II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ls rzones trigonométris se utilizn fundmentlmente en l soluión de triángulos retángulos, reordndo que todo triángulo retángulo tiene un ángulo de 9 y sus ángulos interiores sumn 8. L notión que se ostumbr es l siguiente. α + β Tommos el ángulo α pr definir ls rzones trigonométris de l siguiente mner: teto opuesto sen α hipotenus s α hipotenus teto opuesto teto dyente b hipotenus os α seα hipotenus teto dyente b tn α teto opuesto teto dyente b ot α teto dyente teto opuesto b Not: Vése que ls rzones respetivmente. ot α, se α, s α son reípros de l tn α, os α, sen α.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo retángulo impli obtener l medid de todos sus ángulos y de tods ls longitudes de sus ldos. En donde se utilizn ls rzones trigonométris y el teorem de Pitágors fundmentlmente, el uál se enuni sí: en todo triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de sus tetos. 4

2 + b + b b ( I ) b EJEMPLOS Determinr los ldos y ángulos fltntes en d so. ) Resolver el siguiente triángulo undo los tetos miden y 4 uniddes. Pr obtener l hipotenus plimos el teorem de Pitágors Pr lulr los ángulos α y β, podemos herlo de l siguiente mner: 5 tn α 4 α tn.75 α 6.87 y omo α + β despejndo β β 5. por lo tnto α 6.87 ; β 5. ; 5 4

3 ) Clulr β,α, Pr obtener β : b 9 4 ddo que α + β sen β 8 6 despejndo α β sen 8. 6 α β 6.8 ) Clulr,b, α α Pr lulr b : Pr lulr : b os α 5 b sen os5 sen5 b os b. 44

4 4) L torre Eiffel en su bse udrngulr mide 5 metros de ldo, uál es su ltur si un person que mide.8 m. de esttur, l mirr l punt mide un ángulo de elevión de 85.4? Si tn tn 85.4 h h. 7 [ m] h Altur de l torre [ m] 5) Cuál es el áre de un nl trpeil on l geometrí que se muestr en l figur? Determinndo uánto mide l ltur h, el problem se resuelve. Ddo que el nl es un figur regulr se tiene que: h tn 6 4 ; 4 tn 6 4 h ; h 6. 9 h [ m] El áre de un trpeio es bse myor más bse menor entre dos y multiplido esto por l ltur, es deir B + b h Áre EJERCICIOS Resuelv los siguientes triángulos retángulos: ) Si b. 5 y α 9, enuentre,, β ) Si 4 y b 5, obteng, α, β + 4 Áre ( 6.9) [ m ] 45

5 ) Un globo erostátio se elev vertilmente desde el punto P (en el suelo), su ángulo de elevión desde el punto Q (en el suelo tmbién) situdo 5 m del punto P, mbi de 5. Determine que tnto se elev el globo durnte este mbio. 4) El piloto de un vión de Mexin debe proximrse l pist de terrizje en el D.F. en un ángulo de 7 on respeto l horizontl. Si vuel un ltitud de 9m. A qué distni de l pist debe iniir su desenso? 5) En l siguiente figur se muestr un diseño de un tobogán, se pide lulr l longitud totl del tobogán.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CUALQUIER CUADRANTE Un írulo on entro en el origen de oordends y de rdio l unidd es llmdo írulo unitrio. Sí sobre este írulo tommos un punto P ( x, y), el rdio OP gener un ángulo positivo de mgnitud t rdines omo se muestr. Se onviene que se genern ángulos positivos si son medidos prtir del eje x y girndo en el sentido ontrrio ls mneills del reloj hst el rdio OP omo lo mr l fleh y ángulos negtivos girndo en el sentido de ls mneills del reloj. Bjndo l perpendiulr l eje x desde el punto P, se tiene el triángulo retángulo OPQ, donde podemos definir l rzones trigonométris sent y os t por ejemplo. y sent ; y sent x ost ; x ost Por lo que el punto ( x y) omo P ( t, sent) P, puede expresrse os omo se muestr en l figur. 46

