Rectas y Parábolas. Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano)

Transcripción

1 Rectas y Parábolas Prof. Gabriel Rivel Pizarro Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano) El sistemas de coordenadas rectangulares se representa en un plano, mediante dos rectas perpendiculares. -y Ejemplo Ubique en el plano el punto P(6,). Ejemplo: Ubique en el plano cartesiano los puntos los puntos A (,), B (, ), C (,), D (, ), E ( 0,5), F ( 5,0), G ( 4,4), 4, 4 H ( )

2 Rectas y m + b tal que m, b, m es la pendiente de la recta y b es la ordenada que interseca el eje y. Ejemplo: Trace en el plano cartesiano la recta Interseca al eje y en ( 0,b): ( 0,),0 Interseca al eje en (,0) : ( ) y, ( 0,) (,0) y 0 Nota: Para trazar una recta, basta con dos puntos. Pendiente de una recta Sean P (, y) y P (, y ) dos puntos de la una recta l que no es paralela al eje y, entonces la pendiente de dicha recta es y y m y y Δy Δ Ejemplo: Determine la pendiente de una recta paralela al eje y. Se tiene que entonces no se define su pendiente.

3 Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-,5) y (8,-5) m De acuerdo con las graficas determine si m > 0, m < 0 o m 0 m > 0 m < 0 m 0 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 0,) y (,4) 4 m y m + b y b b Otras formas de representar una recta. Ecuación punto y pendiente: Sea l una recta que pasa por el punto P (, y) con pendiente m, entonces la ecuación de la recta es y y m ( ) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (,) con pendiente y ( )

4 . Forma general a + by c m a c y la intersección con el eje y es. b b Determine la pendiente y su intersección con el eje y de la recta 5y 8 m Corta el eje y : Teoremas. Si la pendiente de l es m y la pendiente de l es m entonces l l m m. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta paralela a La recta tiene pendiente y pasa por (,) ( ) y + y que pasa por el punto (,). Si la pendiente de l es m y la pendiente de l es m entonces l l m. m 5 y sea 9 perpendicular a la recta 6 + y 4. R/ y Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 7)

5 Parábolas Las parábolas son curvas que representan a las ecuaciones de la forma y y a + b + c tal que 0, b, c. Intersección con los ejes Eje y En ( 0,c) a { } Eje En ( ) y ( ) Concavidad,0 tal que y,0 son las soluciones de la ecuación b ± Δ i donde Δ b 4ac a Si a es mayor que cero entonces la parábola es cóncava hacia arriba. a + b + c 0 Si a es menor que cero entonces la parábola es cóncava hacia abajo. Vértice Es el punto más bajo o más alto de una parábola. Dicho punto es el par ordenado: b 4ac b, a 4a b Δ, a 4a Si la parábola es cóncava hacia arriba, entonces el vértice es un mínimo. Si la parábola es cóncava hacia abajo, entonces el vértice es un máimo. Eje de simetría Es la recta vertical b a

6 Ejemplo Trace la curva y 4 a, b 4, c Intersección con los ejes Eje y en ( 0,c) ( 0, ) Eje en (,0 ) y (,0 ) (,0) y (,0) Concavidad Como a entonces es cóncava hacia arriba. Vértice b Δ, a 4a (, 6) ( + )( 6) 0 y 6 b 4 4 a. Δ a 4. Otra forma si se tiene que, se sustituye en y 4 y 4. y 6 Eje de simetría Es la recta vertical

7 Ejemplo Determine el punto máimo o mínimo de la parábola y Como a entonces es cóncava hacia arriba entonces el vértice es un mínimo de la parábola. b Vértice a y 7 y 4 7, 4 La intersección de rectas y parábolas Determine los puntos donde las curvas y, y se intersecan. Si, y + 0 Si, y ( + )( ) 0, La intersección se da en (,) y en (,) Trace las dos curvas en un mismo plano y verifique lo anterior.

8 Ejemplos En que punto la tangente a la parábola y 7 + es paralela a la recta 5 +y - 0. a 5 La pendiente de la recta es m 5 b La derivada de la parábola es y 7. Como debe ser paralela entonces las pendientes son iguales, 5 7 y y 7.+ y La tangente a la parábola 7 +, es paralela a la recta y 7 +. y por el punto ( ) Determine los puntos donde las curvas y, y 8 se intersecan. 8 Si y 4 8 Si y ± Trace la parábola y 4 y subraye la región comprendida entre la parábola, el eje y las rectas verticales y.

9 Ejercicios propuestos.. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 7) a la recta 6 + y 4.. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) perpendicular a la recta y 5 5 y es paralela R/ y es 4 y + R/ + y 4. Trace en un mismo plano la y y la parábola y 4. Encuentre los ceros de y 5 5 ± 7 R/ 5. Encuentre los puntos de intersección de y 5, y + R/ (,) ( 4,7) 6. Trace en un plano la parábola y 4 y subraye la región comprendida entre la parábola, el eje y las rectas verticales 0 y. 7. Trace en un plano la parábola y 4, y, y 0 y subraye la región comprendida entre la parábola y las rectas.