Aplicación a Portafolios en Colombia

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1 Administración de Riesgs Financiers: Aplicación a Prtaflis en Clmbia Tema 2: Valración Dieg Jara Facultad de Ecnmía Educación Cntinuada

2 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

3 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

4 Variables de Mercad Recrdems: Objetiv general: Medir el riesg de un prtafli Estrategia: Menú de instruments financiers Prtafli fl de análisis: cnjunt de ests instruments Valración del prtafli función que depende de la parametrización del prtafli, de variables de mercad relevantes y del tiemp Pryección de estas variables a un hriznte dad pryección del valr del prtafli al mism hriznte Riesg análisis álii de la distribución ditib ió del dl valr dl del prtafli Gestión del riesg del prtafli

5 Variables de Mercad Buscams variables de análisis Observables Que afecten el preci de ls instruments financiers Cuantificables Cmprmis de simpleza pr precisión Cn estas variables se busca Valrar instruments financiers Pryectar valres de a futur

6 Variables de Mercad Revisems el menú de instruments Accines Precis individuales y de índices Mercad Mnetari Tasas de interés Bns Tasas de interés Mnedas (?) Tasas de cambi Fnds de Inversión (fnds de capital privad) Precis de activs individuales Bienes de Cnsum (Cmmdities) Precis (según tiemp de entrega) Activs Físics Precis Pags cntingentes (segurs) Cantidades actuariales Derivads Tdas las anterires, más tras variables (clima, dats ecnómics, vlatilidades, crrelacines, retrns, )

7 Variables de Mercad Precis Tasas Valr de un instrument en el tiemp t: P(t) Incluye tasas de cambi P(t) 0 para activs básics (puede ser negativ para derivads) Preci de cmpra preci de venta ( bid-ffer spread ) Al cmprar, vender, el preci btenid depende del mnt transad: LIQUIDEZ Supsición: Precis existen en td mment, y sn únics Rendimient (anualizad) de un instrument en el tiemp t: r(t) r(t) 0 (supsición típica) Tasa para prestar tasa para pedir prestad ( bid-ffer spread )

8 Variables de Mercad Otras variables Spreads: diferencia entre una variable y tra. Pr ejempl, diferencia entre tasas swap y treasuries swap spreads Climáticas: temperaturas, precipitación, Bases diferenciales: diferencia en precis de prducts muy similares Crediticias: i calificación, ió cndición ió de incumplimient i Vlatilidades y crrelacines (implícitas y realizadas) Catastróficas: intensidad de huracanes, terremts, inundacines, Pérdidas generadas pr ésts Otras: Ecnómicas y de negcis, de vida,

9 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

10 Valración de Bns Valr del Tiemp El gbiern de Clmbia prmete pagar $1 en T = 10 añs Cúant vale esta prmesa (hy)? Supngams que su puede bservar este preci (pr ejempl, mediante el mercad secundari de deuda pública): $0.65 FACTOR DE DESCUENTO A 10 AÑOS: 0.65 Curva de Factres de Descuent (depende de T) FD(1) = 1 Función psitiva y decreciente en T

11 Valración de Bns Tasas de Interés Cuál es la tasa de interés del cas anterir? Depende. El mund transa en precis (sl hay un preci, en principi). Las tasas sn inventadas artificialmente i t para facilitar cmparacines. Tasa simple: (1 + rt) 0.65 = 1 r = 5.38% Tasa cmpuesta anualmente: (1 + r) T 0.65 = 1 r = 4.40% Tasa cmpuesta semestralmente: (1 + r/2) 2T 0.65 = 1 r = 4.35% Tasa cmpuesta cntinuamente: e rt 0.65 = 1 r = 4.31%

12 Valración de Bns y buen, pdems cmplicar est cn perid vencid anticipad, cntes de días, etc. Idealmente sl existiría la tasa cmpuesta cntinuamente. Ls estándares se acmdan a ls estándares de emisión de bns (frecuencia del pag de cupón) Valr presente de un fluj futur fij es VP = VF Factr Descuent (T) Valración de flujs futurs: suma de sus valres presentes. Ejercici en EXCEL: Bn: TFIT Cupón anual 11%. Ncinal = COP $20 mil millnes Fecha Valración: Oct, 27, 2010 Factr de descuent a T añs: e -RT, dnde R=7.4% Simplificación: ignrar días bisiests PRECIO =? PRECIO pr 100 de ncinal =? Cóm cambia si ahra Factr de Descuent a T añs: (1+R) -T Ahra, si el preci 122, cuánt es la tasa?

13 Valración de Bns BONOS Preci vs. Tasa Supngams situación estándar de cupón fij, sin amrtizacines Flujs C 1, C 2,, C n Frecuencia f (fn = T) Cupón C (prcentaje anual) Principal (ncinal) = N Para i n, C i = N C /f C n = N (1 + C /f) Preci P: n i1 C i N T i f ti 1 r / f 1 1 r / f 1 r / f t i f C / f 1 f T

14 Valración de Bns BONOS Se puede manipular más: P CN r r / f n N 1 r / f n Observación: si C = r, entnces P = N Si C r, entnces P N; si C r, entnces P N Típicamente N = 100 (par) para cálculs Cas TES: f = 1 Las ecuacines deben adecuarse si T = +(n-1): Este es el preci suci Ejercici en EXCEL: TFIT , Ncinal 100 Graficar Preci Suci vs. Tasa 100 P (1 r ) C r n (1 r) 1 1 n1

15 Valración de Bns BONOS Preci Limpi = PS CA CA = Cupón N/D N: Días transcurrids en el perid del cupón D: Días en el períd del cupón Ctización de Bns es sbre Preci Limpi TES Preci Limpi Preci Suci 80 5/28/0512/14/057/2/061/18/078/6/072/22/089/9/083/28/0910/14/095/2/10

16 Valración de Bns BONOS Ejercici: Graficar Preci Limpi vs. Tasa de TFIT Nta: se ignran días bisiests Repetir para TFIT (cupón 13.5%). Cmparar gráficas de precis sucis de ls ds bns.

