Laboratorio de Optica

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1 Laboratorio de Optica 5. Lentes Delgadas Neil Bruce Laboratorio de Optica Aplicada, Centro de Instrumentos, U.N.A.M., A.P , México, 04510, D.F. Objetivos Veriicar las ecuaciones que relacionan la distancia imagen y la ampliicación transversal en una lente delgada con la distancia del objeto y ocal de dicha lente. Manejar con luidez los conceptos de distancia ocal de una lente, así como los de objeto e imagen real y objeto e imagen virtual. Aprender a: - Determinar con rapidez la distancia ocal de una lente. - Alinear una lente o un sistema de lentes en un arreglo óptico. Entender correctamente los conceptos de tamaño y ampliicación angular o poder de aumento de un instrumento optico. Entender el poder de ampliicación de una lupa. Construir en el laboratorio un microscopio y un telescopio con dos lentes simples. Introducción Una lente es un sistema óptico, compuesto de dos ó más supericies reractoras no paralelas (en general curvas), con la propiedad de que al observar un objeto através de ella se orma una imagen de dicho objeto. Cuando el sistema sólo esta ormado por dos supericies reractoras es llamada una lente simple y si la separación entre estas supericies es pequeña 1

2 se dice que es delgada. Se tiene que, cuando se hace incidir un haz de rayos paralelos y estos convergen a un punto se le llama a la lente convergente o positiva y si este haz diverge se dice que es divergente o negativa. Para cada posición del objeto se encuentra una posición y tamaño de la imagen. Las imágenes que se pueden construir con las lentes delgadas (y en general, con cualquier sistema óptico) se clasiican como reales o virtuales. Una imagen real es aquella que puede ser proyectada sobre una pantalla de observación colocada a la distancia adecuada, según sea la distancia que guarde el objeto a la lente. Las imágenes virtuales por el contrario no pueden ser proyectadas en una pantalla; es decir, los rayos provenientes del objeto no convergen a ningún punto, más bien parecen diverger de un punto que, para ser localizado, requiere de un arreglo auxiliar. La ubicación de la imagen está descrita matemáticamente por la ecuación de Gauss. Esta relaciona las distancias del objeto y la imagen con un parámetro de la propia lente llamada distancia ocal. Esta es deinida con aquella distancia a la cual convergen rayos paralelos al eje deinido por la lente. La relación es la siguiente: = (1) So Si donde S o es la distancia objeto, S i es la distancia imagen y la distancia ocal. En consecuencia, la ampliicación transversal, deinida como la razón existente entre las dimensiones transversales de la imagen y el objeto, resulta ser M t y i Si = (2) y S o o En donde y i es el tamaño transversal de la imagen y y o es el tamaño transversal del objeto. Por otro lado todas las cantidades involucradas son números positivos pero existe una convención de signos para estas cantidades tomando a los rayos provenientes de la izquierda, esta convención se resume en la siguiente tabla. Cantidad Signo + - S o Objeto real Objeto virtual (a la izquierda de la lente) (a la derecha de la lente) S i Imagen real Imagen virtual (a la derecha de la lente) (a la izquierda de la lente) Lente convergente Lente divergente y o Objeto derecho Objeto invertido y i Imagen derecha Imagen invertida M t Imagen derecha Imagen invertida 2

3 De la ecuación (1) vemos que si S o es positiva y mayor que la distancia ocal de la lente obtendremos una S i positiva por lo cual obtenemos una imagen real, pero si la distancia S o es igual a la distancia ocal S i será ininita por lo que no se podrá obtener una imagen. Ahora bien si tenemos distancias S o menores que la distancia ocal S i será negativa y se ormara una imagen virtual la cual no podremos proyectar sobre una pantalla. Por último si S o es una cantidad negativa, (es decir si tenemos un objeto virtual), la distancia imagen será positiva es decir obtendremos una imagen real. Experimentalmente todas estas cantidades son posibles medirlas, algunas de ellas directamente y otras por medio de un arreglo óptico que acilite este trabajo. El tamaño angular α de un objeto (o imagen) se deine como el ángulo que subtiende el objeto desde el ojo que observa, α yd (igura 1) y α d Figura 1 El poder de ampliicación ( PA ) de un instrumento se deine como el cociente del tamaño angular visto a través del instrumento (igura 2) y el tamaño angular observado a simple vista en condiciones óptimas (generalmente se toma la situación cuando el objeto está en el punto cercano, i.e. en igura 1, d es la distancia al punto cercano): PA i = α α (3) 3

4 y i α i y x L d l Sugerencias Figura 2 A continuación se sugiere un arreglo óptico para realizar el experimento en donde se involucren todos los casos posible para medir la distancia ocal de una lente convergente. Primeramente se determinara la distancia ocal de una lente; para ello se requiere montar el arreglo mostrado en la igura 3. S o S i lampara colimada objeto lente pantalla Figura 3 Debido a que las distancias ocales de las lentes con las que se cuenta en el laboratorio son pequeñas será suiciente que las distancias objeto sean lo suicientemente grandes (según lo permita el riel óptico) para obtener una imagen real y con estos valores estimar en primera aproximación la distancia ocal de la lente. Una vez estimado este valor será necesario 4

