Juegos en Forma Estratégica de Información Incompleta

Transcripción

1 Juegos en Forma Estratégica de Información Incompleta Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes Abril 6 de 2010 Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

2 Juegos de información incompleta Un juego de información incompleta BG (o Juego Bayesiano) en forma estratégica es: BG = I, (A i ) i2i, (X i ) i2i, (π i ) i2i, F I es un conjunto de jugadores ( nito). A i es un conjunto de acciones para cada jugador. X i es un conjunto de información para cada jugador. π i : A X! R es la utilidad de cada jugador, A = Π A i, X = Π X i. i 2I i 2I F es una distribución de probabilidad sobre X. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

3 Un juego de informacion incompleta formalmente La distribución F es el modelo probabilístico del espacio de información de todos los agentes. Asumimos que todos los elementos del juego son conocimiento común. Esto convierte un problema de información incompleta o asimétrica en uno de información completa. Las tres últimas observaciones son la propuesta original de Harsany. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

4 Un juego de informacion incompleta formalmente Para simpli car la exposición, vamos hacer los siguientes supuestos sobre F. F tiene una densidad f y f = Π i 2I f i donde f i es una densidad sobre X i. El jugador i utiliza la densidad Π j6=i f j para evaluar la información de los demás agentes. Este supuesto quiere decir que la información de los jugadores es independiente. Esto no quiere decir que la información de los demás agentes no tenga consecuencias sobre su utilidad. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

5 Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi cado) - I = f1, 2g. A M = A H = fb, Sg. Dependiendo del estado del ánimo la mujer puede tener preferencias distintas por ir al partido o de compras. X M = fb, Sg, X H = fng. Solo la mujer sabe al levantarse cual es su estado de ánimo. El hombre sabe el de él pero no el de ella. π M, π H : A M A H X M X H! R El hombre tiene las mismas preferencias independientemente del estado de ánimo de la mujer. Formalmente π H no cambia de valor en su tercera componente. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

6 Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi cado) Las preferencias de la mujer dependen de su estado de ánimo (las del hombre son independientes): π M (,, B, N) : A M A H! R Hombre Mujer B S B 3,2 2,1 S 0,0 1,3 Ánimo de ir al partido π M (,, S, N) : A M A H! R Hombre Mujer B S B 1,2 0,1 S 2,0 3,3 Ánimo de ir de compras lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

7 Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi cado) Estructura de información: el hombre le atribuye una probabilidad subjetiva p de que la mujer amanezca con ánimo de ir al partido. Formalmente f M, f H son densidades discretas sobre fb, Sg, fng respectivamente. f = f M f H. f H (B) = f M (B) = p f H (S) = f M (S) = 1 p f M (N) = f H (N) = 1 Obsérvese que en este caso la información no solo es privada sino que la información privada de ninguno de los dos afecta la utilidad del otro (i.e., valores privados). lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

8 Estrategias y de niciones de equilibrio Una estrategia es una función α i : X i! A i. Una estrategia bα i : X i! A i domina (débilmente) una estrategia α i : X i! A i si para toda estrategia α i : X i! A i y x 2 X : π i (bα i (x i ), α i (x i ), x) π i (α i (x i ), α i (x i ), x) con desigualdad estricta por lo menos para un α i y x. Obsérvese que la de nición anterior es equivalente a la siguiente. Una estrategia bα i : X i! A i domina (débilmente) una estrategia α i : X i! A i si para toda acción a i 2 A i y x i 2 X i : π i (bα i (x i ), a i, x) π i (α i (x i ), a i, x) con desigualdad estricta por lo menos para un a i y x i. Una estrategia bα i : X i! A i es dominante (débilmente) si domina (débilmente) a toda estrategia α i : X i! A i. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

9 Estrategias y de niciones de equilibrio Example (Batalla de los sexos modi cado) Las estrategias son: α M : fb, Sg! fb, Sg. α H : fng! fb, Sg. La estrategia α M (B) = B, α M (S) = S domina cualquier otra estrategia para la mujer luego es una estrategia dominante. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

10 Estrategias y de niciones de equilibrio Equilibrio en estrategias dominantes (débilmente): bα : X! A es un equilibrio en estrategias dominantes si para todo i 2 I, bα i es una estrategia dominante (débilmente). Más adelante daremos un ejemplo de un equilibrio en estrategias dominantes en juegos de información incompleta (el equilibrio en la subasta al segundo precio). La importancia del concepto de equilibrio en estrategias dominantes es doble. De una parte supone una forma débil de racionalidad y de otra, es independiente de la estructura de información. La doctrina de Wilson hace referencia a las características deseables de los mecanismos de asignación de recursos. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

