2.1 Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre. Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes propiedades

Transcripción

1 Capítulo 2 Leyes básicas de la teoría electromagnética. Ondas electromagnéticas 2.1 Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre El espacio libre Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes propiedades Homogéneo: ε y µ toman los mismos valores en todos sus puntos Isótropo: los valores de ε y µ no dependen de la dirección de los campos E y B No conductor: σ =0y, en consecuencia, j =0 Sin carga: ρ =0 No dispersivo: los valores de ε y µ no dependen de la frecuencia de variación de los campos E y B 3

2 4 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre En el espacio libre, las ecuaciones de Maxwell se escriben, en forma integral E ds =0 S B ds =0 S E d l = B ds t C C B d l = µε t S apoyada con las relaciones constitutivas D = εe B = µ H S apoyada E d S Condiciones de frontera A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede probar que en la frontera de dos medios que responden a la descripción del espacio libre se verifican las siguientes identidades ( D2 D ) 1 ˆn =0 ( ) B 2 B 1 ˆn =0 ( E2 E ) 1 ˆn =0 ( H2 H ) 1 ˆn =0 dónde los subíndices 1 y 2 hacen referencia al primero y al segundo de los medios respectivamente. Las dos primeras de estas condiciones establecen la conservación de las componentes normales a la superficie de separación de los medios para los campos de desplazamiento eléctrico y de inducción magnética. Las dos últimas implican la igualdad de las componentes tangenciales de las intensidades deloscamposeléctricosymagnéticosaambosladosdelafrontera.

3 2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN EL ESPACIO LIBRE Ondas electromagnéticas en el espacio libre Deducción de la ecuación de las ondas electromagnéticas planas en el espacio libre (repaso de Física 2) Aplicando las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en superficies y caminos convenientemente elegidos se obtiene E ds =0 E x S x =0 las ondas electromagnéticas son transversales B ds =0 B x x =0 y S C C E d l = t B d l = µε t S apoyada S apoyada B d S E y x = B z t E ds B z x = µε E y t 2 E y x 2 2 B z x 2 = µε 2 E y t 2 = µε 2 B z t 2 que es la ecuación de una onda electromagnética plana con su campo eléctrico polarizado según el eje y. La velocidad de propagación se determina fácilmente identificando las ecuaciones anteriores con la ecuación de onda genérica yresulta 2 ψ x = 1 2 ψ 2 v 2 t 2 µε = 1 v 2 v = 1 µε

4 6 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS En el vacío v = 1 µ0 ε 0 = 1 4π 10 7 NA F m 1 = m s que coincide con la velocidad de la luz. 2.3 Relación entre los campos E y B de una onda electromagnética Consideremos una onda electromagnética armónica en la que el campo eléctricosólotienecomponentey [ ] 2π E y (x, t) =A cos (x vt) λ En el desarrollo de la ecuación de la onda E.M. hemos obtenido que y sabemos, además, que B z x = µε E y t v = 1 µε µε = 1 v 2 Para nuestra onda armónica y, por tanto, será E y t = A 2π λ v sin [ 2π λ (x vt) ] B z x = µε E y t = 1 [ ] 2π v A2π 2 λ v sin λ (x vt) [ ] B z 2π x = 1 v A2π λ sin (x vt) λ Como { [ ]} 2π K cos (x vt) = K 2πλ [ ] 2πλ x λ sin (x vt)

5 2.4. ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA7 podemos concluir que B z = 1 v A cos [ 2π λ (x vt) ] = 1 v E y B z = 1 v E y Análogamente, para una onda electromagnética armónica cuyo campo eléctrico sólo tenga componente z se verifica B y = 1 v E z Como una onda electromagnética genérica se puede descomponer en una serie de funciones armónicas, en general se verifica que B = 1 v E con E = E B = B Así pues, los campos eléctrico y magnético de cualquier onda electromagnética en el espacio libre son perpendiculares entre sí oscilan con la misma frecuencia y fase tienen amplitudes proporcionales 2.4 Energía que transporta una onda electromagnética Densidad de energía radiante Eslasumadelasdensidadesdeenergíaasociadasaloscamposeléctricoy magnéticodelaondaencadapuntodelespacio.

