SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MATRICES Y DETERMINANTES.

Transcripción

1 Sisems e euioes lieles Mries y eermies SISTEMS DE ECUCIONES LINELES MTRICES Y DETERMINNTES - Irouió los sisems lieles -Euió liel -Sisems e euioes lieles -Sisems equivlees -Méoo e Guss pr l resoluió e sisems Sisems e form eslo o rigulr 5-Méoo e Guss-Jor -Mries - Mriz - Mries urs -Operioes o mries -Sum e mries -Prouo por u eslr -Prouo e mries -Propiees e l mriz rspues 5-Prouo e mries urs 6-Mriz ivers 7-Mries por loques -Epresió mriil e u sisem liel - Deermie e u mriz ur Deermie e u mriz ur e ore Deermie e u mriz ur e ore Propiees e los eermies e seguo y erer ore Deermie e u mriz ur e ore 5 Propiees e los eermies e ore - Mriz ivers e u mriz ur - Mries Elemeles - Méoo e Guss pr el álulo e l mriz ivers 5- Rgo e u mriz 6- pliió el álulo mriil los sisems e euioes lieles 6-Sisems e Crmer 6-Teorem e Rouhé-Froeius 6- Sisems homogéeos 6- Esruur e ls soluioes e u sisem 7- Mries Orogoles U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

2 Sisems e euioes lieles Mries y eermies SISTEMS DE ECUCIONES LINELES MTRICES Y DETERMINNTES Irouió los sisems lieles Hisórimee, el primer rjo e álger liel osisió e resolver u sisem e euioes lieles El prolem e eorr méoos seillos y poo loriosos pr resolver sisems sigue iereso muhos ivesigores Eise logís ere l geomerí líi y el álger liel que os oue l esuio e los sisems e euioes lieles: U re e el plo viee por u euió liel e os vriles (ls os oores e u puo rirrio e l re) U plo e el espio viee o por u euió liel e res vriles; u re e el espio, por os euioes lieles o res vriles Euió liel Defiiioes: Se llm euió liel u euió e l form:, oe los oefiiees,,,, sí omo el érmio iepeiee, so eslres e u uerpo omuivo K, y,,, so ls iógis U soluió priulr e l euió erior es u -upl e eslres,,, ) l que ( L soluió geerl (ó simplemee l soluió) e l euió es el ojuo formo por os ls soluioes priulres Resolver u euió es hllr su soluió geerl Tipos e euioes lieles: Euió ompile es quell que iee lgu soluió Puee ser, su vez, ompile eermi uo iee u úi soluió, y ompile ieermi uo iee más e u soluió (e ese so erá ifiis soluioes) Euió iompile es quell que o iee igu soluió:, o U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

3 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Euió homogée es l que iee ulo el érmio iepeiee; es eir, es u euió e l form: Evieemee, u euió homogée es siempre ompile pueso que siempre mie l llm soluió rivil: (,,,) D l euió, se llm euió homogée soi l mism, l euió Sisems e euioes lieles Defiiioes: Se llm sisem e m euioes lieles o iógis u ojuo e euioes lieles e l form: S m m oe los oefiiees ij, i,,m, j,,, y los érmios iepeiees i, i,,m, m so eslres e u uerpo K y,,, so ls iógis U soluió priulr el sisem erior es u -upl e eslres,,, ) que se soluió e u e ls m euioes el sisem m ( L soluió geerl (ó simplemee l soluió) el sisem es el ojuo formo por os ls soluioes priulres Resolver u sisem es hllr su soluió geerl Tipos e sisems lieles: Sisem ompile es quél que iee lgu soluió Puee ser, su vez, ompile eermio uo iee u úi soluió, y ompile ieermio uo iee más e u soluió (e ese so erá ifiis soluioes) Sisem iompile es quél que o iee igu soluió U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

4 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Sisem homogéeo es el que iee ulos los érmios iepeiees; es eir, es u sisem e l form: m m m Propiees e los sisems homogéeos i) L -úpl (,,,) es siempre u soluió priulr e oo sisem homogéeo y se eomi soluió rivil ii) Si l -úpl ( s,s,,s ) es u soluió priulr e u sisem homogéeo eoes mié lo es l -úpl λs, λs,, s ) se ul se λ K ( λ iii) Si ls -úpls ( s,s,,s ) y ( s',s',,s' ) so os soluioes priulres e u sisem homogéeo mié lo es l -úpl sum ( s s',s s',,s s' ) Defiiió: Do el sisem homogéeo soio l mismo, l sisem m m m m m m m, se llm sisem Sisems equivlees Dos sisems S y S so equivlees uo iee l mism soluió geerl, es eir, uo o soluió e S lo es e S y vievers Se llm operioes elemeles ere ls euioes e u sisem S ls operioes que se pue efeur e ls misms, e form que el uevo sisem oeio se equivlee S So ls siguiees: i Muliplir u euió ulquier e S por u eslr o ulo ii Iermir e lugr ere sí os euioes e S iii Sumr u euió u omiió liel e ors euioes; es eir, susiuir u euió e i e S por l euió λe μe sieo λ, μ K o ulos e i, j,, m i j U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

5 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Coseuei Si e S u euió es omiió liel e ls reses eoes, el sisem que resul, l suprimir ih euió, es equivlee S E priulr, si u e ls euioes es ul, el sisem que resul l suprimirl es equivlee S lo lrgo el em se esuirá méoos pr lizr e qué ipo es u sisem y méoos e resoluió el sisem Méoo e Guss pr l resoluió e sisems Sisems e form eslo o rigulr Se S u sisem e euioes lieles, el méoo e Guss osise e rsformr S, meie operioes elemeles, e u sisem S e form eslo o rigulr uy resoluió es imei o se eviee que se iompile Diremos que u sisem S esá e form eslo o es esloo si es e l form ' ' ' j j ' ' ' ' j j ' ' S' ' pj j ' p ' p o (p<) ' p ' m Diremos que u sisem S esá e form rigulr o es rigulr si es e l form ' ' ' ' ' ' ' S' ' ' Disiguiremos res sos: El º e euioes o uls e S es igul l º e iógis y ii pr i,,, eoes el sisem es ompile eermio Ejemplo : Resolver el sisem: U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

