LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "LOS NÚMEROS COMPLEJOS"

Transcripción

1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo del dscrmate b - ac y su relacó co las solucoes S el dscrmate era egatvo se djo que la ecuacó o teía raíces reales so que las raíces era magaras o complejas Vamos ahora a estudar los úmeros complejos que os dará la dea completa de la solucó de la ecuacó de segudo grado y ua extesó de los cojutos umércos Realzaremos lo que se llama la defcó axomátca del cojuto de los úmeros complejos Seccó Defcó y operacoes e el cojuto de los úmeros complejos Defcó Llamamos cojuto de los úmeros complejos y lo deotamos co la letra al cojuto de a, b e el cual defmos las sguetes operacoes: los pares de úmeros reales ( Suma ( a, b + ( c, d = ( a + c, b + d Multplcacó ( a, b ( c, d = ( ac - bd, ad + bc E el úmero complejo ( a, b llamaremos a a la parte real y a b la parte magara Note que la suma y producto de pares o está defda e Dos propedades que cumple los pares de úmeros reales y que se matee para los complejos so: Igualdad (, (, a b = c d Û a = c Ù b = d Multplcacó por u escalar a( a, b = ( a a, a b dode a Î Ejemplo Dados (, y ( 0, - 3, hallar: a (, + ( 0, - 3 = ( + 0, + (- 3 = (, - b (, ( 0, - 3 = ( (0 -(-3, ( (0 = ( 3, - 6 c (,( 0, -3 - ( -, = ( 3, (, - = ( 5, - 8

2 Como los úmeros complejos so pares de úmeros reales podemos efectuar ua represetacó de los msmos medate el plao (Gráfca E esta represetacó se le dce eje real (Re al eje de las x y eje magaro (Im al eje de las y Gráfca : Represetacó del úmero complejo ( a, b Podemos cosderar que los úmeros reales está cotedos e los úmeros complejos puesto que e el plao a,0 cocde co el úmero real a De este modo teemos a = ( a,0 el úmero complejo ( cuado a Î Los úmeros complejos de la forma (0, b so llamados magaros puros Vamos a demostrar la propedad de la multplcacó por u escalar a Î : ( a, b = ( a, b a a a Para eso escrbmos el úmero real a e la forma ( a,0 y aplcamos la defcó de multplcacó: ( a, b = (,0( a, b = ( a - 0 b, b + 0 a = ( a, b a a a a a a Deotaremos el úmero complejo (0, co la letra y lo llamaremos udad magara Es fácl demostrar que = - ( = = = - + = - = - (0, (0,(0, 0(0 (, 0( (0 (, 0 Ahora estamos e codcoes de resolver la seclla ecuacó x + = 0 x + = 0 Þ x = - Þ x = Þ x = ± Forma bómca de u úmero complejo Sea z = ( a, b u úmero complejo Etoces podemos escrbrlo e la forma: z = ( a, b = ( a,0 + (0, b = a (,0 + b (0, Pero como (,0 = y (0, =, etoces ( a, b = a + b E este caso a + b se llama forma bómca o boma del úmero complejo

3 Suma y multplcacó de úmeros complejos e la forma bómca ( a + b + ( c + d = ( a + c + ( b + d, puesto que a, b, c, d so todos úmeros reales ( a b( c d ac ad bc bd ( ac bd ( ad bc + + = = porque = - Ahora observe que los resultados so los msmos que las defcoes de suma y producto dados al co; por lo que la realzacó de las operacoes de suma y multplcacó co úmeros complejos se puede realzar e la forma de pares o e la forma bómca, co la vetaja a favor de la forma bómca que se trabaja co las reglas del álgebra y o es ecesaro memorzar ada uevo Ejemplo S z = (3, y z = (, -, halle z + z y zz ( ( z + z = (3, + (, - = = 7 + z z = (3, (, - = (3 + ( - = = ( + + ( = + 5 Cojugado de u úmero complejo S z = x + y es u úmero complejo llamaremos cojugado del úmero z, al úmero z = x - y, es decr, al úmero complejo que tee la msma parte real que z pero la parte magara de sgo opuesto Ejemplo S z = 3 +, etoces z = 3 - y s z = 3 -, etoces z = 3 + Módulo y argumeto de u úmero complejo Sea z = ( a, b = a + b u úmero complejo cualquera Llamaremos módulo del úmero complejo z, al úmero real dado por a + b y lo deotaremos por z El módulo se terpreta como la dstaca al orge del úmero z (Gráfca Por otra parte, llamaremos argumeto del úmero complejo z = a + b, al águlo compreddo etre el eje x y el rado vector que determa a z El argumeto de z se deota por arg( z y se calcula medate la expresó: æ arg( z arcta b ö = ç è a ø Gráfca : Módulo y argumeto de u úmero complejo 3

