Módulo 2. Conjuntos Numéricos. Vamos a comenzar nuestro estudio recordando el siguiente diagrama:

Transcripción

1 Semiario Uiversitario Matemática Módulo Cojutos Numéricos Los úmeros so la esecia de las cosas Pitágoras Vamos a comezar uestro estudio recordado el siguiete diagrama: NATURALES ( ) 0 ENTEROS ( ) egat ivos RACI ONALES ( ) fraccioarios REALES ( ) irracioales COMPLEJOS ( ) im agiarios Este cuadro os muestra cómo se va ampliado los cojutos uméricos desde el cojuto de los úmeros aturales hasta llegar a los úmeros complejos, y eso es lo que haremos e este módulo: iremos recorriedo los diferetes cojutos uméricos recordado sus propiedades y tamié las de las operacioes que podemos realizar e cada uo de ellos. NÚMEROS NATURALES () Comecemos por el primer cojuto umérico: los úmeros aturales, a este cojuto lo simolizaremos co la. = {1; ; ; 4; 5; 6; } Por qué poemos los putos suspesivos? Porque si ie el cojuto tiee u primer elemeto (el uo), o tiee u último elemeto, es por lo tato, u cojuto ifiito. 1

2 Módulo : Cojutos Numéricos Auque el cero o es u úmero atural, muchas veces es ecesario agregarlo a, e ese caso, el cojuto se simoliza 0 y se lo deomia aturales co el cero o simplemete ee su-cero. 0 = {0; 1; ; ; 4; 5; 6; } ACTIVIDAD 1 Represetar los siete primeros úmeros aturales e la recta umérica y cotestar: a) Cuátos úmeros aturales hay etre y 6? ) Cuátos etre 1 y 7? c) Cuátos etre y? Como seguramete lo harás cotestado, puedes cotar cuátos elemetos de hay etre otros dos. Esto quiere decir que es u cojuto discreto. Además, o podemos determiar el último elemeto de este cojuto ( Por qué?), por lo tato es ifiito. Tamié podemos ordear los úmeros aturales, de meor a mayor o viceversa, eso quiere decir que es u cojuto ordeado. Operacioes e No todas las operacioes so siempre posiles e el cojuto de los úmeros aturales, veamos primero cuáles podemos resolver si teer prolemas: Suma Producto Poteciació Pero tamié podemos realizar otras operacioes e alguos casos: Resta (si el miuedo es mayor que el sustraedo e, y si el miuedo es mayor o igual que el sustraedo e 0 ). Cociete (Si el dividedo es múltiplo del divisor y éste es distito de cero). Radicació (Podemos extraer raíces cuadradas de cuadrados perfectos, raíces cúicas de cuos perfectos, etc.). ACTIVIDAD Mediate ejemplos clasifique e V o F las siguietes afirmacioes sore la propiedad distriutiva: 1) a c a a c ) a a ) a a ACTIVIDAD Expresar de tres formas diferetes cada ua de las siguietes operacioes, idicado la propiedad empleada: a) 4 1 ) a c c ) 8 7 Algo para recordar:

3 Semiario Uiversitario Matemática 1- Producto de potecias de igual ase: es otra potecia de igual ase cuyo expoete es la suma de los expoetes de los factores: a m a a m. - Cociete de potecias de igual ase: a m : a a m m - Potecia de potecia: m. a a 4- Cuadrado de u iomio: a a a 5- Cuo de u iomio: a a a a 6- Producto de ua suma por ua diferecia: a a a. ACTIVIDAD 4 1) Resolver: 5 a) a ) x c ) x d ) m e ) 4a ) Calcular: a) a a ) 5 4x 5 4x ) Escriir e forma areviada: a) a a a ) a a a c ) xyz xyz xyz xyz NÚMEROS ENTEROS () E las operacioes de úmeros aturales se vio la imposiilidad de resolver ua diferecia e la que el miuedo es meor que el sustraedo, por ejemplo: 5 9 o tiee solució e Para poder resolver estas diferecias se crea los úmeros egativos. E la recta umérica los uicamos a la izquierda del cero: El cojuto de los úmeros eteros resulta de uir los aturales co el cero y los egativos:. Etoces: escriir: 0 : eteros positivos (aturales), : eteros egativos. Por lo tato, podemos Se defie valor asoluto de u úmero etero x, y se simoliza x, al mismo úmero x si éste es positivo o ulo y al opuesto de x ( x) si el úmero es egativo. E símolos: x, x 0 x x, x 0 Por ejemplo: 5 5 ;.