6 Reordndo que el plno oordendo bidimensionl o plno rtesino está formdo por utro regiones llmds udrntes I, II, III y IV, en donde l lolizión de puntos en d udrnte le orresponde un determindo signo d oordend, por ejemplo en el udrnte I se lolizn puntos uys oordends son positivs ( +, + ), en el II udrnte (, + ), en el III udrnte (, ) y en el IV udrnte ( +, ) omo se mostró en l figur nterior. Con est ley de signos en d udrnte, podemos determinr el signo de ulquier rzón trigonométri pr ángulos en ulquier udrnte. Nots: Pr obtener rdines onoiendo grdos o vievers, podemos plir l siguiente 8 x proporión: π y Pr onvertir rdines grdos se despej l x. Pr onvertir grdos rdines se despej l y. Por ejemplo: uántos rdines son 8 π y 8 45 π y 8 6 π y 8 9 π y ( ) ; despejndo ( 45 ) ; despejndo ( 6 ) ; despejndo ( 9 ) ; despejndo π π y rdines 8 6 π π y rdines 8 4 π π y rdines 8 π π y rdines 8, 45, 6, 9, 8? 8 8 π y 8 y rdines 8 ( ) ; despejndo π π L onstruión de los siguientes triángulos, puede ser un form de onoer lguns rzones trigonométris que son soliitds on freueni: De un udrdo tenemos: sen45 os 45 tn 45 47

7 Por Pitágors + De un triángulo equilátero: tn tn 6 sen sen6 os os 6 Tener uiddo on el udrnte que ontiene l ángulo soliitdo pr determinr orretmente el signo de l rzón trigonométri soliitd. El onoimiento de l rzón trigonométri del seno de un ángulo es sufiiente pr determinr ls restntes rzones on l pliión previ del teorem de Pitágors pr onoer el ldo restnte. Los vlores que tomn ls rzones trigonométris, se repiten d π rdines, esto signifi por ejemplo que el sen ( t + π ) sent y os ( t + π ) ost, et., pr todo ángulo t, y que π indi un vuelt omplet en el írulo unitrio. Se reomiend tener presente lguns identiddes trigonométris omo ls que se enlistn ontinuión: π sen t os t π os t sent sen t + os se s sen sen os os ( α + β ) ( α β ) ( α + β ) ( α β ) senα senα os β os α os tn t tn t ot ( α + β ) α sen α tnα tn α tn α t t t senα os β + osα senβ senα os β osα senβ osα os β senα senβ osα os β + senα senβ ( identidd ( identidd ( identidd tnα + tn β tnα tn β Pitgóri) Pitgóri) Pitgóri) 48

8 EJEMPLOS ) Determinr ls rzones trigonométris sent, ost, tn t, ot t, set y st pr los ángulos π π 5 5,,, π, π, π, π, π, π 4 4 Ángulo sen (t) os (t) tn (t) ot (t) se (t) s (t) Cudrnte indefinid indefinid I π 4 I π Indefinid indefinid I π II π indefinid indefinid II 5 π 4 III π indefinid indefinid III 5 π IV π indefinid indefinid IV ) Obteng los vlores de ls rzones trigonométris seno, tngente y sente pr los ángulos 75, 5, y 8 proximndo el resultdo 4 ifrs deimles. Pr obtener los vlores de ls rzones trigonométris undo el ángulo está ddo en grdos, puedes herlo on tu luldor ientífi, usndo el MODO en grdos (DEG) Ángulo sen tn se Cudrnte I II III IV 49

9 ) Obteng los vlores de ls rzones trigonométris oseno, otngente y osente pr los siguientes ángulos ddos en rdines:.,.456,.7, 4.7 y. 57 Pr obtener los vlores de ls rzones trigonométris undo el ángulo ddo est en rdines, puedes herlo on tu luldor ientífi, usndo el MODO en rdines (RAD) o bien usndo l fórmul de onversión en grdos ( rd )( ) x ( grdos) y plir el MODO en grdos (DEG). Ángulo os ot s Cudrnte I II IV II I 4) Se α el ángulo generdo en el sentido positivo por el segmento de ret OP uys oordends son O (,) y P( 6,5). Enuentre los vlores de ls rzones trigonométris seno, oseno y tngente de α. Por el Teorem de Pitágors OP sen α ( 6) + ( 5) osα.768 ; tnα ) Sin usr luldor enuentre los vlores de ls siguientes rzones trigonométris: 5π π 5π sen, os, ot, os, 6 4 se, ot( 5 ) Como d π 6 son ; 5 π 5 6 5