4 Propedad: z z = z Demostracó: ( ( z z = ( a + b( a - b = a - ab+ ab- y = = a + b + - ab+ ab = a + b + 0= a + b = z Dvsó de úmeros complejos La dvsó de úmeros complejos se realza medate la multplcacó y dvsó por el cojugado del deomador: z a + b a+ b c- d ac+ bd+ (- ad+ bc ac+ bd+ (- ad+ bc = = = = z c d c d c d c d z z Ejemplo Dados z = - 3 y z = - +, halle: (a z y (b z (a Como z = - + etoces z = -- (b Para hallar z z multplcamos y dvdmos por el cojugado z z ( -3 ( - - = = = z (- + ( = = = - - (- + ( Raíces complejas de la ecuacó de segudo grado S el dscrmate de la ecuacó ax + bx + c = 0 es egatvo, debe sustturse el sgo egatvo por y de esa forma se obtee las raíces complejas de la ecuacó Ejemplo Resolver la ecuacó x - x + 6 = 0 Aplcado la fórmula de la ecuacó cuadrátca: -(- ± (- - ((6 ± - ± -0 x = = = ( Se puede ver que el dscrmate es - 0 lo cual puede escrbrse como 0 Por lo tato: ± - 0 ± 0 ± 5 x = = = = ± 5 Así, las raíces complejas de la ecuacó so: x = - 5 y x = + 5

5 Ejerccos de la Seccó Dados los úmeros complejos z = (3, y w = (-, -, halle: (a z + w, (b z w, (c 3z - w, (d (-,0w, (e (0, - z Muestre que (0,0 es el elemeto eutro para la suma de úmeros complejos 3 Muestre que (,0 es el elemeto eutro para la multplcacó de úmeros complejos Calcule: (a 3, (b, (c 5, (d, (e 5 Calcule: (a, (b +, (c +, (d Dado el úmero complejo ( x, y halle el par ( u, v tal que ( x, y( u, v = (,0 Al par se le llama verso multplcatvo de ( x, y Cocluya que el par ( u, v es úco y que el (0,0 o tee verso multplcatvo 7 Verfque que z = z 8 Verfque que uv y uv so cojugados 9 Calcule: (a 3 + 3, (b Resuelva la ecuacó (- + z = 3 + Halle z tal que ( + ( + = + z Calcule y represete e el plao complejo los úmeros z = x + y, tales que: (a z = 5, (b z 5 3 Calcule y represete e el plao complejo los úmeros z = x + y tales que: (a z - 5, (b z - z +, (c z + z = z Resuelva la ecuacó cuadrátca x + 3x + 3 = 0 5 Resuelva la ecuacó cuadrátca x + x + 5 = 0 6 Resuelva la ecuacó cuadrátca x + 3x + 8 = 0 7 Resuelva la ecuacó x + 3x + 36 = 0 5

6 Seccó Forma trgoométrca o polar de u úmero complejo La forma trgoométrca de u úmero complejo se establece observado el trágulo amarllo de la Fgura 3: E este caso se tee que r = z = ( x, y y que Gráfca 3: Forma trgoométrca de u úmero complejo - æ y ö q = arg( z = ta ç è x ø Luego: ì y sq = Þ y = r sq ï r í ï x cosq = x r cos ïî r Þ = q Por lo tato: z = ( x, y = x + y = r cosq + r s q = r(cosq + s q Ésta es la llamada forma trgoométrca o polar del úmero complejo, la cual está e térmos del módulo y el argumeto Se deota comúmete por z = r csq Ejemplo: Halle la forma trgoométrca de z = - Hallemos r = ( + (- = y - æ - ö p q = ta ç = - è ø Note que q está e el cuarto cuadrate Por lo tato: æ æ p ö æ p öö æ æ p ö æ p öö æ p ö z = - = ç cosç - + s - = ç cos - s = cs è è ø è øø è è ø è øø è ø 6