17 Valración de Bns BONOS Bns UVR funcinan idénticamente. Ejercici en EXCEL: Bn: TUVT Cupón anual 4.75%. Ncinal = UVR $10 millnes Fecha Valración: Oct, 27, 2010 R=3.9% Simplificación: ignrar días bisiests PRECIO =? PRECIO pr 100 de ncinal =?

18 Valración de Bns BONOS Bns IPC funcinan similarmente. Se supne que en el futur cada bservación del IPC es igual al últim dat (!!!!!) Fórmula de cupón y de tasa de descuent Cupón = (1+IPC últim ) (1+Spread Cupn) Tasa = (1+IPC últim ) (1+Spread Mercad) Ejercici en EXCEL: Bn: Crprativ Fictici. Cupón anual IPC+4.5%. Ncinal = COP $5 mil millnes Fecha Valración: Oct, 27, 2010 Fecha emisión: Juli 15, 2005 Fecha madurez: Juli 15, 2015 Frecuencia pag: trimestral Observación: IPC 12 meses vigente al cmienz del perid de cupón Base pag: 30/360 Margen de valración = IPC+3.5% Últim IPC bservad: % PRECIO =? PRECIO pr 100 de ncinal =?

19 Valración de Bns BONOS Para valrar bns IPC, se pueden usar técnicas de valración de derivads. Brdy,Crsby, Li:

20 Valración de Bns BONOS Yankees: denminads d en USD Ejercici en EXCEL: Bn: COLREP 41 Cupón anual: 6.125% Ncinal = USD $5 millnes Fecha Valración: Ot Oct, 27, 2010 Fecha emisión: Juli 15, 2005 Fecha madurez: Ener 18, 2041 Frecuencia pag: semestral Base pag: 30/360 PRECIO pr 100 de ncinal = 114 Tasa =?

21 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

22 Curvas de Rendimient Estructura a Términs Curva Spt Cer Cupón Para cada términ T, se supne cncid el factr de descuent ( preci del bn cer cupón) Lueg se calcula la tasa r(t) para cada términ, y se grafica la función resultante. Supngams frecuencia anual: FD(T) (1+r) T = 1 Supngams pr ahra que n hay incertidumbre, y se cncen las tasas futuras. Veams unas gráficas

23 Curvas de Rendimient Estructura a Términs Tasas frward f(0, t, T). En el tiemp 0, se quiere pactar un préstam en el futur: que cmience en t y termine en T. A qué tasa debería pactarse? Aquí hay una frma de crear el préstam (para el que pide prestad): Vender un bn cer cupón a T Cmprar FD(T) / FD (t) bns cer cupón a t Resultad: hy, 0. En t, + FD(T)/FD (t). En T, -1. Est da una tasa de interés (frward) f(0, t, T) = (FD(t)/FD (T)) (1/(T-t)) -1. Se cnstruye la curva frward. Veams tras gráficas

24 Curvas de Rendimient Estructura a Términs En el cas de tasas cmpuestas cntinuamente, se tiene l siguiente Tasa spt r(t): FD(T) = e -r(t)t Tasa frward f(t): FD(T ε) /FD(T) FD(T,T ) f ( T ) lim lg[ FD( T ) / 0 0 FD ( T ) e FD( T )] T f ( s) ds e -f(t)ε d lg( FD ( T )) dt

25 Curvas de Rendimient Estructura a Términs Tasas Par Sn ls cupnes que tendrían bns (a distints plazs) si el preci de tds fuera PAR (100) Cm encntrar tasas par de tasas spt cer cupón? Cm encntrar tasas spt cer cupón de tasas par?

26 Curvas de Rendimient Terías de la Curva Expectativas: E [Tasas futuras] = Tasas frward Preferencias de Liquidez: inversinistas prefieren el crt plaz y emisres prefieren el larg plaz empinamient de la curva Hábitat Preferid: cada parte de la curva llega a un equilibri pr mercads distints

27 Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva Nrmalmente se bservan alguns punts. Cóm crear una curva raznable? Qué significa ifi raznable? Hay muchs métds. Paramétrics y n paramétrics En resumen: Se tiene una función cn n parámetrs pr determinar Se bservan precis de M bns (M>n) Se encuentra el errr cuadrad prmedi (pnderad, psiblemente) de la valración usand la curva Se determinan ls parámetrs que minimizan este errr

28 Curvas de Rendimient Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva Un métd muy ppular es el de Nelsn Siegel INFOVAL usa este métd para cnstruir las curvas cer cupón de valración Curva frward cn cuatr parámetrs: / / ) ( t t t f De aquí sale la curva spt / 2 / 1 0 ) ( t t e t e t f t / 2 / ) ( ) ( t t e e t r ds s f t t r 0 ) ( ) ( / ) ( ) ( e t t r

29 Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva Hagámsl en EXCEL. 1. Fijar arbitrariamente ls 4 parámetrs 2. Usar esta curva para valrar TES 3. Encntrar la diferencia i entre el mercad y esta curva 4. Encntrar ls parámetrs que minimizan el errr cuadrad

30 Curvas de Rendimient Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva / t / 2 / / 1 ) ( ) ( t t e t e t r

31 Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva Prbems ahra una curva n paramétrica para el mercad de Yankees. Curva frward instantánea: cnstante a trzs según ls punts T = 0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 31 añs. 9 valres pr definir 8.0% 7.0% 6.0% 5.0% 4.0%

32 Curvas de Rendimient Cnstrucción de la Curva Precis de Yankees (Oct 22)

33 Curvas de Rendimient Estructura a Términs Mraleja : A partir de la curva de rendimients se pueden traer a valr presente flujs futurs L imprtante sn ls factres de descuent. Per es más natural cnstruir curvas de tasas de interés.