10 sen π sen5 6 5 sen.5 Como d π son 6 ; π π os os os6.5 Como d π 4 son 45 ; 5 π 5 4 ( 5 ) 5π ot ot 4 tn tn 45 os se ot ( 5 ) ( ) os. 866 ( ) se( 6 ) ( 5 ) ot( 45 ) EJERCICIOS ) Determinr ls rzones trigonométris tngente, otngente, sente y osente pr π π 5 5 los ángulos,,, π, π, π, π, π, π 4 4 ) Obtener los vlores de ls rzones trigonométris oseno, otngente y osente pr los ángulos 75, 5,, 8 ) Obteng los vlores de ls rzones trigonométris seno, tngente y sente pr los ángulos.,.456,.7, 4.7,. 57 4) Enuentre los vlores de ls seis rzones trigonométris del ángulo β generdo por el P, 4 segmento de ret OP uys oordends son (,) O y ( ) 5) Sin usr luldor obteng los vlores de ls siguientes rzones trigonométris: 4 7 os π, sen π, tn( 5 ), se( 5 ), s( ), ot( 5 ) 6 5

11 .4. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS Pr resolver triángulos que no son retángulos (que no tienen un ángulo de 9 ) se he uso de ls leyes de los senos y/o de los osenos. Los triángulos on ests rterístis, se llmn obliuángulos y pueden tener ángulos gudos o dos ángulos gudos y uno obtuso omo se muestr: Resolver un triángulo signifi obtener ls longitudes de sus ldos y l medid de d uno de sus ángulos. Pr logrr esto, es neesrio onoer (dtos) l menos tres elementos del triángulo y uno de ellos debe ser un ldo (L), reordndo tmbién por geometrí elementl que l sum de sus ángulos internos es 8 ( α + β + γ 8 ). Ls ombiniones de dtos pueden ser:. Conoer dos ángulos y un ldo (AAL).. Conoer dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos (LLA).. Conoer dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos (LAL). 4. Conoer tres ldos (LLL). Ley de los senos: Dos ldos ulesquier son proporionles los senos de los ángulos opuestos. Se ostumbr esribir omo senα b senβ senγ Ley de los osenos: El udrdo de un ldo ulquier es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el doble de su produto por el oseno del ángulo que formn. b b b b osα os β b osγ 5

12 EJEMPLOS Es importnte sber que ley debemos plir en l soluión de un triángulo, en los sos (AAL) y (LLA) donde A es opuesto uno de los ldos L, se reomiend l pliión de l ley de los senos y en los sos (LAL) donde el ángulo A est omprendido entre los dos ldos L y en el so (LLL), se reomiend l pliión de l ley de los osenos y reuerd omo hemos representdo esquemátimente el triángulo: ) Resuelv el triángulo α 6, β 4, b 4 Cso (AAL). Como Aplindo l ley de los senos: α + β + γ 8 ; γ 8 ( α + β ) 8 8 b y senα senβ senα senγ bsenα 4 senβ sen4 ( sen6 ) senγ 5.9 ( sen8 ) 5.9 ; senα sen6 6. ) Resuelv el triángulo, b, β 4 Cso (LLA). Con A opuesto un L : Aplindo l ley de los senos: b ; senα senβ senα sen4 ; sen α sen4 sen α.485 ; α 5.7, ddo que γ 8 β α + β ( α + )

13 El ldo puede lulrse on: ; senγ senα sen4.6 sen5.7 sen sen5.7 ) Un vión vuel de l Ciudd de Méxio Puebl de los Angeles, que está Km de distni, luego mbi su direión 4 y se dirige l Ciudd de Perote omo se muestr en l figur. ) Si l distni entre Méxio y Perote es de Km Qué distni hy de Puebl Perote? b) Qué ángulo debe girr el piloto pr volver l Ciudd de Méxio? ) Aplindo l ley de los senos: sen4 senγ ; sen4 senγ. 57 γ sen (.57) 4.9 Y omo β 8 ( α + γ ) L distni entre Puebl y Perote l podemos lulr sbiendo que: senβ senγ senβ sen5. Despejndo 98 Km senγ sen4.9 54

14 b) El ángulo que debe girr el piloto pr volver l Ciudd de Méxio es θ 8 γ ) Resolver el triángulo, b, γ 5 Cso (LAL). Aplindo l ley de los osenos: + b b osγ + ( )( ) os os5 (.64) Un vez onoido el terer ldo, podemos deidir plir l ley de senos o de osenos pr ompletr l soluión del triángulo. Pr α : b + b osα, despejndo b osα + b os α.46 ; α os.46 ( )(.) Y omo β 8 ( α + γ ) ) Resolver el triángulo, b 6, 4 Cso (LLL). Aplindo l ley de los osenos pr α : b + b osα, despejndo b osα + b Sustituyendo vlores: osα os α ( 6) + ( 4) ( ) ( 6)( 4).9 55