7 Multplcacó de úmeros complejos e su forma trgoométrca Sea u = r csa y v s cs = b, etoces u v = ( rs cs( a + b E otros térmos: ( ( cos( a b s( a b uv = rs Demostracó: u v = r csa s cs b = ( rs ( csa csa ( rs( cosa s a ( cosb sb = + + ( rs ( cosa cosb cosa sb sa cosb sa sb = ( rs ( cosa cosb sa s b (cosa sb sa cos b ( rs ( cos( a b s( a b = = = ( rs cs( a + b Por lo tato, la multplcacó de dos úmeros complejos e su forma trgoométrca da como resultado u úmero complejo cuyo módulo es gual al producto de sus módulos y cuyo argumeto es gual a la suma de los argumetos æ p ö Ejemplo Sea u = cs ç è ø æ æ p ö æ p öö æ p ö y v = 3ç cosç - se = 3cs - è è ø è øø è ø Etoces u v ( = 6 cs(0 = 6 cos(0 + s(0 = 6 Fórmula de Movre Empleado el resultado del Ejercco 3b de esta seccó, z = r cs( q, y tomado r =, teemos: ( Esta expresó es la llamada fórmula de Movre cosq + sq = cos( q + s( q Forma expoecal de u úmero complejo Vamos a asumr que se sgue cumpledo, como e los úmeros reales, los coceptos de fucó, dervadas, seres, etc Vamos a demostrar la fórmula de Euler: e q = cosq + sq Empleemos el desarrollo e sere de potecas de la fucó cuado la varable x es u úmero complejo z e x x = å, supoedo que sea váldo para = 0! e z 3 z z z z z å = = !!! 3!! = 0 7

8 S tomamos z = q, os queda: 3 q ( q ( q ( q ( q ( q e = å = !!! 3!! = q q 3 q q 5 q = !! 3!! 5! 3 5 q q q q q = !! 3!! 5! Agrupado tedremos: æ ö æ 3 5 ö q q q q q q e = ç ç è!! ø è! 3! 5! ø q Estos so los desarrollos de cosq y sq respectvamete Así que e = cosq + sq Sea z = r(cosq + s q u úmero complejo dode r es su módulo y q su argumeto Etoces medate el empleo de la fórmula de Euler se obtee: q z = r(cosq + s q = r e Esta expresó es la llamada forma expoecal del úmero complejo Note que la forma expoecal es equvalete a la trgoométrca pues depede de los msmos elemetos: módulo y argumeto del úmero complejo z Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multplcacó, dvsó y potecacó empleado las leyes del álgebra Multplcacó y dvsó de úmeros complejos e su forma expoecal Sea u = re a y v = se b Etoces: ( u v = re se = rs e a b ( a + b a u re æ r ö = = b ç v se e è s ø ( a-b Ejemplo: Sea u = 6e p y v = 3e p p Etoces u v = 8e = 6 y u (0 e v = = Ejerccos de la Seccó Represete: (a e la forma trgoométrca el úmero complejo (b e la forma bómca el úmero complejo ( cos - s p p Represete: (a e la forma trgoométrca el úmero complejo - - 8

9 æ æ p ö æ p öö (b e la forma bómca el úmero complejo ç cosç + s 3 3 è è ø è øø 3 Multplcado el msmo úmero complejo veces, efectúe y emplee detdades trgoométrcas para comprobar que s z = r (cosq + s q, z = r (cosq + s q,, z = r (cosq + s q etoces (a z = r ( cos( q + s( q (b z = r ( cos( q + s( q (c z z z = ( r r r cs ( q q q Exteda el resultado a las potecas eteras egatvas Calcule: -- 3, (b 7 ( + (a ( 9 5 Dados u = + y v = -, emplee la forma expoecal para hallar: (a uv, (b u v 6 Dados u = + y v = - 3, emplee la forma expoecal para hallar: (a uv, (b u v 7 Halle 8 Halle ( 3 + ( ( + 9 (-- 6 9