4 Módulo : Cojutos Numéricos Co respecto a las operacioes podemos hacer las siguietes oservacioes: No hay icoveietes para efectuar la resta. Para el producto y el cociete se dee teer e cueta la regla de los sigos. La poteciació es posile si la ase es etera pero el expoete es atural. Divisiilidad e U úmero etero a 0 es divisor de otro úmero etero si existe u tercer úmero etero tal que se verifica a. =. E símolos: a / a Oservacioes: a se lee a es divisor de Ejemplos: 4 0 pues pues Decir que a es divisor de es equivalete a decir que es divisile por a o ie que es u múltiplo de a. Ivestigado... Para saer si u úmero es o o divisile por otro os valemos de los criterios de divisiilidad, te pedimos que ivestigues los criterios de divisiilidad por ; ; 5; 6; 7; 9; 11 y las potecias de 10. Números primos Se llama úmeros primos a aquellos úmeros eteros distitos de 1 y 1 que solamete admite cuatro divisores: 1, 1, el mismo úmero y su opuesto. Por ejemplo: D 1; 1; ;. es u úmero primo pues sus divisores so A los úmeros distitos de 1 que admite más de cuatro divisores se los llama úmeros compuestos. Oservació: 1 y 1 o so úmeros primos i compuestos. ACTIVIDAD 5 Escriir los úmeros primos meores que 100. Máximo comú divisor y míimo comú múltiplo Recordemos las defiicioes: Se llama Máximo Comú Divisor (MCD) de dos o más úmeros al úmero que resulta de multiplicar los factores primos comues que los compoe, co su meor expoete. Se llama míimo comú múltiplo (mcm) de dos o más úmeros al úmero que resulta de multiplicar los factores primos comues y o comues que los compoe, co su mayor expoete. 4

5 Semiario Uiversitario Matemática ACTIVIDAD 6 Hallar: a) MCD 6; 9; 1 ) MCD 10; 0; 0; 50 c ) MCD 10; 0; 5 d ) mcm ; 6; 9 e) mcm 10; 0; 50 f ) mcm 5; 5; 6 Números coprimos Dos úmeros aturales so coprimos o primos etre sí, si el úico divisor comú que tiee es el 1. Por ejemplo y so coprimos, tamié lo so 4 y 7, y tamié 9 y 5 (verificarlo). Tegamos e cueta que si ie dos úmeros primos so siempre coprimos, o es ecesario que los úmeros dados sea primos para que resulte coprimos. Ivestigado... Saés cuál es el mayor úmero primo coocido? NÚMEROS RACIONALES () Si ie al itroducir los úmeros egativos hemos solucioado el prolema de la resta, aú susiste el prolema para el cociete, ya que, por ejemplo 7: o tiee solució e el cojuto de los úmeros eteros. Para dar solució a los cocietes dode el dividedo o es múltiplo del divisor se crearo los úmeros fraccioarios. El cojuto de los úmeros eteros uido al de los fraccioarios forma el cojuto de los úmeros racioales, que se simoliza co. Este cojuto, a diferecia de los cojutos y o es discreto, ya que etre dos úmeros cualesquiera existe u úmero ifiito de úmeros racioales. a Numerador Deomiador Para itercalar u úmero racioal x etre dos úmeros a y es suficiete hacer (semisuma de a y ). Por ejemplo: Itercalar u úmero racioal etre y : x 5 x 5 a x Si se desea seguir itercalado úmeros se repite el proceso tatas veces como se quiera, así por ejemplo x ; x... etc. 4 5

