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1 Algebra uiversitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.. Técicas elemetales para buscar raíces Recordado la defiició de raíz U poliomio P(x) tiee ua raíz r si y solo si P(r) = 0. Recordar el teorema de factorizació lieal 1 Si p( x) = ax + a 1x ax + a1x + a0 Dode: a 0 y 1. El poliomio puede factorizarse a la forma: p( x) = a x r x r x r... x r ( )( )( ) ( ) 1 3 Dode: a es el coeficiete pricipal y r 1 a r so las raíces complejas. Técicas elemetales para buscar raíces Ua de las más secillas es u proceso de factorizació; a cotiuació se muestra uos ejemplos: Ejemplo 1. Ecotrar las raíces para el poliomio: p( x) = x 6x 16x Solució: Nos podemos dar cueta por factorizació que: p( x) = x 6x 16x ( ) p( x) = x x 6x 16 ( )( ) p( x) = x x + x 8 Y como las raíces so los valores que hace que P(x)=0 igualamos a cero el poliomio y determiamos los valores que hace posible dicha igualdad. x x + x 8 = 0 Quedado las raíces como: x 1 =0; x = - y x 3 =8. ( )( ) Ahora puede hacerlo co los siguietes poliomios: f ( x) = x + 8x + 10x q x x x ( ) = Cuado el grado del poliomio y la catidad de térmios del mismo o permite la factorizació directa, se requiere utilizar el siguiete método. Para u poliomio: p( x) = a x + a x a x + a x + a Sus posibles raíces racioales esta dada por p q Dode p so todos los factores (positivos y egativos) del térmio costate a 0 y q los factores (positivos y egativos) del térmio pricipal a. Es decir, para el poliomio e su forma geeral: 1 p( x) = ax + a 1x ax + a1x + a0 q = a p = a 0 Ejemplo: para el poliomio P(x)=3x + x - 5. q = a p = a 0 q = 3 p = -5 Etoces los factores (positivos y egativos) para cada térmio so: p = ± 5, ± 1 y q = ± 3, ± 1 Las posibles raíces del poliomio so: p 5 1 5,,, 1 q = ± ± 3 ± 3 ± Determie las posibles raíces para los siguietes poliomios: f ( x) = x + 8x + 10x q x = x x + ( ) s( x) = x 3x + x 5 Cada ua se puede probar co divisió sitética, para determiar las raíces defiitivas; como se dará cueta es u proceso largo, a cotiuació se expoe alguas reglas que puede ayudaros a hacer mas corto el proceso para probar las posibles raíces. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 1

2 Algebra uiversitaria Cotas de las raíces reales. Por cota se refiere a los límites etre los cuales se ecuetra las raíces del poliomio. Se dice que a es ua cota iferior y b ua superior de las raíces de u poliomio (o los ceros de u poliomio) si para cada raíz r se satisface la siguiete codició: a r b. Otro ejemplo: : Determie la cota iferior y superior para el siguiete poliomio: p( x) = x 3x x + 10 use los valores 1,, 3 y como posibles cotas superiores y para las cotas iferiores -1 y -. Usado divisió sitética para probar las cotas superiores: Sea u poliomio P(x) co raíces reales: Si P(x) se divide etre x b siedo que b > 0; y el regló que cotiee tato el cociete y el residuo so positivos, etoces b es ua cota SUPERIOR para las raíces de P(x). Si P(x) se divide etre x a; siedo que a < 0; y el regló que cotiee al cociete y al residuo altera su sigo (positivo a egativo y viceversa) etoces a es ua cota INFERIOR para los ceros reales de P(x). NOTA: El cero puede ser cosiderado egativo o positivo segú covega para el teorema aterior. Ejemplo: Demostrar que el poliomio sus raíces reales etre 3 y. Dividiedo etre (x -): s ( x ) = x 3x + x 5 tiee Nótese que se divide etre b >0 y todos los coeficietes del cociete y el residuo so positivos, por lo tato es ua cota SUPERIOR Al dividir etre (b > 0) todos los coeficietes del cociete y residuo so positivos; por lo cual es ua cota SUPERIOR. Ahora buscado la cota iferior: Solo e a = - hay los sigos se altera co cada coeficiete, ótese que e el caso del -1 el valor de (ultimo coeficiete del cociete) y 8 (residuo) ambos so positivos, por lo cual o se altera el sigo para ese caso. Por lo tato las raíces está e el itervalo [-, ] Dividiedo etre (x + 3) Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez Nótese que se divide etre a < 0 y los sigos del cociete y residuo se altera, por lo tato -3 es ua cota INFERIOR.