10 Seccó 3 Raíces -ésmas de u úmero complejo E la forma bómca de u úmero complejo la represetacó es úca, metras que e la forma trgoométrca o expoecal u msmo úmero complejo tee ftas represetacoes dferetes, ( q k z = r e + p co k Î Para cada valor de k habrá ua represetacó dferete del úmero complejo z Defamos la radcacó como la operacó versa de la potecacó, esto es: z w z w = Û = q Supógase que w = re es u úmero complejo de módulo r y argumeto q y que complejo de módulo s y argumeto f Etoces z = w equvale a: f z = se u úmero f q ( q + kp z = s e = re = r e = w De esta maera: ( s = r ( f = q + kp Por lo tato, f z = se dode s = r y + k f = q p, co k =,, K, Estas so las fórmulas para hallar las raíces -ésmas de cualquer úmero complejo Compruebe que para todo otro valor de k, co k Î, se obtee las msmas raíces que para k = 0,, K, - Ejemplo Hallar + + = e p Por lo tato s = = y p + kp f =, co k = 0, Etoces: p Para k = 0, teemos 8 z = e Para k =, teemos z 9 8 = e p El logartmo de u úmero complejo Al gual que para los reales, vamos a defr el logartmo de u úmero complejo como la operacó versa de la expoecal, esto es: Supógase que z z = log w Û e = w q w = re es u úmero complejo de módulo r y argumeto q, etoces: 0

11 z ( q + kp e = r e = w Û z = r + + k l ( q p Ejemplo Sea = e (0 Por tato log ( = l( + ( kp = kp, co k Î Ejerccos de la Seccó 3 Halle las raíces cuadradas de - y verfque que so y - Halle las raíces cúbcas de 3 Halle las raíces cúbcas de - Halle las raíces cuadradas del úmero + 3 y expréselas e la forma bómca 5 Halle las raíces cúbcas del úmero -- 3 y expréselas e la forma bómca 6 Halle las raíces cuadradas de - - y represételas e el plao complejo 7 Muestre que log( - = p 8 Halle: (a log( e, (b log(, (c log( - e 9 Muestre que log( - = l - p

12 Respuestas Seccó a (, -, b (5, -, c (3,, d (,, e (, -6 æ x - y ö u, v = ç, è x + y x + y ø 6 ( 9 a a ( x - + y 5, círculo de rado 5 cetrado e (,0 y su teror 5 - ± 7 ±, ± 3 Seccó a æ 3p ö 3 csç è ø 5 a, b e - Seccó ± p p p e, e, e 8 a + kp, c - p Tomado de

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales.

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES

Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES Repaso de º de Bachllerato Núeros Coplejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad agara? Es u eleeto del que cooceos úcaete su cuadrado:.obvaete, o se trata de u úero real.. Qué es u úero coplejo? Es

Más detalles

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades:

Más detalles

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula

Más detalles

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran.

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran. Actvdad: Elabora u resume de la formacó que se muestra a cotuacó y aalza los procedmetos que se muestra. Fudametos matemátcos de la electróca dgtal Sstemas de umeracó poscoales E u sstema de esta clase,

Más detalles

Números complejos Susana Puddu

Números complejos Susana Puddu Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos

Más detalles

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad.

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad. Propedades Estadístcas de los estmadores MICO Lealdad ) y Y Y Y Y = = = β Y Dado que la = 0 etoces β =.) S defmos el poderador k =, co las propedades sguetes: a) No estocástco b) k = 0 c) k = k d) = kx

Más detalles

ÍÒ Ú Ö ÇÚ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Ö Ð ØÖ Ð ØÖ ÓÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ý Ë Ø Ñ Å ÑÓÖ Ô Ö Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ð Ö Ó ÓØÓÖ ÁÒ Ò ÖÓ ÁÒ Ù ØÖ Ð ÈÄ ÆÁ Á Á ÇÆ Ä ÅÇÎÁÅÁ ÆÌÇ Î À Á ÍÄÇË ÍÌ ÇÆÇÅÇË Ë Æ Ë ÆËÇÊ Ë ÂÙ Ò ÖÐÓ ÐÚ Ö Þ ÐÚ Ö Þ ÓÒ Ë ÔØ

Más detalles

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICE RECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO

Más detalles

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial 5.3 Estadístcas de ua dstrbucó frecuecal 5.3. Meddas de tedeca cetral Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral so descrptores umércos que proporcoa ua dea de los valores de la varable, alrededor

Más detalles

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA

PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA ) Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(, ) y dos de los lados están sobre las rectas r : 3x -y- =, s : 6x -7y- =. Calcula los demás vértices. Como el