6 8 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Campo eléctrico u E = 1 2 εe2 Campo magnético u B = 1 B 2 2 µ Onda electromagnética Como ya sabemos, u = u E + u B E = vb = B µε con lo que resulta y, en consecuencia u E = 1 2 ε ( B µε ) 2 = 1 2 εb2 µε = u B u = εe 2 = B2 µ Flujo de la energía electromagnética. Vector de Poynting La energía neta que por unidad de tiempo (i.e. potencia) atraviesa la unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda E.M. es S = uv u (v t A) = t A t A S = uv= 1 µ B2 v = εe 2 v o, lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que en una onda E.M. E = vb S = 1 µ EB = v2 εeb Como en los medios homogéneos e isótropos, como el espacio libre, es razonable suponer que la energía «fluye» en la dirección en que se propaga la onda, se da carácter vectorial a la densidad de flujo representado por S definiendo que se denomina vector de Poynting. S = 1 µ E B = v 2 ε E B

7 2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS Irradiancia El módulo del vector de Poynting oscila con el doble de frecuencia que el campo de la onda electromagnética E = E 0 cos (ωt kx) B = B 0 cos (ωt kx) S = v 2 εeb = v 2 εe 0 B 0 cos 2 (ωt kx) S = 1 2 v2 εe 0 B 0 [1 + cos (2ωt 2kx)] Como los fotodetectores no son capaces de responder a frecuencias tan elevadas, la señal que proporcionan se corresponde con su media temporal. Así pues, se define la irradiancia de la onda E.M. en cada punto del espacio como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting en ese punto 1 I = S = 2 v2 εe 0 B 0 [1 + cos (2ωt 2kx)] I = 1 2 v2 εe 0 B 0 que también se puede expresar, teniendo en cuenta que E = vb I = 1 2 vεe2 0 = 1 v 2 µ B2 0 I = vε E 2 = v B 2 µ 2.5 Representación de las ondas mediante números complejos Ondas armónicas (repaso de Física 2) Una onda escalar, armónica y unidimensional ψ (x, t) se puede expresar de varias formas equivalentes ψ (x, t) =A cos [k (vt x)] [ ] 2π ψ (x, t) =A cos (vt x) λ ψ (x, t) =A cos (ωt kx) [ ( t ψ (x, t) =A cos 2π T x )] λ

8 10 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Los parámetros de la onda están relacionados entre si. Su nomenclatura, según la norma UNE (equivalente a ISO 31/12 de 1987), es como sigue Parámetros temporales Periodo T = 1 f = 2π ω = λ v Frecuencia f = 1 T = ω 2π = v λ Frecuencia angular, frecuencia circular o pulsación Parámetros espaciales ω = 2π T =2πf Longitud de onda (periodo espacial) λ = vt = v f =2π v ω Número de onda (frecuencia espacial) σ = 1 λ = k 2π = f v Número de onda angular o número de propagación k = 2π λ =2πσ Velocidad de propagación de la onda v = λf = λ T = ω k

9 2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS Formas de representar los números complejos Existen tres formas básicas de especificar un número complejo z C Notación algebraica donde es la parte real de z y es su parte imaginaria. Notación trigonométrica donde es el módulo de z y es su argumento. Notación exponencial z = a + ib a =Rez b =Imz z = r (cos θ + i sin θ) r = z θ =argz z = re iθ = r exp (iθ) donde r y θ son los mismos que en la notación trigonométrica. Lasrelacionesentrea, b, r y θ resultan obvias cuando el número complejo se representa en el plano mediante el diagrama de Argand: a y b son las coordenadas cartesianas del afijo (el punto de R 2 que representa al número complejo) en tanto que r y θ son sus coordenadas polares. El paso de la notación trigonométrica a la exponencial se realiza entonces aplicando la fórmula de Euler e iz =cosz + i sin z