6 Módulo : Cojutos Numéricos ACTIVIDAD 7 a) Itercalar úmeros racioales etre 4 y 5. ) Itercalar 5 úmeros racioales etre 0 y 1. c) Itercalar úmeros racioales etre - y -1. Operacioes e Recordemos las reglas ásicas para la suma y el producto de fraccioes: a) a c ad c ) a c ac d d d d ACTIVIDAD 8 Resolver aplicado las reglas euciadas para la suma y el producto: 5 7 a) ) 4 Para restar dos fraccioes, simplemete sumamos al miuedo el opuesto del sustraedo: a c a c ad c d d d El cociete se resuelve multiplicado el dividedo por el recíproco o iverso del divisor: a : c a d ad d c c Recordar: Dos úmeros racioales so recíprocos o iversos multiplicativos si su producto es igual a 1. Hay u úmero racioal que o tiee recíproco... Cuál es? La poteciació puede hacerse e el cojuto de los úmeros racioales para ase racioal y expoete etero: a) Si el expoete es atural: a a ) Si el expoete es egativo: a a a Radicació de úmeros racioales Ejemplos: a c c a d d 6

7 Semiario Uiversitario Matemática * pues * 5 pues 9 9 * pues * o tiee solució e Q 81 5 Expresioes decimales Puede darse ua expresió decimal para los úmeros racioales, por ejemplo: 1 0, 5, 0, 75 etc 8 Para expresar ua fracció como úmero decimal es suficiete efectuar el cociete etre el umerador y el deomiador, pero hay fraccioes que origia expresioes cuyas cifras decimales se repite ifiitamete, como por ejemplo: 1 0, , Estas expresioes recie el omre de expresioes decimales periódicas. Nos iteresa u procedimieto para escriir ua expresió decimal periódica e forma de fracció, para ello tedremos e cueta lo siguiete: Para mayor comodidad e la escritura, escriiremos ua sola vez el período co u arco sore él. 0,... 0,. Si el período comieza imediatamete después de la coma, la expresió es pura, si existe cifras o periódicas ates del período la expresió es mixta. Por ejemplo: 0, 5 es pura y 0, 87 es mixta. Coversió de ua expresió decimal periódica pura a fracció ordiaria Ejemplo: 0, Toda expresió decimal periódica de parte etera ula se puede trasformar e ua fracció ordiaria tal que: el umerador es el período; el deomiador está formado por tatos ueves como cifras tiee el período. ACTIVIDAD 9 Expresar como fraccioes: 7

8 Módulo : Cojutos Numéricos a) 0, 7 ) 0, 4 c ) 0, 69 d ) 1, 4 e ) 6, 45 Coversió de ua expresió decimal periódica mixta e fracció ordiaria Ejemplo: 7 7 0, Toda expresió decimal periódica mixta co parte etera ula se puede covertir e ua fracció ordiaria tal que: El umerador es igual al úmero que se forma escriiedo la parte o periódica seguida del período meos la parte o periódica; El deomiador está formado por tatos ueves como cifras tiee el período, seguido de tatos ceros como cifras tiee la parte o periódica. ACTIVIDAD 10 Escriir como fracció ordiaria: a) 0, 97 ) 0, 0 c ) 0, 64 d ), 046 El período 9 Si covertimos e fracció ua expresió decimal periódica pura co período 9 9 5, vemos que oteemos u úmero etero. 9 Ahora trasformemos ua expresió decimal periódica mixta co período , 49 0, 5, el resultado es u úmero co u úmero fiito de cifras decimales. Qué coclusió se puede euciar e estos casos? Vemos etoces que cualquier úmero racioal puede escriirse como ua expresió decimal periódica, podemos decir que el cojuto es el cojuto de las expresioes decimales periódicas. NÚMEROS IRRACIONALES 8

