SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: RESOLUCIÓN

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1 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: RESOLUCIÓN Autores: Cristi Steegm Pscul Ju Alerto Rodríguez Velázquez ESQUEMA DE CONTENIDOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: RESOLUCIÓN Mulmete Co Mthcd Métodos Ectos Métodos Aproimdos RREF Método de Guss LSOLVE Regl de Crámer GIVEN / FIND Método de l mtriz ivers MATRIZ INVERSA Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

2 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució INTRODUCCIÓN Muchos prolems técicos y cietíficos requiere l resolució de sistems de ecucioes lieles (SEL). Se trt, pues, de u tem fudmetl pr tods ls disciplis que utiliz ls mtemátics de u mer u otr. E muchos prolems eiste depedeci etre ls diferetes mgitudes o vriles que iterviee y meudo se plte e form de ecució liel. Detro del proceso de resolució de prolems co SEL, se puede defiir seis etps:. Leer el prolem.. Defiir ls icógits priciples de form precis.. Trducció mtemátic del prolem hst plter u SEL.. Resolució del SEL.. Iterpretció de ls solucioes.. Cotrstr l decució de ls solucioes oteids. El "frcso" e l resolució de u SEL puede ser deido l preseci de dificultdes e u o vris de ls etps teriores. Por ello, es fudmetl relizr, previmete, u ue álisis del SEL sí como seguir co rigurosidd el método utilizdo pr su resolució. De estudios teriores y so coocidos los sistems de ecucioes lieles y o os so etrños lguos térmios relciodos co su resolució (como los coocidos métodos de sustitució, igulció y reducció). No ostte tmpoco os so descoocids ls dificultdes del álisis y el cálculo e l resolució de los sistems de más de tres ecucioes co tres icógits. E este mth-lock se preset diferetes técics y lgoritmos utilizdos e l resolució de los sistems de ecucioes lieles tto de form mul como co yud del softwre. OBJETIVOS Resolver los SEL por el método de Guss. Resolver los SEL por el método de l mtriz ivers. Resolver los SEL por l regl de Crámer. Mostrr ls posiiliddes que rid el progrm Mthcd pr resolver los SEL. CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomedle her leído, previmete, los mth-locks reltivos : Álger de mtrices. Determites. Mtriz ivers. Discusió de SEL. Además, recomedmos los itroductorios Mthcd. Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

3 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució CONCEPTOS FUNDAMENTALES Prelimires [W, W] U sistem de ecucioes lieles (SEL) es u cojuto de m ecucioes co icógits de l form: m m dode ij so los coeficietes, i ls icógits, y i los térmios idepedietes. El terior sistem se puede epresr e form mtricil, usdo el producto de mtrices de l form: m m m m m m De modo simplificdo suele escriirse A m, X, B m,, dode: l mtriz A, de orde m, se llm mtriz de los coeficietes l mtriz X, de orde, se llm mtriz de ls icógits l mtriz B, de orde m, se llm mtriz de los térmios idepedietes. Los métodos de resolució de sistems de ecucioes se puede dividir e dos grdes grupos: Los métodos ectos o directos, que permite oteer l solució del sistem de mer direct. Éstos proporcio u solució ect e u úmero fiito de opercioes. So válidos, proimdmete, pr vlores de meores que y que si es muy grde, l cumulció de los errores de redodeo puede llegr provocr que l solució uméric o se ectmete igul que l solució ect. Los métodos proimdos o itertivos, que utiliz lgoritmos itertivos e ifiitos y que clcul ls solucioes del sistem por proimcioes sucesivs. Pr ello, costruye u sucesió de vectores destid coverger l solució del sistem. Al cotrrio de lo que pued precer, e muchs ocsioes los métodos proimdos permite oteer u grdo de ectitud superior l que se puede oteer empledo los deomidos métodos ectos, deido fudmetlmete los errores de trucmieto que se produce e el proceso. De etre los métodos ectos, cotiució se liz el método de Guss, l regl de Crámer y el de l mtriz ivers pr resolver u SEL, sí como ls fucioes GIVEN/FIND, LSOLVE y RREF del mthcd. Etre los métodos proimdos está el método itertivo que se reliz co l yud del softwre (se profudiz e el estudio de éste e el mth-lock "Modelos mtemáticos"). Prticulrmete, este mth-lock se cetr e l resolució de sistems co u úic solució; es decir, co m, se muestr cómo hllr u vector X, -dimesiol, que se solució del sistem A XB Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