34 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

35 Curvas de Cmmdities Ls precis de futurs sbre cmmdities se establecen según la cnveniencia de tener y guardar el cmmdity, cntra cmprarl en el futur: Preci futur = Preci spt +Cst almacenamient + Cst financier Cnveniencia de tener el cmmdity (cnsum) Cst almacenamient: varía según lcalidad Cst financier: varía según deudr Cnveniencia: varía según el usuari Ls primers ds sn más fácilmente cuantificables. El tercer es mens bservable. Al final, ls tres sn determinads pr el mercad en cnjunt mediante ls preci futurs.

36 Curvas de Cmmdities En tras palabras, hay ds alternativas para el mism prpósit: Alternativa 1: Cmprar una unidad del cmmdity a futur Alternativa 2: Pedir prestada plata para cmprar una unidad del cmmdity hy (a una tasa de alquiler del cmmdity) Cmprar una unidad d del cmmdity y almacenarl l hasta la expiración del futur Pagar almacenamient durante ese perid Pagar intereses durante ese perid

37 Curvas de Cmmdities En general, si se bserva el preci futur, se puede tratar de inferir el cnvenience yield, que es la cantidad mens bservable: Ej. En LME, el preci futur a 3 meses de una tnelada de alumini es USD$2375 El preci spt es USD$2342 ct = lg[2375/2342] = 2.43% 0.25añs. La tasa c = 2.43% incluye el cst financier y de almacenamient

38 Curvas de Cmmdities Cnstrucción de la Curva Típicamente se bservan cntrats futurs a expiracines i específicas Se puede interplar de muchas maneras Una simple: splines (sbre precis, sbre cnvenience yields, ) Ej. en EXCEL. Or (cntrat GC de CME) Ecuación de n arbitraje: F = Se (r+a-y)t, dnde F es el preci futur cn expiración T, S es el spt, r es la tasa de financiamient (lease rate), a es el cst de financiamient (cm tasa cmpuesta cntinuamente) y y es el cnvenience yield

39 Curvas de Cmmdities Fecha Análisis 10/12/2010 Futurs Lease Rates - Gld Cst de Almacenamient 10/31/ mnth -0.11% $0.53 pr 500 nzas pr día 11/30/ mnth -0.11% 12/31/ mnth -0.12% 1/31/ mnth 0.00% 2/28/ year 0.29% 4/30/ mnth 0.35% 6/30/ year 0.50% 8/31/ year 0.60% 10/31/ year 0.70% 12/31/2011 / year 0.80% 2/28/ year 0.90% 4/30/ /30/ /31/ /31/ /30/ /31/ /30/ /31/ /30/ /31/ /30/

40 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

41 Valración de Derivads Trabajarems en un mercad fictici, cn las siguientes supsicines: Existen instrument financiers, cn precis S bien definids. Ests precis varían en el tiemp - S(t) Existe cmpradres yvendedres, y un mercad transaccinal rganizad Existe un mercad mnetari: se puede prestar pedir prestada plata a cualquier términ T, a una tasa r = r(t) (la tmams cmpuesta cntinuamente)

42 Valración de Derivads Se supne l siguiente 1. S(t) 0 para td activ y td t 2. N hay friccines a. N hay csts de transacción b. Infinita Divisibilidad c. Infinita Liquidez 3. N hay restriccines de venta en crt 4. Admisibilidad (n se puede apstar cn dble nada infinitamente) 5. N existen prtunidades de arbitraje (n hay almuerzs gratis )

43 Valración de Derivads Recrdems la existencia del mercad mnetari Llamems B(t,T) el factr de descuent de madurez T, tal cm se bserva en t Este es el preci de un bn cer cupón a T (llamems ésts T-bns) B(t,T) = e -r(t,t)(t-t) = e -r(t-t) En l que sigue, n se necesita que r sea cnstante, ni que sea determinística (puede variar aleatriamente en el tiemp) Invertir es cmprar T-bns. Pedir prestad es vender (emitir) T-bns.

44 Valración de Derivads 1. Preci Frward de una acción sin dividends F(0,T) = S(0) / B(0,T) Dem./ Supngams F(0,T) S(0) / B(0,T) t=0: - Cmprar un frward pr $0 -Vender en crt una acción pr +$S(0) - Cmprar S(0)/B(0,T) T-bns pr -$S(0) Prtafli: larg un frward, crt una acción, larg S(0)/B(0,T) T- bns Caja : $0 (se armó el prtafli sin plata) t=t: - liquidación del fwd: +1 acción, -$F(0,T) - accines: -1 acción -T-bns: +$[S(0)/B(0,T)] Prtafli: nada Caja : +$[S(0)/B(0,T)]-F(0,T)0. ARBITRAJE! Supsición falsa.

45 Valración de Derivads 2. Bn cer cupón frward (préstam frward), T 1 T 2 F(0,T 1, T 2 ) = B(0, T 2 ) / B(0, T 1 ) 3. Acción que paga dividend id d DIV en t T F(0,T) = [S(0) - DIVB(0,t)] / B(0,T) 4. Acción que paga dividend cntinu a una tasa d F(0,T) = S(0) e -(d-r)t

46 Valración de Derivads 5. Pes / Dólar Se necesita it intrducir i el cncept de tasas de it interés en cada mneda: r US y r COL Tasa de Cambi Spt: Q(0) = Pess / 1 dólar F(0,T) = Q(0)B US (0,T) / B COL (0,T) = Q(0) exp[(r COL -r US )T] Es decir, el preci frward del dólar de n arbitraje implica una devaluación igual al diferencial de tasas. Se cumple esta paridad en el mercad clmbian? Pc. Raznes: restriccines al pedir prestads dólares, dificultad de definir una tasa válida para tds ls participantes, friccines

47 Valración de Derivads 6. Preci de un cntrat frward en t T V(t) = (F(t,T) F(0,T)) B(t,T) 7. Si las tasas de interés sn determinísticas, iíti el preci futur es igual al preci frward. Si las tasas sn estcásticas, la diferencia entre el preci futur y el preci frward depende de la crrelación entre el subyacente y las tasas.