9 Semiario Uiversitario Matemática Como vimos ates, si u úmero tiee ua catidad fiita de cifras decimales o tiee ifiitas cifras decimales periódicas es u úmero racioal. Pero podemos escriir úmeros que, auque tiee ifiitas cifras decimales, éstas o forma período, por ejemplo: 0, (las cifras decimales so la sucesió de los úmeros aturales); 0, (las cifras decimales so ua sucesió de u uo y u cero, luego, dos uos y dos ceros, tres uos y tres ceros, etc.) Estos úmeros o so racioales pues es imposile ecotrar u período y por lo tato o se puede escriir como fracció ordiaria, los llamaremos irracioales. Pero estos úmeros puede aparecer como solució de ecuacioes, por ejemplo, la ecuació x = tiee solució irracioal (recuerda que e la escuela secudaria te demostraro que es u úmero irracioal) y se puede geeralizar diciedo todas las raíces eésimas o exactas so irracioales. Estos úmeros se deomia irracioales algeraicos. Además existe otros como el úmero (relació de la circuferecia al diámetro) y e (ase de los logaritmos aturales) que o so irracioales algeraicos sio irracioales trascedetes. Como curiosidad te presetamos las 50 primeras cifras de y de. Del segudo, e los últimos años se ha calculados varios milloes de cifras decimales. 1, , NÚMEROS REALES () Si uimos al cojuto de los úmeros racioales el de los úmeros irracioales otedremos el cojuto de los úmeros reales, al que simolizaremos co. El cojuto, al igual que es deso (o sea que etre dos reales siempre existe otro real), pero se diferecia de, e que, mietras que e el cojuto de los racioales quedaa huecos e la recta umérica, e los úmeros reales esos huecos ha sido ocupados por los irracioales, co lo que podemos afirmar que los reales cure toda la recta umérica, es decir que: A cada úmero real le correspode u puto sore la recta y a cada puto de la recta umérica le correspode u úmero real. Represetació geométrica de los úmeros reales Los úmeros reales se represeta e ua recta llamada recta real o eje real A cada puto de la recta real le correspode u úico úmero real y cada úmero real está represetado por u úico puto de la recta real. 9

10 Módulo : Cojutos Numéricos Para la determiació de la escala, se elige u puto que represeta al 0 y otro puto a la derecha que represeta el 1. Se divide la recta a la derecha y a la izquierda de 0, tomado como uidad el segmeto de logitud igual al determiado por 0 y 1. Queda represetados, etoces, los úmeros eteros y los úmeros reales completa la recta. Los úmeros reales que se represeta a la derecha de 0 so los reales positivos y los que se represeta a la izquierda, los reales egativos. El 0 es el úmero real que o es positivo i egativo. Si a, la igualdad a = sigifica que amos represeta al mismo úmero real, la desigualdad a < sigifica que a está a la izquierda de y a > sigifica que a está a la derecha de. Ahora os detedremos u poco e el estudio de ua de las dos operacioes iversas de la poteciació: la radicació. (A propósito... qué so dos operacioes iversas?) Recordemos la defiició de raíz eésima de u úmero real: a a ( > 1) Radicales Llamaremos radicales a las expresioes formadas por el sigo radical y ua expresió umérica y/o literal deajo del mismo. Esa expresió se deomia radicado. Ejemplos de radicales so: 1 x m z a c 5 4 ACTIVIDAD 11 Colocar V o F a las siguietes afirmacioes, puedes guiarte proado co ejemplos uméricos: a a) a a ) a a c ) a a d ) Simplificació de radicales Simplificar u radical es ecotrar otro equivalete pero de meor ídice. a Por ejemplo: 9 6 6: : 9: 6: : 6 8 a y m a y m a y m Es decir que si e u radical de radicado positivo podemos dividir por u mismo úmero todos los expoetes del radicado y el ídice, es posile la simplificació. Pero si e el radicado tiee ase egativa, esta regla o se cumple e todos los casos. Aalicemos dos casos: a) Ídice impar: 10 sim plificado 8 resolviedo Como los resultados coicide, afirmamos que e este caso la simplificació es válida.

