t-student y F-Snedecor

Transcripción

1 t-studet y F-Sedecor Itroducció La prueba t-studet e utiliza para cotratar hipótei obre media e poblacioe co ditribució ormal. Tambié proporcioa reultado aproimado para lo cotrate de media e muetra uficietemete grade cuado eta poblacioe o e ditribuye ormalmete (auque e ete último cao e preferible realizar ua prueba o paramétrica). Para coocer i e puede upoer que lo dato igue ua ditribució ormal, e puede realizar divero cotrate llamado de bodad de ajute, de lo cuale el má uado e la prueba de Kolmogorov. A meudo, la prueba de Kolmogorov e referida erróeamete como prueba de Kolmogorov-Smirov, ya que e realidad eta última, irve para cotratar i do poblacioe tiee la mima ditribució. Otro tet empleado para la prueba de ormalidad o debido a Saphiro y Wilk. Eite do verioe de la prueba t-studet: ua que upoe que la variaza poblacioale o iguale y otra verió que o aume eto último. Para decidir i e puede upoer o o la igualdad de variaza e la do poblacioe, e debe realizar previamete la prueba F-Sedecor de comparació de do variaza. La prueba t-studet fue dearrollada e 899 por el químico iglé William Sealey Goet ( ), mietra trabajaba e técica de cotrol de calidad para la detilería Guie e Dublí. Debido a que e la detilería, u pueto de trabajo o era iicialmete de etadítico y u dedicació debía etar ecluivamete ecamiada a mejorar lo cote de producció, publicó u hallazgo aóimamete firmado u artículo co el ombre de "Studet". William Sealey Goet ( Studet ) George W. Sedecor La ditribució F e coocida co ete ombre gracia al matemático americao George W. Sedecor (88-97) quie la bautizó de ete modo e hoor de R. A. Fiher (890-96) que ya la había etudiado ateriormete e 9. La prueba de bodad de ajute mecioada o debida a Nikolai Vail yevich Smirov ( ), Adrei Nikolaevich Kolmogorov ( ) gra teórico probabilita que fudó la bae de la teoría de la medida e 99 y fialmete Samuel S. Shapiro (actualmete profeor de matemática e lo.uu) y Marti.B. Wilk (matemático caadiee) que publicaro u hallazgo e la revita Biometrika e 965.

2 Fórmula báica E el cao de que e eté etudiado do variable dode ua de ella e cuatitativa ormal coiderada como variable repueta Rta y la otra variable e dicotómica coiderada como variable eplicativa Ep, e puede aplicar técica de etimació por IC para diferecia de media, la prueba t- Studet para cotratar la diferecia de media, técica de etimació por IC para el cociete de variaza y la prueba F-Sedecor para igualdad de variaza. Lo IC para diferecia de media y la prueba t-studet para diferecia de media tiee epreioe ditita depediedo i e puede aumir o o la igualdad de variaza poblacioe (para eto último etá la prueba F-Sedecor de igualdad de variaza). La igualdad de variaza e cooce como homocedaticidad y la o igualdad de variaza como heterocedaticidad. Itervalo de cofiaza para la diferecia de media y prueba t-studet para do media Cálculo de lo etadítico decriptivo báico Si e deota por y a lo tamaño muetrale del primer y del egudo grupo, la media y la deviacioe típica para lo do grupo o: i i ( ) i ( ) i dode i idica lo valore de la variable Rta para el grupo y i idica lo valore de la variable Rta para el grupo. Cálculo del IC( - a)% para la diferecia de media upoiedo igualdad de variaza Para calcular el IC( - α)% para la diferecia de media e eceita calcular el error etádar de la diferecia de media que, e el upueto de igualdad de variaza, tiee la epreió: ( ) dode recibe el ombre de variaza cojuta ( pooled variace ), que tiee por epreió: ( ) ( ) ( ) ( ) E egudo lugar para calcular el IC deeado e eceita el valor de la t-studet t -α/;gl co grado de libertad gl ( - ) ( ) ( ), co lo que: IC proporcioa el IC bucado. ( α) %( ) [( ) ± t ( )] α /,gl Cálculo del IC( - a)% para la diferecia de media upoiedo o igualdad de variaza Para calcular el IC( - α)% para la diferecia de media e eceita calcular el error etádar de la diferecia de media que, e el upueto de o igualdad de variaza, tiee la epreió:

3 ( ) ( ) ( ) E egudo lugar, para calcular el IC deeado e eceita el valor de la t-studet t -α/;gl co grado de libertad gl dado por la iguiete epreió, llamada de Sattherwaite: co lo que: IC proporcioa el IC bucado. gl [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( α) %( ) [( ) ± t ( )] α /,gl Cálculo de la prueba t-studet para la diferecia de media upoiedo igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate: H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 upoiedo igualdad de variaza poblacioale, e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal t dado por: t ( ) que bajo la hipótei ula igue ua ditribució t-studet co grado de libertad gl ( - ) ( ) ( ). Cálculo de la prueba t-studet para la diferecia de media upoiedo o igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate: H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 upoiedo o igualdad de variaza poblacioale, e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal t dado por: t ( que bajo la hipótei ula igue ua ditribució t-studet co grado de libertad gl dado por: gl ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] que recibe el ombre de grado de libertad de Sattherthwaite. Itervalo de cofiaza para el cociete de variaza y prueba F-Sedecor para do variaza Cálculo del IC( - a)% para el cociete de variaza La epreió para calcular el IC( - α)% para el cociete de variaza e: 3

4 σ IC95% σ F α / ;gl;gld ; F α / ;gld;gl dode: F -α/; gl; gld e calcula a partir de ua F-Sedecor iedo gl lo grado de libertad del umerador, que e calcula como el tamaño muetral del grupo co mayor variaza muetral meo uo, y gld lo grado de libertad del deomiador que e calcula como el tamaño muetral del grupo co meor variaza muetral meo uo. Cálculo de la prueba F-Sedecor para la igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate: H 0 : σ - σ 0 H : σ - σ 0 mediate la prueba F-Sedecor de comparació de variaza e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal F dado por: má F mí { ; } { ; } que bajo la hipótei ula igue ua ditribució F-Sedecor iedo gl lo grado de libertad del umerador y gld lo grado de libertad del deomiador. E el cao de o poder rechazar la hipótei ula (p-valor > 0.05) e coidera que la do variaza o iguale (homogéea).