48 Valración de Derivads Precis de Opcines: C E, C A, P E, P A. A mens que se diga l cntrari, las pcines tienen igual T y K. 8. Paridad Put-Call Eurpea C E P E = S(0) KB(0,T) 9. Paridad Put-Call Americana 10. Ctas a. C E C A, P E P A S(0) KB(0,T) C A P A S(0) K b. S(0) KB(0,T) C E S(0) c. KB(0,T) S(0) P E KB(0,T) d. K S(0) P A K

49 Valración de Derivads 11. Para una acción sin dividends C E = C A Dem./ Supngams C E C A, y que la pción americana se ejerce en T (si n es así, se da un arbitraje trivial) t=0: - Cmprar una call eurpea pr $ C E -Vender una call americana pr $ C A - Cnsumir la diferencia (psitiva) t=t: - cntraparte ejerce call americana: -1 acción, +$K - Cmprar K/B(,T) T-bns: -$K t=t: - call eurpea: si S(T) K, n se ejerce y el pag del T-bn alcanza a cubrir el preci del crt de la acción (y sbra) si S(T) K, se ejerce, se cancela el crt de la acción, y se paga cn el bn (y sbra) En cualquier cas, se gana plata, y nunca se pierde ARBITRAJE! Supsición falsa.

50 Valración de Derivads Pr ahra ntams que precis de pcines dependen de K, T y S(0) Dependencia de K: C decreciente en K; P creciente en K K<K C E (K) - C E (K ) < (K -K) B(0,T) P E (K ) - P E (K) < (K -K) B(0,T) C y P sn cnvexas en K

51 Valración de Derivads Dependencia de x = S(0): C creciente en x; P decreciente en x x<x C E (x ) - C E (x) < x - x P E (x) - P E (x ) < x - x C y P sn cnvexas en x C(0) 0 x >> K C(x) S(0) KB(0,T)

52 Valración de Derivads C E Valr del Tiemp Valr Intrínsec S(0)

53 Valración de Derivads Dependencia de T T<T C A (T) C A (T ) Valr Intrínsec: Valr de la pción si se ejerciera hy. Para una call, VI = max(0, S(t) K) Valr del tiemp = Preci pción VI Valr del tiemp es máxim en S(0) = K En x K, el valr del tiemp es creciente En x K, se tiene C E (x) - C E (K) x - K

54 Valración de Derivads Máxim se da cuand S(0) = Strike (en valr presente) Valr del Tiemp S(0)

55 Valración de Derivads Objetiv: encntrar C E, P E, C A, P A Debems supner características del preci del subyacente MODELOS Deben representar fielmente el mvimient de ls precis (su naturaleza estcástica) Deben incrprar características imprtantes de ls mercads Deben ser sencills (de implementar y de usar)

56 Valración de Derivads Es imprtante diferenciar entre Mdels de Valración Métds de Valración Mdels Establecen una dinámica de mvimient del (ls) subyacente(s) Enmarcan la dinámica en un espaci de prbabilidad Simplifican el entrn ecnómic y financier en mdels matemátics Exhiben fórmulas de valración y análisis (n necesariamente simplificadas) Métds Establecen herramientas numéricas y cmputacinales para realizar ls cálculs requerids según el mdel Simplifican numéricamente ls cálculs

57 Valración de Derivads Mdel binmial de un perid Tenems la siguiente pción call eurpea: Preci Acción: S(0) = 80 Strike: K = 100 Expiración: T = 1 Tasás cer cupón cmpuestas cntinuamente (las supnems cnstantes): r = 10% Planteems el siguiente mdel para S(T): 80 S(T) 90% 120?? C E (t=t) 90% C E 10% 60 10% 0 t=0 t=t t=0 t=t 20

58 Valración de Derivads?? C C E C E (t=t) 90% 10% Intent natural: Encntrar valr esperad de preci final Descntar ese prmedi a valr presente 20 Resultad de este intent: C E =? e -rt (90% % 0) =

59 Valración de Derivads Idea: cnstruir un prtafli (cn accines y bns cer cupón) que replique ls flujs de caja de la acción (sl hay flujs en t=t) Pag pción = valr prtafli en estad arriba Pag pción = valr prtafli en estad abaj Si se lgra est, se debe tener C E = preci (hy) del prtafli replicante de l cntrari habría arbitraje P. ej., si C E < preci prtafli, se cmpra la pción y se vende el prtafli Hy, t=0: ganancia igual a la diferencia En t=t: ingres pción = egres prtafli Net, hy ganams plata sin riesg arbitraje

60 Valración de Derivads x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( abaj ) 60x + 100y = 0 x = y = Valr prtafli: 80x + 100e -rt y = 8.57 C E = 8.57

61 Valración de Derivads En general, el mdel del preci de la acción es S(T) p S 0 S 0 eut d < r < u Para evitar arbitraje 1-p S0e dt t=0 t=t El pag final de un derivad depende del preci final de la acción: D u =D u (S u ) y D d =D d (S d ) p D 0 D(T) D u 1-p D d

62 Valración de Derivads x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) S 0 e ut x + 100y = D u ( abaj ) S 0 e dt x + 100y = D d x = (D u -D d ) / S 0 (e ut -e dt ) y = (D ut dt ut dt d e - D u e ) / 100(e -e ) Valr prtafli: e -rt [q* D u + (1-q*) D d ], dnde q* = (e rt - e dt ) / (e ut - e dt )