11 ) Ídice par: Si resolvemos las operacioes idicadas, oteemos: Si aplicamos directamete la simplificació: Semiario Uiversitario Matemática 6: : Como vemos, los resultados o coicide y e cosecuecia o se puede simplificar u radical co radicado de ase egativa e ídice par. E geeral: Extracció de factores fuera del radical Teiedo e cueta las propiedades de la radicació, podemos extraer fuera del radical aquellos factores del radicado que figure co u expoete mayor o igual que el ídice de la raíz. Veamos cómo lo hacemos aplicado las propiedades e los dos ejemplos siguietes: Ejemplo 1: Ejemplo : 5 a 4 a a 4 a a a a Puede omrar las propiedades que se usaro? 4 81 Este procedimieto resulta complicado si e el radicado figura varios factores, por lo que daremos ua regla práctica que os permita traajar co mayor rapidez: Si el expoete del factor es mayor o igual que el ídice de la raíz, se hace la divisió etera del expoete por el ídice. El resultado del cociete es el expoete co el que dicho factor figurará fuera del radical y el resto de la divisió es el expoete co el que figurará detro del radical. expoete expoete co el que queda ídice expoete co el que sale Pruea resolver los ejemplos 1 y aplicado la regla práctica... No te resulta más secillo? Reducció a míimo comú ídice Reducir dos o más radicales a míimo comú ídice es ecotrar otros radicales que, siedo respectivamete equivaletes a los dados, tega por ídice comú al míimo comú múltiplo de los radicales dados. Por ejemplo: a) Reducir a míimo comú ídice los siguietes radicales: 5 4 ; a ; a El míimo comú múltiplo de los ídices es 0 (verificarlo), por lo tato, deeremos multiplicar el ídice y el o los expoetes de cada radicado por u úmero tal que los radicales sea ahora de ídice 0: 11

12 Módulo : Cojutos Numéricos a a a a a a ) Resolveremos este ejemplo aplicado ua regla práctica similar a la usada para el comú deomiador de fraccioes, es decir, que dividiremos el míimo comú ídice por cada uo de los ídices de los radicales y luego multiplicamos ese resultado por cada uo de los expoetes de los factores: Reducir a míimo comú ídice: m ; 6 a. Como mcm(; 6) = 6, etoces resulta: m ; a Radicales semejates Dos o más radicales so semejates si tiee igual ídice e igual radicado. x y y x y so radicales semejates Operacioes co radicales 1) Suma algeraica Puede presetarse dos casos: que los radicales sea semejates o que o lo sea. E el primero de ellos se otiee u radical semejate a los dados cuyo coeficiete es la suma algeraica de los coeficietes de los radicales dados. E el segudo caso, simplemete la operació se deja idicada. Ejemplos: a) x 5 x 6 x 5 6 x x ) a queda idicado ) Producto El producto de dos o más radicales es otro radical que tiee por coeficiete al producto de los coeficietes de los dados y cuyo radicado está formado por el producto de los radicados de los dados, reducido a comú ídice si es ecesario. Ejemplos: a) )

13 ) Cociete Semiario Uiversitario Matemática El coeficiete y el radicado del resultado so, respectivamete, los cocietes de los coeficietes y de los radicados dados (ordeadamete y después de reducidos a comú ídice si es ecesario). Detegámoos e los siguietes casos: a) : 9 : 4 : ) : : : Racioalizació de deomiadores E ua expresió puede aparecer algú radical e el deomiador, como e las siguietes: x 1 ; ; x 5 7 Racioalizar el deomiador de ua expresió es ecotrar otra expresió equivalete pero co deomiador racioal. Existe cuatro casos, osotros os detedremos e el estudio de tres de ellos: Primer Caso: El deomiador es u radical úico Dada la expresió 5, saemos que dicha expresió o altera si se multiplica umerador y deomiador por u mismo úmero, se trata de uscar etoces u radical del mismo ídice que el dado, de tal forma que al multiplicarlo por el que figura e el deomiador se otega ua expresió racioal. Dicho radical se puede oteer fácilmete de la siguiete forma: Las ases so las mismas que las del radicado dado y los expoetes co los que figura se otiee haciedo la diferecia etre el ídice de la raíz y el expoete origial. E uestro caso, el ídice es y el expoete es 1, por lo tato, para racioalizar la expresió, deeremos multiplicar umerador y deomiador por 5 : Veamos otro ejemplo: producto de radicales de igual ídice simplificació x 5x x y 5x x y 5x x y 5 x y x y x y x y x y xy y (Oservació: e el º paso, hemos podido dividir umerador y deomiador por x, pues estamos supoiedo que x 0, ya que está e el deomiador del euciado del ejercicio.) Si algú factor del radicado tiee expoete mayor que el ídice del radical, es coveiete extraerlo ates de racioalizar. 1