6 Sisems e euioes lieles Mries y eermies y z S y z 5 y z ª ª 5 ª ª y z y z 8 y 6z ( y z) y z 8 Por o, y, z- z ª ª y z y z 8 z - El º e euioes o uls e S es meor que el º e iógis y o hy euioes iompiles, eoes el sisem es ompile ieermio Ejemplo : Resolver el sisem: y z y z y z y z S 5y 8z y - z y z y z 8y z 7 y - z y z z Por o --z, yz, zz y z Oservemos que z y z λ y λ z λ λ R Ess euioes reie el omre e euioes prméris el ojuo soluió Poemos esriir { - λ, λ, λ) λ R} (- λ reie el omre e prámero lgu euió e S es iompile, eoes el sisem es iompile Ejemplo: Resolver el sisem: y z S y z 7 5 y z y z - 7y - 7y z z 7 y z - 7y z -! U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 6

7 Sisems e euioes lieles Mries y eermies luego S es iompile 5Méoo e Guss-Jor Proeieo e mer álog l méoo erior, se r e rsformr S, meie operioes elemeles y siempre que se posile, e u sisem S e l siguiee form que eomiremos igol ' ' S' ' Ejemplo: Resolver el sisem homogéeo soio l sisem el ejemplo SH y z y z y z y z 5 y z y 6z ( y z) y z Por o yz z y z y z z - Osérvese que S H proee e u sisem ompile eermio uy soluió puee esriirse e l form: Ejemplo: {(,,-) (,,-) (,,)} Resolver el sisem homogéeo soio l sisem el ejemplo SH y z y z y z 5y 8z y - z y z 8y z y - z U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 7

8 Sisems e euioes lieles Mries y eermies λ y z z y λ y z z λ Osérvese que esriir e l form:, λ R S H proee e u sisem ompile ieermio uy soluió se puee {(-- λ, λ, λ), λ R} {(,,) λ(,,), λ R} Mries Mriz Defiiió: U mriz es u ojuo e elemeos e u uerpo K oreos e fils y olums Si l mriz iee m fils y olums, se esrie sí: m m m ( ij ) m El elemeo geerl ij e l mriz iee soios el suíie i, que ii l fil, y el suíie j que ii l olum e ls que se euer iho elemeo Se ie que l mriz iee imesió m ; si m, iremos que es u mriz e ore y por M Se esig por M m el ojuo formo por ls mries o m fils y olums, m el uerpo K ( K) l ojuo e mries e imesió m uyos elemeos so eslres Defiiió: Mries equiimesioles so ls que iee l mism imesió; os mries equiimesioles y so igules uo ij ij, i,,m, j,, Tipos e mries: U mriz es ur uo m L mriz ul e imesió m es l que iee ulos oos sus elemeos U mriz fil es l que iee u úi fil U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 8

9 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U mriz olum es l que iee u úi olum Mries urs Se ( ) ( ij ) ij u mriz ur, M (K), eoes: L igol priipl e esá form por los elemeos ij les que i j, es eir,,,, Los elemeos, -,, osiuye l igol seuri Mriz igol es quell que iee ulos oos sus elemeos, slvo, lo sumo, los e l igol priipl Mriz eslr es u mriz igol o oos los elemeos e l igol priipl igules L mriz ui e ore iee ulos oos sus elemeos eepo los e l igol priipl que so uos; se eo por I U mriz ur es siméri uo ij ji, i,j,,, U mriz ur es isiméri uo ij - ji, i,j,,, Mriz rigulr superior es l que iee ulos oos los elemeos por ejo e l igol priipl Mriz rigulr iferior es l que iee ulos oos los elemeos por eim e l igol priipl Defiiió: Se llm mriz rspues e l mriz M m l mriz M m que se oiee l iermir fil o l orrespoiee olum e ; es eir,, i, j,,, ij ji U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 9

10 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Ejemplo: L rspues e l mriz M es M 5 5 Proposiió: Se u mriz ur Se verifi: ) es siméri si y solo si Ejemplo: es siméri y ) es isiméri si y solo si ; es eir, ( ij ) l que ij - ji i, j,, Osérvese que ii - ii i,, Ejemplo: ii es isiméri y - Operioes o mries Vmos esigr revimee por M m l ojuo e os ls mries e m fils y olums uyos elemeos pereee l uerpo omuivo K Defiimos ls siguiees operioes: Sum e mries Pr ulesquier mries ( ij ), ( ij ) M m se efie l sum e y y se esig omo l mriz C( ij ) M m l que ij ij ij i,, m, j,, M m m M M m L sum es u operió ier e M m y es fáil ompror (, ) C que ( M m, ) iee esruur e grupo omuivo o elio, es eir, se verifi ls propiees: soiiv : (C)()C,, C M m ( ij ), ( ij ), C( ij ) M m pueso que (C) ( ij )[( ij )( ij )] [ ( ij )( ij )]( ij )()C, y que se umple l propie soiiv e K Elemeo euro: Es l mriz uyos elemeos so oos ulos, l esigremos por O: OO M m U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

11 Sisems e euioes lieles Mries y eermies ( ij ) M y O() es el elemeo euro, pueso que O( ij )()( ij )( ij )O m Elemeo simério: Es l mriz uyos elemeos so los opuesos respeivos los e l mriz M m, esigremos por M m su mriz opues: (- )(-)O ( ij ) M m y l mriz siméri u opues e, será: -(- ij ) M m y que (-)( ij )(- ij )( ij - ij )()O (-) (- ij )( ij ) (- ij ij )() O, y que se umple l propie e eisei e elemeo opueso e K Comuiv :, M m ( ij ), ( ij ) M m, hor ( ij )( ij )( ij ij )( ij ij ), omo e los sos eriores so elemeos e u uerpo omuivo K Prouo por u eslr Pr ulquier λ K y ulquier mriz ( ij ) M m se efie el prouo λ omo or mriz D( ij ) M l que ij λ ij i,,m, j,, m Ese prouo es u operió eer siguiees propiees: K Mm Mm ( λ,) D que verifi ls 5 Disriuiv ª: λ () λ λ λ K y, M m y que λ λ λ i,,m, j,, por ser λ,, K ( ij ij) ij ij ij ij 6 Disriuiv ª: ( λ μ) λ μ λ, μ ( λ μ) λ μ i,,m, j, ij ij K M m y que, por ser, λ, μ K 7 soiiv mi : λ( μ ) ( λμ) λ, μ λ ( μ ) ij ij K M m y que ( λμ) i,,m, j,, por ser, λ, μ K ij ij ij 8 El elemeo ui el uerpo K verifi que : i,,m, j,, por ser ij ij ij m,, Ess 8 propiees que posee el ojuo ( ) M y que U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí m K M osiuye u uev esruur lgeri que reie el omre e espio veoril sore el uerpo omuivo K, o simplemee K-espio veoril sí iremos que:

12 Sisems e euioes lieles Mries y eermies m ( ) M es el K-espio veoril el ojuo e mries e imesió m,, Usulmee KR (ojuo e los úmeros reles) Ejemplo: Efeur Prouo e mries Se ( ik ) M y ( ) M efiimos el prouo e y, m kj p que esigremos, omo or mriz C( ij ) ij k ik kj i j i j i j M m p l que i,, m j,, p Ovimee el prouo e os mries ulesquier o es posile e geerl soiiv: Si,, C se puee muliplir, es eir, M m, M p, C M p q, eoes se verifi ()C (C) ( ik ) m, ( kj ) p, C( jl ) pq, sí el elemeo que oup el lugr (i,j) e l mriz es k p y el elemeo que oup el lugr (i,l) e l mriz ()C resul ik kj j k ik kj jl E el seguo miemro (C) el elemeo geério (i,l) es p ik kj jl que es igul l erior porque se umple l propie soiiv e k j elemeos e K Disriuiv: Cuo se posile efeur ls operioes (C) y (C), se verifi ( C) C ( C) C U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

13 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Vemos l emosrió e eir, ( ik ) m, ( kj ) p, C( kj ) p Eoes: ( C) C Se M m,,c M p, es ( kj kj ) ( ik kj ik kj ) ( ik kj ) ( ik kj ) C ( C) k k k k M m ik, l mriz iei I m verifi que I m, y álogmee l mriz iei I verifi que I Es fáil ver que: I m m m m m m El prouo e os mries y o es omuivo e geerl, pues si p M sieo m p, eoes i siquier es posile efeur M y m Ejemplo: Efeur, uo se posiles ls siguiees operioes: ) ( ) Soluió: No se puee efeur l operió por o esr efiio iho prouo mriil (el º e olums e l ª mriz es isio l º e fils e l ª) ) ( )( ) Soluió: No se puee efeur l operió por o esr efiio iho prouo mriil (el º e olums e l ª mriz es isio l º e fils e l ª) ) Se y Clulr y U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

14 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Soluió: Sí es posile efeur oeiéose, pero o es posile efeur porque el º e olums e l mriz es isio l º e fils e l mriz ) Se y Clulr y Soluió: Sí es posile efeur y oeiéose: 7 7, y 5 que so mries isis Propiees e l mriz rspues El operor rspues umple ls siguiees propiees i) ( ) ( ij ji ij E efeo: ( ) ( ) ) ( ) ( ), M : m ii) () Se ( ij) M y (ij) M, luego ( ji ) M m y m ( ji ) M m Eoes: () (( ij )( ij )) ( ij ij ) ( ji ji )( ji )( ji ) m iii) (k) k k K k k k (k) k k k k m m m k m k m k m U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

15 Sisems e euioes lieles Mries y eermies k k k m k k k m k k k m k m m m k iv) () Si ( ik ) M m, ( kj ) M p eoes () ik kj ki jk jk ki k k k 5Prouo e mries urs Desigremos por M, e hor e ele, l ojuo e ls mries urs e ore uyos elemeos pereee l uerpo omuivo K El prouo e mries urs e ore siempre esá efiio y es u operió ier e M : ij k ik kj i j M M (,) i j M y verifi ls siguiees propiees: C l que C( ij ) y i, j,, soiiv: ()C(C),,C M i j Elemeo ui: L mriz ui e ore I verifi I I M Por o, ( M, ) es u semigrupo o elemeo ui emás se verifi l propie: ( C) C Disriuiv,,C M ( C) C Luego ( M,, ) es u illo o elemeo ui E el illo erior eise ivisores e ero; pueso que el prouo e os mries isis el elemeo euro e l iió (mriz ul) es igul l mriz E R se verifi que si, R, y ó Si emrgo eso o suee e M U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

16 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Pr y se verifi que O, oe O es l mriz ul Es eir, e el ojuo M e l igul O o se puee euir, e geerl, que o ie es l mriz ul, o ie es l mriz ul Oservió ( M, ) o iee l propie el elemeo iverso, pero hy mries que sí iee elemeo iverso, eoes efiimos: 6Mriz ivers Llmremos mriz ivers e M, y esigremos -, l mriz ur e ore, que verifique que - - I Propiees e l ivers El operor ivers e u mriz verifi ls siguiees propiees, M : L ivers e u mriz, si eise, es úi Si y so iversiles, eoes es iversile y ( ) Si es iversile, eoes ( ) Si es iversile, eoes ( ) ( ) Demosrió: Se y ses mries iverss e l mriz, eoes: I I I Demosremos l efiiió e ivers ( ) I I I ( ) ( ) I Por efiiió e ivers I poemos eir que - es l ivers e y que es l ivers e -, luego ( ) Demosremos que ( ) I E efeo, ( ) ( ) I I Por o ( ) ( ) U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 6

17 Sisems e euioes lieles Mries y eermies 7Mries por loques Defiiió: D M se llm sumriz e ulquier mriz oei por m elimiió e u iero úmero e fils, o e olums, o e ms l vez, e l mriz Pr relizr ieros álulos resul oveiee, e lgus osioes, reprir los elemeos e u mriz, meie res veriles y horizoles, e sumries que eomiremos loques, js o éluls e Ejemplo: 6 7 sieo ( ) ( 6 7) Ls operioes ere mries por loques se reliz álogmee ls operioes ere mries, o l úi oiió e que los loques, sumries, se pue operr ere sí sí: que: Es eir, si Pr sumr os mries y equiimesioles, por loques, es eesrio i) ms esé iviis e el mismo º e loques ii) Los loques orrespoiees se equiimesioles y im im im im sieo im im Ejemplo: El prouo e u eslr ulquier λ K por u mriz, por loques, se efeú muliplio λ por loque Es eir, U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 7

18 Sisems e euioes lieles Mries y eermies si λ, eoes λ λ λ λ Pr muliplir os mries y, por loques, es eesrio que: i) el º e loques olum e l mriz se igul l º e loques fil e l mriz ii) los loques orrespoiees pue muliplirse segú l regl geerl y eso ourre uo oii el úmero e olums e los loques que eermi l olum k e l mriz (por loques) y el úmero e fils e los loques que eermi l fil k e l mriz (por loques) Es eir, si, y, eoes uo se posiles ls operioes iis pr los loques, es eir, º e olums e l primer olum e loques e :, º e fils e l primer fil e loques e :,, y álogmee pr l ª olum e loques e o l ª fil e loques e Osérvese que u vez heh es eleió (º e loques olum e y º e loques fil e mulipliles) poemos elegir rirrimee el º e loques fil e y el º e loques olum e, Ejemplo: Efeur el prouo e y, sieo Si ommos loques olum e, por ejemplo 5 y 5, eoes por i) hemos e omr loques fil e, les que por ii) el º loque fil e eg u úi fil y el º eg os fils hor poemos elegir rirrimee el U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 8