63 Valración de Derivads Lueg g el preci del derivad se btiene Encntrand valr esperad* de preci final Descntand ese prmedi a valr presente El valr esperad se encuentra cn q* p pn afecta el preci del derivad q* prbabilidad de neutralidad al riesg Este fue el aprte de Black, Schles y Mertn,,que les mereció el premi Nóbel

64 Valración de Derivads Resumen: Nta: D 0 = E*[e -rt D final ] E*[e -rt S(T)] = e -rt [q* S u + (1-q*) S d ] = e -rt S(0)[e ut (e rt -e dt )+e dt (e ut -e rt )] / (e ut -e dt ) = S(0) S0!! De ahí el nmbre de neutralidad al riesg : es la prbabilidad bilid d que me prnstica igual rendimient i de la acción (riesgsa) que del bn (sin riesg)

65 Valración de Derivads Extensión Dividir T en más de N perids t i =T i/n i Δt=T/N Pdrían ser distints T S 0 P. ej., N = 2 S u =S 0 e u1δt Sd=S0e d1δt S uu =S 0 e (u1+u2)δt S ud =S 0 e (u1+d2)δt S du =S 0 e (d1+u2)δt S dd =S 0 e (d1+d2)δt

66 Valración de Derivads Si el estad UD cincide cn DU, el árbl es recmbinante Aplicación: pción put americana, S(0)=50, K=58, r=3%, u1=u2=u=40%, d1=d2=d=-20%, d d T=1 Prces Estcástic de S(t) t=0: S 0 = 50 t=0.5: S(U) = 61.07, S(D) = t=1: S(UU) = 74.59, S(UD) = S(DU) = 55.26, S(DD) = 40.94

67 Valración de Derivads q* q = 34.8% Prces del valr de P A (t) t=1: P A (UU) = 0, P A (UD) = P A (DU) = 2.74, P A (DD) = t=0.5: P A (U) = max {(K-S(U)) ( +, e -rδt [q* P A (UU) + (1-q*) P A (UD)]} = 1.76 P A (D) = max {(K-S(D)) +, e -rδt [q* P A (DU) + (1-q*) P A (DD)]} = t=0: P A = max{(k-s 0 ) +, e -rδt [q* P A (U) + (1-q*) P A (D)]} =

68 Valración de Derivads Extensión a N perids, recmbinante Δt=T/N, u, d, r cnst q* prbabilidad de neutralidad al riesg j=#veces arriba - - S=S 0 e (ju+(n-j)d)t/n # camins que llegan ahí: Prbabilidad bilid d de llegar ahí: N ( q *) j j N j (1 q *) N j

69 Valración de Derivads Histgrama S(T), N=25

70 Valración de Derivads Histgrama de Ln(S(T)/S(0)), N=100

71 Valración de Derivads Cuand N es grande, est es muy similar a una distribución nrmal! Mdel en el límite: S(T) = S(0) exp{(r -½σ 2 )T + σ T Z}, } dnde Z ~ N(0,1) (baj la prbabilidad q*). El términ (r - ½σ 2 )T hace que E*[S(T)] = e rt S(0) La valración de derivads se preserva: V(0) = E*[e -rt V(T)] Pr ejempl, si V(T) = (S(T)-K) +, se btiene la fórmula de Black & Schles para el preci de una pción call eurpea

72 Valración de Derivads Mvimient Brwnian W( ) es un prces estcástic cntinu W(0) = 0 W(t+Δt) W(t) es independiente de W(t) W(t+Δt) W(t) ~ N (0, Δt) Cn est, el mdel de la acción se escribe S(t) = S(0) exp{(r - ½σ 2 )t + σw(t)}, Mvimient Brwnian Gemétric ds(t) = rs(t)dt + σs(t)dw(t)

73 Valración de Derivads Fórmula de Black y Schles: C E = E*[e -rt (S(T)-K) + ] = E*[ {S(0) exp(-½σ 2 T + σ T Z) - e -rt K} + ] (integrar) = S(0) N(d + ) - e -rt K N(d - ), dnde d + = [ ln(s(0)/k) + (r + ½σ 2 )T ] / σ T d - = d + - σ T Fórmula de Black y Schles para puts eurpeas: P E = e -rt K N(-d - ) - S(0) N(-d + )

74 Valración de Derivads Ejempl en EXCEL 1. Opción Call sbre IGBC Subyacente: IGBC Expiración: 1 añ Strike: At-The-Mney Spt Vlatilidad =? (usems 25%) Tasa de interés = 5% 2. Opción Call sbre el dólar Subyacente: 1 USD Expiración: ió 1 añ Strike: At-The-Mney Spt Vlatilidad =? (usems 15%) Tasa de interés =? (usems 4% cm diferencial de tasas)

75 Valración de Derivads Vlatilidad Implícita Una vez más, qué era σ? Es la vlatilidad usada para valrar la pción Representa la vlatilidad que se espera (a futur, durante la vida de la pción) del subyacente Relacinada cn la vlatilidad realizada, per pueden ser bastante distintas Dad que ls demás insums de las pcines se bservan, esta es la cantidad que ctizan, y transan, ls traders de pcines

76 Valración de Derivads Las primas de las pcines crecen cn σ Dads S(0), K, T, r y la prima, se puede despejar σ de las fórmulas de BS Esta es la vlatilidad implícita (está implícita en la prima) se bserva en el mercad de pcines Nrmalmente varía cn el Strike (snrisas)

77 Valración de Derivads Marc Teóric El Valr de n arbitraje de un derivad d cnsiste en: Valr presente (descntad) del pag final Valr esperad de este valr presente El valr esperad se debe hacer baj una medida de prbabilidad muy particular Prbabilidad de Neutralidad al Riesg Baj esta prbabilidad, el valr esperad del retrn de (tds) ls activs mdelads es igual a la tasa libre de riesg Et Esta fórmula es un terema; hay una platafrma matemática detrás que permite llegar a est Cncept usad: el valr de un derivad debe ser igual al valr de un prtafli de instruments básics que repliquen ls flujs de caja del derivad d Esta prbabilidad de neutralidad al riesg ( este prtafli replicante) siempre existe? Es única?