Más detalles

Ê Ú Ø ÓÐ Ú Ò ß½¼½ ¾¼¼¾µ ¼ ÆÇË Ä ÍÆ Á ÇÆ Ä Ä ÇÊ ÌÇÊÁÇ ÁËÁ ÇËÅÁ Ä ÅÇÆÌ À ÄÌ º Ä Ä ÍÆÁÎ ÊËÇ ÁÒ Ø ØÙØÓ ÁÒÚ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö Å ÝÓÖ Ë Ò Ò Ö Ä È Þ¹ ÓÐ Ú Ê ËÍÅ Æ À ¼ ÒÓ Ö Ó Ó ÐÑ ÒØ Ð Ä ÓÖ ØÓÖ Ó Ó Ñ ÐØ Ý Ô Ò ÒØ Ð ÍÒ

Más detalles

ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ÙÐØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÖ Ó Ò ÖÖ Ö Ø Ò Ý ØÖ Ù Ò ÔÐ ÓÒ Ò Ö Ò ÇÖ Ò Þ ÓÒ CERN-THESIS-2001-022 01/05/1998 ÌÙØÓÖ ÈÖÓ º Öº Â Ö Ó Ä Ö ÙØÓÖ ÖÑ Ò Ò Ó Å Ð Ö Ñ ÒØÓ Ó ÑÔ Þ Ö Ò Ó Ð Ö Ð ÈÖÓ ÓÖ Öº Â Ö Ó ÔÓÖ

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 0 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa

Más detalles

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE - INTRODUCCION Es tecó aalzar e este trabajo las coocdas relacoes costo-volume-utldad para el caso e que sus compoetes sea: w : costo varable utaro

Más detalles

Cálculo Integral. LA INTEGRAL

Cálculo Integral. LA INTEGRAL Cálculo Itegral. LA INTEGRAL Durate la seguda mtad del sglo XVII, Newto y Lebz dero u paso decsvo e la matemátca de las magtudes varables, al setar las bases del cálculo dferecal e tegral. "Este fue el

Más detalles

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada. MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo:

Más detalles

CENTRO DE MASA centro de masas centro de masas

CENTRO DE MASA centro de masas centro de masas CENTRO DE ASA El cetro de masas de u sstema dscreto o cotuo es el puto geométrco que dámcamete se comporta como s e él estuvera aplcada la resultate de las fuerzas exteras al sstema. De maera aáloga, se

Más detalles

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central Aproxmacó a la dstrbucó ormal: el Teorema del Límte Cetral El teorema del límte cetral establece que s se tee varables aleatoras, X, X,..., X, depedetes y co détca dstrbucó de meda µ y varaza σ, a medda

Más detalles

Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3. CONCEPTO Y FÓRMULAS

Más detalles

C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIGUALDAD DE G INI

C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIGUALDAD DE G INI TESIS DESARROLLO REIONAL C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIUALDAD DE INI D OCUMENTO A UXILIAR N DANIEL CAUAS - 5 JUN 203 LA CURVA DE LORENZ La curva de Lorez (Corado Lorez 905), es u recurso gráfco

Más detalles

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

2.2 Distribuciones de frecuencias unidimensionales.

2.2 Distribuciones de frecuencias unidimensionales. Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable CAPITULO - AALISIS DE UA VARIABLE Itroduccó E este capítulo se dará u cojuto de strumetos que permtrá el aálss descrptvo de ua varable

Más detalles

1. El valor central o típico de los datos 2. La dispersión de los datos 3. La forma de la distribución de los datos

1. El valor central o típico de los datos 2. La dispersión de los datos 3. La forma de la distribución de los datos Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 47 Meddas Descrptvas Numércas Frecuetemete ua coleccó de datos se puede reducr a ua o uas cuatas meddas umércas secllas que resume al cojuto

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

a) Fragmentos de texto resaltado por 4 usuarios hipotéticos. b), c) y d) Areas relevantes para el 100%, 75% y 50% de los usuarios respectivamente.

a) Fragmentos de texto resaltado por 4 usuarios hipotéticos. b), c) y d) Areas relevantes para el 100%, 75% y 50% de los usuarios respectivamente. ÍÒ ÈÐ Ø ÓÖÑ ÓÐ ÓÖ Ø Ú Ê ÙÔ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ò Åº Î ÐÐ ÖÖÓ Ð Ý Èº Ð Ù ÒØ Ý ºÈ Ö ÖÓ Þ ÂºÎ Ý Âº Ó Ý Ý Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Î ÐÐ ÓÐ ÑÔÙ Å Ù Ð Ð ¼½½ Î ÐÐ ÓÐ Ô ¹Ñ Ð ßÑÚ ÐÐ ÖÖÓ Ð Ô Ù ÒØ Ú ÓÐÐ Ò ÓÖºÙÚ º Þ Ù Ð