19 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 9 º e loques fil e y el º e loques olum e, por ejemplo 5, ( ) ( ) Tmié porímos her omo os loques olum e, por ejemplo 5 y ( ) ( ) ( ) ( ) Oservió Como oseuei el álulo el prouo e mries por loques, se puee hllr l ivers e u mriz por loques plio l propie e elemeo iverso, meie l resoluió e u sisem e euioes mriil, siempre que oozmos l ivers e lgú loque Ejemplo: Hllr l ivers e l mriz 5

20 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí Cosiermos l mriz ivii e los loques 5, es eir ( ) {, (),, 5, y esigmos, eoes por efiiió e mriz ivers: - I y por ser iversiles y : ( ) I O O I ( ) ( ) 5 I 5 5 Sieo que 5 5 Luego 5 Epresió mriil e u sisem liel Do el sisem liel m m m m, se llm mriz e los oefiiees ó mriz el sisem l siguiee mriz: m m m

21 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí L mriz e los érmios iepeiees es: m L mriz mpli el sisem es: m m m m Por úlimo, l mriz e ls iógis es: X Co es oió, l omo se h efiio el prouo e mries, el sisem e pri puee esriirse e l form: X Ejemplo: El sisem z y 9 z y 6 z y puee mié esriirse e form mriil: 9 6 z y Ejemplo: El sisem 5z y 7 z y S e form mriil 7 z y Too sisem homogéeo S H se esrie, e form mriil, omo XO óe es l mriz e los oefiiees, X l mriz olum e ls iógis y O l mriz olum ul orrespoiee Ejemplo: El sisem 5z y z y S z y

22 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Deermie e u mriz ur Deermie e u mriz ur e ore Do el sisem os iógis, jo qué oiioes iee soluió úi? e os euioes o Muliplio l primer y l segu euió por y, respeivmee, y reso luego e l segu euió l primer, se oiee: ( ) Si ( ), eoes álogmee, muliplio l primer y l segu euió por y, respeivmee, y reso luego e l segu euió l primer, se oiee: ( ) Si ( ), eoes Pree que es eisivo el que o se ule l epresió pr que el sisem pleo eg soluió úi Defiiió: El eermie e l mriz M (K) es el eslr ; se esrie sí: De Co es oió, el sisem pleo eriormee iee soluió úi si y sólo si el eermie e l mriz e los oefiiees y l soluió es:, U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

23 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Que eoes efii l pliió M K Deermie e u mriz ur e ore Del mismo moo, efeuo seills operioes o ls euioes el sisem solo si, puee omprorse que iho sisem iee soluió úi si y Eso os llev l oepo e eermie e u mriz e ore res: Defiiió: El eermie e l mriz M (K) es el eslr: ; se esrie: De L epresió que os l efiiió se llm esrrollo el eermie por l primer fil Susiuyeo los eermies e ore os que pree e l mism por sus respeivos esrrollos, que: Es uev form e epresr el eermie e u mriz e ore res se llm: Regl e Srrus pr el álulo e u eermie U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

24 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Regl e Srrus El eslr mié puee oeerse meie l sum e los prouos e los elemeos e l igol priipl y sus os prlels meos l sum e los prouos e los elemeos e l igol seuri y sus os prlels, e l siguiee mriz oei l ñir l mriz ls os primers fils Que eoes efii l pliió M K Co es oió, el úlimo sisem pleo iee soluió úi si y solo si el eermie e l mriz e los oefiiees y l soluió es,, Propiees e los eermies e seguo y erer ore: ) El eermie e l rspues e es igul l eermie e, y pr M (K) U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

25 Sisems e euioes lieles Mries y eermies ) Si u líe esá form elusivmee por eros, el eermie es ero y e el oro so por Srrus ) l iermir ere sí os líes prlels, el eermie mi e sigo Si iermimos l ª fil o l ª, eoes: ( ) y pr M (K) si iermimos l ª fil o l ª, eoes: prop ª e ore Si iermimos l ª fil o lgu e ls ors os l emosrió se reliz iremee lulo los eermies Pr olums mié se umple por l propie primer ) U eermie que eg os líes prlels igules, es ero Si iermimos ls os líes e lugr, eoes plio l propie ª se oiee 5) Si se oiee prir e muliplio u fil e por u úmero k, eoes ' k k k k k k k k( ) y pr l mriz e ore : k k k k k k 6) Si u eermie iee os líes prlels proporioles, el eermie es ero Por l propie erior so el vlor e proporioli resul l propie ) y su eermie es ero U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

26 Sisems e euioes lieles Mries y eermies 7) Si e u eermie los elemeos e u líe so sum e os sumos, iho eermie es igul l sum e os eermies, uo e ellos o es líe form por los primeros sumos y el reso e ls líes omo ls el eermie origil, y el oro eermie álogo ése, pero o los seguos sumos e vez e los primeros Pr el so e ore os y e l primer fil, por ejemplo, es propie se ' ' ' ' epresrí sí: y su omproió es imei, ' ( ' ) ' ( ' ) ( ' ) ' ' ' álogmee, ( ' ) ( ' ) ' ' ' ' ' ' ' L emosrió pr ulquier or fil es imei, o ie esrrollo los eermies 8) Si u líe es omiió liel e ors líes prlels, eoes, el eermie es ero Si l primer fil e u mriz ur resul ser u omiió e ls ors os, es eir, f λf μf ; por ls propiees 7) y 6) resul que su eermie es ero λ μ λ μ λ μ λ λ λ μ μ μ prop7) prop6) ' 9) Si u líe se le sum u omiió liel e ors líes prlels, eoes el eermie o vrí Por l propie erior, equivle sum ero Vemos l primer fil más u omiió liel e ls reses f λf μf, eoes: U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 6

27 Sisems e euioes lieles Mries y eermies λ λ μ μ λ μ λ λ μ μ λ μ prop8) es e euir el reso e ls propiees, eesimos irouir lguos oepos uevos: Defiiió: Si ( ) M (K), se llm meor omplemerio el elemeo ij, y se le ij eo por α ij, l eermie e l sumriz e ore os e que se oiee elimio l fil i y l olum j Defiiió: El juo el elemeo ij es α ij, si ij es pr, ó ie, - α ij, si ij es impr; se le i j eo por ij ; por o, ij (-) α ij Ejemplo: Hllr α, meor omplemerio y el juo el elemeo e l mriz Soluió : α - y ( ) Defiiió: De uero o l regl e Srrus y o ls efiiioes eriores, si M (K), puee efiirse el eermie e omo l sum e los prouos e los elemeos e primer fil e por sus orrespoiees juos; es eir, U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 7