5 Ejemplo Itervalo de cofiaza para la diferecia de media y prueba t-studet para do media Se tiee lo iguiete dato eperimetale correpodiete a 7 idividuo de lo que e ha recogido el valor que preeta e do variable, ua de ella cuatitativa co ditribució ormal coiderada como variable repueta (Rta), y la otra variable dicotómica coiderada como variable eplicativa (Ep). Lo dato e preeta de forma que e la fila hay vario idividuo para facilitar la lectura: Rta Ep Rta Ep Calcular u itervalo de cofiaza al 90% para la diferecia de media aumiedo igualdad de variaza y o aumiedo la igualdad de éta y realizar el iguiete cotrate: H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 mediate la prueba t-studet para do media e lo do upueto de igualdad y o igualdad de variaza. Cálculo de lo etadítico decriptivo báico Para lo dato del ejemplo e tiee que lo tamaño muetrale o: 7 y 0. La media y la deviacioe típica para lo do grupo o: 8 7 i i ( ) i ( ) i dode i idica lo valore de la variable Rta para el grupo y i idica lo valore de la variable Rta para el grupo. Cálculo del IC90% para la diferecia de media upoiedo igualdad de variaza Para calcular el IC90% para la diferecia de media e eceita calcular el error etádar de la diferecia de media que, e el upueto de igualdad de variaza, tiee la epreió: 5

6 ( ) dode recibe el ombre de variaza cojuta ( pooled variace ), que tiee por epreió: co lo que: ( ) ( ) ( ) E egudo lugar para calcular el IC deeado e eceita el valor de la t-studet t -α/;gl para α 0.0 (cofiaza del 90%) y co grado de libertad gl ( - ) ( ) ( ) 5, que reulta er t - α/;gl.753, co lo que el itervalo de cofiaza bucado e: IC90% ( ) [( ) ± t ( )] α /,gl [ 0.39 ± ] [ ; 7.670] que cubre al valor de cero para la diferecia de media poblacioale de lo do grupo. Cálculo del IC90% para la diferecia de media upoiedo o igualdad de variaza Para calcular el IC90% para la diferecia de media e eceita calcular el error etádar de la diferecia de media que, e el upueto de o igualdad de variaza, tiee la epreió: ( ) ( ) ( ) E egudo lugar para calcular el IC deeado e eceita el valor de la t-studet t -α/;gl para α 0.0 (cofiaza del 90%) y co grado de libertad gl dado por la iguiete epreió: gl [ ( )] [ ( )] [ ( )].90 que reulta er t -α/;gl.7807, co lo que el itervalo de cofiaza bucado e: IC90% ( ) [( ) ± t ( )] α /,gl [ 0.39 ± ] [ ; ] que cubre al valor de cero para la diferecia de media poblacioale de lo do grupo. Cálculo de la prueba t-studet para la diferecia de media upoiedo igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate requerido e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal t dado por: t ( ) que bajo la hipótei ula igue ua ditribució t-studet co grado de libertad gl ( - ) ( ) ( ) 5, que tiee aociado u p-valor de

7 Cálculo de la prueba t-studet para la diferecia de media upoiedo o igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate requerido e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal t dado por: t ep ( ) que bajo la hipótei ula igue ua ditribució t-studet co grado de libertad gl dado por: gl que tiee aociado u p-valor de [ ( )] [ ( )] [ ( )].90 Itervalo de cofiaza para el cociete de variaza y prueba F-Sedecor para do variaza Para lo dato eperimetale ateriore, calcular u itervalo de cofiaza al 95% para el cociete de variaza y realizar el iguiete cotrate: H 0 : σ - σ 0 H : σ - σ 0 mediate la prueba F-Sedecor de comparació de variaza. Cálculo del IC95% para el cociete de variaza La epreió para calcular el IC95% para el cociete de variaza e: σ IC95% σ F α / ;gl;gld ; F α / ;gld;gl dode: gl o lo grado de libertad del umerador que e calcula como el tamaño muetral del grupo co mayor variaza muetral meo uo, gld o lo grado de libertad del deomiador que e calcula como el tamaño muetral del grupo co meor variaza muetral meo uo, F -α/; gl; gld e.397 para α 0.05, gl 6, gld 9 y F -α/; gld; gl e 5.53 para α 0.05, gld 9, gl 6, co lo que el itervalo: σ IC95% σ proporcioa el itervalo de cofiaza bucado. [ 0.860; 6.85] Cálculo de la prueba F-Sedecor para la igualdad de variaza Para llevar a cabo el cotrate requerido e cotruye el etadítico de cotrate eperimetal F dado por: má mí { ; } { ; } F.356 que bajo la hipótei ula igue ua ditribució F-Sedecor co gl lo grado de libertad del umerador 6 y gld lo grado de libertad del deomiador 9, que tiee aociado u p-valor de