4 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Método de Guss [W, W, W7] Este método o es más que l geerlizció del método de reducció y coocido pr resolver sistems de dos ecucioes co dos icógits y se s e el cocepto de equivleci. Decimos que dos sistems A y A' ' so equivletes si tiee l mism solució. Si sore u sistem de l form A se reliz u serie de opercioes como:. multiplicr u ecució por u costte diferete de cero.. sumr u múltiplo de u ecució otr ecució.. itercmir ecucioes. el sistem resultte, A' ', es equivlete l primero. El método de Guss cosiste e, prtir de u sistem A, coseguir otro sistem A' ' equivlete tl que A' se u mtriz trigulr superior. De est form, el sistem de ecucioes se puede resolver fácilmete. L ide geerl es hcer cero todos los elemetos que se ecuetre dejo de l digol pricipl. Por ejemplo, e u mtriz de, hcer ulos los elemetos, y. Se trt, pues, de, utilizdo ls trsformcioes de equivleci, logrr que lguos de los coeficietes de ls icógits se ulos. El procedimieto es:. Se elige u icógit co coeficiete o ulo l que llmremos pivote y que, por comodidd, supodremos que es el (si o es éste, siempre se puede lterr el orde de los térmios e tods ls ecucioes, o permutr ecucioes, pr situr el pivote e el lugr iicil.. A l segud ecució se le sum l primer multiplicd por primer multiplicd por l primer multiplicd por + m m, l tercer le summos l y sí sucesivmete hst llegr l últim e l que se sumrá m. Co ello es sistem quedrá sí: Este sistem es equivlete l primero m. Si se sepr l primer ecució se otiee otro sistem co u ecució y u icógit meos e el que se repite el proceso tomdo como pivote el coeficiete (si es cero o se puede tomr como pivote y se seleccio otro como eplicmos tes). Se repite el proceso hst oteer u sol ecució o u sistem co todos los coeficietes ulos. De este modo, si gregmos ls ecucioes suprimids, oteemos u sistem e form esclod. Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

5 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD) E l práctic es más cómodo revir l escritur del sistem escriiedo sólo los coeficietes y los térmios idepedietes e form de mtriz uméric recorddo qué colum correspode cd icógit (por si h sido preciso cmir lgu colum de lugr). Es decir, m m m m Ejemplo: Resolver, utilizdo el método de Guss, el sistem siguiete: t z y t z y t z y t y L mtriz del sistem es: 7 sore l que plicremos el método de Guss. () () () () () 7

6 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució () () () (7) () Psos seguidos: () Tommos como pivote el elemeto. Reducimos cero los elemetos de l ª colum que se ecuetr dejo del pivote. Pr ello hcemos: ª fil ª fil -. ª fil ª fil ª fil -. ª fil ª fil ª fil -. ª fil () Como, itercmimos etre ells l ª y l ª fil. () Cmimos el sigo de l ª fil multiplicdo ést por (-). () Tommos como uevo pivote el elemeto. Reducimos cero los elemetos que está por dejo de éste. Pr ello hcemos: ª fil ª fil +. ª fil () Cmimos el sigo de l ª fil multiplicdo ést por (-). () Tommos como uevo pivote el elemeto. Reducimos cero los elemetos que está por dejo de éste, del siguiete modo: ª fil ª fil - ª fil (7) Elimimos l ª fil, esto es, l últim ecució. L mtriz fil que hemos oteido tiee u fil meos que el úmero de icógits; por lo tto, teemos u grdo de liertd pr elegir l t, que puede tomr culquier vlor y que l curt ecució, que es l que qued co est vrile, es. t, que se cumple pr culquier vlor rel de t. Y sustituyedo hci trás e ls otrs ecucioes oteemos l solució geerl del sistem, l cul depede de u prámetro ritrrio t, y es l siguiete: z t z + t y y + t Si poemos l solució e fució de u prámetro, λ, result: Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

