Tema 6. Trigonometría (II)

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1 Tem. Trigonometrí II. Teorem de dición..... Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos..... Rzones trigonométrics del ángulo doble mitd Rzones trigonométric del ángulo doble Rzones trigonométric del ángulo mitd Trnsformciones de sums de dos rzones trigonométrics en productos Ecuciones trigonométrics Sistems de ecuciones trigonométrics Sistems resolubles por los cmbio de vrible o por reducción Sistems donde un ecución del sistem es resoluble....

2 Tem. TrigonometríII. Teorem de dición.. Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos. Muchs veces es de utilidd poder clculr ls rzones trigonométrics de un sum de ángulos prtir de conocer ls rzones trigonométrics de los ángulos independientes. El objetivo del prtdo es epresr ls rzones b, b b en función de, b,, b,, b. Pr clculrlo utilizremos l siguiente figur: P b AP AR RP CB RP b OA OC AC OC RB R B b b O A C Nots: Se cumple que el ángulo COB RPB l ser sus ldos rects perpendiculres. CB CB OB OB RB RB PB PB RP RP PB PB OC OC OB OB PB b PB b OB b OB b Con ests igulddes fácilmente relcionremos el o coo de l sum de dos ángulos con ls rzones simples: b b b b b b Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

3 Tem. TrigonometríII Pr clculr l tngente dividmos o coo: b b b b b b b b b { dividiendo num den por b b b b b b b Regrupndo los resultdos: b b b b b b b b b.. Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos. A prtir de ls rzones trigonométrics de l sum es cillo clculr ls rzones de l diferenci. Sólo h que relcionr -b -b con b b. Pero b-b, en el tem nterior vimos hcer dibujo circunferenci goniométric: -b-b-b -b-bb -b-b-b De est form: -b-b -b -b b- b -b-b -b -bb b b b b b b b Resumiendo: b b b b b b b b b Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

4 Tem. TrigonometríII Ejercicio: clculr ls rzones trigonométrics de 75 º 5º prtir de ls rzones de º, º 5º. Comprueb los resultdos clculndo ls rzones trigonométrics de 9º prtir de ls rzones de 5º 75º. 75º 5º º º 5º º º 5º º 5 5º 5º º 5 5 5º 5º º º 5º º 5 9º 75º 5º º 75º 5º º 75º 5º 75 5 Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

5 Tem. TrigonometríII. Rzones trigonométrics del ángulo doble mitd... Rzones trigonométric del ángulo doble En este prtdo buscmos epresr ls rzones trigonométrics del ángulo doble,, en función de el ángulo. Pr clculrlo utilizmos ls rzones trigonométrics de l sum: Resumiendo:.. Rzones trigonométric del ángulo mitd En este prtdo buscmos epresr ls rzones trigonométrics del ángulo mitd, /, en función de el ángulo. Pr clculrlo utilizremos l rzón trigonométric del coo del ángulo doble: Llmndo / ± ± ± ± ± Págin 5 de Tem elbordo por José Luis Lorente

6 Tem. TrigonometríII Ejercicio : clculr ls rzones trigonométrics de º prtir de ls rzones trigonométrics de º. Ejercicio : clculr ls rzones trigonométrics de.5º prtir de ls rzones trigonométrics de 5º..5 5 / / 5 5 Not: hemos cogido ls soluciones positivs l pertenece.5º l primer cudrnte, por tnto ser sus rzones trigonométrics positvs. Ejercicio : poner en función de b poner en función de Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

7 Tem. TrigonometríII c poner en función de. Trnsformciones de sums de dos rzones trigonométrics en productos. En este prtdo vmos ver como trsformr l sum o diferenci de dos rzones trigonométrics en un producto de rzones trigonométrics. Pr este objetivo prtimos de ls conocids rzones trigonométrics del o coo de l sum diferenci: b b b b b b b b b - b b b Como el objetivo es que sen los rgumentos de ls rzones trigonométrics sumds conocidos se reliz el siguiente cmbio de vrible: b A b B b De est form: A B A B A B A B A B A B A B A B Vmos ver l sum diferenci de coos: b b b b s b b b b b - b b b Hciendo el cmbio de vrible: Págin 7 de A B A B A B A B A B A B Tem elbordo por José Luis Lorente