28 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Deermie e u mriz ur e ore Defiiió: Si M (K), se llm eermie e, y se eo por De() ó ie por, l sum e los prouos e los elemeos e l primer fil por sus orrespoiees juos; es eir: Defiiió geerl: Si M (K), se efie el eermie e, y se eo omo es, l sum e los prouos e los elemeos e l primer fil e por sus orrespoiees juos (que será eermies e ore -) 5 Propiees e los eermies e ore Pr emosrr ess propiees uilizremos el méoo e iuió: que osise e pror l propie pr los primeros úmeros urles,,, y supoer que l propie es ier pr u iero úmero url - y emosrr que se umple pr el siguiee úmero url Ls propiees h sio emosrs pr y e los eriores pros ) Si u mriz ur iee u fil e eros, su eermie es ero Es eviee uo l fil e eros es l primer y e oro so el esrrollo por juos e l mriz ur e ore, os llev que oos los juos e ore - iee u fil eros y por l hipóesis e iuió so oos ulos ) l iermir ere sí os líes prlels, el eermie mi e sigo Supogmos que ls os fils que se iermi so oseuivs Se l mriz que se i i h oeio e iermio ls fils i e i: se iee que i i U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 8

29 Sisems e euioes lieles Mries y eermies oe juo j es u mriz ur e ore - o os fils j j j iermis o respeo j y por hipóesis ij - ij susiuyeo e l igul erior, jj j( j) j j Si se iermi ls fils i e ik: i k fil i i k es mriz se puee i i fil i k oseguir relizo k- iermios e fils oseuivs; pueso que l fil ik eesi k mios hs llegr oupr l fil i y l fil i que e l posiió e l fil i y eesi k- iermios pr quer omo ii e ol kk-k- C uo e esos iermios mi e sigo el eermie y k- es impr, luego ( ) k ) U eermie que eg os fils igules, es ero Iermio ere sí ls os fils iéis por l propie erior mi e sigo su eermie y por o ) Si se oiee prir e muliplio u fil e por u úmero k, eoes ' k se iee que: Si l fil esogi es l primer k ' ' k k( ) k Cuo k k k k l fil mulipli o es l primer los juos (eermies e ore -) iee u fil mulipli por k y por l hipóesis e iuió que muliplios por k y se umple l propie 5) Si u eermie iee os fils proporioles, el eermie es ero U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 9

30 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Por l propie erior so el vlor e proporioli resul l mriz o os fils igules y su eermie es ero 6) Si e u eermie los elemeos e u fil so sum e os sumos, iho eermie es igul l sum e os eermies, uo e ellos o es fil form por los primeros sumos y el reso e ls fils omo ls el eermie origil, y el oro eermie álogo ése, pero o los seguos sumos e vez e los primeros C i i i i i i i i i pr oo i,,, i i i Teemos C C C C oe juo C k es u mriz e ore - o u fil que es sum y se puee esriir C ik ik ik omo sum e juos e l mriz y e l mriz Susiuyeo ese resulo e l igul erior C ( ) ( ) ( ) 7) Si u fil es omiió liel e ors fils, eoes, el eermie es ero Si l primer fil e u mriz ur resul ser u omiió e ls ors os, es eir, f λf μf ; por ls propiees 5) y 6) resul que su eermie es ero λ μ λ μ λ μ λ λ λ U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

31 Sisems e euioes lieles Mries y eermies μ E el so e que l fil primer o fuer omiió μ μ liel e ls siguiees y si lo fuer l fil i se iermi ere si uque el eermie mi e sigo (propie ) resulo por supueso ero 8) Si u fil se le sum u omiió liel e ors fils, eoes el eermie o vrí Si muliplimos l fil i e l mriz ur por k y se sum l fil k pr oeer por ls propiees ) y 6) el eermie o vrí k k k El seguo eermie es ulo por l propie 5) 9) El eermie e l mriz ur es igul ulquier que se l fil que se ome pr su esrrollo Segú l efiiió: k k jj j k Si esrrollmos por l segu fil y segú l efiiió erímos, prop y pueso que los juos mi e sigo, luego j j j( j) jj j j j j j U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

32 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Si hor iermimos l segu y l erer fil, el eermie mi e sigo y los juos mié, luego eremos u fórmul pr esrrollr el eermie por ulquier fil: ij ij pr i,, j ) El eermie e l rspues e es igul l eermie e, Supoemos que el resulo es iero pr mries e ore - y e l mriz e ore : y esrrollo el eermie por l primer fil uilizo l hipóesis e iuió, j j ji, que resul jj j j j j j j j prir e ese resulo, e os ls propiees eriores se puee susiuir l plr fil por l plr olum Oservió Ls propiees, y 6 se resume iieo que l pliió eermie M K es u form -liel ler Teorem Desrrollo e u eermie por los elemeos e u líe Pr mriz, se verifi: M i) ii ii ii, esrrollo el eermie e por los elemeos e l fil i-ésim ii), esrrollo el eermie e por los j j j elemeos e l olum j-ésim j j j U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

33 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Demosrió: Demosremos, e primer lugr, el pro i) : i i i i i i i Def i i ( ) ( ) ( ) i i i i i i ( ) i i i ( ) ( ) suieo l fil i-ª hs lª iermiáol suesivmee o l imei erior i i i i i i i i i [ ( ) α ( ) α ] ( ) α ( α i i i i i i i ) i i i i i i i i i ii) Como, si plimos el esrrollo por l fil j-ésim el resulo es igul l esrrollo por l olum j-ésim e, omo querímos emosrr Corolrio El esrrollo formo por los elemeos e u líe, omo omo juos los e u prlel l mism es el ero e K Demosrió: Cosiermos el esrrollo por los elemeos e l fil i e l mriz M omo omo juos, por ejemplo, los e l ª fil Eoes: i i i i ( ) i i i ( ) i i ef U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

34 Sisems e euioes lieles Mries y eermies i i i i i i filª fil iª álogmee se emuesr omo omo juos los e ulquier or fil isi e l fil i-ésim Ejemplo: Clulr el eermie Soluió: esrrollo por l ª olum -(-) - Ejeriio 5 5 filª filª 5 filª filª ª fil 5 filª fil-5 filª ª esrrollo 8 por l ª olum Clulr el eermie eomio e Vermoe D U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