7 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució λ + y z λ t λ Regl de Crámer [W] Se dice que u sistem de ecucioes lieles es u sistem de Crámer si tiee el mismo úmero de ecucioes que de icógits y el determite de l mtriz de los coeficietes o es ulo. Los sistems de Crámer so siempre comptiles y determidos. L resolució de u sistem de ecucioes lieles puede efecturse medite l llmd regl de Crámer que firm: "E u sistem de Crámer, cd icógit puede oteerse medite el cociete de dos determites. El umerdor es el determite de l mtriz de los coeficietes e el que se h sustituido l colum correspodiete l icógit despejr por l colum de los térmios idepedietes y el deomidor es el determite de l mtriz de los coeficietes". E efecto: Se el sistem de Crámer siguiete, de ecucioes co icógits: que escrito mtricilmete quedrí sí: Etoces, l solució del sistem será: A A Proyecto e-mth 7 Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

8 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució A dode A es el determite de l mtriz de coeficietes. Ejemplo: Resolver el siguiete sistem de ecucioes lieles: + y + z + y + z + y + z 9 Primero de todo clculemos el vlor del determite de l mtriz de coeficietes: A Al ser este determite diferete de cero, podemos segurr que se trt de u sistem de Crámer. E este cso, ls solucioes so: Térmios idepedietes del sistem y z Oservemos que l colum de los térmios idepedietes se sustituye e l colum correspodiete l icógit determir. De este modo, l solució del sistem es: y z Proyecto e-mth 8 Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

9 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Método de l mtriz ivers [W] Siedo clculr l mtriz ivers y multiplicdo mtrices tmié es posile resolver u sistem de ecucioes lieles, siempre y cudo éste se de Crámer (es decir, teg igul úmero de ecucioes que de icógits y el determite de l mtriz de coeficietes o se ulo). Vemos cómo: Se el siguiete sistem de Crámer, de ecucioes co icógits: Escrito mtricilmete quedrí sí: esto es: A X B Si multiplicmos por l mtriz ivers de A l izquierd e mos miemros de l iguldd, oteemos: A - (AX) A - B Por tto, por l propiedd socitiv de ls mtrices: (A - A)X A - B Esto es: I X A - B Y por ser l mtriz idetidd (I) el elemeto eutro del producto de mtrices, llegmos que: X A - B Es decir, l solució del sistem se hll multiplicdo l ivers de l mtriz de coeficietes por l mtriz de térmios idepedietes. Ateció! No se dee olvidr que, l o ser comuttivo el producto de mtrices, es ecesrio respetr el orde e que prece multiplicds ls mtrices. Ejemplo: Como ejemplo resolveremos el mismo sistem del prtdo terior y comproremos que se otiee los mismos resultdos. El sistem es: + y + z + y + z + y + z 9 L mtriz de coeficietes es: Proyecto e-mth 9 Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

10 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD) A Clculmos su ivers por el método de los djutos: A A A A A A A A A Etoces, A Por tto, l mtriz X de ls icógits será: 9 z y de dode se cocluye que: z y Solució ést que coicide co l ecotrd por l regl de Crámer. CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Supogmos que teemos que resolver el siguiete sistem de ecucioes lieles:

11 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Aplicr culquier de los métodos estudidos hst hor pr resolver el sistem, como podrí ser l regl de Crámer o Guss, represetrá u tre rdu y muy costos de relizr, especilmete e tiempo y esfuerzo metl. Si emrgo, utilizdo el progrm Mthcd será stte secillo. Veámoslo: Método de resolució: RREF [] Utilizdo l otció mtricil, podemos hllr l solució del sistem utilizdo l fució rref, l cul devuelve u mtriz que represet l form reducid de l mtriz dd. Pr ello itroducimos l mtriz mplid, i.e., co coeficietes y térmios idepedietes y le plicmos l fució rref: Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

12 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD) rref Est fució trsform l mtriz de coeficietes e l mtriz idetidd y, por tto, l colum de térmios idepedietes se covierte e el vector solució del sistem. E cosecueci, l solució l sistem terior es: Método de resolució: LSOLVE [] Al igul que e el prtdo terior, plicremos l fució lsolve -que se ecuetr e Isert>Fuctio. Pr ello, itroducimos l mtriz de coeficietes del sistem y el vector de térmios idepedietes:

13 7 8 A : B : Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució 7 8 Pr oteer el vector solució plicmos l fució lsolve A y B: lsolve( A, B).98 Deido los errores de redodeo l ejecutr ls opercioes, los vlores sle proimdos; de hí que l solució se dee iterpretr como. Se comprue que ls solucioes del sistem coicide co ls clculds e el prtdo terior. Método de resolució: GIVEN y FIND [] Pr este método es ecesrio sigr, e primer lugr, vlores iiciles (culesquier) ls vriles. Por ejemplo: : : : 7 7 : : : 8 8 : : : 9 9 i.e. se hce u "predicció" de l que podrí ser l solució del sistem. Defiimos hor el sistem, usdo l istrucció Give. Se escrie l plr "Give"; sí se idic Mthcd que lo que le sigue cotiució es u sistem de ecucioes. Se puede escriir "Give" co culquier tipo de letr, sólo es ecesrio segurrse de o escriirl e u regió de teto (dee ser e u regió mtemátic) Give Se escrie el sistem de ecucioes, pero Ateció!: Usdo el sigo "" que prece e l rr de herrmiets Boole: Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

14 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Escriirlo e REGIÓN MATEMÁTICA Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

15 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Filmete, usdo l fució Fid (se hll e Isert Fuctio): ( ) X : Fid,,,,,,,, prece l solució del sistem que, efectivmete, es l correct (coicide co l de los teriores prtdos): X Método de resolució: MATRIZ INVERSA Tmié se puede resolver el sistem terior utilizdo l mtriz ivers. Recordemos el sistem del que prtímos: Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

16 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució Se A l mtriz de los coeficietes, B l de los térmios idepedietes y X el vector solució. De est form el sistem e cuestió es: A X B Etoces se puede multiplicr l izquierd de cd miemro por l ivers de A de mer que qued: A - A X A - B Etoces se lleg l coclusió de que X A - B, clculo éste que se puede relizr co l yud del mthcd (ver mth-lock "Mtriz ivers"): A B.7 Nuevmete, deido los errores de redodeo l ejecutr ls opercioes, los vlores sle proimdos ; de hí que l solució se dee iterpretr como. Se comprue que ls solucioes del sistem coicide co ls hllds e los prtdos teriores.. BIBLIOGRAFÍA [] Motes Lozo, A (998): "Álger", Edicioes UOC, Módulo : "Mtrices, vectores y sistems de ecucioes lieles", -8 Proyecto e-mth Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)

17 Sistems de Ecucioes Lieles: Resolució [] G. J. Porter, D. R. Hill (99): Iterctive Lier Alger. A lortory course usig Mthcd, Spriger-Verlg New York, Ic., Chpter [] H. Beker (999): "Prcticl use of Mthcd. Solvig mthemticl prolems with computer lger system", Spriger-Verlg New York, Ic., -8 [] J. A. Moreo, D. Ser (999): "Mthcd 8. Mul de usurio y guí de refereci de Mthcd 8", edicioes Ay Multimedi, S.A., 8 [] H. Ato (997): "Itroducció l álger liel", Limus, - [] H. Ato, C. Rorres (): "Elemetry Lier Alger: Applictios Versio", Joh Wiley&Sos. ENLACES [W] [W] [W] [W] [W] [W] [W7] [W8] Fichero AVI co u lecció sore resolució sistems de ecucioes lieles co mthcd. E iglés. Pági we de l Sociedd Adluz de Educció Mtemátic THALES. E espñol. Pági we de Wldimiro Díz Villuev, del deprtmeto de Iformátic de l Uiversitt de Vlèci. E espñol. Pági we de Miguel Reollo, del deprtmeto de sistems iformáticos y computció de l Uiversitt Politécic de Vleci. E espñol. Pági we de "Sector Mtemátic". E espñol. Pági we de Muel Ndo co "Todo Mtemátic"; recopilció de putes y ejercicios. E espñol. Pági we de Muel Ndo co "Todo Mtemátic"; recopilció de putes y ejercicios. E espñol. Pági we del Cetro de Supercomputció de Glici. E gllego y espñol. Proyecto e-mth 7 Ficido por l Secretrí de Estdo de Educció y Uiversiddes (MECD)