Más detalles

a es la parte real, bi la parte imaginaria.

a es la parte real, bi la parte imaginaria. CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml

Más detalles

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Determa la fucó geeratrz para el úmero de formas de dstrbur 5 moedas de u euro etre cco persoas, s (a o hay restrccoes; (b

Más detalles

Tema 2: Distribuciones bidimensionales

Tema 2: Distribuciones bidimensionales Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;

Más detalles

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. El objetivo del capítulo 3 es conocer la metodología, por lo cual nos apoyaremos en el

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. El objetivo del capítulo 3 es conocer la metodología, por lo cual nos apoyaremos en el CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA El objetvo del capítulo 3 es coocer la metodología, por lo cual os apoyaremos e el lbro de Smulato modelg ad Aalyss (Law, 000), para estudar alguas pruebas de bodad de ajuste. També

Más detalles

λ ± «½ -² Òf èçèñïì ßÍÛÍÑÎ ß ÖËÎ Ü Ýß Ú»½ ¼» ß ±¾ ½ -²æ ïðñíñîðïì Ò ±ò ¼» Û»¼»²»ææ êìíðóððððêëóïï Ì»³ æ Ü ÙÛÍÌÑ Î» «³»²æ Í» ¼» ²»º»½ ±» Ì3 «± È Ê þü» Ü ± ½ ±²» Û»½» Ð ±»½ ± ß½±²¼ ½ ±² ³»² ± Ë ¾ ²± л

Más detalles

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la

Más detalles

Procesado digital de imagen y sonido

Procesado digital de imagen y sonido ea ta zabal zazu Uversdad del País Vasco Departaeto de Arqutectura y Tecología de oputadores upv ehu Tea 4_ Ssteas LTI Procesado dgtal de age y sodo Defcó y prcpal vetaja Aálss teporal de la respuesta

Más detalles

V II Muestreo por Conglomerados

V II Muestreo por Conglomerados V II Muestreo por Coglomerados Dr. Jesús Mellado 31 Por alguas razoes aturales, los elemetos muestrales se ecuetra formado grupos, como por ejemlo, las persoas que vve e coloas de ua cudad, lo elemetos

Más detalles

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 40 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa

Más detalles

= x 1º B. 2º- Calcular y simplificar: 3º- Calcular el valor de k para que el cociente

= x 1º B. 2º- Calcular y simplificar: 3º- Calcular el valor de k para que el cociente Departamento de Matemátcas 1º B 7 / OCT / 05 1º- Defnr conjugado, opuesto e nverso de un nº complejo. Escrbr y representar el conjugado, el opuesto, el conjugado del opuesto, el opuesto del conjugado,

Más detalles

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo Regla de Bayes Pedro J. Rodríguez Esquerdo Isttuto de Estadístca y Sstemas Computadorzados de Iformacó Facultad de Admstracó de Empresas y Departameto de Matemátcas Facultad de Cecas Naturales Recto de

Más detalles

SIMULACION. Departament d'eio / Notes Curs MEIO/FIB 33

SIMULACION. Departament d'eio / Notes Curs MEIO/FIB 33 SIMULACION TECNICA PARA IMITAR EN UN COMPUTADOR LAS OPERACIONES DE LOS SISTEMAS DEL MUNDO REAL A MEDIDA QUE EVOLUCIONAN EN EL TIEMPO, MEDIANTE MODELOS QUE LOS REPRESENTAN DE FORMA REALISTA Deartamet d'eio

Más detalles

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5 Sucesoes.. SUCESIONES..

Más detalles

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS TEMA 4: ALORACIÓN DE RENTAS 1. Cocepto y valor facero de ua reta 2. Clasfcacó de las retas. 3. aloracó de Retas dscretas. Temporales. 4. aloracó de Retas dscretas. Perpetuas. 5. Ejerccos tema 4. 1. Cocepto

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR

R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR RC CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR CONTENIDOS Estado trastoro de carga y descarga. Cálculo de la costate de tempo. Método de cuadrados mímos. Errores que se comete durate la evaluacó de τ OBJETIVOS

Más detalles

ESTADÍSTICA poblaciones

ESTADÍSTICA poblaciones ESTADÍSTICA Es la parte de las Matemátcas que estuda el comportameto de las poblacoes utlzado datos umércos obtedos medate epermetos o ecuestas. ESTADÍSTICA La Estadístca tee dos ramas: La Estadístca descrptva:

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

TEMA 2: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.