14 Módulo : Cojutos Numéricos Segudo Caso: cuadrático. El deomiador es la suma o diferecia de u úmero real y u irracioal Dada la expresió x, para racioalizar su deomiador se multiplica umerador y deomiador por el iomio cojugado del deomiador: dado a + su cojugado es a. O sea que e uestro caso multiplicaremos por. producto de ua suma por ua diferecia x x x x x x 4 Tercer caso: El deomiador es ua suma o diferecia de irracioales cuadráticos. El procedimieto es similar al caso aterior, te lo dejamos para que lo eucies: a a 7 a 7 a 7 a Potecia de expoete racioal La potecia de expoete racioal se defie de la siguiete forma: a m Toda potecia de expoete racioal es igual al radical cuyo ídice es el deomiador del expoete y cuyo radicado es la ase de la potecia elevada a u expoete igual al umerador del expoete dado. a m Ejemplos: a a x x, z z, a a a a a a, etc. La potecia de expoete racioal goza de las mismas propiedades que la de expoete etero. (Verifícalas). Hasta aquí lo que se refiere a la primera operació iversa de la poteciació, ya es mometo de etrar e la otra operació iversa que es la logaritmació. Así como la radicació usca la ase de ua potecia, el logaritmo usca el expoete. Logaritmació Se llama logaritmo e ase de u úmero x a otro úmero y, tal que, elevado al expoete y sea igual a x. E símolos: log x y x ( 1) 14 y

15 Semiario Uiversitario Matemática Ejemplos: log 8 pues log pues 9 9 Casos particulares: 1) El logaritmo de 1, e cualquier ase es igual a cero: ) E cualquier ase, el logaritmo de la ase es 1: log 1 0 pues 1. log 1 pues. Recordar: Los úmeros egativos o tiee logaritmo e el cojuto de los úmeros reales. No existe el logaritmo de cero. La logaritmació o es distriutiva co respecto a igua operació. 1 0 Otras propiedades: El logaritmo de u producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: log x y log x log y El logaritmo de u cociete es igual a la diferecia etre el logaritmo del dividedo y el logaritmo del divisor: log x : y log x log y El logaritmo de ua potecia es igual al producto del expoete por el logaritmo de la ase: log x log x El logaritmo de ua raíz eésima es igual al logaritmo del radicado dividido por el ídice de la raíz: log x log x Si se eleva a u mismo expoete o ulo la ase y el argumeto de u logaritmo, el resultado o varía: log x log x Logaritmos aturales y decimales Si ie se puede traajar co logaritmos e cualquier ase, las más usuales e matemática so 10 y e. A los logaritmos de ase 10 se los deomia logaritmos decimales y se escrie log x. Los logaritmos de ase e se llama logaritmos aturales y se simoliza l x. Todas las calculadoras cietíficas calcula amos logaritmos. 15