3 Algebra uiversitaria Regla de los sigos de descartes 1 Sea p( x) = ax + a 1x ax + a1x + a0 u poliomio co coeficietes reales tal que P(0) 0. Etoces: 1. El úmero de raíces reales positivas de p(x) es igual al úmero de cambios e el sigo de P(x) o es dismiuido e ua catidad etera par.. El úmero de raíces reales egativas de p(x) es igual al úmero de cambios de sigo de p(-x) o es dismiuido e ua catidad etera par. Importate otar que solo estamos hablado de raíces reales y que debemos ordear los térmios del poliomio de mayor a meor grado. Ejemplo: determiar el úmero posible de raíces reales para el siguiete poliomio: p( x) = 3x + x + 3x x 3 Poliomio 3x 6 - x 5-3x 3 +x - 3 Coeficiete Sigo Positivo Negativo Positivo Negativo Variacioes Ua Dos Tres Así que P(-x) tiee tres variacioes de sigo por lo cual tiee máximo tres raíces egativas o ua raíz egativa (ya que el máximo de raíces 3 es dismiuido e u úmero par 3 -= 1). Resumiedo, para p( x) = 3x + x + 3x x 3 Numero de Número de Número de Número de TOTAL posibilidad raíces raíces raíces RAICES: positivas egativas imagiarias Solució: El ejemplo ya ofrece el poliomio ordeado segú el grado de cada térmio, por lo cual o se requiere ordearlo. Poliomio 3x 6 + x 5 + 3x 3 x - 3 Coeficiete Sigo Positivo Negativo Variacioes Ua E el poliomio hay u solo cambio. Por lo tato el úmero de raíces positivas solo puede ser ua. Ahora probaremos la catidad de cambios de sigo de p(-x): p( x) = 3x + x + 3x x 3 ( ) ( ) ( ) ( ) p( x) = 3 x + x + 3 x x 3 p x x x x x ( ) = NOTA: cuado -x se eleva a ua potecia par el sigo se vuelve positivo, pero cuado x se eleva a ua potecia impar, se vuelve egativo. Ejercicio: Aplique la regla de sigos de descartes para determiar la posible catidad de raíces reales para: 5 p( x) = x + x + x + x + 3x No hay variacioes de sigo para P(x) (todos los térmios so positivos) por lo cual hay cero raíces positivas. Ahora probado p(-x) 5 p( x) = x + x + x + x + 3x p x x x x x x 5 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + 3( ) 5 p( x) = x + x x + x 3x Hay 5 variacioes de sigo. Puede haber 5, 3 o 1 raíz real egativa. Termie la tabla siguiete: Numero de Número de Número de Número de TOTAL posibilidad raíces raíces RAICES: positivas egativas raíces imagiarias Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 3

4 Algebra uiversitaria Teorema sobre raíces cojugadas Sea P(x) u poliomio co coeficietes reales, si el úmero complejo a+bi es ua raíz del poliomio, tambié debe serlo su cojugado a bi. Se requiere que el cojugado sea otro factor del poliomio si este solo tiee coeficietes reales tal como dice el teorema, por ejemplo: el poliomio P(x)= x +1. Tiee coeficietes reales. Como puede otarse solo tiee dos raíces imagiarias y puede expresarse e forma de sus factores, p( x) = ( x + i)( x i) Comprobació: p( x) = ( x + i)( x i) p( x) = x xi + xi i p x ( ) = x ( 1) p( x) = x + 1 Cuáles so las raíces? r 1 = +i y r = -i Nótese que so raíces cojugadas. Ejemplo completo de factorizació de poliomios: Factorice completamete el siguiete poliomio: 5 p( x) = x + 5x 8x 1x x + 9 Hay dos cambios de sigo, así que puede haber hasta dos raíces positivas. Los posibles ceros o raíces racioales so: p = 9 q = p = ± 9, ± 3, ± 1 y q = ±, ± 1 Las posibles raíces del poliomio so: p ,, 3,, 1, q = ± ± ± ± ± ± Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez Se buscará las raíces positivas: Probado desde el valor positivo más pequeño 1/: ½ o es u cero y tampoco ua cota. Probado el 1: El valor 1 es ua raíz del poliomio, por lo cual se puede factorizar la raíz (x 1) quedado: 5 p( x) = x + 5x 8x 1x x + 9 ( )( ) p( x) = x 1 x + 7x x 15x 9 El uevo poliomio a factorizar tiee u cambio de sigo, por lo cual TIENE UNA RAIZ POSITIVA. Dado que las raíces puede repetirse se descarta solamete el ½ positivo como raíz, se sigue probado el 1 (el cual o cero el residuo)