78 Valración de Derivads Marc Teóric PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si n hay arbitraje SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una única prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si el mercad mdelad es cmplet (hay frma de replicar tds ls flujs de caja derivads de ls instruments básics)

79 Valración de Derivads Mdels Buscads Deben representar fielmente el mvimient de ls precis (su naturaleza estcástica) Deben incrprar características imprtantes de ls mercads Deben ser sencills (de implementar y de usar) Variables Mdeladas Precis de subyacentes Tasas de Interés Otras variables: clima, energía, catástrfes Las distribucines usadas típicamente giran alrededr de distribucines nrmales Se busca la distribución baj la prbabilidad de neutralidad al riesg

80 Valración de Derivads Sfisticacines Vlatilidad Estcástica Crrelación entre varis subyacentes Mdels cn múltiples fuentes de incertidumbre (Mvimients Brwnians multidimensinales) Mdels cn salts (Prces de Pissn) Características deseables de mdelar Snrisas (en vlatilidades implícitas) en ls mercads de pcines Distribucines n nrmales Vlatilidad variable Clas grdas Se busca un bl balance deseable entre simplicidad liidd y precisión iió

81 Valración de Derivads Calibración del mdel Escger parámetrs de tal frma que el mdel valre cercanamente instruments bservads en el mercad Parámetrs n bservables pueden acercarse a cmprtamient históric, se puede usar precis de instruments similares Métds para calibrar ests parámetrs: Mínims Cuadrads, máxim-versimilitud,

82 Valración de Derivads Valración y Análisis de Riesg Un mdel es tan buen cm la estrategia de cbertura de riesgs que frezca Matemáticamente, se busca: Métds Evaluar una integral (un valr esperad) Slucinar una ecuación diferencial parcial Simulación (Mnte Carl) Árbles (Mdel Binmial y extensines) Análisis numéric para slucines de Ecuacines Diferenciales Parciales

83 Valración de Derivads Simulación A partir del mdel se establece la distribución (futura) de las variables relevantes Se simulan distints camins de evlución futura de las variables (númers aleatris + distribución) Partición del tiemp en interval Para cada camin se puede calcular la cantidad deseada (preci dl del derivad, d pr ejempl) Se prmedian las cantidades a l larg de ls camins (cada camin tiene el mism pes) Mientras más camins, más precisa la respuesta Ideal para dependencias del camin, y dimensines altas; n ideal para decisines tempranas (p.ej., ejercici american)

84 Valración de Derivads Simulación Veams un ejempl simple de valración de una pción asiática mediante simulación Opción Call Asiática Subyacente: el IGBC Expiración: 1 añ Strike: At-The-Mney Spt Para tener idea del errr de la simulación, valrarems una pción call, cmparand el preci calculad cn el verdader preci, dad pr la fórmula de Black y Schles Mdel usad: Mvimient Brwnian Gemétric: S(t) = S(0) exp{(r - ½σ 2 )t + σw(t)}, W(t) ~ N (0, t)

85 Valración de Derivads Árbles A partir del mdel se establece la distribución (futura) de las variables relevantes Se particina el tiemp analizad, y en cada tiemp se generan nds, prvenientes de nds del tiemp anterir Se cnce el preci en ls nds finales Usand el esquema de valración, se sigue un backward inductin para llegar al preci en el nd inicial Puede usarse para analizar decisines tempranas Cmputacinalmente intensiv en dimensines altas Se requiere discretizar la distribución dada dd

86 Valración de Derivads Árbles Binmiales, trinmiales, Recmbinantes, n recmbinantes Simétrics, n simétrics En una varias dimensines

87 Valración de Derivads Árbles Cada nd en cada perid se ve así: S(n t) p 1-p S(n t)e u S(n t)e d t= nt t=(n+1)t Usand p=½ (pr simplicidad), se igualan la media y la varianza a la distribución dada, quedand: u = (r - ½σ 2 )t + σt, d = (r - ½σ 2 )t - σt

88 Valración de Derivads Árbles EXCEL: Veams un ejempl simple de valración de una pción cmpuesta usand árbles Opción Put Expiración: 6 meses Subyacente: call sbre IGBC, expiración 1 añ, strike at-the-mney (hy) Strike: $1,000 Mdel usad: Mvimient Brwnian Gemétric: S(t) = S(0) exp{(r - ½σ 2 )t + σw(t)}, W(t) ~ N (0, t)

89 Valración de Derivads Slución numérica de EDP Para el estil de ecuacines que se encuentran típicamente en finanzas (ecuación de calr), se puede usar un algritm de diferencias i finitas, it que es muy parecid al esquema de árbles binmiales Existen trs métds mens usads (elements finits, pr ejempl).

90 Valración de Derivads Swap LIBOR vs Tasa Fija. Si al final se incluye el recib y pag de principales, puede verse cm ds bns Pata fija: bn cn cupón fij, pag semestral Pata fltante (LIBOR): bn cn cupón fltante (LIBOR), pag trimestral La tasa fija es tal que el swap vale 0 inicialmente. Esta es la TASA SWAP

91 Valración de Derivads Cnsidere un bn cn cupón fltante (LIBOR) y madurez de tres meses: 3mL(0) P ACT/360 P t=0 t=3m Cuál es el valr de este bn? P! (pr definición de préstam LIBOR)

92 Valración de Derivads Ahra un bn similar de seis meses: 3mL(3m) P ACT/360 t=0 Equivalente a: 3mL(0) P ACT/360 P t=3m t=6m 3mL(0) P ACT/360 que hy vale P P t=0 t=3m Cnclusión: la pata LIBOR vale P