35 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5 Soluió: D ª ª ª ª ª ª ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ªprope ( )( )( ) l ªolum esrrollo por ( )( )( ) ( ) ( ) ª ª ª ª ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ªprope ( )( )( )( )( ) l ªolum por esrrollo ( )( )( )( )( ) ª ª ( )( )( )( )( )( ) ef ( )( )( )( )( )( ) Mriz ivers e u mriz ur Defiiió: Se ) (K M Llmmos mriz ivers e u mriz ) (K M l que I, siempre que ih mriz eis

36 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Defiiió: Se ie que u mriz M (K) es: ) Iversile si eise ) Regulr uo ) Sigulr uo Proposiió (Crerizió e ls mries iversiles) Se M (K) Si, eoes es iversile y (j ), sieo j l mriz ju e que se oiee, prir e, susiuyeo elemeo por su juo orrespoiee Demosrió: Por o, Sieo, eoes ( j ) ; j luego: (j ) Por or pre, plio el resulo el úlimo eorem e los eermies, se iee: U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 6

37 Sisems e euioes lieles Mries y eermies ( (j ) ) I Mries Elemeles Defiiió: U mriz elemel es l que se oiee efeuo operioes elemeles e ls fils e l mriz ui Ess operioes elemeles so: () Iermir ere sí ls fils i y j () Muliplir l fil i por u eslr α o ulo () Sumr l fil i, l fil j mulipli por u eslr α o ulo Deoremos por i i I(i,j), j I(α i) α i y j U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 7

38 Sisems e euioes lieles Mries y eermies i j I(iαj) α i ls mries elemeles que se oiee l plir l mriz ui ls operioes elemeles (), () y (), respeivmee No: Ls operioes elemeles ere ls olums e u mriz M, se puee epresr e mer álog, omo prouo, l ereh e, por mries elemeles, ls ules se oiee plio l mriz iei I l operió elemel orrespoiee Proposiió: Se verifi los os siguiees resulos: ) Ls mries elemeles so iversiles ) L ivers e u mriz elemel es mié u mriz elemel Demosrió: ) Es imeio y que I(i, j), I( α i) α y I(i αj) ) Fáilmee se omprue que: (I(i, j)) I(i, j), (I( αi)) I( i), (I(i αj)) I(i αj) α Proposiió: Efeur u operió elemel e ls fils e u mriz equivle efeur ih rsformió e ls fils e l mriz ui e ore orrespoiee y espués muliplirl por por l izquier Demosrió: El resulo se s e el heho más geerl e que si X e Y so mries que puee muliplirse, l fil i el prouo XY oiie o el prouo e l fil i e X por Y, por lo que el efeo prouio l plir u operió elemel sore ls fils e l mriz X y muliplir luego por Y, es el mismo que si efeumos l mism operió elemel sore ls fils e XY Si ommos X I e Y, se sigue y l esis e l proposiió U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 8

39 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Oros resulos relivos mries elemeles ) To mriz M se puee reuir u mriz rigulr meie prouo por mries elemeles Meie operioes elemeles (prouo por mries elemeles) siempre poemos rsformr e u mriz rigulr (méoo e Guss pr resoluió e sisems) ) Si es iversile Por ser iversile el sisem homogéeo XO solo mie l soluió rivil pues X O O, por o plio Guss poemos reuir u mriz rigulr o ii i, y prir e, meie operioes elemeles (prouo por mries elemeles) reuimos I (méoo e Guss-Jor) Es eir, eise E, E,, E m les que E m E E E I Y espejo e l igul - E m E E I, se oiee (E me E) I E E E m ;y, omo l ivers e u mriz elemel es mié u mriz elemel, se lleg l siguiee olusió: Si u mriz es iversile, eoes puee ser epres omo prouo e mries elemeles El reíproo es eviee ) Si es u mriz ur o iversile, puee reuirse meie operioes ' elemeles e sus fils u mriz el ipo (l meos u fil e eros) ) De form geerl, si es u mriz o ul e imesió m, eoes, puee ser rsform meie operioes elemeles (e fils y olums) e u mriz que respo u e ls uro ofigurioes siguiees I r I r m m ( I ) I Proposiió: Uilizo esos resulos puee rse u emosrió seill e l propie e los eermies reliv l eermie el prouo e os mries urs el mismo ore: Demosrió: E efeo: i) Si es u mriz elemel, e res posiilies: i ) I(i,j) ( ) i ) I(α i) α i ) I(iαj) U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 9

40 Sisems e euioes lieles Mries y eermies ii) Si es iverile, por el resulo ), puee esriirse omo prouo e mries elemeles: E E plio reiermee el resulo i) se iee: E k E E E E E E E E E E E E k k k k iii) Si o es iverile, eoes, segú se h emosro más rri, E ese so, mié, y que puee esriirse e l form: ' E' E' E' k C, oe ls E ' j so mries elemeles y C es e l form C Por o, plio reiermee el resulo i), se iee: E' E' E' C E' E' E' C, y que C iee mié u fil e eros k k Proposiió: Si es iverile, eoes y Demosrió: Por ser iverile, eise y, por efiiió e mriz ivers, se verifi que I Tomo eermies y lulo el eermie el prouo, se oiee: I Luego y Méoo e Guss pr el álulo e l mriz ivers Se M (K) iverile Si eormos E,E,, E m mries elemeles les que E m E E I, eoes, E m E E I y, por o, E m E E I Luego, efeuo e ls fils e l mriz ui ls misms operioes elemeles que efeus sore ls fils e os l rsform e l mriz ui, oeemos l mriz ivers e E eso osise preismee el méoo e Guss uy form prái e relizió viee por el siguiee esquem: Ejemplo: elemele operioe s s ( I) ( I ) U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

41 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Hllr l ivers e l mriz uilizo el méoo e Guss, y esriir ih ivers omo prouo e mries elemeles ( I ) ª ª ª ª ª L ivers e l mriz es Osérvese que l ª operió elemel equivle muliplir por l mriz (e ipo I(ª ª ) ) l izquier e ; l ª operió equivle muliplir por l mriz (e ipo I( ª ) ) l izquier el prouo erior y l ª operió 7 7 equivle muliplir por l mriz (e ipo I(ª ª ) ) l izquier el úlimo prouo, eoes resul que I 7 7 I Rgo e u mriz Defiiió: Se M (K) U meor e ore h e es el eermie e u sumriz m ur e ore h e Evieemee, h e ser h m, Defiiió: Se llm rgo e l mriz l ore el meor e myor ore o ulo e Lo eoremos por r() o ie por rg() U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