11 Estrategias y de niciones de equilibrio Equilibrio de Nash-Bayesiano. bα : X! A es un equilibrio de Nash-Bayesiano si para todo jugador i 2 I y para todo estrategia α i : X i! A i y x i 2 X i : E i [π i (bα i (x i ), bα i (X i ), x i, X i )jx i = x i ] E i [π i (α i (x i ), bα i (X i ), x i, X i )jx i = x i ] En el caso particular en que la estructura de información, hx, F i es independiente, la última desigualdad la podemos escribir como: E i [π i (bα i (x i ), bα i (X i ), x i, X i )] E i [π i (α i (x i ), bα i (X i ), x i, X i )] donde el valor esperado se calcula utilizando la densidad f i. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

12 Estrategias y de niciones de equilibrio Example (Batalla de los sexos modi cado) Supongamos que: es un equilibrio de Nash-Bayesiano. bα M : fb, Sg! fb, Sg. bα H : fng! fb, Sg. Para la mujer, ella no tiene ninguna incertidumbre sobre el estado de ánimo del hombre. Entonces debe cumplirse: π M (bα M (x M ), bα H (N), x M, N) π M (α M (x M ), bα H (N), x M, N)] Como ella tiene una estrategia dominante el candidato a bα M es: bα M (B) = B, bα M (S) = S. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

13 Estrategias y de niciones de equilibrio Example (Batalla de los sexos modi cado) Para el hombre, él tiene que calcular su mejor reacción a esta estrategia: E H [π H (bα M (X M ), bα H (N), X M, N)] E H [π H (bα M (X M ), α H (N), X M, N)] pπ H (B, bα H (N), B, N) + (1 p)π H (S, bα H (N), S, N) pπ H (B, α H (N), B, N) + (1 p)π H (S, α H (N), S, N) lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

14 Estrategias y de niciones de equilbrio Example (Batalla de los sexos modi cado) Supongamos que bα H (N) = B, entonces la desigualdad anterior se reduce a: pπ H (B, B, B, N) + (1 p)π H (S, B, S, N) pπ H (B, S, N, B) + (1 p)π H (S, S, N, S) es fácil mostrar que p > 3 4. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

15 Estrategias y de niciones de equilbrio Example (Batalla de los sexos modi cado) - Si p < 3 4, la estrategia óptima es bα H (N) = S. Si p = 3 4 existe un equilibrio en estrategias mixtas. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

16 Estrategias y de niciones de equilbrio Example (Competencia imperfecta) - Las rmas tienen funciones de costos: c 2 f1, 2g. c i (q i ) = cq i El valor de c es común a ambas rmas. La rma 1 está informada del costo pero la rma 2 no. La rma 2 le atribuye una probabilidad subjetiva p de que el costo sea c = 1 para la rma 1. La función de demanda inversa es: P (Q) = max fm dq, 0g lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

17 Estrategias y de niciones de equilbrio Example (Competencia imperfecta) Representación como un juego de información incompleta: I = f1, 2g. A 1 A 2 = R + R +. X 1 = f1, 2g, X 2 = fxg. π i : R+ 2 f1, 2g fxg! R es el payo de cada jugador. Para la rma 1: π 1 (q 11, q 2, 1, x) = (M d(q 11 + q 2 ) 1)q 11 π 1 (q 12, q 2, 2, x) = (M d(q 12 + q 2 ) 2)q 12 lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

18 Un Juego de informacion incompleta formalmente Para la rma 2: π 2 (q 11, q 2, 1, x) = (M d(q 11 + q 2 ) 1)q 2 π 2 (q 12, q 2, 2, x) = (M d(q 12 + q 2 ) 2)q 2 Obsérvese que el payo de la rma 2 depende de la información de la rma 1. Sin embargo, la información es puramente privada. Esto no sucedia en el caso de la batalla de los sexos. Esto pone de mani esto que en un juego de información incompleta la información puede ser completamente privada aún cuando la información privada de cada jugador afecte el payo de los demás jugadores. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