5 Algebra uiversitaria Se prueba ahora co el valor positivo siguiete y el 3/ si fue raíz. 3 Dividiedo etre el valor egativo r = -1 (es decir etre x + 1) queda: Al ecotrar ua ueva raíz, ecotramos u factor mas del poliomio: ( )( ) 3 ( )( )( ) p( x) = x 1 x + 7x x 15x 9 p( x) = x 1 x x + 10x + 1x El uevo poliomio a factorizar NO tiee u cambio de sigo, por lo cual NO TIENE RAICES POSITIVAS (Saber esto os ahorro divisioes sitéticas). Se puede seguir probado ahora los factores egativos, pero hay ua simplificació que os puede ahorrar muchas divisioes tambié; ótese que de x + 10x + 1x se puede factorizar u ; quedado: 3 ( )( )( )( ) p( x) = x 1 x x + 5x + 7x + 3 Esto hace mas simple el poliomio a factorizar; ahora el puede ser multiplicado por cualquiera de los otros dos factores (x-1) o (x 3/). Podemos multiplicarlo por el último y así o queda fraccioes e los factores. 3 p( x) = x 1 x x + 5x + 7x + 3 ( )( )( )( ) *3 ( )( )( ) ( )( )( ) p( x) = x 1 x x + 5x + 7x + 3 p( x) = x 1 x 3 x + 5x + 7x + 3 Así queda el uevo poliomio a factorizar.. Recuerde que solo tiee raíces egativas (o hay cambio de sigos) por lo cual se reduce las posibles raíces reales a -1 y -3. Dado que r = - 1 si fue raíz se extrae el factor (x (-1)) o el factor (x + 1), el cual factorizado ahora a: p( x) = x 1 x 3 x + 1 x + x + 3 ( )( )( )( ) Ahora dos úmeros que multiplicados de 3 y al sumarse de? p( x ) = x 1 x 3 x + 1 x + 1 x + 3 RESPUESTA: ( )( )( )( )( ) 3.3. Resuelva los siguietes problemas: I.- Usar la regla de los sigos de descartes para determiar la catidad posible de raíces reales positivas y egativas. i. p( x) = x + x + 3x ii. p( x) = x 5x + x + 1 iii. p( x) = x 6 x + x + 15 x + II.- Idetificar las raíces posibles p/q para cada caso: iv. p( x) = x + x + 3x v. p( x) = x 5x + x + 1 vi. p( x) = x 6 x + x + 15 x + III.- Calcule las raíces de los siguietes poliomios y llévelos a su forma factorizada: vii. p( x) = x + x + 3x viii. p( x) = x 5x + x + 1 ix. p( x) = x 6 x + x + 15 x + Elabore ua PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiedo las rubricas correspodietes: Puede etregar impreso el trabajo o eviar el documeto fial por correo electróico a las siguietes direccioes: y Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 5

6 Algebra uiversitaria Práctica Gráficas de poliomios. Para graficar poliomios es ecesario llevarlo a su forma factorizada: p( x) = a x r x r x r... x r ( )( )( ) ( ) 1 3 Por ejemplo: p( x) = ( x + )( x 3)( x ) Tocará el eje X e -, +3 y +; su gráfica termiará hacia abajo. Raíces simples: toca el eje 1 vez. Por ejemplo el poliomio: p( x) = ( x 1)( x + 1) Tiee los siguietes valores: a = 1 r 1 = 1 r =-1 Como el valor de p(x) se grafica e el eje Y y cuado el valor de x es igual a las raíces, el poliomio toca al eje X. p(x = r) = 0 Ahora siempre que a sea positiva, la gráfica crecerá; siempre que a sea egativa, la gráfica termiará hacia abajo. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 6

7 Algebra uiversitaria Y para la gráfica: ( ) = 1 ( + )( 3)( ) p x x x x x 5 Nótese que cortara al eje X e: -, +3, + y 0; su gráfica termiará hacia abajo dado que el coeficiete pricipal es egativo a = -1/. Raíces dobles, rebota e el eje. 1 Ahora cuado las raíces so dobles: ( ) = ( + )( 3) ( ) p x x x x x 0 Nótese que es u poliomio de grado 6 ya que tiee 6 factores (x r). Aquí el coeficiete pricipal es positivo, la gráfica termiará hacia arriba. Las raíces so: r 1 = -, r = 3, r 3 = 3, r =, r 5 = 0, r 6 = 0. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 7

8 Algebra uiversitaria Libros e líea que puede cosultar: Precálculo: matemáticas para el cálculo Escrito por James Stewart, Lothar Redli Álgebra y trigoometría co geometría aálitica Escrito por Arthur Goodma, Lewis Hirsch. Graficadores: Software Graph: Descargar: Software GeoGebra: Descargar: Tutorial GeoGebra: Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martíez 8

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