42 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Corolrio: Si r() h, eoes: ) Eise l meos u meor e ore h o ulo e ) Toos los meores e ore myor que h so ulos Teorem: El rgo e u mriz o mi meie operioes elemeles Ejemplo: 6 es u mriz e rgo, y que, omo es fáil ompror, el meor, y oos los meores e ore so ulos Defiiió: Se f, f,,f k fils e u mriz ulquier Diremos que ls fils f, f,,f k so lielmee epeiees, uo eis los elemeos λ,, λ k K o oos ulos, les ( ) λ λ, sieo () l fil form por eros f kf k Defiiió: Se f, f,,f k fils e u mriz ulquier Diremos que ls fils f, f,,f k so lielmee iepeiees, uo o se lielmee epeiees, es eir, uo si ( ) λ λ, sieo () l fil form por eros, se eue oligorimee que λ i f kf k, i L relió ere ls fils e l mriz es l siguiee: f f f f f f Sólo hy os fils lielmee iepeiees (ls os primers) y es r() El siguiee eorem jusifi es oiiei Teorem el rgo Se M m (K) Eoes el rgo e oiie o el úmero e fils lielmee iepeiees sí omo o el úmero e olums lielmee iepeiees e Es eir, oiie o l imesió el espio e ls fils y o l imesió el espio e ls olums e Demosrió: Por simplii e l oió, supogmos que es u mriz : U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

43 Sisems e euioes lieles Mries y eermies y que el rgo e es r() Por efiiió e rgo, eise u meor e ore os e, isio e ero Poemos supoer si péri e geerli que se Por o, ls os primers fils e so lielmee iepeiees Comproemos e primer lugr que l erer fil es omiió liel e ls os primers Por efiiió e rgo, oos los meores e ore res e h e ser ulos; por o, se iee que:, esrrollo el eermie por l erer olum y llmo ij l juo e ij, o e l mriz sio e l sumriz e que esmos osiero Como, puee espejrse e l igul erior, oeiéose: λ μ, hieo llmo λ y μ respeivmee y Por el mismo moivo, mié es Y, proeieo omo es, puee esriirse: λ μ, y que los, y e hor so los, y e es, respeivmee Cosiero e uevo el meor, y, pliáole el orolrio e los eermies, se verifi que De oe, espejo, se oiee: λ μ U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

44 Sisems e euioes lieles Mries y eermies álogmee se emosrrí que λ μ Co lo ul que proo que f λf μf ; es eir, que l erer fil es omiió liel e ls os primers E seguo lugr, por ser, mié se eue que ls os primers olums e so lielmee iepeiees y, fl emosrr que l erer y l ur olum so omiioes lieles e ls os primers El rzomieo seguio e el so e ls fils puee rslrse ese so si más que esrrollr los meores e ore res por olums e vez e fils, oeiéose el resulo perseguio Defiiió: Se llm orlr u meor e u mriz M m (K), osruir oro e ore superior ñiéole fils y olums e Coseueis el eorem el rgo: ) Ls fils o ls olums e u mriz ur M (K) so lielmee iepeiees si y solo si E efeo: Ls fils o ls olums e u mriz ur so lielmee iepeiees si y solo si r(), omo oseuei imei el eorem hor ie, por efiiió e rgo, eso ourre si y solo si ) Si M (K), eoes, r() si y solo si es iverile ) r()r( ) Form prái e lulr el rgo e u mriz: U vez eoro u meor o ulo e ore r (e o ser sí el rgo serí ero), se v orlo ese meor o u uev fil y u e ls emás olums Si oos esos meores e ore r resulse ser ulos, eoes l uev fil es omiió liel e ls emás, y se repeirí el proeso o or fil; si oos los meores, l orlr o el reso e ls fils, fuese mié ulos, eoes el rgo serí r Si, por el orrio, espués e orlr o es primer uev fil, eorásemos u meor o ulo, el rgo serí l meos r ; os querímos o él y omezrímos orlrlo o el reso e U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí

45 Sisems e euioes lieles Mries y eermies fils y e olums, y sí suesivmee El rgo serí el ore el meor e myor ore o ulo eoro por ese proeimieo De es mer se ismiuye olemee el úmero e meores que hy que lulr pr eermir el rgo e u mriz Cálulo el rgo e u mriz meie operioes elemeles: El rgo e u mriz o vrí si se efeú operioes elemeles e sus fils o olums (es oseuei imei e ls propiees ) y ) e los eermies y e que el eermie e l mriz ui es ); por o, puee relizrse operioes e ese ipo, que rsforme l mriz e or e l que se imeio lulr el rgo Ess mries se llm mries eslos So quells que verifi: i) Si hy fils uls so ls files ii) E fil, el primer elemeo o ulo esá l ereh el primer elemeo o ulo e l fil preeee El rgo e u mriz eslo es el úmero e fils o uls e ih mriz Ejemplo: Clulr el rgo e l siguiee mriz: 6 7 plio mries elemeles: U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

46 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí ª 5ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª rg plio el proeimieo e orlr: Oservmos que el meor e ore 5, luego rg() Orlmos eoes ese meor o l erer fil y l erer olum, oeieo el meor e ore 5 luego rg() Orlmos hor ese meor o l ur fil y l ur olum, oeieo el meor e ore uro 7 6 Cosiermos el oro meor e ore uro posile, orlo el meor e ore res o ulo o l qui fil y l ur olum 6 Luego oos los meores posiles e ore uro, oeios prir el meor e ore res o ulo, so ulos y por o rg() El oepo e rgo se pli e l resoluió e sisems e euioes lieles 6pliió el álulo mriil los sisems e euioes lieles 6Sisems e Crmer: U sisem e euioes se ie que es e Crmer si y solo si verifi ls os oiioes siguiees: Tiee igul úmero e euioes y e iógis L mriz e los oefiiees iee eermie o ulo

47 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 7 Regl e Crmer: U sisem e Crmer iee siempre soluió úi, es eir, es u sisem ompile eermio Demosrió: Se X l euió mriil el sisem e Crmer S Como S es e Crmer, l mriz e los oefiiees es regulr ( ), por o iee ivers - y muliplio, l izquier, por - se oiee: - X - X -, es eir :,, i i i i i,, i i i i i i i i Epresió que osiuye l regl e Crmer Oservió: Si el sisem S o es e Crmer pero es ompile o rgrg h< (ompile ieermio) sieo, por ejemplo, el meor hh h h, eoes el sisem S es equivlee l sisem h h hh h h hh h h h h h S que es e Crmer y uy soluió epee -h iógis