19 Un juego de informacion incompleta formalmente f 1 y f 2 son probabilidades discretas sobre f1, 2g y fxg respectivamente. f 2(f1g) = f 1 (f1g) = p f 2(f2g) = f 1 (f2g) = 1 p f 1(fxg) = f 2 (fxg) = 1 Una estrategia para la rma 1 son dos niveles de producción q 11 y q 12 y para la rma 2 es un nivel de producción q 2. Supongamos que (bq 11, bq 12, bq 2 ) es un equilibrio de Nash - Bayesiano. Entonces deben cumplirse las siguientes condiciones. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

20 Un juego de informacion incompleta formalmente Para la rma 1, para todo q 11 2 R + y q 12 2 R +, (M d(bq 11 + bq 2 ) 1)bq 11 (M d(q 11 + bq 2 ) 1)q 11 (M d(bq 12 + bq 2 ) 2)bq 12 (M d(q 12 + bq 2 ) 2)q 12 Para la rma 2, para todo q 2 2 R +, p(m d(bq 11 + bq 2 ) 1)bq 2 + (1 p)(m d(bq 12 + bq 2 ) 2)bq 2 p(m d(bq 11 + q 2 ) 1)q 2 + (1 p)(m d(bq 12 + q 2 ) 2)q 2 Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

21 Un juego de informacion incompleta formalmente Suponiendo que existe una solución interior a los tres problemas de maximización es fácil mostrar que la solución es: bq 11 = 2M 1 p 6d bq 12 = 2M 4 p 6d bq 2 = M 2 + p 3d Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

22 Example (Subasta al Segundo Precio). Vamos a considerar el modelo básico de subastas. Este es el modelo de valores privados, información independiente y un único objeto. También vamos asumir (por simplicidad aunque esto no es importante para el resultado nal): Neutralidad al riesgo. Simetría de la información. Esto es, X i y f i es la misma para todos los agentes. En particular supongamos que X i = R +. La interpretación que hacemos de la información x i 2 X i es que esta representa la valoración (privada) que del objeto que se está subastando tiene cada agente. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

23 Un juego de informacion incompleta formalmente Example Tenemos un conjunto nito de participantes I. Cada agente hace una oferta en un sobre cerrado. El espacio de aciones de cada agente es R. Es decir, una estrategia para cada jugador es una función b i : R +! R. El payo de los agentes es: π i : R I R I +! R π i (b i, b i, x i, x i ) = x i max j6=i π i (b i, b i, x i, x i ) = 0 si b i < max j6=i fb j g si b i > max fb j g j6=i fb j g En caso de empate el objeto se asigna con igual probabilidad a cada uno de los agentes que quedaron empatadados. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

24 Un juego de informacion incompleta formalmente Example La expresión del payo pone en evidencia algunos de los supuestos que hicimos anteriormente (valoración privada y neutralidad al riesgo). Vamos a demostrar que la estrategia de revelar la verdad para cada jugador, b i (x i ) = x i es un equilibrio en estrategias dominantes (débilmente). Supongamos que cada agente observa su valoración privada y hace una oferta por el bien. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

25 Un juego de informacion incompleta formalmente Example Fijemos un agente, digamos el agente i y concentremonos en su estrategia. Sea Y 1 = max fb j g. Y 1 determina si el agente i gana o no. j6=i b i (x i ) > x i no es racional (en el sentido débil) pues la estrategia b i que es igual b i en todas partes excepto en x i donde es revelar la verdadera valoración la domina (débilmente) - disminuye la probabiidad de ganar cuando la valoración es x i, nunca paga menos y con probabilidad positiva paga más. El argumento es independiente de las estrategias utilizadas por los demás jugadores. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

26 Un juego de informacion incompleta formalmente Example Si b i (x i ) < x i pueden suceder tres cosas: Pago Y 1 b i < x i i gana x i Y 1 b i < Y 1 < x i i pierde 0 b i < x i Y 1 i pierde 0 Comparando con el resultado que hubiera tenido de utilizar la estrategia de revelar la verdad, es claro que esta úlitma domina. lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26

27 Un juego de informacion incompleta formalmente Example Donde utilizamos la estructura de información? Donde utilizamos la neutralidad al riesgo? Formalmente lo que hemos hecho es demostrar que la estrategia b i (x i ) = x i domina a cualquier otra estrategia b i.esto es: π i (x i, b i, x i, x i ) π i (b i (x i ), b i, x i, x i ) para todo x 2 X y b i (lo que hicimos fue considerar los diferentes casos de Y 1 y mostrar que esta desigualdad se cumplia siempre). lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losjuegos Andes) en Forma Estratégica de Información Incompleta Abril 6 de / 26