TEMA 2: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES. TEMA : PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos vsto cómo se puede resumr los datos obtedos del estudo de ua muestra (o ua poblacó) e ua tabla estadístca

Más detalles

MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS

MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS Autores: Dr. Ig. Roberto Pzarro T. Ig. Jua Pablo Flores V. Ig. Clauda Sagüesa P. Ig. Ezo Martíez A. 1. INTRODUCCIÓN El presete documeto fue extraído

Más detalles

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros . alcular el motate que obtedremos al captalzar 5. euros al 5% durate días (año cvl y comercal). Solucó: 5., euros (cvl); 5.,5 euros (comercal). 5. o ' 5,5 5,8 5,5 ' 5. 5.,5) 5,5) 5., 5.,5. alcular el

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Solucoes de los ejerccos de Selectvdad sobre Ifereca Estadístca de Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Atoo Fracsco Roldá López de Herro * Covocatora de 006 Las sguetes págas cotee las solucoes

Más detalles

Códigos HTML - Caracteres y símbolos

Códigos HTML - Caracteres y símbolos Códigos HTML - Caracteres y símbolos Tabla de ASCII estándar, nombres de entidades HTML, ISO 10646, ISO 8879, ISO 8859-1 alfabeto romano numero 1 Soporte para browsers: todos los browsers 32 33 34 35 36

Más detalles

Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO PROBABILIDAD AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO PROBABILIDAD AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD. NSTTUTO TECNOLÓGCO DE ZCO Estadístca OLDD XOMS Y TEOEMS DE L OLDD. DEFNCONES DE L OLDD. La palabra probabldad se utlza para cuatfcar uestra creeca de que ocurra u acotecmeto determado. Exste tres formas

Más detalles

V Muestreo Estratificado

V Muestreo Estratificado V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,

Más detalles

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto

Más detalles

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES

Más detalles

Topología General Capítulo 0-2 -

Topología General Capítulo 0-2 - Topología Geeral Topología Geeral apítulo - - - - Topología Geeral apítulo - 3 - Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada

Más detalles

Ò ÒÖÐ ÙÒÓÒ ÒÐØ º ÁÒØÖÓÙÒ ÐÓ ÆÑÖÓ ÓÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º ºº À ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº¾ ÒÒ ÐÓ ÆÑÖÓ ÓÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º ¾ ºº Ê ÙÓÒ ÙÖ Ø º º º

Más detalles

6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell 3 6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 6. Suma de varables aleatoras deedetes Cuado se estudaro las

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos

. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos Título: La desgualdad etre la meda artmétca y geométrca e problemas de olmpadas. Resume: E el presete artículo se pretede mostrar la utldad de ua desgualdad ta elemetal como la relacó etre las medas artmétca

Más detalles

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por:

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por: Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 65 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Meddas de Dspersó Además de obteer la formacó que reúe las meddas de tedeca cetral

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se CAPÍTULO III. METODOLOGÍA III. Tpos de Medcó De acuerdo co la clasfcacó de Amartya Se (200), las meddas de desgualdad se puede catalogar e u setdo objetvo o ormatvo. E el setdo objetvo se utlza algua medda

Más detalles

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos 4. SEGUNDO MÓDULO 4. Resume de Datos E estadístca descrptva, a partr de u cojuto de datos, se busca ecotrar resumes secllos, que permta vsualzar las característcas esecales de éstos. E ua expereca, u dato

Más detalles

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Axiomas de cuerpo En admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones

Más detalles

q q q q q q n r r r qq k r q q q q

q q q q q q n r r r qq k r q q q q urso: FISIA II B 30 00 I Profesor: JOAQIN SALEDO jsalcedo@u.edu.pe Eergía potecal electrostátca. S traemos ua carga desde ua dstaca fta el trabajo ecesaro es ulo. 0 trate ua fumadta, grats,, te vto S luego