48 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 8 Ejemplo: Soluió: El sisem o puee esriirse e form mriil e l siguiee mer: 7 Es u sisem e Crmer por eer el mismo úmero e euioes que e iógis y ser 8 7 L soluió úi es: 7, 7, Teorem e Rouhé-Froeius Se m m m m S X u sisem liel e m euioes o iógis, sieo l mriz e los oefiiees y * l mriz mpli ( * ) jo ess hipóesis se verifi que: ) S es ompile si y sólo si r()r( * ) ) Si, r()r( * ) eoes S es ompile eermio ) Si r()r( * )< eoes S es ompile ieermio Demosrió: ) Si el sisem S es ompile, eoes r()r( * ) E efeo: Resolver el sisem: z y 7z z y S

49 Sisems e euioes lieles Mries y eermies S m m Que S eg soluió, sigifi que eise eslres liel e m m,, les que es omiió m,,, ; luego, l úlim olum e * es omiió liel e ls m m m eriores (que osiuí ls olums e ), y, por o r()r( * ) Reípromee, si r()r( * )h, el sisem es ompile E efeo: Si r()r( * )h, eise u meor e e ore h o ulo Si péri e geerli, poemos supoer que Eoes, ls reses fils h,,m, e l mriz h h hh * so omiió liel e ls h primers, y el sisem es equivlee : que, su vez, es equivlee : h h h hh h h h hh h h h h hh h h h h h plio l regl e Crmer ese úlimo sisem, se oiee: h h hh h h h U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 9 h h hh h h hh

50 Sisems e euioes lieles Mries y eermies h h h h h h hh h h h hh h De es form, se lul,, h e fuió e los prámeros h,, ) Si h, eoes,,, h so eslres oreos (o epee e igú prámero) y osiuye l soluió úi el sisem, que será pues ompile eermio ) Si h <, eoes,,, h viee os e fuió e los prámeros h,, Pr vlor que ome ihos prámeros oeremos u soluió el sisem, que será, por o, ompile ieermio Ejemplo: y z Esuir y resolver el sisem S y z y z Esriimos S e form mriil: y El eermie e l mriz e z Teemos que osierr los siguiees sos: i) Si y -, eoes el sisem es e Crmer y su soluió es: los oefiiees es: ( ) ( ), y, z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

51 Sisems e euioes lieles Mries y eermies U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5 ii) Si, S z y z y z y, luego se r e u sisem ompile ieermio y us euioes prméris so: μ λ μ λ λ μ,, z y R iii) Si -, S z y Sieo - - o pero orlo ese meor o l olum e érmios iepeiees y l úlim fil resul que 9 Luego r() r( ) y e ese so el sisem es iompile 6 Sisems homogéeos Culquier sisem homogéeo ) ( X es ompile pues siempre mie l llm soluió rivil: (por or pre, es oseuei imei el eorem erior, por verifirse siempre e u sisem homogéeo que r()r( )) E el so priulr el mismo úmero e euioes que e iógis, es eir, m, (por o, es u mriz ur), plio el eorem e Rouhé, se oiee el siguiee resulo: ) El sisem iee úimee l soluió rivil si y sólo si ) El sisem iee ifiis soluioes si y sólo si 6 Esruur e ls soluioes e u sisem U soluió e u sisem liel se puee epresr omo u -upl e eslres ),,s,s s ( o mié por u mriz olum s : s s S que umpl u e ls euioes el sisem o que umpl l euió mriil X

52 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Se X u sisem e m euioes o iógis Se X () su sisem homogéeo soio Se verifi: ) Si S es soluió el sisem homogéeo, mié lo es λs, pr ulquier ose λ Demosrió: Por ser S soluió el sisem homogéeo, se verifi que S() sí, se iee: λsλsλ ()() ) Si S y S so soluioes el sisem homogéeo, S S mié lo es Demosrió: Por ser S y S soluioes el sisem homogéeo, se verifi que S S () Por o, (S S ) S S ( ) () () ) Si el sisem X () mie más soluioes que l rivil, eoes, eise k soluioes S, S,, S k lielmee iepeiees les que l soluió geerl el mismo es e l form, Sλ S λ S λ k S k sieo λ i eslres y k r() Demosrió: Si el sisem X () mie más soluioes que l rivil es por que r () h < Por o, puee espejrse h iógis e fuió e ls emás (si péri e geerli, poemos supoer que so ls h primers): λh h λ λ h h λ h λ h h h λ h Ls igules eriores puee esriirse ojumee e l form: h h λ λ h h h λ λ h h h λ λ h, o ie, S λs λ S λ ksk o U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

53 Sisems e euioes lieles Mries y eermies λh λh λ h h λ h h λ h S h, S λ, S,,S K, λ h, λ h, λ k Evieemee, S, S,, S k so lielmee iepeiees (o hy más que oservr ómo so sus fils h, h,, ) y k h r(), omo querímos emosrr ) Ls soluioes el sisem X so e l form: S S, oe S es u soluió priulr e iho sisem y S es l soluió geerl el sisem homogéeo soio Demosrió: Culquier soluió geerl S* el sisem X, se puee epresr omo S*(S*- S )S, e oe, por ser S* y S soluioes el sisem que: ( S* S ) S* S () El reíproo es imeio: Si S es u soluió priulr el sisem X y S es l soluió geerl el sisem homogéeo soio, eoes, S S es soluió e X E efeo: ( S S ) S S () 7 Mries Orogoles Defiiió: U mriz rspues, es eir, M se ie que es orogol uo su ivers oiie o su Ejemplos: orogoles os se,, y C so mries se os Proposiió: Si u mriz es orogol, eoes, ± U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

54 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Demosrió: I se oiee: ±, por ser orogol Tomo eermies e mos miemros, TEORÍ MTRICIL USD EN JUSTE DE OSERVCIONES Teorem ) Si M m, se verifi que es u mriz siméri ) Si M m, o m>, es u mriz e rgo ompleo, es eir, r(), eoes r( ) Defiiió: D u mriz M m M m que verifique ls uro oiioes siguiees: ) ) es siméri ) ), se llm mriz pseuoivers e, u mriz es siméri Teorem Si M m, eise u úi mriz pseuoiverse Proposiió: Si es iverile, eoes Defiiió: Si M m verifi que G, u mriz G M m se ie que es u ivers geerliz e si Oservió: E geerl, u mriz ejemplo, es u e ells M m iee ifiis iverss geerlizs, por U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 5

55 Sisems e euioes lieles Mries y eermies Ejeriio: ) Demosrr que si es iverile y G es u ivers geerliz e, eoes, G ) Do el sisem ompile e euioes lieles X K, emosrr que G K es u soluió e iho sisem, sieo G u ivers geerliz ulquier e U D e Memáis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crogrfí 55