5 tomar varios valores de S o para poder establecer con mayor precisión el valor de. Además para cada posición se tomara también el tamaño de la imagen para veriicar la ecuación (2). Debido a que cuando se orma una imagen virtual esta no puede ser proyectada, se requerirá de una lente auxiliar previamente identiicada para poder proyectar una imagen real S i 1 tomando como objeto la imagen virtual de la primera lente y por medio de la misma ecuación de Gauss establecer tanto la distancia imagen como la ampliicación transversal del objeto. véase la igura 2. Por ultimo se tomara a la imagen real ormada por nuestra lente auxiliar como un objeto virtual (colocado a la derecha de nuestra lente de estudio), para ormar con este objeto su imagen real proyectándola sobre la pantalla (ver la igura) y con ayuda de la ecuación (1) determinar tanto S i como la ampliicación transversal. imagen virtual de lente 1 objeto real de lente S o lampara objeto lente 1 lente 2 pantalla S i 1 S i 2 S o 2 Figura 4 Microscopio simple o lupa La manera más simple de usar una lente positiva para aumentar una imagen y observarla cómodamente, es acercando el objeto a la lente de manera que la distancia objeto sea menor a la distancia ocal; la imagen será virtual, de mayor tamaño transversal que el objeto, y suicientemente alejado para una observación cómoda (igura 2). Puede mostrarse que el poder de ampliicación está dado por 0.25 ( ) L l PA = 1 + L (4) en donde un valor típico para la distancia al punto cercano es 0.25m y L y l son positivos. Si se coloca el objeto en el punto ocal de la lente, la imagen virtual está al ininito ( L = ) y: 5

6 i.e. una constante PA = (5) Microscopio Compuesto El microscopio compuesto da mayor aumento angular que la lupa de objetos cercanos. El arreglo se muestra en la igura 5. o o L e e Objeto Imagen Intermedia Objetivo Imagen en Ocular Figura 5 En el arreglo, el objetivo da una imagen real, invertida y aumentada del objeto (la imagen intermedia en la igura 3). La ampliicación transversal del objetivo es (ver Hecht y Zajac, Optica, capitulo 5): M To L = (6) o donde la distancia L es conocida como la longitud del tubo, y es un estándar en microscopios comerciales, L=0.16m. Usando la ecuación (3), el poder de aumento del ocular es: PA e = 025. (7) e El poder de aumento del sistema es: 6

7 PA = M PA To e = L 0.25 o e (8) Telescopio Cual es la dierencia entre un microscopio y un telescopio? Basicamente, la única dierencia es la posición del objeto: cerca para el microscopio y lejos para el telescopio. Quizá por eso los dos ueron descubiertos casi al mismo tiempo (~1600). En la igura 6 se muestra el arreglo para un telescopio simple α o e Imagen Intermedia α i Objetivo Ocular Figura 6 El poder de aumento está dado por la ecuación (3) con α y α i como se indica en la igura 6. Se puede mostrar que el poder de aumento es: o PA = (9) Procedimiento Experimental 1. Hacer una medición rápidamente para tener una estimación de la distancia ocal de su lente positiva. 2. Montar el arreglo mostrado en la igura 7. Usar el eecto de paralaje para ver las posiciones relativas de la lente y la imagen (si la imagen está a la derecha o izquierda de la lente) cuando la distancia entre la lente y el objeto es (a) mayor y (b) menor que la distancia ocal de la lente. 3. Usar el arreglo mostrado en la igura 3 para medir las distancias S o y S i de la lente para dierentes valores de S o, cuando la distancia S i es positiva, i.e. cuando la imagen es real. Realiza el análisis de errores primero para encontrar los valores de S o adecuados para minimizar los errores involucrados. Medir los tamaños del objeto y de e 7

8 la imagen para veriicar la ecuación (2) de la magniicación de la lente. Graicar las unciones de S o y S i convenientes para calcular la distancia ocal de la lente y su error. 4. Usar un sistema de dos lentes ormado por otra lente positiva y la lente ya medida para ormar una imagen real y asi calcular la distancia ocal y su error para la lente desconocida usando la ecuación de Gauss dos veces. Asegúrate de usar correctamente la convención de signos. Medir los tamaños del objeto y de la imagen inal y comparar la magniicación con el valor calculado usando la ecuación (2) para cada lente. 5. Medir la distancia ocal y su error de una lente negativa. Compara la magniicación medida con la magniicación calculada usando la ecuación (2). 6. Usar una lente simple y poner un objeto a una distancia igual a la distancia ocal de la lente. Observar la imagen ormada directamente con el ojo por esta lupa para dierentes posiciones de observación (dierentes valores de l en la igura 2). Describir y explicar sus observaciones. 7. Construir un microscopio con dos lentes y veriicar (cualitativamente) que hay aumento del tamaño angular y que este aumento sigue la relación de la ecuación (8). 8. Construir un telescopio con dos lentes y veriicar (cualitativamente) que hay aumento del tamaño angular y que este aumento sigue la relación de la ecuación (9). espejo lampara colimada objeto lente Figura 7 9. Mide la distancia ocal de un espejo y veriica que al tamaño de la imagen obedece la ecuación de Gauss para un espejo. Bibliograía (1) Optica, E. Hecht y A. Zajac, cap. 5 8