10 12 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Resumiendo, se tiene que z = a + ib = r (cos θ + i sin θ) =re iθ a =Rez = r cos θ b =Imz = r sin θ r = z = a 2 + b 2 θ =argz = arctan b a Algunas propiedades de los números complejos Se define el conjugado de un número complejo z = a+ib = r (cos θ + i sin θ) = re iθ C z = a ib = r (cos θ i sin θ) =re iθ Operaciones aritméticas con números complejos z 1,z 2 C Suma z 1 + z 2 =(Rez 1 +Rez 2 )+i (Im z 1 +Imz 2 )=(a 1 + a 2 )+i (b 1 + b 2 ) Resta z 1 z 2 =(Rez 1 Re z 2 )+i (Im z 1 Im z 2 )=(a 1 a 2 )+i (b 1 b 2 ) Producto Cociente Función exponencial Módulo z 1 z 2 = z 1 z 2 exp [i (arg z 1 +argz 2 )] = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = z 1 z 2 exp [i (arg z 1 arg z 2 )] = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) exp (a + ib) =e a+ib = e a e ib =expa exp (ib) z =(zz ) 1 2

11 2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS13 Parte real Re z = 1 2 (z + z ) Parte imaginaria Im z = 1 2 (z z ) Exponenciales exp ( exp ( i 3π 2 e i2π =1 e iπ = 1 i π ) = e i π 2 = i 2) = e i 3π 2 = i Representación de una onda armónica mediante un número complejo Las ondas armónicas se suelen representar mediante números complejos para evitar, en lo posible, el manejo de senos y cosenos en los cálculos y simplificar así tanto la notación como los cálculos. Sea un onda armónica escalar y unidimensional genérica si tomamos ψ (x, t) =A cos (ωt kx) r = A θ = (ωt kx) se tiene que ψ (x, t) =Re [ Ae i(ωt kx)] Se escribe entonces ψ (x, t) =Ae i(ωt kx) sobreentendiendo que la función de la onda se corresponde con la parte real del número complejo.

12 14 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Desfase inicial. Amplitud compleja Si la onda tiene un desfase (retardo) inicial φ, es se escribe entonces donde ψ (x, t) =Ae i(ωt kx φ) = Ae i(kx+φ) e iωt ψ (x, t) =Ae iωt A = Ae i(kx+φ) es la amplitud compleja de la onda, que engloba la amplitud (real) y los desfases inicial φ y de propagación kx. 2.6 Ondas electromagnéticas en tres dimensiones Vector de propagación k Se llama vector de propagación o vector de onda (angular) en un punto del espacio al vector que tiene la dirección y sentido de propagación de la onda en ese punto y módulo igual al número de propagación o número de onda (angular) k. k = k ûk = k x î + k y ĵ + k zˆk k = k 2 x + k 2 y + k 2 z = k El retraso de fase que la onda experimenta a medida que se propaga es k r = k ûk r y la ecuación de los frentes de onda, esto es, de las superficies que en cada instante tienen la misma fase con C una constante cualquiera. k r = C

13 2.6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN TRES DIMENSIONES Representación compleja de una onda armónica escalar en el espacio de tres dimensiones ψ ( r,t)=ae i (ωt k r φ) = Ae i( k r+φ) e iωt ψ ( r,t)=a ( r) e iωt A ( r) =Ae i ( k r+φ) = Ae i(k xx+k yy+k zz+φ) Representación compleja de una onda electromagnética armónica en el espacio libre de tres dimensiones Las ondas electromagnéticas se suelen representar mediante su campo eléctrico, que para las ondas luminosas se denomina campo óptico. El campo eléctrico es un vector de R 3 que tiene tres componentes escalares. En una onda electromagnética, cada una de estas tres componentes se comporta como una onda, todas ellas con la misma frecuencia y la misma velocidad de propagación, pero con diferentes amplitudes E 0i y desfases iniciales φ i. Se puede escribir, por lo tanto donde E ( r,t)= E ( r) e iωt E ( r,t)=e x ( r,t) î + E y ( r,t) ĵ + E z ( r,t) ˆk y E ( r) es un vector de amplitudes complejas E ( r) =E x ( r) î + E y ( r) ĵ + E z ( r) ˆk = E 0x e i ( k r+φ x ) î + E0y e i ( k r+φ y ) ĵ + E0z e i ( k r+φ z ) ˆk