Más detalles

CURSO REDES ELECTRICAS II 1 CAPITULO 4

CURSO REDES ELECTRICAS II 1 CAPITULO 4 CURSO REDES ELECTRICAS II FLUJO DE CARGAS. Itroduccó: CAPITULO 4 Los estudos de cargas tee ua eorme mportaca e la plafcacó de las amplacoes de u sstema de eergía, así como e la determacó del fucoameto

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

A I A subconjunto de S A es un Evento s A s es elemento de A Ocurre el evento A

A I A subconjunto de S A es un Evento s A s es elemento de A Ocurre el evento A Uversdad Técca Federco Sata María Departameto de Iformátca ILI-80 Coceptos áscos Capítulo 5: Modelos de Probabldad Estadístca Computacoal º Semestre 00 Profesor :Héctor llede Pága : www.f.utfsm.cl/~hallede

Más detalles

1.1 INTRODUCCION & NOTACION

1.1 INTRODUCCION & NOTACION 1. SIMULACIÓN DE SISEMAS DE COLAS Jorge Eduardo Ortz rvño Profesor Asocado Departameto de Igeería de Sstemas e Idustral Uversdad Nacoal de Colomba jeortzt@ual.edu.co 1.1 INRODUCCION & NOACION Clete Servdor

Más detalles

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado e Geomátca y Topografía Escuela Técca Superor de Igeeros e Topografía, Geodesa y Cartografía. Uversdad Poltécca de Madrd Capítulo

Más detalles

Unidad I Estadística Descriptiva

Unidad I Estadística Descriptiva PRESENTACIÓN DEL CURSO Udad I Estadístca Descrptva La ESTADISTICA es la parte de las matemátcas ecargada de la presetacó y aálss de los datos de u expermeto. Normalmete la estadístca se dvde e: Estadístca

Más detalles

PRÁCTICA 13: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA

PRÁCTICA 13: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA E ocasoes ocurre que el ecargado de hacer u trabajo estadístco o está seguro de la dstrbucó de ua determada varable aleatora. Para solucoar

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I COLEGIO DE BACHILLERES ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I FASCÍCULO. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Autores: Jua Matus Parra COLEGIO DE BACHILLERES Colaboradores Asesoría Pedagógca Revsó de Cotedo Dseño

Más detalles

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente.

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente. Sere de radete (eométrco y rtmétco) y su Relacó co el resete. Certos proyectos de versó geera fluos de efectvo que crece o dsmuye ua certa catdad costate cada período. or eemplo, los gastos de matemeto

Más detalles

6.2.- Funciones cóncavas y convexas

6.2.- Funciones cóncavas y convexas C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes.

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE RACIONAL. DESCUENTO BANCARIO

LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE RACIONAL. DESCUENTO BANCARIO LEY FINANIEA E ESUENTO SIMPLE AIONAL. ESUENTO BANAIO Profesor: Jua Atoo Gozález íaz epartameto Métodos uattatvos Uversdad Pablo de Olavde www.clasesuverstaras.com Ley Facera de escueto Smple acoal La ley

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 146 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Página 147. El paso de Z a Q

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 146 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Página 147. El paso de Z a Q NÚMEROS COMPLEJOS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de Z a Q Imaginemos que solo se conocieran los números enteros, Z. Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes

Más detalles

Complejos, C. Reales, R. Fraccionarios

Complejos, C. Reales, R. Fraccionarios NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar

Más detalles

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;

Más detalles

Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal Itroduccó a la Programacó Leal Clauda Llaa Daza Garzó cldaza@uversa.et.co Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Rego Rego Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara

Más detalles

ÍÆÁÎÊËÁ ÈÇÄÁÌ ÆÁ ÌÄÍ Æ ÈÖÓÖÑ ÓØÓÖÓ ÍÌÇÅÌÁÁ ÇÆ ÎÆ ÊÇ ÇÌÁ Ì ÓØÓÖÐ ËÌÊÌÁË ÇÆÌÊÇÄ ÈÊ ËÁËÌÅË ÁÄÁÆÄË ÈÄÁÇË ÄÇË ÇÆÎÊÌÁÇÊË ÈÇÌÆÁ ߺ ÅÙÖÓ Ö ØÒº ÖØÓÖ ÀÖØØ ËÖßÊÑÖÞ ÁÒ ØØÙØÓ ÇÖÒÞÓÒ Ý ÓÒØÖÓÐ Ë ØÑ ÁÒÙ ØÖÐ º ÑÖÞÓ Ð ¾¼¼¼

Más detalles