15 Un vez onoido uno de los ángulos, podemos optr por plir l ley de senos o de osenos pr ompletr l soluión del triángulo. Pr β : b ; senα senβ sen senβ Despejndo senβ sen. 87 β sen Y omo γ 8 ( α + β ) ) Un vión vuel un distni de Km del D.F. l puerto de Apulo, luego mbi su rumbo 5 y se dirige Ixtp Zihutnejo que está Km según l figur. ) Qué tn lejos está el D.F. de Ixtp Zihutnejo? b) Qué ángulo debe girr el piloto en Ixtp Zihutnejo pr regresr l D.F.? ) Aplindo l ley de los osenos ( ) ( ) ( )( ) + os (.64) Km 7.6 b) Aplindo l ley de los senos sen γ sen sen despejndo senγ. 6 ; γ sen y omo θ 8 γ

16 EJERCICIOS Resolver d triángulo on l informión dd: ) ) ) α β., 9, 4, b, α 4., b., γ ), b 4, 9 5) En el lgo de Chpultepe se lolizn dos embrderos, el P y el Q uy distni entre ellos es de 5 metros, desde el embrdero P girndo un ángulo de 6 se tiene un distni de 49 m hst l feterí del lgo R, según se muestr en l figur. Cuál es l distni desde el embrdero Q hst l feterí del lgo R? 6) Sobre el mrgen de un río se lolizn dos bnos de mteriles T y U seprdos uno del otro.8 Km. y en l otr mrgen del río se lolizó un sitio V en donde se onstruirá un embrdero. Los ángulos VTU y VUT miden 6 y 8 respetivmente, se dese determinr de que bno de mteriles resultrá más onveniente trer el mteril por su erní. 57

17 .5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Reordemos que l gráfi de un funión inyetiv f ( x) y f ( x), tienen l rterísti de que si ( b) y f ( x), entones el punto de oordends ( ) y f ( x) y que estos puntos (, b) y ( ) gráfi de l ret y x, esto es, que l gráfi de y f ( x) de l funión y f ( x) respeto de l ret y x. y y de su invers, es un punto de l gráfi de l funión b, es un punto de l gráfi de su invers b, están situdos simétrimente respeto l es un reflexión de l gráfi Pero result que omo ningun de ls funiones trigonométris es inyetiv, es neesrio restringir su dominio pr herls inyetivs y poder definir su invers omo funión. EJEMPLOS y, su dominio y su rngo son ( ) ) En l funión senx D, (todos los reles) y R, (los reles entre - y inlusive), pr que l invers de est funión se tmbién [ ] un funión, es neesrio restringir su dominio R [, ] y definiendo l invers omo y rsen( x) tmbién omo y sen ( x) π π D, onservndo su rngo, se lee funión ro-seno de x o, se lee funión seno inverso de x, uys gráfis son: 58

18 ) Si l funión y os x tiene dominio D (, ) y rngo R [, ] se un funión, es neesrio restringir su dominio D [,π ] R [, ]. Su invers se define omo y ros( x) tmbién omo y os ( x), pr que su invers, onservndo su rngo, se lee funión ro-oseno de x o, se lee funión oseno inverso de x, uys gráfis son: Not: Se he l lrión de que l notión y sen ( x) ó y os ( x), el exponente l menos uno en ulquier funión trigonométri es solo un mner de denotr l invers, es deir: sen ( x). Se propone l notión rsen ( x), ros( x), pr senx evitr el exponente ( ). ) L funión y tn x tiene dominio los números reles on exepión de los múltiplos π, o se: ( ) impres de D x x n π ±, n y su rngo todos los reles π π R (, ). Su invers será funión restringiendo su dominio D,, onservndo R,, uys gráfis son: su rngo ( ) 59

19 4) Determinr el vlor de l funión sen : Se α sen, entones se bus un ángulo α omprendido en el intervlo π π π π α ó lo que es lo mismo, entre, uyo seno se, esto es: sen α lo ul result que α debe estr entre y π (ver figur) pues es un rzón positiv, luego π π el únio ángulo dentro del intervlo, uyo seno es π es α 6 Por el Teorem de Pitágors ( ) ( ) 4 6

20 5) Obtener el vlor de l expresión sen tn : Si θ tn, entones tn θ, donde este ángulo θ debe estr dentro del intervlo π π π, y omo l rzón es positiv entones θ debe estr entre y (ver figur), por lo tnto tn sen senθ 5 Por el Teorem de Pitágors () + ( ) 5 EJERCICIOS Obteng ls gráfis de ls funiones: ) y ot( x) y de su invers y ot ( x) ) y se( x) y de su invers y se ( x) ) y s( x) y de su invers y s ( x) 4) Enuentre el vlor de l expresión tn ( ) 4 5) Obteng el vlor de tn sen 5 6