8 Tem. TrigonometríII Ejercicio5: Clculr sin clculdor 75º5º, 75º-5º, 755, Ejercicio : Clculr 55-,, 7--9-: Ejercicio 7: Simplific ls siguientes epresiones: 5 5 b cot g c Págin 8 de Tem elbordo por José Luis Lorente

9 Tem. TrigonometríII. Ecuciones trigonométrics En el tem nterior hemos resulto ecuciones trigonométrics en los que los rgumentos que precín en tods l rzones ern el mismo. En este tem resolveremos ls ecuciones cundo prece en ls rzones diferentes rgumentos. Los objetivos pr resolver ls ecuciones son los siguientes:. Tendremos que buscr fctorizr ls rzones trigonométrics igulds cero. Pr esto se utiliz el teorem de l sum o diferenci, especilmente el teorem de l dicción. A prtir de los teorems del ángulo doble o mitd ls ecución poner tods ls rzones en función de un únic rzón trigonométric con mismo rgumento. Ejemplos:. No podemos plicr el teorem de dicción, pues no h pr l sum de o coo. Pongmos con rzones trigonométrics de rgumento : Como está l ecución iguldd cero podemos fctorizr: 9 7 / b -. Ahor si podemos plicr el teorem de dicción, demás como está iguldo cero será fácil resolver l ecución. -. º 5º º 9º º º 8 Págin 9 de Tem elbordo por José Luis Lorente

10 Tem. TrigonometríII c - Tenemos que buscr tener el mismo rgumento, de form que pondremos como rzones trigonométrics de rgumento : Pr que l ecución esté en función de un mism rzón trigonométric podremos en función del o: ,,77, 5,7 5, , 9.9, d Pongmos en función de o l revés cmbio vrible elevndo l cudrdo - - -, 9 7 Tenemos que comprobr que solución es válid l elevr l cudrdo: válid , no válid -, válid Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

11 Tem. TrigonometríII 5. Sistems de ecuciones trigonométrics Un sistem de ecuciones trigonométrics cundo l menos en un de ls ecuciones que l formn es un ecución trigonométric. Pr resolver los sistems trigonométri no siempre cillo, vemos los tipos de sistems más frecuentes: Not: en ls funciones trigonométrics donde prezcn ls incógnits en ecuciones no trigonométrics se suponen que están epresds en rdines. 5.. Sistems resolubles por los cmbio de vrible o por reducción. Son sistems donde precen dos rzones trigonométrics, tl que podemos hcer el cmbio de vrible obtener un sistem de ecuciones no trigonométrics. Ejemplos: Y,Y /, Y/. Y / / 5º, 75º, 95º, 55º Y/ Y/ º, º, º, º, º, º º 8º - rdº 5.. Sistems donde un ecución del sistem es resoluble. /- / º /- / 5 º 5 7 Soluciones, si 7 ; si 5 Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente

12 Tem. TrigonometríII Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente º º 5º 5º. Tenemos posibles sistems: 87,5º,5º 7,5º 5,5º 5º º 5º b 7,5º,5º 7,5º 8,5º 5º º 5º c,5º 77,5º,5º 97,5º 95º º 5º d 7,5º 7,5º 5,5º 7,5º 55º º 5º PROBLEMAS SISTEMAS. Resolver los siguientes sistems - b º 9 9º

13 Tem. TrigonometríII Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente 9 9 ± º º º º º º º º º º 5º c º º º º º º d rc rc 5º 5º 5º 5º 75º 85º 75º 5º 75º 5º Hciendo ls comprobciones l elevr l cudrdo h que comprobr sólo son cierts: 75º, 5º 5º, 75º

14 Tem. TrigonometríII Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente ECUACIONES. Resolver ls siguientes ecuciones b º 5º º º 9º 7º 5º 5º º º º 5º º º c 7º 9º º 9º

15 Tem. TrigonometríII Págin 5 de Tem elbordo por José Luis Lorente d 55º 75º 95º 5º 8º 75º 8º 5º 5º º 7º 9º e ± 7 º 7 º 7 8º 7º º 7º º 7 º º º º º 8 f 5º º Como hemos elevdo l cudrdo tenemos que comprobr ls soluciones: º Solución 5º 5 5 No solución Otr form ide feliz: º 9º º º º º

16 Tem. TrigonometríII Págin de Tem elbordo por José Luis Lorente SIMPLIFICACIONES. Simplific ls siguientes epresiones: b c cot cot cot g g g

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