93 Valración de Derivads En T añs hay 2T flujs de caja. CF i/2 = C% P n30/360 Valr de la pata fija: PF P DF T 2T CF DF i i i Se despeja C% (tasa swap) que iguala el valr de las ds patas: % C 2 1 DFT T 1 DF 2 i i1 2

94 Valración de Derivads Ls factres de descuent salen del mercad (tasas LIBOR, futurs de Eurdólares, swaps, ); veams una muestra en EXCEL Valración l de swaps viejs (supngams valración en t=t0, igual a fecha de cupón fij). Términ inicial del swap: T Tasa swap pactada inicialmente: C0 Tasa swap actual (términ T T0): C1 Vl Valr Swap (para el que recibe tasa fij) fija): 2 0 ( T T ) ( C0 C1)% P DF i i

95 Valración de Derivads Tasas frward: la tasa de la pata fija que hace que un swap frward tenga valr inicial 0. Para un swap cn fechas T0 T, C DF T 0 DF 0 1 DFi 2 T % 2( T T ) T 0 i1 2 Valración de swaps de tasa de cambi: valrar cada pata cm un bn en su mneda,,y al final denminar td en una mneda cmún

96 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

97 Curvas de Vlatilidad El mdel de Black y Schles supne que la vlatilidad de un activ es cnstante, independiente del strike y del perid de tiemp. En ls mercads de pcines, la vlatilidad sí depende del strike y de la expiración Se anticipa que si el mercad llega a strikes lejans, la vlatilidad debe haber crecid Psibilidad de events extrems Sesg: hay direccines de mvimients de variables para las que se anticipa mayr vlatilidad Anticipación i ió de events que pueden mver el mercad Vlatility smile, skew

98 Curvas de Vlatilidad Curvas de vlatilidad COP/USD Vlatilidad at the mney COP/USD, Octubre 14 1M 2M 3M 4M 6M 1Y 18M 2Y 10.84% 11.21% 11.65% 12.13% 12.47% 13.55% 14.14% 14.40% Vlatilidad at the mney COP/USD, Nviembre 3, M 2M 3M 4M 6M 1Y 18M 2Y 35.87% 33.53% 30.59% 29.48% 27.53% 25.61% 25.40% 25.19% Objetiv: calibrar el mercad usand curvas paramétricas Pr ejempl, para este mercad es raznable usar la siguiente parametrización: T Vl ( T ) 0 1 e Calibrems la curva en cada fecha cn este esquema en EXCEL

99 Curvas de Vlatilidad Superficies de vlatilidad de azúcar blanc Vlatilidad LDN5, Octubre 14 1M 2M 3M 6M 12M 18M 90% at the mney 36.95% 41.33% 40.37% 33.27% 33.07% 32.22% at the mney 36.98% 41.81% 40.76% 33.27% 33.10% 32.24% 110% at the mney 36.96% 41.80% 40.75% 33.28% 33.08% 32.23% Vlatilidad d LDN5, Ener 15, M 2M 3M 6M 12M 18M 90% at the mney 19.00% 16.74% 16.50% 15.07% 15.27% 15.36% at the mney 17.90% 16.88% 16.65% 15.27% 15.42% 15.58% 110% at the mney 21.32% 18.10% 17.68% 15.20% 15.28% 15.41% Objetiv: calibrar el mercad usand superficies paramétricas Pr ejempl, para este mercad es raznable usar la siguiente parametrización: Vl( M, T ) 1 T e 1 ( M ) M 1 0 Dnde (M) es cnstante para M>1, y para M<1. Calibrems la superficie i en cada fecha cn este esquema en EXCEL

100 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

101 Curvas de Crédit Intensidad de Default Se mdela la prbabilidad de default mediante intensidades Si V es la prbabilidad a de sbrevivir, v se mdela así: V = -V t La slución es V(t) = exp{-t} Si n es cnstante, la slución invlucra un valr prmedi (mediante una integral) Alternativamente, la prbabilidad de entrar en default es Q(t) = 1 - exp{-t}

102 Curvas de Crédit Ejempl Simple Supnga un bn cn valr $100 a un añ pr un emisr riesgs Supnga la tasa libre de riesg igual a 4% Supnga el spread del emisr igual a 3% El lbn paga $107 en un añ, sin trs flujs Supngams una tasa de recuperación del 20% Pr simplicidad, supngams que sl se puede entrar en default en un añ Qué prbabilidad de incumplimient implica este mercad? La ecuación de valración es V(0)= 100 = VP(107) P [N default] + VP(20% 107) P [default] Lueg P [default] 4.7% Esta es una prbabilidad de valración de neutralidad al riesg Las de las tablas de las calificadras sn la prbabilidades físicas Diferencia Prima de riesg

103 Curvas de Crédit Ejempl Swaps Extinguibles La Nación emite un bn en USD Sus peracines están denminadas en COP Administración de riesg: alinear activs y pasivs Slución Simple: Crss Currency Swap - PlainVanilla ill Mesa Derivads Principal (USD) al Final Cupnes USD [7%] Cupnes COP [12%] Clmbia Cupnes en USD [7%] + Principal Inversinista (USD) Principal (COP) al Final Default simultáne de la deuda. Paga Recuperación. Cancelación de Flujs en default. Alternativa más barata: Hacer el swap self-credit-cntingent; cambia el cupón en COP de 12% a 11% (cambi depende de spreads de crédit)

104 Curvas de Crédit Right-way Crss Currency Swap Swap dnde la expsición crediticia (a la cntraparte) decrece (para el dealer) mientras pasa el tiemp (diferencial de tasas), cuand empera la cndición crediticia de la cntraparte (crrelación) Diferencial de Tasas de Interés Baj el swap, Clmbia paga un cupón alt en COP y recibe un baj en USD Ls primers pags sn típicamente psitivs (net) para el dealer Valr inicial del swap = 0 el valr futur esperad del swap es negativ para el dealer Crrelación Un emperamient del crédit de Clmbia debe ser psitivamente crrelacinad cn un debilitamient del COP En este cas, el swap tendría valr negativ para el dealer Este valr negativ desaparece en default Ambs punts ayudan a abaratar la tasa

