signo de l derivd x 0 x 1 Intervlos,1 1,1 1 1, signo D 0 función D Min r D D Mínimo bsoluto pr x 1 Solución: El punto de l hipérbol cuy distnci P,0 es mínim es el punto 1,0.
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