16 Camio de ase Módulo : Cojutos Numéricos Auque lo usual es traajar co logaritmos decimales o co logaritmos aturales, e ocasioes podemos ecesitar el logaritmo de u úmero e ua ase distita de algua de las omradas. Podemos calcular el logaritmo e ua ase cualquiera c de u úmero a si aplicamos la siguiete fórmula: log a log a c log c Ejemplo: Calcular log 100 saiedo que log 4 0, 6 4 log100 log 100,.. 4 log 4 0, 6 ECUACIONES Ua ecuació es ua igualdad e la que aparece úmeros y letras (icógitas) que se relacioa mediate operacioes matemáticas y cualquier valor de las icógitas que verifique la igualdad, es ua solució de la ecuació. Ecuacioes lieales Si la icógita o variale de la ecuació está elevada úicamete a la primera potecia, la ecuació se llama lieal o de primer grado. Ejemplos: 1. x 4 1 tiee como solució x = 5. x x 5 tiee como solució x = 14 ACTIVIDAD 1 Reemplazar el valor dado e cada caso y verificar si es correcto. INTERVALOS Los itervalos so sucojutos de úmeros reales y puede ser aiertos, cerrados, semiaiertos o semicerrados. Itervalos aiertos: a; x / x a x a; x / x x a ; x / x x a( ) a ( ) 16

17 Semiario Uiversitario Matemática ; x / x Itervalos cerrados: a ; x / x a x a [ ] Itervalos semiaiertos o semicerrados: a; x / x a x a; x / x a x ACTIVIDAD 1 Graficar los itervalos ateriores. ACTIVIDAD 14 Escriir co otació de cojutos y represetar e la recta real los siguietes itervalos: a) 5 ; 4 ) ; 6 1 c ) ; 7 d ) ; ACTIVIDAD 15 Escriir co otació de itervalos y represetar e la recta real los siguietes cojutos: a) x / x x 5 ) x / x x c ) x / x 8 x 1 d ) x / x x INECUACIONES Ua iecuació es ua desigualdad e la que aparece úmeros y letras (icógitas) que se relacioa mediate operacioes matemáticas y da como resultado u cojuto tal que al reemplazar la icógita por cualquier valor del mismo se verifica la desigualdad. El cojuto solució, etoces, es u itervalo o ua uió de itervalos. Si la iecuació tiee ua sola icógita que está elevada a la primera potecia, la iecuació es lieal co ua icógita. Para resolverla aplicamos propiedades: 17

18 Módulo : Cojutos Numéricos Si se suma o se resta u mismo úmero a amos miemros de ua desigualdad, la misma o camia el setido. Si se multiplica o divide cada miemro de ua desigualdad por u úmero positivo, o camia el setido de la desigualdad. Si se multiplica o divide cada miemro de ua desigualdad por u úmero egativo, camia el setido de la desigualdad. Aplicamos propiedades para resolver las siguietes iecuacioes lieales: Ejemplo 1: 5 x x 7 5 x x 7 5 x x 9 5 x x x 9 x x x 9 9 x Etoces la solució de la iecuació es: S = 9 9 ; x / x x Ejemplo : x x x 5 x x 1 1 x x Etoces la solució de la iecuació es: S = ; x / x x ACTIVIDAD 16 Resolver las siguietes iecuacioes lieales y represetarlas e la recta real: a) 7 x x 1 4 ) x 9 x c ) 4 x 1 x x d) x 5 18

19 Semiario Uiversitario Matemática ACTIVIDAD 17 Resolver los siguietes prolemas: a) Para igresar a la Uiversidad el promedio exigile es de 70 putos. Máximo sacó 7 y 6 putos e los dos primeros parciales. Cuátos putos dee sacar e el próximo parcial para igualar o superar el promedio de aproació? ) Ua empresa ofrece a sus empleados dos opcioes de pago. La primera opció es ua suma fija de $600 más el 4% de comisioes sore todas las vetas y la seguda propoe ua suma fija de $800 más el 6% sore el total de las vetas, ua vez superados los $ Para qué catidad del total de vetas es mejor la primera opció que la seguda? c) Sore ua lámia cuadrada de 0 cm de lado se quiere diujar u triágulo rectágulo cuya hipoteusa mida x 16 cm y que uo de sus catetos mida x 5 cm. Qué valores puede tomar x para que el triágulo exista y pueda diujarse sore la cartulia? Valor asoluto de u úmero real El módulo o valor asoluto de u úmero real es la distacia de dicho úmero al cero y se lo represeta: x. Los úmeros y está, amos, a dos uidades de 0, etoces tiee igual valor asoluto y por teer distito sigo, so opuestos El valor asoluto de úmero positivo o cero es el mismo úmero. Simólicamete lo expresamos como x x y el valor asoluto de u úmero egativo es su opuesto y se expresa como x x sigo cotrario y será positivo., que quiere decir que si x es egativo, su valor asoluto tedrá Otra forma de expresar el valor asoluto o módulo de u úmero real es: Distacia etre dos úmeros x x. La distacia d etre dos úmeros a y es la diferecia e valor asoluto de los mismos. d a a : quiere decir que a está de a ua distacia igual a la que está de a. Por ejemplo: La distacia etre y 6 es 8 porque y La expresió: x 5 sigifica que el úmero x está a 5 uidades de y puede ser 8 ya que 8 = 5 o puede ser porque = - 5 y el módulo de 5 es 5. La expresió: x 4 sigifica que el úmero x está a 4 uidades del úmero y los valores que puede tomar so y 6 ya que x x 4 19

