FUNCIONES CONVEXAS. El concepto de convexidad es fundamental en el análisis y resolución de los problemas de optimización.

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1 FUNCIONES CONVEXAS El concepto de conveidad es fundamental en el análisis y resolución de los problemas de optimización. FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS. Sea S R n, un conjunto conveo y no vacío, y sea f: S R f es una función convea en S, si y solo si: f [ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) Gráficamente: λ [,] y, S. f( ) λ f( ) + (-λ) f( ) f( ) λ + (-λ) Sea S R n, un conjunto conveo y no vacío, y sea f: S R, f es una función estrictamente convea en S, si: f [ λ + (-λ) ] < λ f( ) + (-λ) f( ) λ ],[ y, S. con

2 Sea S R n, un conjunto conveo y no vacío, y sea f: S R f es una función cóncava en S, si y solo si: f [ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) Gráficamente, λ [,] y, S. f [ λ + (-λ) ] f( ) λ f( ) + (-λ)f( ) f( ) λ + (-λ) Una función es estrictamente cóncava si la desigualdad se verifica en sentido estricto, es decir: f [ λ + (-λ) ] > λ f( ) + (-λ) f( ) λ (,) y, S. con Es importante hacer notar que las definiciones que hemos dado con anterioridad no eigen ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la función. Si f() es una función convea en S (conveo y no vacío), entonces la función [-f()] es una función cóncava en S. Prueba:

3 Si f() es una función convea verifica que : λ [,] y, S. f [ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) si multiplicamos esta epresión por (-), tenemos - f [ λ + (-λ) ] - λ f( ) - (-λ) f( ) o lo que es lo mismo: (-f) [ λ + (-λ) ] λ (-f)( ) + (-λ) (-f)( ) con lo cual (-f) es una función cóncava. Así por ejemplo, las funciones lineales son cóncavas y conveas a la vez, dado que cumplen la definición de función cóncava y convea como una igualdad entre los dos miembros de la definición, pero precisamente por este motivo no pueden ser ni estrictamente cóncavas ni conveas. Por el contrario, la función coseno ( cos() ) no es cóncava ni convea sobre todo su dominio ( R ), pero sin embargo, sobre ciertos subdominios si tiene algunas de estas propiedades.así, en el dominio [ π/, 3π/ ] es un función convea, mientras que en el dominio [ 3π/, 5π/ ] se trata de una función cóncava, y además lo es estrictamente en ambos casos. 3

4 - π/ 3π/ 5π/ PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS. Toda combinación lineal con coeficientes positivos de funciones conveas es una función convea. Sea S R n un conjunto conveo y no vacío, y sea f: S R una función convea. Entonces el conjunto de nivel inferior S α = { S / f() α }, es un conjunto conveo. Prueba: Sean, S α, lo que significa que: f( ) α f( ) α lo que tenemos que probar es que: λ [,] se verifica que: λ + (-λ) S α, o lo que es lo mismo que : f[λ + (-λ) ] α. Como ayuda para hacer más compresible esta prueba, definimos: por lo que o = λ + (-λ) f( o ) = f[ λ + (-λ) ] 4

5 por ser f un función convea, se tiene que: f[ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) y dado que se cumple que: f( ) α y f( ) α, entonces: f[ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) λ α + (-λ) α = α lo que significa que λ + (-λ) S α que es lo que queríamos probar, que el conjunto S α es un conjunto conveo. De igual manera tenemos la siguiente propiedad: Si f es un función cóncava el conjunto de nivel superior S α ={ S/f() α}, es un conjunto conveo. El reciproco de estas dos propiedades no es cierto, es decir, que el conjunto de nivel sea sea conveo, no implica que la función sea convea (cóncava), aunque esta propiedad se cumple para las funciones cuasiconcavas y cuasiconveas. α f S α 5

6 α S α f f(,y) z=α - S α 6

7 CARACTERIZACIONES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS. La aplicación de la definición de conveidad o concavidad a una función puede, en muchas ocasiones, resultar complicado, por lo que se recurre a las caracterizaciones, es decir, a ciertas condiciones que pueden verificar las funciones y que nos permiten clasificar a las funciones en conveas o cóncavas. Caracterización de funciones de clase C. Para las funciones que admiten derivadas continuas hasta el segundo orden, podemos utilizar una caracterización basada en el hessiano de la función. En este caso podemos acudir a la siguiente proposición. Dada una función f: S R n R, donde S es un conjunto conveo y no vacío, y f C (S)-función con segunda derivada continua en S-, entonces se cumple que: a) f es convea en S sii se cumple Hf() es semidefinida positiva en S. b) f es cóncava en S sii se cumple que Hf() es semidefinida negativa en S. c) f es estrictamente convea solamente si Hf() es definida positiva en S. d) f es estrictamente cóncava solamente si Hf() es definida negativa en S. Ejemplos: F() = En primer lugar, y por representación gráfica de la función (una parábola con centro el origen) podremos aplicarle la definición de función convea: f [ λ + (-λ) ] λ f( ) + (-λ) f( ) λ [,] y, S 7

8 Para probar desigualdades recurrimos a probar su diferencia respecto de cero, es decir, poner todos los componentes en un único miembro de la desigualdad, es decir: Sustituyendo se tiene: operando λ λ f( ) + (-λ) f( ) -f [ λ + (-λ) ] λ + (-λ) + (-λ) [λ-λ ] + -( λ + (- λ) ) - λ -(-λ) - λ(-λ) = [(-λ)-(-λ) ] - λ(-λ) = λ(-λ) + (-λ) λ λ (-λ) [ + - λ(-λ) = - ] = λ (-λ) ( - ) También recurriendo a la segunda derivada: F'() = F''() = > Definida positiva, por tanto F() es convea. Incluso se podría decir que es estrictamente convea. F(,y) = (-3) + y 3 H F = 6 y Para determinar el signo de la forma cuadratica, sabemos que : A = > A = 6 y decir: Por tanto el signo de la forma cuadratica dependera del signo de la variable y, es Para valores de y, la forma cuadratica será postiva (definida o semidefinida), mientras que para valores de y <, la forma cuadratica será indefinida, por tanto podremos concluir que para valores de y, la función será una función convea, y en el caso de que y sea estrictamente positivo, la función será estrictamente convea. 8

9 F(,y,z) = + 5 y y + z H F = La matriz hessiana es una matriz diagonal con todos los auotvalores positivos, por tanto, la forma cuadratica es definida positiva, y con ello la función F(,y,z) es una función estrictamente convea. F(,y,z) = + 3 y + z + y - 4 z H F = Los menores principales de esta matriz son: A = > A = 4 - = 3 > A 3 = 48 - = 46 > Por tanto esta función es una función estrictamente convea. U(,y) =.3 y.7, con, y H U =. y. y -. y -. y Analizando los menores principales, tenemos: A = y.7 <,y A = Por tanto se trata de una forma cuadratica semidefinida negativa, por tanto la función U(,y) es una función concava. 9

10 Estudiar si el conjunto S definido como: S = {(,y,z) R 3 / +y + z } es un conjunto conveo. Para determinar si el conjunto S es conveo, al estar definido por conjunto de nivel inferior de una función, dicha función tiene que ser una función convea. La función F(, y, z)= +y + z es una función de clase, y por tanto podemos estudiar su Hessiano. H F = como podemos observar se trata de una forma cuadratica semidefinida positiva, por tanto la función F es una función convea. En base a una de las propiedades de este tipo de funciones podemos concluir que el conjunto S es un conjunto conveo.