105 Curvas de Crédit Ejempl Riesg de cntraparte Cnsiderems un derivad cualquiera NO HAY COLATERAL (Clean Credit), u trs mitigantes del riesg de ctraparte te Qué pasa ante un deterir creditici de la cntraparte? Y si hay un event de incumplimient? Cóm se prtege un banc ante tal eventualidad? d? Cóm afecta esta psibilidad la valración del derivad? CREDIT CHARGE Reserva de Crédit

106 Curvas de Crédit En efect, el Banc está crt una pción: en un event creditici de la cntraparte, ésta tiene la pción de hnrar n el swap Si está a favr de la cntraparte, el Banc debe pagar el valr del swap Si está a favr del Banc, éste debe hacer fila cn ls trs acreedres, a ver qué puede recuperar Es una pción (swaptin) cntingente al crédit de la cntraparte El Banc debe cmprar prtección sbre el crédit de la cntraparte Qué cantidad? Un mdel de valración dará el delta requerid

107 Curvas de Crédit El valr de esta pción esta dad pr: dnde 1 P ( 0) Eˆ FD ( ) V ( ) T, FD: factr de descuent V: valr del swap para el Banc (tma el valr negativ dada la asimetría en default) τ: primer mment (StppingTime) en que hay default 1: función indicadr que permite integrar sl en camins dnde hay default antes del términ del swap Este es el cbr pr crédit, la reserva de crédit Resume la Expsición Ptencial Futura (PFE) Riesg de crrelación entre el crédit y el valr del derivad

108 Curvas de Crédit Tmems un ejempl Swap Fij-Fltante en USD Perfectamente clateralizad 10 añs Tasa Fija = 4% Tasa Fltante = LIBOR de 3 meses La cntraparte paga tasa fija y recibe fltante Cóm debería cambiar la tasa fija si n hay clateral? Diseñems un mdel simple X, Y ~ U [0,1] independientes. a Z = ax + (1-a) Y (a[-1,1]) 1]) crr( X, Z ) 2 2a 2a 1 Z> representa event de default (p.ej., 0.99) W = N -1 (X) representa salts paralels de la curva, cn vlatilidad Un mdel vale más que mil palabras veámsl en EXCEL

109 Curvas de Crédit Cntingent Credit Default Swap (CCDS) Es un CDS, per su ncinal es variable El ncinal es igual al valr de mercad de un derivad subyacente (p.ej., el swap del ejempl anterir) Este derivad subyacente se supne libre de riesg de cntraparte Permite cubrir perfectamente el riesg de cntraparte (se transfiere a tra cntraparte) Típicamente se paga una prima periódicamente Variables relevantes Spread del crédit subyacente Variables para valrar el derivad subyacente Crrelación entre el crédit y estas variables

110 Curvas de Crédit Valración de crédit Se mantienen ls misms principis Prbabilidad de neutralidad al riesg Valr esperad baj esta prbabilidad del valr presente del pag final N arbitraje Cambian las distribucines usadas Se usan mdels cn salts que representan events especiales Prces de Pissn cmbinad cn Mvimient Brwnian Típicamente se mdela la evlución de la intensidad Se mdelan intensidades crrelacinadas cn tras variables de valración (tasas de cambi, curvas de rendimient, cmmdities, accines, )

111 Curvas de Crédit La variable crediticia bservable es la curva de CDS: CDS COL Plaz CDS COL 6mes ñ 1añ añs añs añs añs añs añs Cnv. Días ACT/ Frecuencia Q TasaRecup 25% Vencimient Sp pread, bps

112 Curvas de Crédit A partir de la curva de crédit se pueden inferir las prbabilidades bbldd de default df ( de supervivencia) a distints plazs Esta es una prbabilidad de valración (de la medida de neutralidad al riesg ) n es una prbabilidad física Planteems un mdel muy simple: Cupnes semestrales Sl se permite default just antes de pagar un cupón Recuperación se supne determinística y cnstante a distints plazs Para un perid, se tiene 0 1-p p -(1-R) D 1 C D 1 p 1 R C 1 R

113 Curvas de Crédit Para N perids, pdems llamar p i la prbabilidad de supervivencia del perid i-1 i Ci es el cupón (semestral) para el CDS de plaz i (varía cn i si la curva n es plana) Events sbre ls cuales se va a pnderar el valr presente de ls flujs: Default en el perid 1 Default en el perid 2.. Default en el perid N N default antes del vencimient del CDS La igualdad del valr esperad de ls flujs presentes a 0 (valr inicial del derivad) lleva a la ecuación (1 p ) D p p...(1 p ) D C p D p p... p D (1 R ) N ) N N Cnciend p 1, p 2,, p N-1, se despeja p N (hagámsl ) Veams un ejempl numéric N N

114 Curvas de Crédit Flujs de caja riesgss se valran cn estas prbabilidades de incumplimient: V p default Recuperacin (1 p default ) Fluj Riesgs Bns y trs cnjunts de flujs riesgss suman ls flujs individuales

115 Factres de Riesg y Valración Variables de Mercad Valración de Bns Curvas de rendimient Curvas de cmmdities Valración de derivads Curvas de Vlatilidad a Curvas de Crédit Valración de Prtaflis

116 Valración de Prtaflis El valr de la suma es la suma de ls valres Prtafli utilidad neta, ingress, alguna tra cantidad de interés Aterrizar flujs de ingress yegress de una empresa en términs de ls instruments que hems vist La valración de td el prtafli puede depender de muchas variables Reducción de dimensinalidad (pr ejempl, mediante Cmpnentes Principales)

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