20 Módulo : Cojutos Numéricos La expresió: x 1 sigifica que el úmero x está a meos de uidades de 1. El úmero x puede ser cualquier úmero real perteeciete al itervalo ( ; 4). La expresió: x sigifica que el úmero x puede ser cualquiera que perteezca a los itervalos [5; + ) o ( ; 1]. ACTIVIDAD 18 Represetar las igualdades y desigualdades ateriores e la recta real. ACTIVIDAD 19 Escriir co otació de valor asoluto y represetar e la recta real las siguietes proposicioes: a) El úmero x está a más de 9 uidades de 4 ) El úmero x está, a lo sumo, a uidades del úmero 7 c) La distacia etre el úmero x y 1 es d) La distacia etre el úmero x y 8 es 15 ACTIVIDAD 0 Hallar los posiles valores que puede tomar x que verifique las proposicioes de la actividad aterior. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1: A cargo del alumo. Actividad : 1) V; ) F; ) V. Actividad : A cargo del alumo. Actividad 4: ) a)4 4 a a )4 1 x 9 x c)4 x 1 x 9 ) d) 8 m 6 m 54 m 7 e)64 a 96 a 48 a 8 ) a) a ) a c) x y z a)9 a 4 )5 16 x 4 Ivestigado: los criterios de divisiilidad puede ecotrarse e cualquier liro de matemática, pero el criterio de divisiilidad por 7 es u poco más difícil de hallar, por eso lo

21 euciamos aquí: Semiario Uiversitario Matemática U úmero es divisile por 7 cuado la diferecia etre el úmero formado por todas las cifras, excepto la de las uidades, y el dole de la de las uidades es múltiplo de 7. Actividad 5: A cargo del alumo. Actividad 6: a) ; ) 10; c) 5; d) 18; e) 100; f ) 6.00 Actividad 7: A cargo del alumo. Actividad 8: Actividad 9: Actividad 10: 19 1 a) ) a) ) c) d) e ) a) ) c) d ) Actividad 11: a) F; ) F; c) V; d) V Actividad 1: Amos verifica. Actividad 1: A cargo del alumo. Actividad 14: a) {x /x 5 x 4} ) c) 1 x / x x x / x x 6 Represetacioes gráficas a cargo del alumo. d) 7 x / x x Actividad 15: a) [; 5) ; ) [; +) ; c) ( 8; 1] ; d) ( ; ) Represetacioes gráficas a cargo del alumo. Actividad 16: a) 7 7 ; x / x x ; 0 0 ) c) d) ; x / x x ; x / x x 1 1 ; x / x x. 7 7 Represetacioes gráficas a cargo del alumo. Actividad 17: a) x 75 ) 5000 < x < 0000 c) 11 cm < x < 17,5 cm. Actividad 18: A cargo del alumo. Actividad 19: a) x + 4 > 9 ) x 7 ; c) x + 1 = d) x 8 = 15. Actividad 0: a) S = ( ; 1) (5; +) ) S = [5; 9] c) S = { 15; 9} d) S = { 7; }. 1